1、離散型隨機變量的方差寧波市效實中學范麗觀1.教學內(nèi)容解析離散型隨機變量的方差是人教A版選修2-3第二章隨機變量及其分布列中第3.2節(jié)的內(nèi)容.是離散型隨機變量的另一個重要數(shù)字特征，是用來度量隨機變量與其數(shù)學期望之間的偏離程度.在高中數(shù)學中.這塊內(nèi)容的教學要求是“了解”.重點：了解離散型隨機變量方差的概念、含義及計算過程.2，2難點：離散型隨機變量的方差公式的引入，第二個方差公式D(X尸E(X)-(E(X)的推導.2 .教學目標設置(1)知識與技能：會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求方差，推導兩點分布、猜想二項分布的方差公式，并會依據(jù)期望、方差這兩個重要的數(shù)字特征分析解決實際生活中的問題.(2)過程與

2、方法：運用類比思想，建立統(tǒng)計中樣本數(shù)據(jù)的方差與概率論中離散型隨機變量的方差的聯(lián)系，引入離散型隨機變量的方差的公式，并通過實例體會方差的意義.(3)情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生直覺思維中的類比、數(shù)據(jù)處理、抽象概括建立數(shù)學模型等數(shù)學核心素養(yǎng)，進一步體會運用概率思想思考和解決問題的樂趣.3 .學生學情分析在初中(或必修3)時學生已經(jīng)學過了統(tǒng)計中樣本平均值與方差的概念，現(xiàn)在又剛剛學習了概率論中“離散型隨機變量的分布列”與“離散型隨機變量的期望”這兩塊知識，所以學生對于離散型隨機變量的方差概念的理解不至于產(chǎn)生大的困難.而且離散型隨機變量的方差及標準差的計算，教材沒有進一步的展開介紹其他公式，只要求會根據(jù)

3、定義求出離散型隨機變量的方差(或標準差).但學生在解決實際問題的過程中，如何利用離散型隨機變量思想描述和分析隨機現(xiàn)象，通過期望及方差的數(shù)值分析來處理問題時存在困難.4 .教學策略分析本節(jié)課借助于PPT,運用探究式教學.第一環(huán)節(jié)：展示問題，探尋方法.以投資理財中所承擔的風險作為問題情境，讓學生探索思考尋找合適的解決問題的手段.第二環(huán)節(jié)：直覺類比，探求新知.利用直覺類比的方法，對統(tǒng)計中的樣本平均值、方差與概率中變量的期望、方差概念進行同化或順應，然后再進行整合，得到離散型隨機變量的方差概念.第三環(huán)節(jié)：學以致用，歸納提升提進式設計例題，熟練方差計算公式并挖掘出求方差的簡便方法，既了解了方差的意義，又

4、掌握了方差的性質(zhì)及常用分布列中計算方差的公式.5 .教學過程第一環(huán)節(jié)：展示問題，探尋方法概率論中關于離散型隨機變量知識的學習已近尾聲.大家越來越感到這塊知識與現(xiàn)實生活有著千絲萬縷的聯(lián)系，正如英國經(jīng)濟學家所說：概率論是生活的真正的領路人，如果沒有對概率的某種估計，我們將寸步難行，無所作為。應用好概率論能使我們保持清醒的頭腦，做出更理智的選擇以減少不必要的損失?，F(xiàn)在，我們生活在互聯(lián)網(wǎng)時代，網(wǎng)絡電視、網(wǎng)絡購物、網(wǎng)絡游戲、網(wǎng)絡金融等網(wǎng)絡平臺。下面有一個關于網(wǎng)絡理財投資的案件，請同學們分析幫助作出決策弓I例LJ所推出A,B兩款投資額為1百萬的理財產(chǎn)品，據(jù)統(tǒng)計，它們的月收益Xi,X2（萬元）的概率分布列分

5、別如下表所示：作為理財分析師，請你對A,B兩款產(chǎn)品作出分析，并對不同需求的客戶給出建議.（復習期望的概率與計算，通過平均利潤來比較兩款產(chǎn)品的好壞）解析：E（Xi）=1,E（X2）=3,所以B款比A款多回報約2萬元.提出新問題：如果控制風險，衡量產(chǎn)品的穩(wěn)定性？思考：哪個量可以刻畫產(chǎn)品的穩(wěn)定性？（通過引例，復習期望的概念及期望計算公式，但期望值只表示了產(chǎn)品的平均水平，沒辦法刻畫產(chǎn)品的穩(wěn)定性特征.從矛盾的沖突中引出新的概念，每一個新知識的產(chǎn)生都有它的實際意義。在初中（高中必修3）學習了樣本的方差，方差刻畫了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度，所以對穩(wěn)定性程度的刻畫學生很容易想到方差，方差概念的引入就

6、水到渠成了.引出課題離散型隨機變量的方差）.第二環(huán)節(jié)：直覺類比，引出概念.（1）回顧舊知在初中（或必修3）統(tǒng)計學中，學生學習了樣本平均數(shù)及方差。樣本方差反映了樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度，它可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.類比地樣本數(shù)據(jù)VB,V.aV.aBV-一Vx1,x1;x2,x2;xi,xi;xn,xn-v-17wyk1k2kikn記k1+k2+.一+kn=N離散型隨機變量的分布列Xx1x2-.xnppip2pn平均值x=xj+x2f2+xnfn.k其中頻率fi=4N期望E(X)=x1p1+x2p2+xnpn2(x-x)2X與均值x的偏差(x-E(X)2xi與期望E(X)的偏差2.12-.

7、一、2-.12-s=(x一x)f+(x2-x)f2+(xnx)fnD(X)=(xE(X)2pi十(x2E(X)2p2+-+(xn-E(X)2pn平均偏差方差平均偏差方差通過直觀類比得到離散型隨機變量的方差概率Xxixxn程度的加權ppip2pn值E(X)的平(2)聚焦概念定義：離散型隨機變量的分布列n則D(X)=(XiE(X)2Pi為偏離i1平均，刻畫了隨機變量X與其均均偏離程度，我們稱D(X)為隨機變量X的方差(variance),并稱其算術根寸方面為隨機變量X的標準差(Standarddeviation).同樣地，隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度，方差或標準差

8、越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，就越穩(wěn)定。(3)決策分析從數(shù)據(jù)上看到：兩款理財產(chǎn)品都帶來收益，B款平均U益比A款約多2萬元;兩款都具有一定的風險，但A款風險明顯小于B款建議：穩(wěn)健型客戶選擇A款，如果想多賺又不怕風險就選擇B款.(設計意圖，在學生已經(jīng)掌握離散型隨機變量分布列與期望的認知水平上，回顧統(tǒng)計學中樣本方差的形成過程，運用直覺類比，順應得到概率論中離散型隨機變量的方差的概念并引出離散型隨機變量的方差的公式，這樣設計使學生更容易理解概念，并通過實例體會方差的意義).第三環(huán)節(jié)：學以致用，歸納提升例1填空:(1)已知隨機變量X的分布列為貝UE(X)=_,D(X)=.(2)若隨機變量Y的

9、分布列為則E(X)=_,D(X)=.(設計意圖，熟悉方差計算公式，并挖(1)(2)兩題分布列及結果發(fā)現(xiàn)變量D(Y)=a2D(X).D(X)=(0X124p11i326Xa2a4ap13i216掘簡便計算，第X,Y具有線性關系Y=aX,那么E(Y)=aE(X),提出思考1.若Y=aX+b,E(aX+b)=aE(X)+b,請問D(aX+b)=?從具體的特殊情形中抽象、猜想出問題的結論，從成功解決的簡單情形中展示其解決問題的一般方法,的結論中大膽猜想方差的性質(zhì)，做到學以致用)01p1323從期望若X服從兩點分布，則E(X)=p，思考2D(X)=?(2)四人中抽到500元代金券的人數(shù)記為X,求X的方差

10、.解.隨機變量X的分布列為c0(；)4(2)0331CW234o1o29q1i2q41024C2/)Y)2c3()1昌3C4()(士)C4()()C4()()3333338218288224823282168_)2x+(1_)2x_+(2-)2x+(3_)2：_+(4_)2x=_(例2設計3813813813813819意圖，讓學生掌握處理實際問題時求方差的一般步驟，先求隨機變量的分布列與期望，再計算變量X的方差.并會推導、掌握二點分布白方差公式，.利用特殊到一般思想猜想二項分布的方差公式，通過n=4時方差的計算，進一步鞏固方差公式，體會兩個常用分布列的實例模型.因為課本對二項分布的方差公式的

11、推導過程不作要求，所以就作為探究題讓學有余力的學生思考).22課后探究1證明：D(X)=E(X)(E(X).222證明：D(X)=(Xl-E(X)pi(X2-E(X)P2(Xn-E(X)Pn課后探究2若XB(n,p),那么方差D(X)=np(1p)。nnn證明：E(X2)=i2Cnpi(1-p)nx=i(i1)Cnpi(1-p)n-iCnpi(1-p)ni=0i0i=0一_2_222所以D(X)=E(X)-(E(X)=n(n-1)pnp-(np)=np(1-p)(設計探究1一方面為學生提供求方差的另一條途徑，另一方面為下面的推導二項分布的方差公式作鋪墊.而探究2既對二項分布的猜測提供了嚴格的證

12、明，反映了數(shù)學的嚴謹性，同時復習了二項式系數(shù)kCk=nC：、C0+C：+C；=2n及二項式系數(shù)求和的方法，有一定的難度)。例3若引例中若允許兩款產(chǎn)品組合投資，請給出風險最小的投資方案，此時利潤約為多少?解記x萬元投資A款所得利潤的隨機變量為(0-x)萬元投資B款所得利潤的隨X2機變量為G,通過分析得到t1=X1,%=100100則D();,Dj);所以f(x)=D(1)D(；)751002(x-72)21512100當x=72時，f(x)取到最小值為15.12,此時期望為7228一一E(_72X1)E(VXz)=1.56萬兀.100100最后建議：72萬元投資A款，28萬元投資B款，這樣風險最

13、小，月利潤約1.56萬元.(設計意圖：培養(yǎng)學生對實際問題會有建立數(shù)學模型的意識，對有關聯(lián)的兩個變量會尋找兩2者的線性關系，并利用E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=aD(X)簡化計算，體會利用概率思想解決實際問題的樂趣，培養(yǎng)精益求精的處理問題的態(tài)度)第四環(huán)節(jié)：歸納小結理順知識離散型隨機變量的方差表現(xiàn)了隨機變量所取的值相對于它的期望的集中與離散程度，實2際上是隨機變量(X-E(X)的均值，因此它是研究變量穩(wěn)定性的重要數(shù)字特征.雖然離散型隨機變量的方差從樣本方差中類比得到，但隨機變量的方差是常數(shù)，樣本的方差是隨著樣本試驗的不同而變化，因此樣本的方差是隨機變量，但常常我們用樣本的方差來估

14、計總體的方差.求隨機變量的方差時需先求出隨機變量的分布列及期望，再根據(jù)兩個方差計算公式D(X)=(kE(X)2pi，D(X)=*(xiE(X)2pi計算.若離散型隨機變量服從常用分布列如i3i3X服從兩點分布，則D(X)=p(1-p);XB(n,p),則D(X)=np(1-p)時，可以直接利用結論方便計算222兩個隨機變量的方差性質(zhì)D(aX+b)=aD(X)；D(X)=E(X)-(E(X)之0,得E(X2)(E(X)2課外作業(yè)略6.課例點評本節(jié)課在學生學過統(tǒng)計中樣本的平均數(shù)與方差、離散型隨機變量的分布列與期望后的新授課.離散型隨機變量的方差在高中數(shù)學中屬于“了解”的要求，但無論是概念引入、公式推導、還是運算都是學生的難點，本課努力嘗試分散這些難點，對每個知識的學習不感到生硬.從貼近學生生活與熱門實際問題(網(wǎng)絡理財與網(wǎng)絡購物)入手，從問題解決的矛盾沖突中尋找新的解決辦法，通過設問將新知識納入學生已有的知識系統(tǒng)中、再通過直覺類比體會隨機變量方差的概念與計算公式形成過程，努力使概念的引入自然、易懂圍繞概念設