1、精選文檔【備戰(zhàn)2017年高考高三數(shù)學(xué)一輪熱點、難點一網(wǎng)打盡】 第22講 平面對量中的兩個定理考綱要求:1了解平面對量的基本定理及其意義把握平面對量的正交分解及其坐標(biāo)表示； 2會用坐標(biāo)表示平面對量的加法、減法與數(shù)乘運算理解用坐標(biāo)表示的平面對量共線的條件基礎(chǔ)學(xué)問回顧:1.向量的數(shù)乘運算：求實數(shù)與向量的積的運算，運算法則：(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時，與的方向相同；當(dāng)0時，的與的方向相反；當(dāng)0時，0運算律：()()；()；()2.共線向量定理向量(0)與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使得2平面對量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面對量基本定理：假如是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向

2、量，有且只有一對實數(shù)1，2，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底.(2)平面對量的正交分解：把一個向量分解為兩個相互垂直的向量，叫做把向量正交分解(3)平面對量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)x，y，使，把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中叫在x軸上的坐標(biāo)，叫在y軸上的坐標(biāo)設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是終點A的坐標(biāo)，即若，則A點坐標(biāo)為，反之亦成立(O是坐標(biāo)原點)應(yīng)用舉例:類型一、共線向量定理的應(yīng)用【例1】【2017山東省棗莊八中高三月考】 設(shè)兩個非零向量與b不共線，(1)若，28，3()，

3、求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使k和k同向【答案】見解析；k1.【例2】【2017河北正定一中高三月考】如圖，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，(1)用，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線【答案】見解析【解析】(1)延長AD到G，使，連接BG，CG，得到ABGC，所以，則有()，()， ()(b2)，(b2)(2)證明：由(1)可知，又由于，有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線點評：共線向量定理的3個應(yīng)用 (1)證明向量共線：對于向量，若存在實數(shù)，使，則與共線(2)證明三點共線：若存在實數(shù)，使，則A，B，C三點共線(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條

4、件列方程(組)求參數(shù)的值提示證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點類型二、平面對量基本定理的應(yīng)用【例3】【2017湖南衡陽八中月考】假如e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底的是()Ae1與e1e2Be12e2與e12e2Ce1e2與e1e2 De13e2與6e22e1【答案】D【解析】選項A中，設(shè)e1e2e1，則無解；選項B中，設(shè)e12e2(e12e2)，則無解；選項C中，設(shè)e1e2(e1e2)，則無解；選項D中，e13e2(6e22e1)，所以兩向量是共線向量【例4】【2017山西省懷仁縣第一中學(xué)高三月考】如圖，以向量，為鄰邊作OADB

5、，用，表示，.【答案】見解析【例5】【2017湖北省襄陽市第四中學(xué)高三月考】如圖，G是OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動點，且P，G，Q三點共線(1)設(shè)，將用，表示； (2)設(shè)x，y，證明：是定值【答案】見解析【解析】(1) ()(1) . (2)證明：一方面，由(1)，得(1) (1)xy；另一方面，G是OAB的重心，×().而，不共線，由，得解得3(定值)方法、規(guī)律歸納:1.應(yīng)用平面對量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算2.用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向

6、量的運算來解決3.解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解實戰(zhàn)演練:1【2017江西吉安一中高三月考】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且a，b，則()AbaBba Cab Dab【答案】A2【2017浙江省溫州市高三月考試題】已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個點，若20，則向量等于()A. BC2 D2【答案】C3【2017貴州省貴陽市一中高三月考】設(shè)M是ABC所在平面上的一點，且0，D是AC的中點，則的值為()A. B. C1 D 2【答案】A【解析】D是AC的中點，延長MD至E，使得DEMD，四邊形MAEC為平行四邊形，()0，()3，故

7、選A.4【2017江西吉安一中高三月考】設(shè)D，E，F(xiàn)分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且2，2，2，則與 ()A反向平行 B同向平行 C相互垂直 D既不平行也不垂直【答案】A【解析】由題意得，因此()，故與反向平行5. 【2017江蘇省南通市如東縣一中高三月考】如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點，xy，且2，則()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y【答案】A【解析】由題意知，又2，所以()，所以x，y.6【2017湖南省永州市高三月考】設(shè)O在ABC的內(nèi)部，D為AB的中點，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為()A3 B4 C5 D6【答案】B7【2017河北省定州中學(xué)高三

8、月考】在直角梯形ABCD中，A90°，B30°，AB2，BC2，點E在線段CD上，若，則的取值范圍是_【答案】.【解析】由題意可求得AD1，CD，所以2.點E在線段CD上， (01)，又2，1，即.01，0.即的取值范圍是.8【2017河北省滄州市高三月考】如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點設(shè)a，b，試用a，b為基底表示向量，. 【答案】見解析【解析】babba，bba，bab.9【2017西藏林芝市高三月考】設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值【答案】見解析10【2017江蘇泰興中學(xué)高三月考】已知O，A，B是不共線的三點，且mn (m，nR)(1)若mn1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m