1、數(shù)二-基本知識點匯總數(shù)二基本知識點Deran Pan目錄第一章極限4一、定理4二、重要極限4三、等價無窮小4六、積分和求極限4四、佩亞諾余項泰勒展開4第二章一元函數(shù)微分5一、函數(shù)微分5二、微分運算法則5三、基本微分公式5四、變限積分求導(dǎo)5五、N階導(dǎo)數(shù)5六、參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)5七、隱函數(shù)求導(dǎo)法則，冪指函數(shù)求導(dǎo)法則5八、反函數(shù)的一階、二階求導(dǎo)5九、單調(diào)、極值、凹凸、拐點5十、漸近線5十一、曲率6十三、泰勒定理6十四、極限與無窮小的關(guān)系6十五、附6第三章一元函數(shù)積分7一、定理7二、基本積分公式7三、基本積分方法7四、一個重要的反常積分7五、定積分的應(yīng)用7第四章多元函數(shù)微分8一、如果limxx0yy0fx,

2、y存在，則fx,y在該點連續(xù)8二、求重極限方法8三、可微性討論8四、復(fù)合函數(shù)微分8五、高階偏導(dǎo)8六、隱函數(shù)求導(dǎo)8七、二元函數(shù)極值的充分條件8八、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法8九、二重積分8十、柯西積分不等式10第五章常微分方程11一、一階微分方程11二、可降階的高階微分方程11三、高階常系數(shù)微分方程11第一章行列式12一、余子式&代數(shù)余子式12二、幾個重要公式12三、抽象n階方陣行列式公式12第二章矩陣12一、運算規(guī)則12二、特殊矩陣12三、可逆矩陣12四、秩13第三章向量13一、線性表出、線性相關(guān)、極大線性無關(guān)組13二、施密特正交化13三、正交矩陣13第四章線性方程組14一、克拉默法則1

3、4二、齊次線性方程組、基礎(chǔ)解系14三、非齊次線性方程組、通解結(jié)構(gòu)14第五章特征值、特征向量、相似矩陣14一、特征值、特征向量14二、相似矩陣14三、實對稱矩陣15四、矩陣、特征值、特征向量15五、判斷A是否相似于對角15第六章二次型15一、二次型15二、標(biāo)準(zhǔn)型15三、規(guī)范型15四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范型15五、合同16六、慣性定理16七、實對稱矩陣A、B合同的充要條件16八、正定16九、正定陣性質(zhì)16后記17第一章 極限25 . word可編輯 .一、 定理夾逼定理，單調(diào)有界定理二、 重要極限1.limx0sinxx=12.limx01+x1x=e3.limnnn=14.limx0+xIn

4、xk=05.limxxke-x=1三、 等價無窮小當(dāng) x0時：1、 sinxx、2、 tanxx、3、 1-cosx12x24、 ex-1x5、 In 1+xx6、 1+x-1x7、 arcsinxx8、 arctanxx9、 x-1xIn10、 xm+xkxm，(k>m>0)一、二、三、四、五、 洛必達法則六、 積分和求極限limnun=limn1ni=1nfin=01fxdx一、二、三、四、 佩亞諾余項泰勒展開1、 ex=1+x+12!x2+1n!xn+Oxn2、 sinx=x-13!x3+-1n2n+1!x2n+1+Ox2n+23、 cosx=1-12!x2+-1n2n!x2

5、n+Ox2n+14、 In 1+x=x-x22+x33+-1n-1xnn+Oxn5、 1+xm=1+mx+mm-12!x2+m×m-1××m-n+1n!xn+Oxn第二章 一元函數(shù)微分一、 函數(shù)微分dy=Ax+ox=Adx+ox二、 微分運算法則1、 u±v'=u'±v'2、 uv'=u'v+uv'3、 Cu'=Cu'4、 uv'=u'v-uv'v2三、 基本微分公式1、 C'=02、 x'=x-13、 x'=xIn4、 ex'

6、;=ex5、 logx'=1xIna6、 cosx'=-sinx7、 sinx'=cosx8、 cotx'=-cscx29、 tanx'=secx210、 secx'=secxtanx11、 cscx'=-cscxcotx12、 arcsinx'=11-x213、 arccosx'=-11-x214、 arctanx'=11+x215、 arccotx'=-11+x2四、 變限積分求導(dǎo)1x2xftdt' =f2x2'x-f1x1'x五、 N階導(dǎo)數(shù)1、 u±vn=un

7、7;vn2、 uvn=unv+Cn1un-1v1+Cnkun-kvk+uvn六、 參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)yx'=yt'xt'yxx''=yx't'xt'=xt'ytt''-xtt''yt'xt'3七、 隱函數(shù)求導(dǎo)法則，冪指函數(shù)求導(dǎo)法則八、 反函數(shù)的一階、二階求導(dǎo)dxdy=1dydx=1f'x''y=-f''xf'x3九、 單調(diào)、極值、凹凸、拐點十、 漸近線水平漸近線：limxfx=b鉛直漸近線：limxx0fx=b斜漸近線：limxx0f

8、xx=a，limxx0fx-ax=b十一、 曲率k=|y''|1+y'232R=1k=1+y'232|y''|十二、 定理費馬定理（駐點）、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。十三、 泰勒定理fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnx十四、 極限與無窮小的關(guān)系limxx0fx=Afx=A+x，其中l(wèi)imxx0x=0十五、 附麥克勞林公式：fx=f0+f'01!x+f''02!x2+fn0n!xn+Rnxx0=0泰勒公式：fx=fx0+f'

9、;x01!x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnxn=0拉格朗日余項：Rnx=fn+1n+1!x-x0n+1fx=fx0+f'1x-x0fx-fx0=f'x-x0拉格朗日中值定理n=1佩亞諾余項：Rn=Ox-x0nfx=fx0+f'x01x-x0+Ox-x0fx-fx0=f'x0x-x0+Ox-x0y=f'x0x+Ox-x0增量與微分的關(guān)系式第三章 一元函數(shù)積分一、 定理1、 定積分存在定理2、 原函數(shù)存在定理3、 積分中值定理abfxdx=f'b-a二、 基本積分公式1、 xdx=1+1x+1+C2、

10、1xdx=Inx+C3、 xdx=xIn+C4、 exdx=ex+C5、 sinxdx=-cosx+C6、 cosx dx=sinx+C7、 tanxdx=-Incosx+C8、 cotxdx=Insinx+C9、 secxdx=Insecx+tanx+C10、 cscxdx=Incscx-cotx+C11、 sec2xdx=tanx+C12、 csc2xdx=-cotx+C13、 12+x2dx=1arctanx+C14、 12-x2dx=12In+x-x+C15、 12-x2dx=arcsinx+C16、 1x2±2dx=Inx+x2±2+C三、 基本積分方法1、 湊微

11、分法2、 換元積分法a) 含a2-x2，命x=asintb) 含x2+a2，命x=atantc) 含x2-a2，命x=asect3、 部分積分法4、 利用被積函數(shù)的奇偶性5、 拆項積分四、 一個重要的反常積分-+e-x2dx=20+e-x2dx=五、 定積分的應(yīng)用1、 平面圖形的面積A=aby2x-y1xdxA=cdx2x-x1xdyA=122d2、 平面曲線的弧長S=abx't2+y't2dtS=ab1+y'x2dxS=2+'2d3、 旋轉(zhuǎn)體體積V=aby2xdxV=aby22x-y12xdxV=2abxy2x-y1xdx4、 旋轉(zhuǎn)曲面面積S=2ab|y|1+

12、f2xdxS=2ab|yt|x't2+y't2dt第四章 多元函數(shù)微分一、 如果limxx0yy0fx,y存在，則fx,y在該點連續(xù)二、 求重極限方法1、 利用極限性質(zhì)、四則運算、夾逼準(zhǔn)則等2、 消除分母中為零的因子，有理化、等價無窮小等3、 轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極限4、 利用無窮小乘以有節(jié)量仍為無窮小三、 可微性討論1、 可微a) 考察fx'x0,y0和fy'x0,y0是否都存在。b) 考察limx0y0fx0+x,y0+y-fx0,y0-fx'x0,y0x+fy'x0,y0yx2+y2=0是否成立。2、 可微的必要條件：可微必可導(dǎo)，不可導(dǎo)一定不可

13、微。3、 可微的充分條件：有連續(xù)一階偏導(dǎo)函數(shù)一定可微。四、 復(fù)合函數(shù)微分1、 一元與多元復(fù)合dzdt=dzdududt+dzdvdvdt2、 多元與多元復(fù)合zx=zuux+zvvx、zy=zuuy+zvvy3、 全微分形式不變dz=zxdx+zydy =zudu+zvdv五、 高階偏導(dǎo)2zx2=xzx=fxx''x,y2zxy=yzx=fxy''x,y2zyx=xzy=fyx''x,y2zy2=yzy=fyy''x,yfxy''x,y 與 fyx''x,y 相等，次序無關(guān)六、 隱函數(shù)求導(dǎo)1、 利用公

14、式a) 一元：dydx=-Fx'Fy'b) 二元：zx=-Fx'Fz'、zy=-Fy'Fz'2、 方程組兩端分別求導(dǎo)3、 利用微分形式不變，方程兩端求微分七、 二元函數(shù)極值的充分條件若 fx'x0,y0=0 以及 fy'x0,y0=0設(shè) A=fxx''x0,y0、B=fxy''x0,y0、C=fyy''x0,y0則：AC-B2>0，取的極值，A>0為極小值，A<0為極大值A(chǔ)C-B2<0，無極值A(chǔ)C-B2=0，不能確定八、 條件極值、拉格朗日乘數(shù)法1、 構(gòu)造拉格

15、朗日函數(shù)Fx,y,=fx,y+x,y2、 解方程組Fx=fx+x=0Fy=fy+y=0F=x,y=0所有滿足解的點是可能的極值點九、 二重積分1、 性質(zhì)a) 比較定理b) 估值定理c) 中值定理2、 計算a) 直角坐標(biāo)系下的計算i. 適合先y后x的積分域D fx,yd=abdx1x2xfx,ydyii. 適合先x后y的積分域D fx,yd=abdy1y2yfx,ydxb) 極坐標(biāo)下的計算i. 極點O在區(qū)域D之外D fx,yd=d12fcos,sindii. 極點O在區(qū)域D的邊界上D fx,yd=d0fcos,sindiii. 極點O在區(qū)域D的內(nèi)部D fx,yd=02d0fcos,sindiv.

16、 環(huán)形域D fx,yd=02d12fcos,sind3、 利用對稱性和奇偶性a) 對稱性i. 若積分域關(guān)于x或y對稱ii. 若積分關(guān)于直線x=y對稱，則fx,yd=fy,xd十、 柯西積分不等式f(x)gxdx2f2xdx+g2xdx第五章 常微分方程一、 一階微分方程1、 可分離變量方程2、 齊次方程dydx=fyx，令u=yx，則y=uxdydx=u+xdudx 3、 線性方程y'=Pxy=Qx y=e-PxdxQ(x)ePxdxdx+C 二、 可降階的高階微分方程1、 反復(fù)積分，y(n)=f(x)2、 不是含有y的二階微分方程y''=fy',x，令P=y&

17、#39;則：y''=dPdx，dPdx=f(P,x)3、 不是含有x的二階微分方程y''=f(y',y)，令P=y'則：y''=dPdx=dPdydydx=y'dPdy=PdPdy三、 高階常系數(shù)微分方程1、 齊次方程：+py'+qy=0a) 解特征值：1、2 。2+p+q=0i. 有不相同的兩個實根：y=C1e1x+C2e2xii. 有一對相等的實根：y=C1+C2xexiii. 有一對共軛復(fù)根±i：y=exC1cosx+C2sinx2、 非齊次方程：y''+py'+qy=f(x

18、)a) 通解形式為y=Y(x)齊次解+y*特解i. 若fx=exQmx，則設(shè)y*=xkexPmx。k為特征值的重數(shù)ii. 若fx=exQlxcosx +Qnxsinx，則設(shè)y*=xkexPlxcosx +Pnxsinxk為特征值±i的重數(shù)第一章 行列式一、 余子式&代數(shù)余子式二、 幾個重要公式1、 上（下）三角形行列式AA=a11a22ann2、 副對角線行列式AA=-1nn-12a1na2n-1an13、 A、B分別是m階，n階矩陣A*OB=AO*B=|A|B|OAB*=*ABO=-1mn|A|B|4、 范德蒙行列式11 x1 x1 1 x1xnn-1xnn-1xnn-1x

19、nn-1=1j<inxi-xj三、 抽象n階方陣行列式公式1、 AT=|A|2、 kA=kn|A|3、 AB=AB，A2=A24、 A*=An-15、 A-1=A-16、 A=i=1ni7、 若AB，A=B第二章 矩陣一、 運算規(guī)則1、 加法2、 數(shù)乘3、 乘法4、 轉(zhuǎn)置A+BT=AT+BTkAT=kATABT=BTATATT=A5、 伴隨矩陣AA*=A*A=EA*-1=A-1*=1|A|AA*T=AT*kA*=kn-1A*A*=An-1A*=An-2A6、 方陣的冪Akl=AklAkAl=Ak+l二、 特殊矩陣單位陣數(shù)量陣對角陣上下三角陣對稱陣發(fā)對稱陣正交陣初等矩陣伴隨矩陣三、 可逆矩

20、陣1、 運算性質(zhì)kA-1=1kA-1AB-1=B-1A-1，A2-1=A-12AT-1=A-1TA-1-1=AA-1=1A2、 求逆矩陣a) 公式法：A-1=1AA*b) 初等變換：AE=EA-1c) 分塊矩陣：BOOC-1=B-1OOC-1OBCO-1=OC-1B-1O四、 秩1、 rA=rAT2、 rkA=rA3、 rA+BrA+rB4、 rABminrA，rB5、 若A可逆，rAB=rB=rBA6、 若A是m×n陣，B是n×s陣，AB=O，則rA+rBn7、 分塊矩陣：rAOOB=rA+rB第三章 向量一、 線性表出、線性相關(guān)、極大線性無關(guān)組二、 施密特正交化1=12

21、=2-2,11,113=3-3,22,22-3,11,111=11、2=22、3=331，2，3則是正交規(guī)范向量組三、 正交矩陣1、 AAT=ATA=E2、 A是正交矩陣AT=A-1 A行（列）向量是正交規(guī)范向量組3、 如A是正交矩陣，則行列式A=±1第四章 線性方程組一、 克拉默法則二、 齊次線性方程組、基礎(chǔ)解系三、 非齊次線性方程組、通解結(jié)構(gòu)第五章 特征值、特征向量、相似矩陣一、 特征值、特征向量1、 若A=，則：則稱是A的特征值，是A對應(yīng)于的特征向量。（特征方程、特征多項式、特征矩陣）2、 性質(zhì)a) i=1ni=i=1naiib) i=1ni=A3、 求法a) E-A=0解出特

22、征值b) iE-AX=0j解出特征向量二、 相似矩陣1、 若P-1AP=B，則AB2、 N階矩陣A可對角化 特征向量1，2線性無關(guān)3、 12是A的特征值 特征向量1，2線性無關(guān)4、 是A的ri重特征值，則該特征值得特征向量應(yīng)小于等于ri5、 性質(zhì)：a) AA，反身性b) ABBA，對稱性c) 若AB，BCAC，傳遞性6、 兩矩陣相似的必要條件ABE-A=E-B rA=rB A=B=i=1ni三、 實對稱矩陣1、 元素aij都是實數(shù)的對稱矩陣2、 A.實對稱矩陣的特征值全部是實數(shù)B.實對稱矩陣屬于不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交C.實對稱矩陣必相似于對角陣，即存在P-1AP=，且存在正交陣Q使得

23、Q-1AQ=QTAQ=3、 實對稱矩陣相似于對角陣步驟a) E-A=0解出全部ib) iE-AX=0解出所有特征值的特征向量c) 正交化i的特征向量d) 將全部特征向量單位化e) 即有Q-1AQ=QTAQ=四、 矩陣、特征值、特征向量矩陣特征值特征向量AkAkAkkfAfA-1-1A*AA-1+fA1+f五、 判斷A是否相似于對角1、 A是否是實對稱矩陣2、 若A不是，看A是否有n個互不相同的特征值3、 若A有r重根，看對應(yīng)是否有r個線性無關(guān)的特征向量第六章 二次型一、 二次型1、 矩陣表示 fx1,x2,xn=i=1nj=1naijxixj =x1x2xna11a12a21a22a1na2n

24、an1an2annx1x2xn =XTAX其中AT=A是對稱矩陣，為二次型f的對于矩陣2、 若A、B是兩個n階對稱陣，f=XTAX，g=XTBX：a) 若A=Bf=gb) 若ABf合同于gc) 若rA=rrf=rd) 若A正定f正定二、 標(biāo)準(zhǔn)型若二次型fx1,x2,xn只有平方項，沒有混合項則為標(biāo)準(zhǔn)二次型。 fx1,x2,xn=XTAX =d1x12+dpxp2-dp+1xp+12-dp+qxp+q2 p+q=rn三、 規(guī)范型在二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中，若平方項的系數(shù)di只取1、-1、0，則該二次型為規(guī)范型四、 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范型1、 對于任意一個n元二次型f=XTAX，必存在正交變換X=QY，Q是正交陣：fx1,x2,xn=XTAX=YTQTAQY=1y12+2y22+nyn22、 任意一個二次型f，都可以通過（配方法）可