1、第1講圓與圓錐曲線的基本問題高考定位1.圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系是高考對本講內(nèi)容考查的重點(diǎn)，涉及圓的方程的求法、直線與圓的位置關(guān)系的判斷、弦長問題及切線問題等；2.圓錐曲線中的基本問題一般以橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等作為考查的重點(diǎn)，多為選擇題或填空題.真 題 感 悟 1.(2016·全國卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，)C.(0，3) D.(0，)解析方程1表示雙曲線，(m2n)·(3m2n)>0，解得m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)

2、4m2(其中c是半焦距)，焦距2c2×2|m|4，解得|m|1，1<n<3，故選A.答案A2.(2015·全國卷)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·<0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.解析由題意知M在雙曲線C：y21上，又在x2y23內(nèi)部，由得y±，所以<y0<.答案A3.(2016·全國卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2 B.4C.6 D.8解析不妨設(shè)拋物線C

3、：y22px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2y2r2(r>0)，如圖，又可設(shè)A(x0，2)，D，點(diǎn)A(x0，2)在拋物線y22px上，82px0，點(diǎn)A(x0，2)在圓x2y2r2上，x8r2，點(diǎn)D在圓x2y2r2上，5r2，聯(lián)立，解得p4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p4，故選B.答案B4.(2016·山東卷)已知雙曲線E：1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_.解析由已知得|AB|，|BC|2c，2×3×2c，又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，

4、兩邊同除以a2得2320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去).答案2考 點(diǎn) 整 合1.圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r.2.直線與圓相關(guān)問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)三個(gè)定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理.(2)兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線的距離公式d，弦長公式|AB|2(弦心距d).3.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).4

5、.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓：1(ab0)(焦點(diǎn)在x軸上)或1(ab0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(2)雙曲線：1(a0，b0)(焦點(diǎn)在x軸上)或1(a0，b0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(3)拋物線：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).5.圓錐曲線的幾何性質(zhì)(1)橢圓：e；(2)雙曲線：e；漸近線方程：y±x或y±x；(3)拋物線：設(shè)y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn).焦半徑|CF|x1；過焦點(diǎn)的弦長|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.熱點(diǎn)一直線與圓有關(guān)問題 微題型1求圓的方程【例11】 (1)(2015

6、3;全國卷)過三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|()A.2 B.8C.4 D.10(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的方程為()A.(x1)2y24B.(x1)2y24C.x2(y1)24D.x2(y1)24解析(1)由已知，得(3，1)，(3，9)，則·3×(3)(1)×(9)0，所以，即ABBC，故過三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN

7、|y1y2|4，選C.(2)由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a，0)，a2，半徑為r，得解得滿足條件的一組解為所以圓M的方程為(x1)2y24.故選B.答案(1)C(2)B探究提高求具備一定條件的圓的方程時(shí)，其關(guān)鍵是尋找確定圓的兩個(gè)幾何要素，即圓心和半徑，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法，在一些問題中借助平面幾何中關(guān)于圓的知識可以簡化計(jì)算，如已知一個(gè)圓經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，其圓心一定在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，解題時(shí)要注意平面幾何知識的應(yīng)用.微題型2圓的切線問題【例12】 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C

8、.(62) D.(2)若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_.解析(1)由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點(diǎn)O，要使圓C的面積最小(D為切點(diǎn))，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2xy40相切，所以由平面幾何知識，當(dāng)OC所在直線與l垂直時(shí)，|OD|最小(D為切點(diǎn))，即圓C的直徑最小，則|OD|，所以圓的半徑為，圓C的面積的最小值為Sr2.(2)依題意得OO1A是直角三角形，|OO1|5，SOO1A··|OO1|·|OA|·|AO1|，因此|AB|4.答案(1)A(2)4

9、探究提高(1)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.(2)過圓外一點(diǎn)求解切線長轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)距離，利用勾股定理處理.微題型3直線與圓的位置關(guān)系【例13】 已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3，0).(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)M的

10、坐標(biāo)點(diǎn)(x，y)，當(dāng)線段AB不在x軸上時(shí)，有C1MAB，則kC1M·kAB1，即·1，整理得y2，又當(dāng)直線l與圓C1相切時(shí)，易求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.所以此時(shí)M的軌跡C的方程為y2.當(dāng)線段AB在x軸上時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0)，也滿足式子y2.綜上，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2.(3)由(2)知點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心，r為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點(diǎn))，且E，F(xiàn).又直線L：yk(x4)過定點(diǎn)D(4，0)，當(dāng)直線L與圓C相切時(shí)，由，得k±，又kDEkDF，結(jié)合如圖可知當(dāng)k時(shí)，直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn).探究提高此類題易失分點(diǎn)有兩處：一

11、是不會(huì)適時(shí)分類討論，遇到直線問題，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍時(shí)，定要注意“草圖不草”，如本題，畫成軌跡C時(shí)，若把端點(diǎn)E，F(xiàn)畫出實(shí)心點(diǎn)，借形解題時(shí)求出的斜率就會(huì)出錯(cuò).【訓(xùn)練1】 (2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2，4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)圓M的方程化為

12、標(biāo)準(zhǔn)形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6，7)，半徑r5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可設(shè)l的方程為y2xm，即2xym0.又BCOA2.由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d2.即2，解得m5或m15.直線l的方程為y2x5或y2x15.(3)由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P、Q為圓M上的兩點(diǎn)，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的范圍為22，22.熱點(diǎn)二圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)的應(yīng)用微題型1定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用【例21】 (1)(2

13、015·浙江卷)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B. C. D.(2)已知雙曲線C1：1(a0，b0)的焦距是實(shí)軸長的2倍，若拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()A.x2y B.x2yC.x28y D.x216y解析(1)由圖形知，由拋物線的性質(zhì)知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1，.故選A.(2)2c4a，c2a，又a2b2c2，ba，漸近線y±x，拋物線焦點(diǎn)，d2，p

14、8，拋物線方程為x216y.答案(1)A(2)D探究提高(1)準(zhǔn)確把握圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式.(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定.微題型2幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用【例22】 (1)已知橢圓1(ab0)短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C為橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，直線AC與直線BC的斜率之積為，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.(2)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點(diǎn)O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則

15、C1的離心率為_.解析(1)設(shè)C(x0，y0)，則1，故xa2，所以kAC·kBC·.故a24b2，所以e.(也可使用特殊點(diǎn)法)(2)由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為yx，直線OB的方程為yx.由得x22p ·x，x，y，A.設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為F，則F，kAF.OAB的垂心為F，AFOB，kAF·kOB1，·1，.設(shè)C1的離心率為e，則e21.e.答案(1)A(2)探究提高解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充

16、分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、圖形的結(jié)構(gòu)特征、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.【訓(xùn)練2】 (1)(2016·全國卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A. B. C. D.(2)(2016·北京卷)雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2，則a_.解析(1)設(shè)M(c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以，a3c，e.(2)

17、取B為雙曲線右焦點(diǎn)，如圖所示.四邊形OABC為正方形且邊長為2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.答案(1)A(2)21.確定圓的方程時(shí)，常用到圓的幾個(gè)性質(zhì)：(1)直線與圓相交時(shí)應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長，弦心距，圓半徑)；(2)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(5)圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對稱.2.橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2By21，其中A，B是不等的常數(shù)，AB0時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；BA0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

18、AB0時(shí)表示雙曲線.3.對涉及圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離或焦點(diǎn)弦問題，恰當(dāng)選用定義解題，會(huì)效果明顯，定義中的定值是標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ).4.在橢圓焦點(diǎn)三角形PF1F2中，F(xiàn)1PF2，則SPF1F2c|y0|b2·tan .5.求雙曲線、橢圓的離心率的方法：方法一：直接求出a，c，計(jì)算e；方法二：根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求.6.通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長為，過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑最短；拋物線通徑長是2p，過拋物線焦點(diǎn)的弦中通徑最短.橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長距離為ac，最短距離為ac.一、選擇題1.已知圓C1：(x

19、2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M、N分別是圓C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A.54 B.54C.53 D.53解析由條件可知，兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C1(2，3)，則(|PC1|PC2|)min|C1C2|5.所以(|PM|PN|)min54.答案B2.(2016·浙江卷)已知橢圓C1：y21(m1)與雙曲線C2：y21(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21C.mn且e1e21 D.mn且e1e21解析

20、由題意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又e·e··11，e1·e21.答案A3.(2013·全國卷)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3，0)和點(diǎn)(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，選D.答案D4.(2016·四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原

21、點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D.1解析如圖，由題可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y0<0時(shí)，kOM<0；y0>0時(shí)，kOM>0，要求kOM最大值，不妨設(shè)y0>0.則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2等號成立.故選C.答案C5.(2015·福建)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.

22、解析左焦點(diǎn)F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b2.離心率e，故選A.答案A二、填空題6.(2016·全國卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|2，則|CD|_.解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R2，AB2，所以O(shè)M3，解得m，由解得A(3，)，B(0，2)，則AC的直線方程為y(x3)，BD的直線方程為y2x，令y0，解得C(2，0)，D(2，0)，所以|CD|4.答案47.(2016·江西七校第二次聯(lián)

23、考)過雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線，切點(diǎn)為E，直線EF交雙曲線右支于點(diǎn)P，若()，則雙曲線的離心率是_.解析如圖，()，E為FP的中點(diǎn)，又O為FF的中點(diǎn)，OE為PFF的中位線，OEPF，|OE|PF|，OEa，|PF|a，PF切圓O于E，OEPF，PFPF，|FF|2c，|PF|PF|2a，|PF|2aa3a，由勾股定理得a29a24c2，10a24c2，e.答案8.(2016·深圳第二次調(diào)研)過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)(0，2)，則p等于_.解析由題意知直線AB的方程為yx，垂直線

24、平分線方程為yx2，聯(lián)立上面兩直線方程得y1，x1，即AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)A，B，則，1p，p.答案三、解答題9.(2015·全國卷)已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y

25、1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.10.(2014·全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根據(jù)c及題設(shè)知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去).故C的離心率為.(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0，2)是線段MF1的中點(diǎn)

26、，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y10，則即代入C的方程，得1. 將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b 2 .11.已知橢圓E：1(ab0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程.解(1)過點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率.(2)法一由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(

27、2，1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，由x1x24，得4，解得k，從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|，由|AB|，得，解得b23，故橢圓E的方程為1.法二由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2，依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(2，1)對稱，且|AB|，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2，x4y4b2，兩式相減并結(jié)合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB與x軸不垂直，則x

28、1x2，所以AB的斜率kAB，因此直線AB的方程為y(x2)1，代入得x24x82b20，所以x1x24，x1x282b2，于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得，解得b23，故橢圓E的方程為1.第2講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高考定位直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是命題的熱點(diǎn)，尤其是有關(guān)弦的問題以及存在性問題，計(jì)算量偏大，屬于難點(diǎn)，要加強(qiáng)這方面的專題訓(xùn)練.真 題 感 悟 (2016·全國卷)已知拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF

29、的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.解由題設(shè)F，設(shè)l1：ya，l2：yb，則ab0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.(1)證明由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1bk2.所以 ARFQ.(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1，0)，則SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由題設(shè)可得|ba|，所以x11，x10(舍去).設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kABkDE可得(x1).而y，所以y2x1(x1).當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合.所以，所求軌跡方程為y2x1.考 點(diǎn) 整 合1

30、.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程.若0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若0，則直線與橢圓相離.(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2bxc0(或ay2byc0).若a0，當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線相離.若a0時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2bxc0(或ay2by

31、c0).當(dāng)a0時(shí)，用判定，方法同上.當(dāng)a0時(shí)，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個(gè)交點(diǎn).2.有關(guān)弦長問題有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算.(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|與|y2y1|時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形：|x2x1|，|y2y1|.(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式).3.弦的中點(diǎn)問題有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”

32、來簡化運(yùn)算.熱點(diǎn)一直線與圓錐曲線(以橢圓、拋物線為主)的相交弦問題 微題型1有關(guān)圓錐曲線的弦長問題【例11】 (2016·常德4月模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab1)過點(diǎn)P(2，1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求PAB面積的最大值.解(1)e2，a24b2.又1，a28，b22.故所求橢圓C的方程為1.(2)設(shè)l的方程為yxm，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立整理得x22mx2m240，判別式164m20，即m24.又x1x22m，x1·x22m24，則|AB|×，點(diǎn)P到直線

33、l的距離d.因此SPABd|AB|××2，當(dāng)且僅當(dāng)m22時(shí)取等號.故PAB面積的最大值為2.探究提高解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡化計(jì)算；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.微題型2有關(guān)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題【例12】 (2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：xy20，拋物線C：y22px(p0).(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求證：線段PQ

34、的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2p，p)；求p的取值范圍.(1)解l：xy20，l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0).即拋物線的焦點(diǎn)為(2，0)，2，p4.拋物線C的方程為y28x.(2)證明設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2).則則kPQ，又P、Q關(guān)于l對稱.kPQ1，即y1y22p，p，又PQ的中點(diǎn)一定在l上，22p.線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2p，p).解PQ的中點(diǎn)為(2p，p)，即即關(guān)于y的方程y22py4p24p0，有兩個(gè)不等實(shí)根.0.即(2p)24(4p24p)0，解得0p，故所求p的范圍為.探究提高對于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件0，在用“點(diǎn)差

35、法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交.【訓(xùn)練1】 已知拋物線C1 ：x24y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn).C1 與C2的公共弦的長為2.過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率.解(1)由C1：x24y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，1).因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2b21.又C1與C2的公共弦的長為2，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為x24y，由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以1.聯(lián)立，得a29，b28.故C2的方程為1.(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B

36、(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因與同向，且|AC|BD|，所以，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是這個(gè)方程的兩根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是這個(gè)方程的兩根，所以x3x4，x3x4，將，代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)216×9，解得k±，即直線l的斜率為±.熱點(diǎn)二圓錐曲線中的存在性問題微題型1圓錐曲線中直線的存在性問題【例21】

37、 (2016·昌平5月模擬)已知點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足|PM|PN|2.(1)求P的軌跡C的方程；(2)是否存在過點(diǎn)N(1，0)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，并且曲線C存在點(diǎn)Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.解(1)根據(jù)橢圓定義可得a，c1，b，所以軌跡C的方程為1.(2)假設(shè)存在過點(diǎn)N(1，0)的直線l.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設(shè)l：xmy1，代入橢圓方程并整理得(2m23)y24my40，顯然0，則y1y2，y1y2.假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得四邊形OAQB為平

38、行四邊形，其充要條件為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1x2，y1y2).由點(diǎn)Q在橢圓上，即1.整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26.又A，B在橢圓上，即2x3y6，2x3y6.故2x1x23y1y23.將x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1代入得(2m23)y1y22m(y1y2)50，由解得m±，故直線l的方程是x±y1，即2x±y20.探究提高(1)直線方程設(shè)為ykxb(斜截式)時(shí)，要注意考慮斜率是否存在；直線方程設(shè)為xmya(可稱為x軸上的斜截式)，這種設(shè)法不需考慮斜率是否存在.(2)若圖形關(guān)系可轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，則寫出其向量關(guān)系，再將向

39、量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，關(guān)鍵是得出坐標(biāo)關(guān)系.微題型2圓錐曲線中參數(shù)的存在性問題【例22】 (2016·陜西質(zhì)檢三)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)A(m，n)(m0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得OQMONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解(1)由題意得解得a22，故橢圓C的方程為y21.設(shè)M(xM，0).因?yàn)閙0，所以1n1.直線PA的方程為y1x.所以xM，即M.(2)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，

40、所以B(m，n).設(shè)N(xN，0)，則xN.“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得OQMONQ”，等價(jià)于“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得”，即yQ滿足y|xM|xN|.因?yàn)閤M，xN，n21.所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y軸上存在點(diǎn)Q，使得OQMONQ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，)或(0，).探究提高(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.【

41、訓(xùn)練2】 (2016·咸陽5月模擬)已知橢圓C：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為M(0，1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，MF1F2的周長為24.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)以M(0，1)為直角頂點(diǎn)作橢圓C的內(nèi)接等腰直角三角形MAB，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個(gè)，并求出直角邊所在的直線方程；若不存在，請說明理由.解(1)由題意得解得所以橢圓C的方程是y21.(2)假設(shè)存在滿足條件的等腰直角三角形MAB，由題意，知直角邊MA，MB所在直線都不可能平行或垂直于x軸.設(shè)MA所在直線的方程是ykx1(k0)，則MB所在直線的方程是yx1，由得A，所以|MA|.同理，可得|MB|

42、，由|MA|MB|，得k(5k2)15k2，解得k1或k2±.故存在三個(gè)滿足條件的內(nèi)接等腰直角三角形MAB，直角邊所在直線的方程是yx1、yx1或y(2)x1、y(2)x1或y(2)x1、y(2)x1.1.直線與拋物線位置關(guān)系的提醒(1)若點(diǎn)P在拋物線內(nèi)，則過點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線只有一條，此直線與拋物線的對稱軸平行；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，則過點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條直線與拋物線的對稱軸平行；(3)若點(diǎn)P在拋物線外，則過點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條，兩條是拋物線的切線，另一條直線與拋物線的對稱軸平行.2.弦長公式對于直線

43、與橢圓的相交、直線與雙曲線的相交、直線與拋物線的相交都是通用的，此公式可以記憶，也可以在解題的過程中，利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo).3.求中點(diǎn)弦的直線方程的常用方法(1)點(diǎn)差法，設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，分別代入圓錐曲線方程，兩式作差，式中含有x1x2，y1y2，三個(gè)量，則建立了圓錐曲線的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率之間的關(guān)系，借助弦的中點(diǎn)坐標(biāo)即可求得斜率；(2)根與系數(shù)的關(guān)系，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，化為一元二次方程，用根與系數(shù)的關(guān)系求解.4.存在性問題求解的思路及策略(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在.(2)策

44、略：當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.一、選擇題1.(2014·全國卷)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若4，則|QF|等于()A. B. C.3 D.2解析過點(diǎn)Q作QQl交l于點(diǎn)Q，因?yàn)?，所以|PQ|PF|34，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|QQ|3.答案C2.(2015·四川卷)過雙曲線x21的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于()A. B.2 C.6 D.4解析右焦點(diǎn)F(2，0)，過F與x軸垂直的直線為x2

45、，漸近線方程為x20，將x2代入漸近線方程得y212，y±2，A(2，2)，B(2，2)，|AB|4.答案D3.已知A，B，P是雙曲線1上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積kPA·kPB，則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.解析設(shè)A(x1，y1)，P(x2，y2)，根據(jù)對稱性，B(x1，y1)，因?yàn)锳，P在雙曲線上，所以兩式相減，得kPAkPB，所以e2，故e.答案D4.(2014·全國卷)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()A. B. C.

46、D.解析易知拋物線中p，焦點(diǎn)F，直線AB的斜率k，故直線AB的方程為y，代入拋物線方程y23x，整理得x2x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2.由拋物線的定義可得弦長|AB|x1x2p12，結(jié)合圖象可得O到直線AB的距離dsin 30°，所以O(shè)AB的面積S|AB|·d.答案D5.(2017·湖州一模)已知拋物線y24px(p0)與雙曲線1(a0，b0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AFx軸，則雙曲線的離心率為()A. B.1C.1 D.解析依題意，得F(p，0)，因?yàn)锳Fx軸，設(shè)A(p，y)，y>0，y24p2，所以y2p.所以A(

47、p，2p).又點(diǎn)A在雙曲線上，所以1.又因?yàn)閏p，所以1，化簡，得c46a2c2a40，即610.所以e232，e1.答案B二、填空題6.已知直線l過橢圓8x29y272的一個(gè)焦點(diǎn)，斜率為2，l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，則弦|MN|的長為_.解析由得11x218x90.由根與系數(shù)的關(guān)系，得xMxN，xM·xN.由弦長公式|MN|xMxN|·.答案7.過點(diǎn)M(1，1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于_.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0，·.，x1x22，y1y22，a22b2

48、.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案8.(2017·鄭州模擬)已知點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，過點(diǎn)A作直線l與以A，B為焦點(diǎn)的橢圓交于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與圓x2y21相切，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解析根據(jù)題意，知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，由題意設(shè)橢圓方程為1(a24)，由直線l與圓x2y21相切，得1，解得k2.將代入，得(a23)x2a2xa44a20，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，又線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，所以|x1x2|，即，解得a28.所

49、以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案1三、解答題9.(2015·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a>0)交于M，N兩點(diǎn).(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPMOPN？說明理由.解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0，b)為

50、符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2 .當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)P(0，a)符合題意.10.(2015·四川卷)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，過點(diǎn)P(0，1)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段長為2.(1)求橢圓E的方程；(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

51、由.解(1)由已知，點(diǎn)(，1)在橢圓E上，因此解得a2，b，所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則有1，即|QC|QD|，所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y0).當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，則M，N的坐標(biāo)分別為(0，)，(0，)，由，有，解得y01，或y02，所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為(0，2)，下面證明：對任意直線l，均有，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx1，A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，因此2k，易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，y2)，又kQAk，kQBkk，所以kQAkQB，即Q，A，B三點(diǎn)共線，所以，故存在與P不同的定點(diǎn)Q(0，2)，使得恒成立.11.(2016·四川卷)已知橢圓E：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線