1、第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合+9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式+9.2控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解+9.3控制系統(tǒng)的能控性和能觀性9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9.1.1 基本概念 圖 9-1 所示的 電路中，由電路原理可知，回路中的電流 和電容上的電壓 的變化規(guī)律滿足如下方程 RLCcuidtduCuuRidtdiLcc) 19( RLiuCcu圖9-1 RLC電路i在知道i和uc的初始值及t=0時(shí)的輸入量u的情況下求解微分方程（9-1）就可以求出i和uc的變化規(guī)律 和 表征了電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為該電路的狀態(tài)變量，icu1. 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 定義：足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小

2、個(gè)數(shù)的一組變量 一個(gè)用n階微分方程描述的系統(tǒng)，有n個(gè)獨(dú)立變量，當(dāng)這n個(gè)獨(dú)立變量的時(shí)間響應(yīng)都求出時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)到狀態(tài)也就都知道了。因此， n階微分方程有n個(gè)獨(dú)立變量。 同一個(gè)系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取不是惟一的。 對(duì)于一般的物理系統(tǒng)，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)等于儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2狀態(tài)向量狀態(tài)向量 把描述系統(tǒng)的 個(gè)狀態(tài)變量 看作向量 的分量，則 稱為 維狀態(tài)向量，記作3 狀態(tài)空間狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸所張成的n維空間， 系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中是一個(gè)點(diǎn)，隨時(shí)間推移，狀態(tài)在變化規(guī)律在狀態(tài)空間中繪出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌線。n)(,),(),(21txtxtxn)(tx

3、)(txn 簡記為,)()()()(2121nnxxxxtxtxtxtxnxxx,219.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式4 狀態(tài)方程狀態(tài)方程 由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組 式 可以改寫為 若將狀態(tài)變量用一般符號(hào) 表示，即令 ，并寫成向量矩陣的形式，則狀態(tài)方程變?yōu)? 19( uLiLRuLdtdiiCdtducc11,1ixixuxc21,uLxxLRLCxx1011021.2.1)29( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式uLxLRxLdtdxxCdtdx11,121221或式中 對(duì)圖9-1所示系統(tǒng)，在以 作輸入時(shí)，從式 中消去中間變量 ，得二階微分方程為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為buAxx.LLR

4、LCxxx10,110,21bAcu) 19( iuLCuLCuLRuccc11.LCLsRsLCsUsUsGc/1/1)()()(2)39( )49( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 若改選 和 為狀態(tài)變量，即令 ， 則得一階微分方程組為 寫成矩陣形式 在同一系統(tǒng)中，狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同。cucu.ccuxux.21,uLCxLRxLCuxxuxcc1121.2.2.1uLCxxLRLCxx10110212.1.x)59( )69( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式5 輸出方程輸出方程 輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量間的函數(shù)關(guān)系式， 在圖9-1中， 為輸出，用 表示，則有用矩陣

5、表示為其中cuy1xuycxxxTCyy或210101TC)79( )89( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式6 狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程與輸出方程組合起來，稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。它構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的完整描述。 一般情況下，設(shè)單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ，則一般形式的狀態(tài)方程為nxxx,21ubxaxaxaxubxaxaxaxnnnn222221212.112121111.ubxaxaxaxnnnnnnn2211.9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 輸出方程除了是狀態(tài)變量的函數(shù)外，有時(shí)還有輸入變量的直接傳遞，其一般形式為 用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中duxcxcx

6、cynn2211duuxCybAxxT.nnnnnnnnnncccxxxxxxbbbaaaaaaaaa21.2.1.2121212222111211,CxxbA.9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 對(duì)于一個(gè) 維輸入、 維輸出的多輸入、多輸出系統(tǒng)其狀態(tài)空間表達(dá)式為式中rmDuCxyBuAxx.mrmmrrmnmmnnmrnrnnrrdddddddddcccccccccyyyuuubbbbbbbbb2112221112112122221112112121212222111211,DCyuB)109( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，可以用圖9-2的方框圖表示uBADC.xxy

7、(t)圖9-2 狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9.1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 狀態(tài)空的建立方法有： 1: 可根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)理直接建立 2：可由經(jīng)典控制理論已建立起來的數(shù)學(xué)模型，即結(jié)構(gòu)圖、傳遞函數(shù)和微分方程來導(dǎo)出。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1、從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 例例9-1 建立如圖9-3所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出系統(tǒng)的狀態(tài)圖。 根據(jù)牛頓第二定理有 或表示成 選擇位移 和速度 為狀態(tài)變量，令 則Fkmyf圖9-3 機(jī)械位移系統(tǒng)22dtydmdtdyfkyFFkydtdyfdtydm22ydtdy/dtdyxyx/,211212.21.,

8、1,xyFmxmfxmkxxx9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為 狀態(tài)圖： 為了更直觀地反映各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，狀態(tài)空間表達(dá)式常用狀態(tài)圖表示。繪制方法如下： （1）有多少了狀態(tài)變量，畫多少個(gè)積分器； （2）根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭連接起來。21212.1.01,1010 xxyFmxxmfmkxx9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 該機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)如圖9-4所示。F2.x2x1xym1mfmk圖9-4 機(jī)械系統(tǒng)狀態(tài)圖9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 2、從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 例例9-2 在圖9-5所

9、示系統(tǒng)中，若選取 作為狀態(tài)變量，試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式，并寫成矩陣形式。321,xxx1x2x3xus32s) 1(2ss圖9-59.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式由結(jié)構(gòu)圖得整理可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為寫成向量矩陣形式 11313221,) 1()(2,)3()(2xysxxxssxxxsxu1323.212.31.,32232,xyxxxuxxxxxxyxx.001,020320032100u3、由微分方程（或傳遞函數(shù)）求狀態(tài)空間表達(dá)式 （1）微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（或傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)）：若系統(tǒng)微分方程為 對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為ubyayayay00.1.2.012230)()()(asas

10、asbsUsYsG)119( )129( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 如果選取 為一組狀態(tài)向量，即 則有 記成向量矩陣形式為0.0.0/,/,/bybyby,/,/0.201byxbyx0.3/byx 103221103.32.21.,xbyuxaxaxaxxxxx32103212103.2.1.00,100100010 xxxbyuxxxaaaxxx)139( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-6所示u0a1a2a0by1x2x3x3.x圖9-6 狀態(tài)圖9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 一般情況下，由 階微分方程描述的系統(tǒng)為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為若選 為狀態(tài)變量，那么nuby

11、ayayaynnn00.1)1(1)(01110)()()(asasasbsUsYsGnnn0)1(0.0/,/,/bybybyn,/,/,/30.2.20.1.01xbyxxbyxbyxuxaxaxabyxxbyxnnnnnnn121100)(.0) 1(1./,/)149( )159( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 如上述這樣選擇的一組狀態(tài)變量稱為相變量，得出的表達(dá)式 稱為能控標(biāo)準(zhǔn)型。系統(tǒng)矩陣 稱為友矩陣 uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000010000101211210.1.2.1.xby0000)169( )169( A9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間

12、表達(dá)式（2）輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)） 從三階推廣到 n 階系統(tǒng)，系統(tǒng)微分方程為 對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為 只有當(dāng)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的次數(shù)小于或等于分母多項(xiàng)的次數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式才存在。ububububyayayay0.1.2.30.1.2.01223012233)(asasasbsbsbsbsG)189( )199( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 當(dāng) 的分子次數(shù)等于分母次數(shù)時(shí)，首先應(yīng)用綜合除法把 變成嚴(yán)格有理分式，即式中， 是直接聯(lián)系輸入、輸出的前饋系數(shù)。式中則由 可導(dǎo)出能控和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式。)(sG)(sG)()()()()()(301223012230122330031123223sDsNbasasasssbasasasbabsbabsbabbsG3b012230122)()(asasassssDsN322231113000babbabbab)(/ )(sDsN)209( )219( )229( 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 串聯(lián)分解：將 分解為兩部分相串聯(lián)如圖9-7所示。 為中間變量， ， 則應(yīng)滿足若選狀態(tài)分量 ，則狀態(tài)方程為)(/ )(sDsN)(/ )(sDsNzzyzzzyuazaz