1、一、對換的定義一、對換的定義1.4 對對 換換二、對換與排列奇偶性的關二、對換與排列奇偶性的關系系定理定理1: 一個排列中的任意兩個元素對換一個排列中的任意兩個元素對換, 排列改變奇排列改變奇偶性偶性.對換對換:在排列中在排列中, 將任意兩個元素對調將任意兩個元素對調, 其余元素不動其余元素不動.相鄰對換相鄰對換:將相鄰兩個元素對調將相鄰兩個元素對調.推論推論: 奇排列調成標準排列的對換次數為奇數奇排列調成標準排列的對換次數為奇數, 偶排偶排列調成標準排列的對換次數為偶數列調成標準排列的對換次數為偶數.1.5 行列式的性質行列式的性質 一、行列式的一、行列式的6條性質條性質行列式行列式DT稱為

2、行列式稱為行列式D的的轉置行列式轉置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 記記,212222111211nnnnnnbbbbbbbbbnnppptTbbbD21211即即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),所以所以, DT = D，結論成立。結論成立。 說明說明: 行列式中行與列具有同等的地位。行列式中行與列具有同等的地位。性質性質1: 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等, 即即DT = D.證明證明:nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121n

3、naaannaaa2112nnTaaaD2211 .12121Daaanppptn設行列式設行列式nnnpnjnjpjinipinpaaaaaaaaaaaaD1111111互換互換 i, j (i j)兩行得到兩行得到 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列), 行列式變號行列式變號.nnnpninipijnjpjnpaaaaaaaaaaaaD11111111nnnpnjnjpjinipinpbbbbbbbbbbbb1111111于是于是njinjinpjpipppppptbbbbD111)(11njinjinpipjpppppptaaaa111)(1其中，其中， 當當 k i, j 時時,

4、bkp= akp; 當當 k = i, j 時時, bip= ajp, bjp= aip; nijnjinpjpipppppptaaaa111)(1nijnijnpjpipppppptaaaa111)(1) 1(D 推論推論: 如果行列式如果行列式D有兩行有兩行(列列)完全相同完全相同, 則則D=0. 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以同一中所有的元素都乘以同一數數k, 等于用數等于用數k乘此行列式乘此行列式.4321432143214321dkdddckcccbkbbbakaaa例如例如:行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子可以中所有元素的公因子可以提到

5、行列式符號的外面提到行列式符號的外面.4321432143214321ddddccccbbbbaaaak性質性質5: 若行列式的某一行若行列式的某一行(列列)的元素都是兩數之和的元素都是兩數之和, 性質性質4: 行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行(列列)元素成比例元素成比例,則則D=0則則D等于兩個行列式之和等于兩個行列式之和.例如例如aabbababcdcdcd, 1111312cba例題例題:已知已知311231323122cba求：求：32性質性質6: 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的各元素乘以同一數然的各元素乘以同一數然后加到另一行后加到另一行 (列列)對應的元素上去對應的

6、元素上去, 行列式不變行列式不變.123123123112233123123aaaaaabbbbkabkabkacccccc例如例如 引入記號引入記號: 用用 ri 表示第表示第 i 行行, ci 表示第表示第 i 列列.因此因此 性質性質2交換行列式的第交換行列式的第 i, j 兩行兩行(列列), 記作記作ri rj ( ci cj ); 性質性質3行列式的第行列式的第 i 行行(列列)乘以數乘以數k, 記作記作ri k ( ci k );性質性質6把行列式的第把行列式的第 j 行行(列列)的各元素乘以同一的各元素乘以同一數數 k 然后加到第然后加到第 i 行行(列列)對應的元素上去對應的元

7、素上去, 記作記作 ri + rj k ( ci + cj k ); 二、行列式計算二、行列式計算 計算行列式常用方法計算行列式常用方法: 利用性質利用性質2,3,6, 特別是性質特別是性質6把行列式化為把行列式化為上上(下下)三角形行列式三角形行列式, 從而從而, 較容易的計算較容易的計算行列式的值行列式的值.14753240297333211D例例1: 計算計算4階行列式階行列式解解:14753220201003211Dr2 + 3r1r3 2r1147534020010032115120402001003211r4 3r1r2 r35120010040203211r4 + r2r4 +

8、r3110001004020321110000100402032112.1213311222111120001300011D例例2: 計算計算5階行列式階行列式Dr1 + r2c4 +c31213311222111120001300002.2313311222001120001300002c5 +c31313301222001120001300002c5 c4=-2解：解：例例3: 設設,0111111111111nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD ,11111kkkkaaaaD ,11112nnnnbbbbD 證明證明: D = D1D2. 證明證明: 對對D1作行運算作行運

9、算 ri + t rj , 把把D1化為下三角形化為下三角形行列式行列式:;0111111kkkkkpppppD nnnnnqqqqqD1111120對對D2作列運算作列運算 ci+kcj , 把把D2化為下三角形行列式化為下三角形行列式:,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 先對先對D的前的前k行作行運算行作行運算 ri+trj , 然后對然后對D的后的后n列列作列運算作列運算 ci+kcj , 把把D化為下三角形行列式化為下三角形行列式:故故, D = p11 pkk q11 qnn= D1D2.推廣例推廣例3的結論的結論: 設設,0*11111111nnnn

10、kkkkbbbbaaaaD,11111kkkkaaaaD ,11112nnnnbbbbD 則則D = D1D2.解解: 將第將第2, 3, , n 列都加到第一列得列都加到第一列得:例例: 計算計算 n 階行列式階行列式.abbbbabbbbabbbbaD abbbnababbnabbabnabbbbnaD1111 babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna abbbabbbabbbbna1111)1( 第行的第行的-1倍加到倍加到2, 3, , n行得行得:111112001030100nDn例例 計算行列式計算行列式. )11 ( !000030000201111

11、122ninininniD解：解：0121111110001000100010001nnnaaaDaa 12(0)na aa 另外還有另外還有（形如形如 ，稱為箭形（或爪形）行列式），稱為箭形（或爪形）行列式）更一般的有更一般的有一、余子式與代數余子式一、余子式與代數余子式nnnjninijinjaaaaaaaaa111111在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，ijjiijMA 1記記叫做元素叫做元素 的的代數余子式代數

12、余子式ija1.6 行列式按行行列式按行(列列)展開展開 定義：定義：例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M 注意：注意：只只與與該該元元素素所所處處位位置置一一個個元元素素的的代代數數余余子子式式多少無關！多少無關！相關；而與該元素等于相關；而與該元素等于定理定理 n n 階行列式等于它的任一行（列）的各元階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即素與其對應的代數余子式乘積之和，即 nkikikininii

13、iiAaAaAaAa12211 ni, 2 , 1 二、行列式按行（列）展開法則二、行列式按行（列）展開法則nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 n21j, nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAaD12211引理引理: 如果一個如果一個n階行列式階行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 aij 外都為外都為零零, 那么行列式那么行列式 D 等于等于 aij 與它的代數余子式與它的代數余子式 Aij的乘的乘積積, 即即 D = aij Aij . 引理的證明引理的證明: (1)當當 aij 位于第一行第一列時位于第一行第一列時,nnnnnaaaaaaaD21222211

14、100 結論成立結論成立.a11M11 a11(1)1+1M11 = a11A11(2)對對一般情形一般情形,nnjnnjjnnnijijijiiijnijijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD1,1,1, 11, 1, 11, 11 , 1, 11, 1, 11, 11 , 111, 111, 1110000ija D的第的第 i 行依次與第行依次與第 i 1行行,第第 i 2行行, , 第第1行交換；行交換； 再把第再把第 j 列依次與第列依次與第 j 1列列, 第第 j 2列列, , 第第1列交換列交換, 得得=(1)i+j aij Mij故引理結論成立故引理結

15、論成立.nnjnjnnnjnnijijiijinijijiijinjjjijjiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD1,1, 11, 11, 11 , 1, 1, 11, 11, 11 , 1, 111, 11, 1111110000) 1(= aij Aij定理的證明定理的證明:nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin.3301010243052123D例例

16、1: 計算行列式計算行列式解解: D=33501043123541) 1(121134212rr331012435) 1(2210532004140013202527102135 D0532004140013202527102135 D例例2: 計算行列式計算行列式解解: 53204140132021352152 66027013210 53241413252 6627210 .1080124220 0000000000000000nababaDabba例例3: 計算計算解：按第一列展開，得解：按第一列展開，得babbabbabaabaaDnn000000000000) 1(000000000

17、0001nnnba1) 1(3040222207005322D 例例4：已知行列式已知行列式，求，求5A21+3A22 - 2A23+2A24. 223500704461004035A21+3A22 - 2A23+2A24 =解：解：0例例5：nnDn00103010021321 求第一行各元素的代數余子式之和求第一行各元素的代數余子式之和: A11+A12+ +A1n . 設設 n 階行列式階行列式解解: 第一行各元素的代數余子式之和可以表示成第一行各元素的代數余子式之和可以表示成n001030100211111 ).11( !2 nkknA11+A12+ +A1n推論推論: 行列式任一行行

18、列式任一行(列列)的元素與另一行的元素與另一行(列列)的對應的對應元素的代數余子式乘積之和等于零元素的代數余子式乘積之和等于零, 即即ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ;a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j .,11111111jnjnjjnnnjnjininAaAaaaaaaaaaD證證: 把行列式把行列式D = det(aij) 按第按第 j 行展開行展開, 得得把把 ajk 換成換成 aik (k=1, 2, , n ), 當當 i j 時時, 可得可得nnniniininaaaaaaaa111111第第 j 行行第

19、第 i 行行當當i j時，時， 關于代數余子式的重要性質關于代數余子式的重要性質;01 jijiDDAaijnkjkik當當當當 .01 jijiDDAaijnkkjki當當當當 .01 jijiij當當當當 其中其中jninjiAaAa11，1113121122322212232221321).(1111jinjinnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxD)1(例例6: 證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式證證: 用數學歸納法用數學歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx所以所以, 當當 n=2 時時, (1)式成立式成立.

20、假設對假設對 n-1 階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式, (1)式成立式成立. )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn按第一列展開按第一列展開, 并把每列的公因子并把每列的公因子( xi x1 )提出提出, 得得223223211312111)()(nnnnnnnxxxxxxxxxxxxDn1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 根據歸納假設得證根據歸納假設得證:Dnri x1ri-1 i = n, n1, ,

21、2, 1 例例7: 計算計算.333222111222nnnnnnnD nnnnnnnnD1212212133312211111!1)(!jinjixxn)1()2()24)(23)(1()13)(12( ! nnnnn!.1! 2)!2()!1( ! nnn范德蒙德行列式范德蒙德行列式類似的例題：類似的例題：.1111)() 1()() 1(1111naaanaaanaaannnnnnnD!.1! 2)!2()!1( ! nnnn+1階范德蒙階范德蒙德行列式德行列式nnnnnnnnnnaaanaaanaaaD)() 1()() 1(1111) 1(1111)1(1111)1()()() 1j

22、injinjinnijxx( 作業(yè)：作業(yè)：1.（3）（）（4），）， 2.（3）（）（5），）， 3， 4.（3）（）（4），），6（2）（）（3), 8（1），），（6），），9 第一章第一章 習題課習題課一、填空題。一、填空題。10.11.例例1: 計算行列式計算行列式二、計算及證明二、計算及證明dcbaD10011001100112arr dcab100110001011r1 r2dcaabb10011001001123)1 (rabrdaabcb100010110011r2 r3dabaabccb1001)1 (00110011abaabcdcb1)1 (00100110011)1 (

23、1000100110011aabcdabdcbabcdcdadab1解：DdcdcbaD1011001) 1() 1(10110112解法二：11101) 1() 1(1112cdadababcdcddadcab1111222abcbcacabbcacab例例2: 計算行列式計算行列式 D=解解:. 01111111122bacacbabacbaaccbacbcbaD例例3: 計算計算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxnnnnD xxxxxxxaaaaaaaaaaaaaDniinniinniinniin32121212111 解解: 將第將第2, 3, ,

24、n+1列都加到第列都加到第1列列, 得得axaaaaaxaaaxaDnniinx 23122121111010010001)(.1111)(32222111xxxxaaaaaaaaaaDnnnniin . )()(11 niiniiaxaxcj+1+(aj)c1, j=2, 3 , , n+1. 得得例例4: 計算計算.333222111222nnnnnnnD nnnnnnnnD1212212133312211111!1)(!jinjixxn)1()2()24)(23)(1()13)(12( ! nnnnn!.1! 2)!2()!1( ! nnn范德蒙德行列式范德蒙德行列式類似的例題：類似的例

25、題：.1111)() 1()() 1(1111naaanaaanaaannnnnnnD!.1! 2)!2()!1( ! nnnn+1階范德蒙階范德蒙德行列式德行列式nnnnnnnnnnaaanaaanaaaD)() 1()() 1(1111) 1(1111)1(1111)1()()() 1jinjinjinnijxx( 例例5: 計算計算.21nnxaaaaxaaaaxaD 解解: 依第依第n列把列把Dn拆成兩個行列式之和拆成兩個行列式之和,aaaaaxaaaaaxaaaaaxannD121 nnxaaaxaaaaxaaaaxa000121 ,0000000001122DxaaxaxaxDnnnn 從而得遞推公式從而得遞推公式:于是于是如