1、第二課時第二課時1 1、什么是數(shù)學(xué)歸納法？、什么是數(shù)學(xué)歸納法？一、溫故知新一、溫故知新遞推基礎(chǔ)不可少歸納假設(shè)要用到結(jié)論寫明莫忘掉2 2、數(shù)學(xué)歸納法適用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題、數(shù)學(xué)歸納法適用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題(1)(1)證明證明當(dāng)當(dāng)n取第一個值取第一個值n0 0( (n0 0N*) )時，時，命題成立命題成立；(2)(2)假設(shè)假設(shè)nk( (kN*且且kn0 0) )時時命題成立命題成立，證明證明nk1 1時時命題也成立命題也成立( (應(yīng)用假設(shè)證明應(yīng)用假設(shè)證明) )；(3)(3)結(jié)論：結(jié)論：由由(1)(2)(1)(2)，對于命題從，對于命題從n0 0開始的開始的所有自然數(shù)所有自然數(shù)n都成立

2、都成立221111(1)1n1_nnaaaaaa、用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗證 時，左端計算所得項為(A)1(B)1a2(C)1aa23(D)1 aaa 111122 44 66 82n(2n2)nkk1_4(n1)、用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，從 到 時左邊需要增添的項為) 2)(1( 41kkC C235n 13nN1 2 22231n 1_kk 1_ 、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，是的倍數(shù)，當(dāng) 時，原式為，從 到 時左邊需增添的項是4322222145352515522222kkkkk例1.已知數(shù)列 計算 ,根據(jù)計算的結(jié)果,猜想 的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.n nS S1 12 23 34 4

3、S S , ,S S , ,S S , ,S S1 11 11 11 1, , , , , ,1 14 4 4 47 7 7 71 10 0( (3 3n n - -2 2) )( (3 3n n+ +1 1) )n nn n猜想：s =猜想：s =3n+13n+1121324311n1S14412n2SS47713n3SS7 101014SS10 1313當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)n=4時，.解：下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想。下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想。111S43 1 14 1n（1）當(dāng)n=1時，左邊=，右邊=，3n+1猜想成立。猜想成立。（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k 時猜想成立，即時猜

4、想成立，即*kN )（1111k1 44 77 10(3k2)(3k1)3k1，那么，那么，111111 44 77 10(3k2)(3k1)3(k1)23(k1) 1k3k11+(3k+1)(3k+4)23k4k1(3k1)(k1)(k1)(3k1)(3k4)(3k1)(3k4)(3k4)根據(jù)根據(jù)(1)和（和（2）,可知猜想對任何可知猜想對任何 都成立。都成立。*nN、用數(shù)學(xué)歸納法證明：例2)() 1() 13(10372412*Nnnnnn證明：(1)1n 當(dāng)時,4214412，右邊左邊等式成立(2)nk假設(shè)當(dāng)時等式成立時則當(dāng)1 kn2) 1() 13(1037241kkkk即 1) 13

5、)1(1037241k(k)43() 1()1(kkkk)44)(1(2kkk2)2)(1(kk2 11)(1()kk時等式也成立當(dāng)1kn*Nn可知，對于任何由)2)(1 (等式都成立) 13(kk) 133)(1(kk2) 1( kk( (一一) )利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：練習(xí)、 . 1) 12()2() 12(4321222222nnnn證：時當(dāng)1(1)n332122，右邊左邊等式成立時假設(shè)當(dāng)kn (2)等式成立) 12()2() 12(4321222222kkkk即時則當(dāng)1 kn22222)22(4321k)484() 144()2(222kkk

6、kkk3522kk) 32)(1(kk 1) 1(2)1(kk時等式也成立當(dāng)1kn*Nn可知，對于任何由)2)(1 (等式都成立2) 12(k2)2( k2) 12(k22)22() 12(kk) 12(kk整除能被、求證：例1)( 15x*Nnxn整除能被時，當(dāng)證：111) 1 (xxn時命題成立，假設(shè)當(dāng)kn (2)時，則當(dāng)1 kn1kxx1xxxxk) 1() 1(xxxk整除，能被由假設(shè)得11xxk整除，能被1) 1(xxxk整除能被11) 1(xxxxk時命題也成立當(dāng)1kn命題都成立可知，對于任何由*Nn(1)(2)命題成立11kx.xxk整除能被即11( (二二) )利用數(shù)學(xué)歸納法證

7、明整除問題利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題整除能被72221132n明：練習(xí)、用數(shù)學(xué)歸納法證證：時當(dāng)1(1)n時假設(shè)當(dāng)kn (2)時則當(dāng)1 kn整除能被7命題成立命題成立整除能被即72221132k整除整除能被能被由假設(shè)由假設(shè)72221132k時，命題也成立時，命題也成立當(dāng)當(dāng)1kn*Nn可知，對于任何由(1)(2)命題都成立1322221n222171)1(322221k132kk32132k)221 (2)2221 (23132kkkk313227)2221 (整除整除能被能被又又7273k整除整除能被能被72222123132kk 22211,1 1 2431121 1112132 -11111

8、2211 111121 132 -1212121222(1) 12122(22)()( 2(1) 1)21nnkkkknkkkkkkkkkkkkk 證明：左右，不等式成立.假設(shè)時不等式成立，即（） （）（）當(dāng)時，左 （） （）（） （）（）欲證不等式左 右，只需證 (21)(23)102121112kkkknknN 左 右所以，當(dāng)時，不等式也成立由、 可知，不等式對恒成立。11,111121321nNnn例3.求證:(） （）（）題型三利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題題型三利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題nnnNn12131211, 1,222 求證：練習(xí)、恒成立。，）可知，不等式對）、（由（時，不等式也成立所以，