1、公因數(shù)和公倍數(shù)【知識(shí)要點(diǎn)】1、一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。一個(gè)數(shù)最大的因數(shù)等于這個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，用符號(hào) ，表示。幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)也是無(wú)限的。3、兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)，叫做這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，用符號(hào)（ ， ）。兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)也是有限的。4、兩個(gè)素?cái)?shù)的積一定是合數(shù)。舉例：35=15，15是合數(shù)。5、兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定是它們的最大公因數(shù)的倍數(shù)。舉例：6，8=24，（6，8

2、）=2，24是2的倍數(shù)。6、求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法：倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。舉例：15和5，15，5=15，（15，5）=5素?cái)?shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是它們的乘積。舉例：3，7=21，（3，7）=1一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)合數(shù)，最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是它們的乘積。5，8=40，（5，8）=1相鄰關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是它們的乘積。9，8=72，（9，8）=1特殊關(guān)系的數(shù)（兩個(gè)都是合數(shù)，一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，但他們之間只有一個(gè)公因數(shù)1），比如4和9、4和15、10和21，最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是它們的乘積。一般關(guān)系的兩個(gè)數(shù)

3、，求最大公因數(shù)用列舉法或短除法，求最小公倍數(shù)用大數(shù)翻倍法或短除法?！纠}講解】例1、一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的長(zhǎng)方形，并使它們的面積盡可能大，截完后又正好沒(méi)有剩余，正方形的邊長(zhǎng)可以是多少厘米？能截多少正方形？要使截成的正方形面積盡可能大，也就是說(shuō)，正方形的邊長(zhǎng)要盡可能大，截完后又正好沒(méi)有剩余，這樣正方形邊長(zhǎng)一定是60和36的最大公約數(shù)。（36、60）12（6012）（3612）15個(gè)例2、用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每個(gè)花束里的紅玫瑰花的朵數(shù)相同，白玫瑰花的朵數(shù)也相同，最多可以做多少個(gè)花束？每個(gè)花束里至少要有幾朵花？要把96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰

4、花做花束，每束花里的紅白花朵數(shù)同樣多，那么做成花束的的個(gè)數(shù)一定是96和72的公約數(shù)，又要求花束的個(gè)數(shù)要最多，所以花束的個(gè)數(shù)應(yīng)是96和72的最大公約數(shù)。1、最多可以做多少個(gè)花束（96、72）24 2、每個(gè)花束里有幾朵紅玫瑰花96244朵3、每個(gè)花束里有幾朵白玫瑰花72243朵 4、每個(gè)花束里最少有幾朵花4+37朵例3、一個(gè)植樹(shù)小組原計(jì)劃在96米長(zhǎng)的一段土地上每隔4米栽一棵樹(shù)，并且已經(jīng)挖好坑。后來(lái)改為每隔6米栽一棵樹(shù)。求重新挖樹(shù)坑時(shí)可以少挖幾個(gè)？解：這一段地全長(zhǎng)96米，從一端每隔4米挖一個(gè)坑，一共要挖樹(shù)坑：964+1=25（個(gè)）后來(lái)，改為每隔6米栽一棵樹(shù)，原來(lái)挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可

5、不重新挖。由于4和6的最小公倍數(shù)是12，所以從第一個(gè)坑開(kāi)始，每隔12米的那個(gè)坑不必挖。9612+1=9（個(gè)）96米中有8個(gè)12米，有8個(gè)坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個(gè)坑，一共有9個(gè)坑不必重新挖。知識(shí)點(diǎn)：公因數(shù)和最大公因數(shù)練習(xí)：1、寫(xiě)出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。 3和5 （ ） 4和8 （ ） 1和13 （ ） 13和26 （ ） 4和9 （ ） 17和51 （ ） 21和36（ ） 22和55 （ ）2、=5（、都是非零的自然數(shù)），和的最大公因數(shù)是（ ）。3、和是相鄰的兩個(gè)非零的自然數(shù)，和的最大公因數(shù)是（ ）。4、把一張長(zhǎng)18cm，寬12cm的長(zhǎng)方形紙，分成同樣大小的正方形且沒(méi)有剩余，每個(gè)小

6、正方形邊長(zhǎng)最大是（ ）厘米，最少可分成（ ）個(gè)。5、兩根鋼管，甲管長(zhǎng)36分米，乙管長(zhǎng)40分米，把它們截成同樣長(zhǎng)的小段而且沒(méi)有剩余，每小段最長(zhǎng)（ ）分米，最少可截成（ ）段。知識(shí)點(diǎn)：公倍數(shù)與最小公倍數(shù)練習(xí)：1、寫(xiě)出下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)。 3和5 （ ） 4和8 （ ） 1和13 （ ） 13和26 （ ） 4和9 （ ） 17和51 （ ） 21和36（ ） 22和55 （ ）、2、=5（、都是非零的自然數(shù)），和的最小公倍數(shù)是（ ）。3、和是相鄰的兩個(gè)非零的自然數(shù)，和的最小公倍數(shù)是（ ）。4、一種長(zhǎng)方形的地磚長(zhǎng)8厘米，寬6厘米，用這種地磚鋪成一塊正方形，至少需要（ ）塊地磚。正方形的面積最少是

7、（ ）平方厘米。5、暑假期間，小林和小軍都去參加游泳訓(xùn)練。小林每6天去一次，小軍每8天去一次。7月31日兩人同時(shí)參加游泳訓(xùn)練，（ ）月（ ）日他們又再次相遇。6、暑假期間，小林和小軍都去參加游泳訓(xùn)練。小林每6天去一次，小軍每8天去一次。8月1日兩人同時(shí)參加游泳訓(xùn)練，（ ）月（ ）日他們又再次相遇。7、3和7是21的（ ）因數(shù) 公因數(shù) 倍數(shù) 8、8是24和64的（ ）因數(shù) 最大公因數(shù) 倍數(shù) 【綜合練習(xí)】一、填空（共20分）1、最小的素?cái)?shù)是（），最小的合數(shù)是（）。2、18的因數(shù)有（ ），24的因數(shù)有（ ），它們的公因數(shù)有（）。3、在120的自然數(shù)中，既不是素?cái)?shù)又不是合數(shù)的數(shù)有（），既是素?cái)?shù)又是偶數(shù)

8、的有（）。4、自然數(shù)按因數(shù)個(gè)數(shù)的多少可以分成（）、（）和（）。5、1082至少加上（）是3的倍數(shù)，至少減去（）才是5的倍數(shù)。6、一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是13，這個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是（）。7、兩個(gè)自然數(shù)a、b的最大公因數(shù)是1，它們的最小公倍數(shù)是（）。8、如果A223，B233，那么它們的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。9、一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，還有因數(shù)7。這個(gè)數(shù)最小是（）。10、一個(gè)數(shù)既是30的因數(shù)、又是45的因數(shù)，最大的是（）。11、用0、1、2三個(gè)數(shù)字排成的所有三位數(shù)中，同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)有（）。12、如果兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，它們最小公倍數(shù)是91，那么這兩個(gè)數(shù)的和最大是（）。

9、二、判斷題（共5分）1、兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)（0除外）它們的最大公因數(shù)是1。（ ）2、在24的因數(shù)中，是素?cái)?shù)的只有2和3。（ ）3、5和7沒(méi)有公因數(shù)，但5和7有公倍數(shù)。（ ）4、所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（ ）5、兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)都大。（ ）三、選擇題（共5分）1、任何兩個(gè)奇數(shù)的和是（ ）。A奇數(shù) B合數(shù) C偶數(shù)2、兩個(gè)素?cái)?shù)的積一定是（ ）。A素?cái)?shù) B合數(shù) C奇數(shù)3、任何兩個(gè)自然數(shù)的（ ）的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。A公倍數(shù) B公因數(shù) C倍數(shù)4、A是B倍數(shù)，那么它們的最小公倍數(shù)是（ ）。AAB BA CB5、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，這兩個(gè)數(shù)一定不是（ ）。A15和90 B45和90 C

10、45和30四、寫(xiě)出每組數(shù)的最大公因數(shù)（共12分）32和1 12和18 72和4878和117 23和60 12和60五、寫(xiě)出每組數(shù)的最小公倍數(shù)（共12分）4和155和790和309和1513和39 6和13六、列式計(jì)算（共8分）1、一個(gè)自然數(shù)被3、5除都余1，這個(gè)數(shù)最小是多少？2、五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是425，最小的一個(gè)是多少？七、解決問(wèn)題（共38分，第8題3分，其余每題5分）1、一枝鋼筆的價(jià)錢(qián)是18.6元，比一枝圓珠筆貴10.9元，一枝圓珠筆多少元?（列方程解答）2、小明的媽媽比小明大26歲，爸爸今年38歲，比媽媽大4歲，小明今年多大了？（列方程解答）3、甲、乙兩人到圖書(shū)館去借書(shū)，甲每4天去一次

11、，乙每5天去一次，如果7月1日他們兩人在圖書(shū)館相遇，那么他們下一次同時(shí)到圖書(shū)館是幾月幾日？4、有兩根小棒分別長(zhǎng)20分米，28分米。要把它們都截成同樣長(zhǎng)的小棒，不許剩余，每根小棒最長(zhǎng)能有多少分米？5、一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是24厘米，它的長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)，這樣的長(zhǎng)方形有多少種？6、在一張長(zhǎng)40厘米，寬32厘米的長(zhǎng)方形紅紙上裁出同樣大小，面積最大的正方形，并且沒(méi)有剩余。一共可以裁出多少個(gè)這樣的正方形？7、五（1）班學(xué)生人數(shù)不超過(guò)50人，在分小組做游戲時(shí)，可以分為每組6人或者每組8人，兩種分法都剛好分完。這個(gè)班的學(xué)生可能有多少人？8、園林工人在一段公路的一邊每隔4米栽一棵樹(shù)，一共栽了17棵。現(xiàn)在要改成每

12、隔6米栽一棵樹(shù)。那么，不用移栽的樹(shù)有多少棵？【解決問(wèn)題】1、甲、乙兩人到圖書(shū)館去借書(shū),甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他們兩人在圖書(shū)館相遇,那么他們下一次同時(shí)到圖書(shū)館是幾月幾日？2、一塊長(zhǎng)方形紙片,長(zhǎng)18厘米,寬12厘米,把它剪成同樣大小的邊長(zhǎng)是整厘米數(shù)的正方形且沒(méi)有剩余,最少可以剪多少個(gè)？3、同學(xué)們做了24朵紅花和56朵黃花,把這些花分成相同的若干束,最多可以分成幾束？每束里紅花和黃花各有幾朵？4、五（1）班學(xué)生做早操，每行12人或16人都正好站成整行，這個(gè)班不到50人，這個(gè)班究竟有多少人？5、一塊磚長(zhǎng)42厘米，寬26厘米，用這樣的磚鋪成一塊正方形地，至少要多少塊？6、有一筐蘋(píng)果

13、，無(wú)論是平均分給8個(gè)人，還是平均分給18人，結(jié)果都剩下3個(gè)，這筐蘋(píng)果至少有多少個(gè)？【拓展練習(xí)】1、學(xué)校操場(chǎng)長(zhǎng)96米，從一端起到另一端每隔4米插有一面小紅旗。現(xiàn)在要改成每隔6米插一面紅旗。問(wèn)可以不必拔出來(lái)的小紅旗有多少面？2、某校同學(xué)們做操,把學(xué)生分為10人一組,14人一組,18人一組,都恰好分完,這個(gè)學(xué)校至少有多少個(gè)學(xué)生？3、有一列數(shù)1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始,每個(gè)數(shù)是都前面兩個(gè)數(shù)的和,前100個(gè)數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)？4、1路、2路和5路車(chē)都從東站發(fā)車(chē)，1路車(chē)每隔10分鐘發(fā)一輛，2路車(chē)每隔15分鐘發(fā)一輛，而5路車(chē)每隔20分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三種路線的車(chē)同時(shí)發(fā)車(chē)后，至

14、少要過(guò)多少分鐘又有這三種路線同時(shí)發(fā)車(chē)？5、從小明家到學(xué)校原來(lái)每隔50米安裝一根電線桿，加上兩端的兩根一共是55根電線桿，現(xiàn)在改成每隔60米安裝一根電線桿，除兩端的兩根不用移動(dòng)外，中途還有多少根不必移動(dòng)？6、在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，同時(shí)自右到左每隔5厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，染后沿紅點(diǎn)將木棍逐段鋸開(kāi)，那么長(zhǎng)度是1厘米的短木棍有多少根？【挑戰(zhàn)奧數(shù)】【例題講解】在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時(shí)，由短除法可知，（18，12）=23=6，18，12=2332=36。如果把18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么（18，12）18，12=（23）（2332） =（233

15、）（232）=1812。也就是說(shuō)，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當(dāng)把18，12換成其它自然數(shù)時(shí)，依然有類(lèi)似的結(jié)論。從而得出一個(gè)重要結(jié)論：兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個(gè)自然數(shù)的乘積。即，（a，b）a，b=ab。例1、兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知其中一個(gè)自然數(shù)是18，求另一個(gè)自然數(shù)。解：由上面的結(jié)論，另一個(gè)自然數(shù)是（672）18=24。例2 、兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個(gè)自然數(shù)的和是77，求這兩個(gè)自然數(shù)。分析與解：如果將兩個(gè)自然數(shù)都除以7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是3

16、0。這兩個(gè)自然數(shù)的和是11，求這兩個(gè)自然數(shù)?！备淖円院蟮膬蓚€(gè)數(shù)的乘積是130=30，和是11。30=130=215=310=56，由上式知，兩個(gè)因數(shù)的和是11的只有56，且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個(gè)數(shù)是5和6，故原來(lái)的兩個(gè)自然數(shù)是75=35和76=42。例3、 已知a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。分析與解：因?yàn)?2，15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當(dāng)是12與15的公倍數(shù)，即是12，15=60的倍數(shù)。再由a，b，c=120知， a只能是60或120。a，c=15，說(shuō)明c沒(méi)有質(zhì)因數(shù)2，又因?yàn)閍，b，c=120=2335，所以c=15。因?yàn)閍是c

17、的倍數(shù)，所以求a，b的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為：“a是60或120，（a，b）=12，a，b=120，求a，b?！碑?dāng)a=60時(shí)， b=（a，b）a，ba =1212060=24；當(dāng)a=120時(shí)， b=（a，b）a，ba =12120120=12。所以a，b，c為60，24，15或120，12，15。【練習(xí)】1、兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知其中一個(gè)自然數(shù)是18。求另一個(gè)自然數(shù)。2、兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個(gè)自然數(shù)的和是77。求這兩個(gè)自然數(shù)。3、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是9，最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？4、已知兩個(gè)數(shù)的積是3072，最大公因數(shù)是16，求

18、這兩個(gè)數(shù)。5、已知A與B的最大公約數(shù)為6，最小公倍數(shù)為84，且AB42，求B。6、兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為12，最小公倍數(shù)為180，且較大數(shù)不能被較小數(shù)整除，求這兩個(gè)數(shù)。7、甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)為75，最小公倍數(shù)為450，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)分別為何值時(shí)，它們差最小?！菊n后練習(xí)】一、填空 1、（7,9）在平面圖上表示是第（）列第（）行的位置。 2、30以?xún)?nèi)3的倍數(shù)有（ ），4的倍數(shù)有（ ），3和4的公倍數(shù)有（），最小公倍數(shù)是（）。3、在12、15、36、64、450、950六個(gè)數(shù)中，是3的倍數(shù)有 （），是5的倍數(shù)的有（），是2的倍數(shù)的有（）；是2和5的公倍數(shù)的有（），是2和3的公倍數(shù)的有（），是3和5的公倍

19、數(shù)的有（）；同時(shí)是2、3和5的公倍數(shù)的數(shù)是（）。 4、18的因數(shù)有（），60的因數(shù)有（），18和60的公因數(shù)有（），最大公因數(shù)是（）。 5、一個(gè)合數(shù)的因數(shù)至少有（ ）個(gè)，例如：（）。 6、如果A=237，B=257，那么A和B的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。 7、用0、3、5、7四個(gè)數(shù)組成一個(gè)同時(shí)是2和5的倍數(shù)的四位數(shù)，最大是（），最小是（）。 8、要使601既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，那么里可以填（）。 9、身份證上數(shù)字編碼的頭兩位數(shù)字表示的是（）。 二、判斷 1、如果ab=4（a、b為整數(shù)）那么a和b的最大公因數(shù)是4。 （ ） 2、一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)與它最大的因數(shù)相等。 （ ） 3、任何一個(gè)自然數(shù)的因數(shù)至少有2個(gè)。 （ ） 4、1和任何自然數(shù)（0除外）都沒(méi)有公因數(shù)。 （ ） 5、兩個(gè)素?cái)?shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。 （ ） 三、選擇1、 1、2、4、8是8的（ ） A、因數(shù) B、公因數(shù) C、素?cái)?shù)2、12是（）的最大公因數(shù)。 A、1和12 B、12和24 C、3和43、一個(gè)兩位數(shù)個(gè)位和十位上都是合數(shù)，并且它們的最大公因數(shù)是1，那么這兩位數(shù)可能是（ ） A、49 B、59 C、69 4、a 是一個(gè)素?cái)?shù)，則a的倍數(shù)有（ ）個(gè) A、1個(gè) B、2個(gè) C、無(wú)數(shù)個(gè) 5、如果b是一個(gè)