1、.鄂南高中2011屆數(shù)學(xué)模擬題（5）一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：. . . .2. 三位同學(xué)乘同一列火車，火車有10節(jié)車廂，則至少有2位同學(xué)上了同一車廂的概率為ABCD3函數(shù)的最小正周期為,若其圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)的圖象A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱4已知的最小值是2, 則A. B.2 C.3 D.45. 函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示，且，那么A是的極大值點(diǎn)B=是的極小值點(diǎn)C不是極值點(diǎn)D是極值

2、點(diǎn)6設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，若，有，則的形狀一定是 A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定7已知函數(shù)，則對(duì)任意，若，下列不等式成立的是A. B. C. D. 8已知雙曲線與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程為A B C D9已知函數(shù)滿足：定義域?yàn)镽；，有；當(dāng)時(shí)，則方程在區(qū)間內(nèi)的解個(gè)數(shù)是 A20 B12 C11D10圖1圖2圖310下圖展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)（如圖1）；將線段圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)、恰好重合（從到是逆時(shí)針，如圖2）；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（如圖3），圖3中直線與x軸交于點(diǎn)

3、，則的象就是，記作 則下列命題中正確的是A B是奇函數(shù)C在其定義域上單調(diào)遞增 D的圖象關(guān)于軸對(duì)稱二填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11. 若點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值為_.12.“三角形的三條中線交于一點(diǎn),且這一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍”.試類比：四面體的四條中線（頂點(diǎn)到對(duì)面三角形重心的連線段）交于一點(diǎn),且這一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)面重心距離的 倍.13已知函數(shù)，則= （用含有的代數(shù)式表示，其中）14設(shè)函數(shù),若，使得與同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 15當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，定義函數(shù)N (n)表示n的最大奇因數(shù)如N (3) = 3，N (1

4、0) = 5，記則（1） ；（2） 三解答題（本大題共6小題，共75分,解答應(yīng)寫演算步驟）16（本小題滿分12分）某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過(guò)一個(gè)智能門，首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為你打開一個(gè)通道若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門再次到達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過(guò)的通道，直至走出迷宮為止令表示走出迷宮所需的時(shí)間(1)求的分布列；(2)求的數(shù)學(xué)期望OBCAP（第17題圖）17(本小題滿分12分) 某地有三個(gè)村莊，分別位于等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)處，已知AB=AC=6km，現(xiàn)計(jì)劃在BC邊的高AO上一點(diǎn)P

5、處建造一個(gè)變電站記P到三個(gè)村莊的距離之和為y. （1）設(shè)，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）變電站建于何處時(shí)，它到三個(gè)小區(qū)的距離之和最??？18（本小題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是棱，上的點(diǎn)，.()求異面直線與所成角的余弦值：()證明平面；() 求二面角的正弦值. 19. (本小題滿分12分)已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，、分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若與、均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為、，證明：為定值；（）為過(guò)且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線 20.(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)y

6、f(x)的定義域?yàn)?0，)，且在(0，)上單調(diào)遞增，若對(duì)任意x、y(0，)都有：f(xy)f(x)f(y)成立，數(shù)列an滿足：a1f(1)1，f()f()0. 設(shè)Sn.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并求Sn關(guān)于n的表達(dá)式；（2）設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意x、y都有：g(xy)g(x)g(y)2xy，若g(1)1，正項(xiàng)數(shù)列bn滿足： g()，Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，試比較4Sn與Tn的大小.21.(本小題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”（1）已知函數(shù)，試寫出，的表達(dá)式，并判斷

7、是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求對(duì)應(yīng)的的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.參考答案（5）ADCBB,BDBCCyx1234512409.【解析】（數(shù)形結(jié)合）在同一直角坐標(biāo)內(nèi)作出函數(shù)和的圖象如右圖，由圖易知，與的圖象在有兩個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有9個(gè)交點(diǎn)，故方程在區(qū)間內(nèi)共有11個(gè)解11.4 12.3 13. 14. （7，）【解析】由題設(shè)知， 即或,且恒過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，如上左圖，則；當(dāng)時(shí)，如上右圖， 又，顯然不成立綜上知，的取值范圍為 15. 86 ；【解析】由題設(shè)知，（1）（2），16. 解：（1）的所有可能取值為：1，3，4，6，所以的分布列為：1346P（

8、2）（小時(shí)）17.解:（1）在中，所以=OA=，,由題意知，. 2分來(lái)所以點(diǎn)P到A,B,C的距離之和為.  故所求函數(shù)關(guān)系式為. 6分（2）由（1）得，令,即，又，從而.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí), 所以當(dāng) 時(shí)，取得最小值， 10分此時(shí)（km），即點(diǎn)P在OA上距O點(diǎn)km處答：變電站建于距O點(diǎn)km處時(shí)，它到三個(gè)小區(qū)的距離之和最小 12分18. （1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：

9、連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)?，所以，從而，又由?所以，故ACDE,又因?yàn)镃C1DE且，所以DE平面ACF，從而AFDE.連接BF，同理可證B1C平面ABF,從而AFB1C,所以AFA1D因?yàn)?，所以AF平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值為。19.解：（）由題意可得圓的方程為，直線與圓相切，即， -1分又，即，解得， 所以橢圓方程為 -3分（）設(shè)， ，則，即， 則， -4分即， 為

10、定值 -6分（）設(shè)，其中由已知及點(diǎn)在橢圓上可得， 整理得，其中 -8分當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；-9分當(dāng)時(shí)，方程變形為，其中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓 -12分20.解：(1)當(dāng)x，y(0，)時(shí)，有f(xy)f(x)f(y)，令xy1得f(1)2f(1)，得f(1)0，所以a1f(1)11.(1分)因?yàn)閒()f()0，所以f()0f(1).又因?yàn)閥f(x)在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，所以1，即4，(3分)所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為

11、公差的等差數(shù)列，所以4n3，所以an .aa，Sn1.(5分)(2)由于任意x，yR都有g(shù)(xy)g(x)g(y)2xy，則g(2x)2g(x)2x2，g(1)2g()2·()222g()2·()222g()222g()2·()223g()2ng()1，g()，即b，又bn>0，bn，(9分)【（法二）令得，】Tn1，又4Sn1.當(dāng)n1,2,3,4時(shí)，4n1>2n，4Sn>Tn；(10分)當(dāng)n5時(shí)，2nCCCCC>12n21n2n.而n2n1(4n1)n23nn(n3)>0，故4Sn<Tn.(13分)(用數(shù)學(xué)歸納法證明參照計(jì)分)21.解:（1）由題意可得， 2分于是若是為上的“階收縮函數(shù)”，則在上恒成立，且成立.令,，則，所以在單調(diào)遞減，,，即，于是在恒成立;又成立故存在最小的正整數(shù)，使是為上的“階收縮函數(shù)” 6分（2）,令得或.令，解得或3. 函數(shù),的變化情況如下：020004 8分）時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，