1、xx大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題 目：演繹完美數(shù)學(xué)與音樂(lè)的巧妙結(jié)合 指導(dǎo)教師： 職稱： 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 專 業(yè)： 院 （系）： 完成時(shí)間： 年 月 日0 / 38演繹完美數(shù)學(xué)與音樂(lè)的巧妙結(jié)合摘要主要介紹了音樂(lè)與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)知識(shí)在音樂(lè)中的應(yīng)用。包括：音樂(lè)理論中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，樂(lè)譜書(shū)寫(xiě)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，音樂(lè)中出現(xiàn)的的數(shù)學(xué)變換、比例、黃金分割和數(shù)列等知識(shí)。結(jié)合物理聲波的疊加原理，揭示了樂(lè)器制造中的一些數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程和計(jì)算方法。講述了一些數(shù)學(xué)家與音樂(lè)的故事，以及音樂(lè)家在作曲時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，讓我們對(duì)數(shù)學(xué)與音樂(lè)的結(jié)合有一個(gè)全新的理解。通過(guò)研究會(huì)發(fā)現(xiàn)，音樂(lè)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系并不是偶然而是很自然的結(jié)合。這是一種

2、感性與理性的完美結(jié)合，一種美與另一種美之間的融通！關(guān)鍵詞樂(lè)理、樂(lè)律、樂(lè)器、數(shù)學(xué)原理Deduction perfect unique combination of mathematics and musicAbstractThis paper mainly introduces the relationship between music and mathematics and the application of mathematics to music. The application includes: using mathematics to analyze some theories

3、on music; mathematical knowledge required to compose a concerto; and mathematical transformations, golden ration and numerical sequence and the like. This paper also tells some stories about mathematicians who have a special interest in music. What's more, in order to compose a piece of music in

4、 an elegent way, some world-class musicians always have to have a understanding on mathematics. The stories of mathematicians and musicians mentioned above, would offer us a brand new insight into the close link between music and mathematics. In a word, this is a perfect combination of sensitivity a

5、nd rationality and of two different kinds of ethereal beauties!KeywordsMusic Theory, Temperament, Musical Instruments, Principia Mathematica目 錄中英文摘要及關(guān)鍵詞························

6、3;·························（1）1引言·······················

7、3;·······························（3）2基礎(chǔ)樂(lè)理與數(shù)學(xué)·················

8、;·································（3）3數(shù)學(xué)知識(shí)在音樂(lè)中的綜合應(yīng)用··············

9、·································（9）4樂(lè)器制作中的數(shù)學(xué)原理··············

10、3;····································（13）5數(shù)學(xué)家與音樂(lè)············

11、;···············································（17）6結(jié)論·

12、3;·················································

13、3;·······（18）致謝·········································

14、3;························（19）參考文獻(xiàn)························&#

15、183;····································（19）1 引言2500年前的一天，古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯外出散步，經(jīng)過(guò)一家鐵匠鋪，發(fā)現(xiàn)里面?zhèn)鞒龅拇蜩F聲響，要比別的鐵匠鋪更加協(xié)調(diào)、悅耳。他走進(jìn)鋪?zhàn)?，量了又量鐵

16、錘和鐵砧的大小,發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律，音響的和諧與發(fā)聲體體積的一定比例有關(guān)。之后，他又在琴弦上做了許多試驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)只要按比例去劃分一根振動(dòng)著的弦，就可以產(chǎn)生悅耳的音程。如1:2產(chǎn)生八度，2:3產(chǎn)生五度，3:4產(chǎn)生四度等等。就這樣，畢達(dá)哥拉斯在世界上第一次發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)和數(shù)學(xué)的聯(lián)系。若干世紀(jì)以來(lái)，音樂(lè)和數(shù)學(xué)一直被聯(lián)系在一起。從基本的阿拉伯?dāng)?shù)字到“黃金分割”，音樂(lè)中不僅包含了數(shù)學(xué)中的“數(shù)列”、“變換”、等知識(shí)，樂(lè)譜的書(shū)寫(xiě)乃至樂(lè)器的制作無(wú)不透著數(shù)學(xué)的蹤影。數(shù)學(xué)家們研究音樂(lè)，音樂(lè)家也和數(shù)學(xué)密切相關(guān)。正因如此，越來(lái)越多的人開(kāi)始關(guān)注音樂(lè)，研究數(shù)學(xué)與音樂(lè)的聯(lián)系。了解這種關(guān)系無(wú)論是在生活中聆聽(tīng)音樂(lè)感受數(shù)學(xué)，還是利用

17、數(shù)學(xué)知識(shí)制作音樂(lè)都會(huì)有意想不到的收獲！音樂(lè)是一種雅俗共賞的藝術(shù)，文人雅士有文人雅士的品味，庸俗之人有庸俗之人的欣賞自由，高興時(shí)我們可以制造音樂(lè)聆聽(tīng)音樂(lè)，同樣悲傷時(shí)也可以；數(shù)學(xué)則是最為普遍的人類知識(shí)，是人類智慧不斷的凝聚和積累，從原始時(shí)代到現(xiàn)在，再到是遙遠(yuǎn)的未來(lái)，數(shù)學(xué)之花只會(huì)越開(kāi)越燦爛。了解和研究音樂(lè)與數(shù)學(xué)的個(gè)中關(guān)系，將會(huì)是一件非常有趣而且有用的事情。2 基礎(chǔ)樂(lè)理與數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式的數(shù)量關(guān)系的一門(mén)科學(xué)，它早已從一門(mén)計(jì)數(shù)的學(xué)問(wèn)變成一門(mén)形式符號(hào)體系的學(xué)問(wèn)。符號(hào)的使用使數(shù)學(xué)具有高度的抽象。而音樂(lè)則是研究現(xiàn)實(shí)世界音響形式及對(duì)其控制的藝術(shù)。它同樣使用符號(hào)體系，是所有藝術(shù)中最抽象的藝術(shù)。數(shù)學(xué)給

18、人的印象是單調(diào)、枯燥、冷漠，而音樂(lè)則是豐富、有趣，充溢著感情及幻想。表面看，音樂(lè)與數(shù)學(xué)是“絕緣”的，風(fēng)馬牛不相及，其實(shí)不然。德國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨曾說(shuō)過(guò)：“音樂(lè)，就它的基礎(chǔ)來(lái)說(shuō)，是數(shù)學(xué)的；就它的出現(xiàn)來(lái)說(shuō)，是直覺(jué)的?！倍鴲?ài)因斯坦說(shuō)得更為風(fēng)趣：“我們這個(gè)世界可以由音樂(lè)的音符組成也可以由數(shù)學(xué)公式組成?！睌?shù)學(xué)是以數(shù)字為基本符號(hào)的排列組合，它是對(duì)事物在量上的抽象，并通過(guò)種種公式，揭示出客觀世界的內(nèi)在規(guī)律：而音樂(lè)是以音符為基本符號(hào)加以排列組合，它是對(duì)自然音響的抽象，并通過(guò)聯(lián)系著這些符號(hào)的文法對(duì)它們進(jìn)行組織安排，概括我們主觀世界的各種活動(dòng)罷了，正是在抽象這一點(diǎn)上將音樂(lè)與數(shù)學(xué)連結(jié)在一起，它們都是通過(guò)有

19、限去反映和把握無(wú)限。2.1音符與數(shù)字萊布尼茨說(shuō)過(guò)：“音樂(lè)是數(shù)學(xué)在靈魂中無(wú)意識(shí)的運(yùn)算?！北娝苤?，古今中外的音樂(lè)雖然千姿百態(tài)，但都是由7個(gè)音符（音名）組成的，數(shù)字17在音樂(lè)中是神奇數(shù)字：數(shù)字1音樂(lè)上許多發(fā)展樂(lè)思的手法，如重復(fù)、變奏、衍生、展開(kāi)、對(duì)比等等，有時(shí)強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一，有時(shí)強(qiáng)調(diào)變化，綜合起來(lái)，就是在統(tǒng)一中求變化，在變化中求統(tǒng)一。單音是音樂(lè)中最小的“細(xì)胞”，一個(gè)個(gè)單音按水平方向連結(jié)成為旋律、節(jié)奏，按垂直方向縱合成為和弦，和聲。樂(lè)段（一段體）是表達(dá)完整樂(lè)思的最小結(jié)構(gòu)單位。 數(shù)字2巴洛克、古典、浪漫派音樂(lè)使用大小調(diào)調(diào)式體系，形成音階與和聲學(xué)的二元論（dualistic theory）。數(shù)字3三個(gè)音按三度

20、音程疊置成為各種各弦。三和弦是最常用的和聲建筑材料。愛(ài)因斯坦認(rèn)為不管是音樂(lè)家還是科學(xué)家都有一個(gè)強(qiáng)烈的愿望，“總想以最適合的方式來(lái)畫(huà)出一幅簡(jiǎn)化的和易于領(lǐng)悟的世界圖像?！睌?shù)字4  人聲天然地劃分為四個(gè)聲部，任何復(fù)雜的多聲部音樂(lè)作品都可以規(guī)范為四部和聲。我們平時(shí)所彈奏的鋼琴作品的曲式結(jié)構(gòu)，大多數(shù)都是“古典四方體”方整結(jié)構(gòu)，即4+4+4+4 ，4小節(jié)為一樂(lè)句，8小節(jié)為一樂(lè)段。   數(shù)字5  五度相生律（畢達(dá)哥拉斯律）及五度循環(huán)揭示了樂(lè)音組織的奧秘，而和聲五度關(guān)系法則是構(gòu)筑和聲大廈的基石。  數(shù)字6  六和弦、六聲

21、音階、一個(gè)八度之內(nèi)有六個(gè)全音，常用的調(diào)是主調(diào)及其五個(gè)近關(guān)系副調(diào)。  數(shù)字7  更顯神秘莫測(cè)，常用的七聲音階由七個(gè)音級(jí)組成，巴洛克時(shí)期以前采用中古教會(huì)七種調(diào)式，19世紀(jì)民族樂(lè)派之后中古教會(huì)七聲調(diào)式部分地得到復(fù)興。數(shù)字0除去數(shù)字1-7之外，音樂(lè)中數(shù)字0是不可或缺的音符。在數(shù)學(xué)中，0表示什么都沒(méi)有，而在音樂(lè)中，0表示停止所有的聲音，給人一個(gè)想象和會(huì)問(wèn)的空間，增添了抑揚(yáng)頓挫的美感。所謂的“別有憂愁暗恨生，此時(shí)無(wú)聲勝有聲”！數(shù)字8在記譜時(shí)，為了方便同樣的旋律平移8度之后來(lái)演奏，會(huì)給人耳目一新的感覺(jué)，在表現(xiàn)靈動(dòng)或者說(shuō)低沉是不可或缺，所以不管在簡(jiǎn)譜還是五線譜中，數(shù)字8

22、都有很廣泛的應(yīng)用。2.2 音階中的數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)音樂(lè)總是從音階開(kāi)始，我們常見(jiàn)的音階有7個(gè)基本音組成：1234567音doremifasolasi唱名CDEFGAB 音名用7個(gè)音以及比它們高一個(gè)或幾個(gè)八度的音，低一個(gè)或幾個(gè)八度的音組成各種組合就是“曲調(diào)”。7聲音階按“高度”自低向高排列，要搞清音階原理，知道什么是“音高”，音與音之間的“高度差”是多少。2.2.1音高振動(dòng)的快慢在物理學(xué)上用頻率表示，頻率定義為每秒鐘物體振動(dòng)的次數(shù)，用每秒振動(dòng) 1 次作為頻率的單位稱為赫茲。頻率為 261.63 赫茲的音在音樂(lè)里用字母 c1 表示。相應(yīng)地音階表示為c, d, e, f, g, a, b在將 C 音唱成“

23、do”時(shí)稱為 C 調(diào)。頻率過(guò)高或過(guò)低的聲音人耳不能感知或感覺(jué)不舒服，音樂(lè)中常使用的頻率范圍大約是 164000 赫茲，而人聲及器樂(lè)中最富于表現(xiàn)力的頻率范圍大約是 601000 赫茲。在弦樂(lè)器上撥動(dòng)一根空弦，它發(fā)出某個(gè)頻率的聲音，如果要求你唱出這個(gè)音你怎能知道你的聲帶振動(dòng)頻率與空弦振動(dòng)頻率完全相等呢？這就需要“共鳴原理”：當(dāng)兩種振動(dòng)的頻率相等時(shí)合成的效果得到最大的加強(qiáng)而沒(méi)有絲毫的減弱。因此你應(yīng)當(dāng)通過(guò)體驗(yàn)與感悟去調(diào)整你的聲帶振動(dòng)頻率使聲帶振動(dòng)與空弦振動(dòng)發(fā)生共鳴，此時(shí)聲帶振動(dòng)頻率等于空弦振動(dòng)頻率。人們很早就發(fā)現(xiàn)，一根空弦所發(fā)出的聲音與同一根空弦但長(zhǎng)度減半后發(fā)出的聲音有非常和諧的效果，或者說(shuō)接近于“共

24、鳴”，后來(lái)這兩個(gè)音被稱為具有八度音的關(guān)系。我們可以用“如影隨形”來(lái)形容一對(duì)八度音，除非兩音頻率完全相等的情形，八度音是在聽(tīng)覺(jué)和諧方面關(guān)系最密切的音。18 世紀(jì)初英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（Taylor，1685-1731）獲得弦振動(dòng)頻率f的計(jì)算公式：l 表示弦的長(zhǎng)度、T 表示弦的張緊程度、 表示弦的密度。2.2.2高度差子假定一根空弦發(fā)出的音是do，則二分之一長(zhǎng)度的弦發(fā)出高八度的 do；8/9 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 re，64/81 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 mi，3/4 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 fa，2/3 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 so，16/27 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 la，128/243 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 si 等等類推。例如高八度的 so 應(yīng)由 2

25、/3 長(zhǎng)度的弦的一半就是 1/3 長(zhǎng)度的弦發(fā)出。為了方便將 c 音的頻率算作一個(gè)單位，高八度的 c 音的頻率就是兩個(gè)單位，而 re 音的頻率是 9/8 個(gè)單位，將音名與各自的頻率列成下表：表 1音名 C D E F G A B C 頻率 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 知道了 do, re, mi, fa, so, la, si 的數(shù)字關(guān)系之后，新的問(wèn)題是為什么要用具有這些頻率的音來(lái)構(gòu)成音階？實(shí)際上首先更應(yīng)回答的問(wèn)題是為什么要用 7 個(gè)音來(lái)構(gòu)成音階？這可是一個(gè)千古之謎，由于無(wú)法從逝去的歷史進(jìn)行考證，古今中外便有各種各樣的推斷、臆測(cè)，例如西方文化的一種說(shuō)法

26、基于“7”這個(gè)數(shù)字的神秘色彩，認(rèn)為運(yùn)行于天穹的 7 大行星（這是在只知道有 7 個(gè)行星的年代）發(fā)出不同的聲音組成音階。我們將從數(shù)學(xué)上揭開(kāi)謎底。我們用不同的音組合成曲調(diào)，當(dāng)然要考慮這些音放在一起是不是很和諧，前面已談到八度音是在聽(tīng)覺(jué)和諧效果上關(guān)系最密切的音，但是僅用八度音不能構(gòu)成動(dòng)聽(tīng)的曲調(diào)至少它們太少了，例如在音樂(lè)頻率范圍內(nèi) c1 與 c1 的八度音只有如下的 8 個(gè)：C2（16.35赫茲）、C1（32.7赫茲）、C（65.4赫茲）、c（130.8赫茲）、c1（261.6赫茲）、c2（523.2赫茲）、c3（1046.4赫茲）、c4（2092.8赫茲），對(duì)于人聲就只有C、c、c1、c2這 4 個(gè)

27、音了。為了產(chǎn)生新的和諧音，回顧一下前面說(shuō)的一對(duì)八度音和諧的理由是近似于共鳴。數(shù)學(xué)理論告訴我們：每個(gè)音都可分解為由一次諧波與一系列整數(shù)倍頻率諧波的疊加。仍然假定 c 的頻率是 1 ，那么它分解為頻率為 1，2，4，8，的諧波的疊加，高八度的 c 音的頻率是 2，它分解為頻率為 2，4，8，16，的諧波的疊加，這兩列諧波的頻率幾乎相同，這是一對(duì)八度音近似于共鳴的數(shù)學(xué)解釋。由此可推出一個(gè)原理：兩音的頻率比若是簡(jiǎn)單的整數(shù)關(guān)系則兩音具有和諧的關(guān)系，因?yàn)槊總€(gè)音都可分解為由一次諧波與一系列整數(shù)倍諧波的疊加，兩音的頻率比愈是簡(jiǎn)單的整數(shù)關(guān)系意味著對(duì)應(yīng)的兩個(gè)諧波列含有相同頻率的諧波愈多。次于 21 的簡(jiǎn)單整數(shù)比是

28、 32。試一試，一根空弦發(fā)出的音（假定是表 1 的 C，且作為 do）與 2/3 長(zhǎng)度的弦發(fā)出的音無(wú)論先后奏出或同時(shí)奏出其效果都很和諧?？梢酝葡氘?dāng)古人發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象時(shí)一定非常興奮，事實(shí)上我們比古人更有理由興奮，因?yàn)槲覀兠靼琢似渲械臄?shù)學(xué)道理。接下來(lái)，奏出 3/2 長(zhǎng)度弦發(fā)出的音也是和諧的。它的頻率是 C 頻率的 2/3，已經(jīng)低于 C 音的頻率，為了便于在八度內(nèi)考察，用它的高八度音即頻率是 C 的 4/3 的音代替。很顯然我們已經(jīng)得到了表 1 中的 G（so）與 F（fa）。問(wèn)題是我們并不能這樣一直做下去，否則得到的將是無(wú)數(shù)多音而不是 7 個(gè)音！如果從 C 開(kāi)始依次用頻率比 32 制出新的音，在某一

29、次新的音恰好是 C 的高若干個(gè)八度音，那么再往后就不會(huì)產(chǎn)生新的音了。很可惜，數(shù)學(xué)可以證明這是不可能的，因?yàn)闆](méi)有自然數(shù)m、n會(huì)使下式成立：(3/2)m = 2n 此時(shí)，理性思維的自然發(fā)展是可不可以成立近似等式？經(jīng)過(guò)計(jì)算有 (3/2)5 = 7.594 23 = 8，因此認(rèn)為與 1 之比是 3/2 即高三個(gè)八度關(guān)系算作是同一音，而 (3/2 )6 與 (3/2)1 之比也是 23 即高三個(gè)八度關(guān)系等等也算作是同一音。在“八度相同”的意義上說(shuō)，總共只有 5 個(gè)音，他們的頻率是：1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4折合到八度之內(nèi)就是：1, 9/8, 81/64, 3/2,

30、27/16對(duì)照表 1 知道這 5 個(gè)音是 C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la），這是所謂五聲音階，它在世界各民族的音樂(lè)文化中用得不是很廣，中國(guó)古代名曲春江花月夜、梅花三弄等絕大部分名曲都是五聲音階。2.3音律的產(chǎn)生發(fā)展與數(shù)學(xué)的關(guān)系根據(jù) (3/2)7 = 17.09 24 = 16，總共應(yīng)由 7 個(gè)音組成音階，我們?cè)?上一節(jié) 的基礎(chǔ)上用 32 的頻率比上行一次、下行一次得到由 7 個(gè)音組成的音列，其頻率是(2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5折合到八度之內(nèi)就是：1, 8/9, 64/81, 3/4, 2/3, 16/2

31、7, 128/243 得到常見(jiàn)的五度律七聲音階大調(diào)式如表一?？疾煲幌乱綦A中相鄰兩音的頻率之比，通過(guò)計(jì)算知道只有兩種情況：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 頻率之比是 98，稱為全音關(guān)系；mi-fa、si-do 頻率之比是 256243，稱為半音關(guān)系。以 21與32的頻率比關(guān)系產(chǎn)生和諧音的法則稱為五度律。在中國(guó)，五度律最早的文字記載見(jiàn)于典籍管子的地員篇，由于管子的成書(shū)時(shí)間跨度很大，學(xué)術(shù)界一般認(rèn)為五度律產(chǎn)生于公元前 7 世紀(jì)至公元前 3 世紀(jì)。西方學(xué)者認(rèn)為是公元前 6 世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早提出了五度律。根據(jù)近似等式 (3/2)12 = 129.7 27 = 12

32、8 并仿照以上方法又可制出五度律十二聲音階如下：表 2音名 C #C D #D E F #F 頻率 1 (37)/(211) (32)/(23) (39)/(214) (34)/(26) (22)/(3) (36)/(29) 音名 G #G A #A B C 頻率 3/2 (38)/(212) (33)/(24) (310)/(215) (35)/(27) 2 五度律十二聲音階相鄰兩音的頻率之比有兩種：256243與 21872048，分別稱為自然半音與變化半音。從表中可看到，音名不同的兩音例如 #C-D 的關(guān)系是自然半音，音名相同的兩音例如 C-#C 的關(guān)系是變化半音。五度律以外的形形色色的

33、樂(lè)律中應(yīng)用最廣的是十二平均律與純律。十二平均律 人們注意到五度律十二聲音階中的兩種半音相差不大，如果消除這種差別對(duì)于鍵盤(pán)樂(lè)器的轉(zhuǎn)調(diào)將是十分方便的，因?yàn)殒I盤(pán)樂(lè)器的每個(gè)鍵的音高是固定的，而不象撥弦或拉弦樂(lè)器的音高由手指位置決定。消除兩種半音差別的辦法是使相鄰各音頻率之比相等，這是一道中學(xué)生的數(shù)學(xué)題在 1 與 2 之間插入 11 個(gè)數(shù)使它們組成等比數(shù)列，顯然其公比就是 ，并且有如下的不等式1.05350 = 256 / 243 = 1.05946 2187 / 2048 = 1.06787這樣獲得的是十二平均律，它的任何相鄰兩音頻率之比都是，沒(méi)有自然半音與變化半音之分。用十二平均律構(gòu)成的七聲音階如下

34、：表 3音名CDEFGABC頻率1()2()4()5()7()9()112在西方，巴赫是首先提出十二平均律的，即將C-c一個(gè)八度平均分成十二隔音，這就是為什么鋼琴鍵盤(pán)聲總是以七個(gè)白鍵，五個(gè)黑鍵作為一組：7+5=122.4節(jié)拍與分?jǐn)?shù)在樂(lè)譜中節(jié)拍一般用一個(gè)固定的音符來(lái)代表，這個(gè)音符可以是二分音符、四分音符、八分音符甚至是十六分音符。我們稱這個(gè)固定的音符為拍子，也就是說(shuō)：一個(gè)音可以以二分音符為一拍，也可以以四分音符、八分音符甚至是十六分音符為一拍。拍子以分?jǐn)?shù)的形式來(lái)表示。這個(gè)分?jǐn)?shù)形式我們稱之為拍號(hào)。拍號(hào)一般在五線譜譜號(hào)的后面。分子表示每小節(jié)拍子的數(shù)量，而分母表示單位音符的時(shí)值長(zhǎng)度，即以幾分音符為一拍

35、。例：3/4以四分音符為一拍，每小節(jié)三拍。我們規(guī)定一個(gè)全音符=兩個(gè)二分音符=四個(gè)四分音符即：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4一個(gè)四分音符=兩個(gè)八分音符1/4=1/8+1/8總的可以表示為：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4=2*（1/8）=4*（1/16）*43 數(shù)學(xué)知識(shí)在音樂(lè)中的綜合運(yùn)用除了第二章中所述的數(shù)學(xué)與音樂(lè)理論的關(guān)系之外，數(shù)學(xué)知識(shí)在音樂(lè)中有很多的綜合運(yùn)用，如指數(shù)曲線，周期函數(shù)等等。這里我們先介紹一種簡(jiǎn)單的運(yùn)用。3.1音樂(lè)中的數(shù)學(xué)變換數(shù)學(xué)中存在著平移變換,音樂(lè)中是否也存在著平移變換 2呢 ?我們可以通過(guò)圖 2 的兩個(gè)音樂(lè)小節(jié)1來(lái)尋找答案. 顯然可以把第

36、一個(gè)小節(jié)中的音符平移到第二個(gè)小節(jié)中去,就出現(xiàn)了音樂(lè)中的平移, 這實(shí)際上就是音樂(lè)中的反復(fù). 把圖 2 的兩個(gè)音節(jié)移到直角坐標(biāo)系中,那么就表現(xiàn)為圖 3. 顯然,這正是數(shù)學(xué)中的平移. 我們知道作曲者創(chuàng)作音樂(lè)作品的目的在于想淋漓盡致地抒發(fā)自己內(nèi)心情感,可是內(nèi)心情感的抒發(fā)是通過(guò)整個(gè)樂(lè)曲來(lái)表達(dá)的,并在主題處得到升華,而音樂(lè)的主題有時(shí)正是以某種形式的反復(fù)出現(xiàn)的. 比如, 圖 4 就是西方樂(lè)曲 When the Saints GoMarching In 的主題2 ,顯然 ,這首樂(lè)曲的主題就可以看作是通過(guò)平移得到的。 此外，在音樂(lè)作品當(dāng)中的轉(zhuǎn)調(diào)（移調(diào)）也是一種很普遍的方式，將一首曲子全曲或者某個(gè)部分整體上行或者

37、下行幾度變成另一個(gè)調(diào)性的曲子，在音樂(lè)中可以給人一種耳目一新的層次感。這也是好多作曲家管用的手法，其實(shí)質(zhì)就是將曲子整體的平移幾度而已。如果我們把五線譜中的一條適當(dāng)?shù)臋M線作為時(shí)間軸(橫軸 x) ,與時(shí)間軸垂直的直線作為音高軸(縱軸y) ,那么我們就在五線譜中建立了時(shí)間 - 音高的平面直角坐標(biāo)系. 于是, 圖 4 中一系列的反復(fù)或者平移,就可以用函數(shù), , 近似地表示出來(lái)2 , 如圖 5 所示,其中 x 是時(shí)間, y 是音高. 當(dāng)然我們也可以在時(shí)間 - 音高的平面直角坐標(biāo)系中用函數(shù)把圖2中的兩個(gè)音節(jié)近似地表示出來(lái).在這里我們需要提及十九世紀(jì)的一位著名的數(shù)學(xué)家,他就是約瑟夫.傅里葉 (Joseph F

38、ourier) ,正是他的努力使人們對(duì)樂(lè)聲性質(zhì)的認(rèn)識(shí)達(dá)到了頂峰. 他證明了所有的樂(lè)聲, 不管是器樂(lè)還是聲樂(lè), 都可以用數(shù)學(xué)式來(lái)表達(dá)和描述,而且證明了這些數(shù)學(xué)式是簡(jiǎn)單的周期正弦函數(shù)的和2。音樂(lè)中不僅僅只出現(xiàn)平移變換,可能會(huì)出現(xiàn)其他的變換及其組合,比如反射變換等等. 圖6 的兩個(gè)音節(jié)就是音樂(lè)中的反射變換3. 如果我們?nèi)詮臄?shù)學(xué)的角度來(lái)考慮,把這些音符放進(jìn)坐標(biāo)系中, 那么它在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)就是我們常見(jiàn)的反射變換,如圖 7所示. 同樣我們也可以在時(shí)間 - 音高直角坐標(biāo)系中把這兩個(gè)音節(jié)用函數(shù)近似地表示出來(lái).通過(guò)以上分析可知,一首樂(lè)曲就有可能是對(duì)一些基本曲段進(jìn)行各種數(shù)學(xué)變換的結(jié)果.3.2數(shù)列與音樂(lè)看一下樂(lè)器之

39、王 鋼琴的鍵盤(pán)吧,其上也恰好與斐波那契數(shù)列 4 有關(guān). 我們知道在鋼琴的鍵盤(pán)上,從一個(gè) C 鍵到下一個(gè) C 鍵就是音樂(lè)中的一個(gè)八度音程(如圖1) . 其中共包括13 個(gè)鍵,有8 個(gè)白鍵和5 個(gè)黑鍵 ,而 5 個(gè)黑鍵分成 2 組 ,一組有 2 個(gè)黑鍵 ,一組有 3 個(gè)黑鍵.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個(gè)數(shù)。如果說(shuō)斐波那契數(shù)在鋼琴鍵上的出現(xiàn)是一種巧合, 那么等比數(shù)列在音樂(lè)中的出現(xiàn)就決非偶然了: 1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數(shù)列規(guī)定的. 再來(lái)看圖1,顯然這個(gè)八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個(gè)半音,并且我們知道下一個(gè) C鍵發(fā)出樂(lè)音的振動(dòng)次數(shù)(即頻率) 是第

40、一個(gè) C 鍵振動(dòng)次數(shù)的 2倍,因?yàn)橛? 來(lái)分割,所以這個(gè)劃分是按照等比數(shù)列而作出的. 我們?nèi)菀浊蟪龇指畋?x ,顯然 x 滿足 x(12)= 2 ,解這個(gè)方程可得 x 是個(gè)無(wú)理數(shù) , 大約是0. 1106。于是我們說(shuō)某個(gè)半音的音高是那個(gè)音的音高的0.1106 倍 ,而全音的音高是那個(gè)音的音高 0.1106*2 倍. 實(shí)際上,在吉它中也存在著同樣的等比數(shù)列4。3.3黃金分割在音樂(lè)中的應(yīng)用菲波那齊數(shù)列在音樂(lè)中得到普遍的應(yīng)用，如常見(jiàn)的曲式類型與菲波那齊數(shù)列頭幾個(gè)數(shù)字相符，它們是簡(jiǎn)單的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鳴曲式也是三部性結(jié)構(gòu)，如再增加前奏及尾聲則又從三發(fā)展到五部結(jié)構(gòu)。黃金分割比

41、例與音樂(lè)中高潮的位置有密切關(guān)系。所謂黃金分割 5，其定義為：將線段AC分為線段AB和BC，AB/AC=BC/AB，則稱此線段之比為黃金分割比例。比值為0.618。如圖我們分析許多著名的音樂(lè)作品，發(fā)覺(jué)其中高潮的出現(xiàn)多和黃金分割點(diǎn)相接近，位于結(jié)構(gòu)中點(diǎn)偏后的位置：小型曲式中8小節(jié)一段式，高潮點(diǎn)約在第5小節(jié)左右；16小節(jié)二段式，高潮點(diǎn)約在第10小節(jié)左右；24小節(jié)帶再現(xiàn)三段式，高潮點(diǎn)在第15小節(jié)左右。如夢(mèng)幻曲是一首帶再現(xiàn)三段曲式，由A、B和A三段構(gòu)成。每段又由等長(zhǎng)的兩個(gè)4小節(jié)樂(lè)句構(gòu)成。全曲共分6句，24小節(jié)。理論計(jì)算黃金分割點(diǎn)應(yīng)在第14小節(jié)（24*0.618=14.83），與全曲高潮正好吻合。有些樂(lè)曲從

42、整體至每一個(gè)局部都合乎黃金比例，本曲的六個(gè)樂(lè)句在各自的第2小節(jié)進(jìn)行負(fù)相分割（前短后長(zhǎng)）；本曲的三個(gè)部分A、B、A在各自的第二樂(lè)句第2小節(jié)正相分割（前長(zhǎng)后短），這樣形成了樂(lè)曲從整體到每一個(gè)局部多層復(fù)合分割的生動(dòng)局面，使樂(lè)曲的內(nèi)容與形式更加完美。大、中型曲式中的奏鳴曲式、復(fù)三段曲式是一種三部性結(jié)構(gòu)，其他如變奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黃金比例的原則在這些大、中型樂(lè)曲中也得到不同程度的體現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)，曲式規(guī)模越大，黃金分割點(diǎn)的位置在中部或發(fā)展部越靠后，甚至推遲到再現(xiàn)部的開(kāi)端，這樣可獲得更強(qiáng)烈的藝術(shù)效果。如莫扎特D大調(diào)奏鳴曲第一樂(lè)章全長(zhǎng)160小節(jié)，再現(xiàn)部位于第99小節(jié)，不偏不

43、依恰恰落在黃金分割點(diǎn)上（160*0.618=98.88）。據(jù)美國(guó)數(shù)學(xué)家喬巴茲統(tǒng)計(jì)，莫扎特的所有鋼琴奏鳴曲中有94%符合黃金分割比例，這個(gè)結(jié)果令人驚嘆。我們未必就能弄清，莫扎特是有意識(shí)地使自己的樂(lè)曲符合黃金分割呢，抑或只是一種純直覺(jué)的巧合現(xiàn)象。然而美國(guó)的另一位音樂(lè)家認(rèn)為，“我們應(yīng)當(dāng)知道，創(chuàng)作這些不朽作品的莫扎特，也是一位喜歡數(shù)字游戲的天才。莫扎特是懂得黃金分割，并有意識(shí)地運(yùn)用它的。 貝多芬悲愴奏鳴曲Op.13第二樂(lè)章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小節(jié)。理論計(jì)算黃金分割點(diǎn)應(yīng)在45小節(jié)，在43小節(jié)處形成全曲激越的高潮，并伴隨著調(diào)式、調(diào)性的轉(zhuǎn)換，高潮與黃金分割區(qū)基本吻合。肖邦的降D大調(diào)夜曲是三部性

44、曲式。全曲不計(jì)前奏共76小節(jié)，理論計(jì)算黃金分割點(diǎn)應(yīng)在46小節(jié)，再現(xiàn)部恰恰位于46小節(jié)，是全曲力度最強(qiáng)的高潮所在，真是巧奪天工。拉赫曼尼諾夫的第二鋼琴協(xié)奏曲第一樂(lè)章是奏鳴曲式，這是一首宏偉的史詩(shī)。第一部分呈示部悠長(zhǎng)、剛毅的主部與明朗、抒情的副部形成鮮明對(duì)比。第二部分為發(fā)展部，結(jié)構(gòu)緊湊，主部、副部與引子的材料不斷地交織，形成巨大的音流，音樂(lè)爆發(fā)高潮的地方恰恰在第三部分再現(xiàn)部的開(kāi)端，是整個(gè)樂(lè)章的黃金分割點(diǎn)，不愧是體現(xiàn)黃金分割規(guī)律的典范。此外這首協(xié)奏曲的局部在許多地方也符合黃金比例再舉一首大型交響音樂(lè)的范例，俄國(guó)偉大作曲家里姆斯柯薩科夫在他的天方夜譚交響組曲的第四樂(lè)章中，寫(xiě)至辛巴達(dá)的航船在洶涌滔天的狂

45、濤惡浪里，無(wú)可挽回地猛撞在有青銅騎士像的峭壁上的一剎那，在整個(gè)樂(lè)隊(duì)震耳欲聾的音浪中，樂(lè)隊(duì)敲出一記強(qiáng)有力的鑼聲，鑼聲延長(zhǎng)了六小節(jié)，隨著它的音響逐漸消失，整個(gè)樂(lè)隊(duì)力度迅速下降，象征著那艘支離破碎的航船沉入到海底深淵。在全曲最高潮也就是“黃金點(diǎn)”上，大鑼致命的一擊所造成的悲劇性效果懾人心魂。黃金律歷來(lái)被染上瑰麗詭秘的色彩，被人們稱為“天然合理”的最美妙的形式比例。世界上到處都存在數(shù)的美，對(duì)于我們的眼睛，尤其是對(duì)我們學(xué)習(xí)音樂(lè)的人的耳朵來(lái)說(shuō)，“美是到處都有的，不是缺乏美，而是缺少發(fā)現(xiàn)”（羅丹語(yǔ)）。4 樂(lè)器制作中的數(shù)學(xué)原理講到樂(lè)器制作中的數(shù)學(xué)原理6，我們有必要吧第二章中先振動(dòng)公式重申一遍。4.1鋼琴外形與

46、指數(shù)曲線假定一根空弦發(fā)出的音是do，則二分之一長(zhǎng)度的弦發(fā)出的就是高八度的do，8/9長(zhǎng)度的弦發(fā)出re,64/81長(zhǎng)度的先發(fā)出mi，3/4長(zhǎng)度的弦發(fā)出fa，2/3長(zhǎng)度的弦發(fā)出so,16/27長(zhǎng)度的弦發(fā)出la,128/243長(zhǎng)度的弦發(fā)出si等以此類推，如果我們以音作為橫坐標(biāo)，弦長(zhǎng)為縱坐標(biāo)，很容易就可以繪出一天近似的指數(shù)曲線。這就是為什么三角鋼琴的形狀近似于指數(shù)曲線了，這樣不僅可以使材料最省、音質(zhì)協(xié)調(diào)，而且優(yōu)雅美觀。19世紀(jì)數(shù)學(xué)家約翰·傅里葉的工作使樂(lè)聲性質(zhì)的研究達(dá)到頂點(diǎn)。他證明所有樂(lè)聲器樂(lè)和聲樂(lè)都可用數(shù)學(xué)式來(lái)描述，這些數(shù)學(xué)式是簡(jiǎn)單的周期正弦函數(shù)的和。每一個(gè)聲音有三個(gè)性質(zhì)，即音高、音量和音

47、質(zhì)，將它與其他樂(lè)聲區(qū)別開(kāi)來(lái)。傅里葉的發(fā)現(xiàn)使聲音的這三個(gè)性質(zhì)可以在圖形上清楚地表示出來(lái)。音高與曲線的頻率有關(guān)，音量和音質(zhì)分別與周期函數(shù)的振幅和形狀有關(guān)。不管是弦樂(lè)器，還是有空氣柱發(fā)聲的管樂(lè)器，他們的結(jié)構(gòu)都反映出一種指數(shù)曲線的形狀。如以下圖片展示：上面介紹了鋼琴的外形與指數(shù)曲線的關(guān)系，下面我們說(shuō)說(shuō)真正的弦樂(lè)器吉他4.2吉他制作中的數(shù)學(xué)知識(shí)吉他和小提琴一樣，被稱為有著美女身材的樂(lè)器，不僅外形美觀，構(gòu)造獨(dú)特，而且音色音質(zhì)也是別具一格，由于其獨(dú)特的音色和簡(jiǎn)單易學(xué)的特點(diǎn)，備受青年男女甚至是各個(gè)年齡階段的音樂(lè)愛(ài)好者的青睞！吉他的弦從一弦到六弦，由細(xì)到粗，長(zhǎng)度一樣，而每弦的音高都不一樣，這時(shí)怎樣做到的呢？這歸

48、結(jié)到我們之前所說(shuō)的頻率公式，由于一弦和二弦粗細(xì)一樣，而頻率不一樣，故一弦拉的緊，也就是張力T不一樣。值得注意的是一弦和 他們的音是一樣的，而一弦和六弦的粗細(xì)不一樣，材質(zhì)不一樣，故他們的p不一樣，音高也自然容易控制了。另外一點(diǎn)，我們知道琴頸上的品格（把位）是由寬到窄的，每向前移動(dòng)一個(gè)品格，就升高半個(gè)音，而移動(dòng)一個(gè)八度之后，品格的寬度剛好是低八度品格的一半。這些都并非巧合，如果需要們可以用游標(biāo)卡尺和螺旋測(cè)微儀做精細(xì)的測(cè)量對(duì)比，相信在吉他制作之前也是經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)計(jì)算才能夠這樣輕而易舉的批量生產(chǎn)的。上面說(shuō)的是基本的弦樂(lè)器構(gòu)造，下面我們?cè)诮榻B一種中國(guó)的傳統(tǒng)樂(lè)器笛子4.3笛子音孔中的數(shù)學(xué)笛子由于產(chǎn)地不同

49、，所以各種材質(zhì)、外形均是五花八門(mén)。你可能覺(jué)得既然如此，那么他和數(shù)學(xué)就沒(méi)有關(guān)系了？其實(shí)不然，樂(lè)器都是因?yàn)榘l(fā)聲所以稱之為樂(lè)器，既然發(fā)聲那么自然就離不開(kāi)上面的頻率公式。笛子的發(fā)聲自然是整個(gè)笛身的震動(dòng)，而氣柱的長(zhǎng)度不同使得我們可以輕而易舉的控制應(yīng)高。觀察笛子音孔的分布我們可以看到，在半音的地方，兩個(gè)音孔距離很近，而在全音的地方音孔的距離是半音處的兩倍，這是針對(duì)目前的七聲音階笛子，而對(duì)于中國(guó)傳統(tǒng)的五聲音階來(lái)講，笛子的音孔是均勻分布的。試想，如果我們用同種材質(zhì)，粗細(xì)一樣的管子來(lái)制作笛子，那么只要計(jì)算好音孔的位置，以及標(biāo)注好在管子上的比例，那么批量生產(chǎn)也是如此簡(jiǎn)單易行，這就大大的降低了笛子的制作成本。4.4

50、數(shù)字音樂(lè)之所以寫(xiě)作本節(jié)，是因?yàn)楝F(xiàn)在數(shù)字音樂(lè)有了很大的發(fā)展，不僅僅在音樂(lè)領(lǐng)域有很多突破，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域都有很多應(yīng)用。這里僅作介紹，里面的信息編碼知識(shí)以及信號(hào)系統(tǒng)方面的知識(shí)，就不在贅述。定義：數(shù)字音樂(lè)是用數(shù)字格式存儲(chǔ)的，可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)來(lái)傳輸?shù)囊魳?lè)。7數(shù)字音樂(lè)的特點(diǎn)由于是以數(shù)字格式記錄和存儲(chǔ)的，數(shù)字音樂(lè)具有以下這么幾個(gè)特點(diǎn):數(shù)字音樂(lè)拋棄了實(shí)物載體從早期的蠟盤(pán)唱片、黑膠唱片到后來(lái)的磁帶、CD，傳統(tǒng)的音樂(lè)總是附著在某種實(shí)物介質(zhì)上供人們消費(fèi)和欣賞。這些音樂(lè)載體對(duì)應(yīng)著不同的技術(shù)時(shí)代，其共同的特點(diǎn)是都具有可觸摸的外在形態(tài)。數(shù)字音樂(lè)的出現(xiàn)打破了這一傳統(tǒng)。它以數(shù)字信號(hào)的方式被儲(chǔ)存在數(shù)據(jù)庫(kù)里，在網(wǎng)絡(luò)空間中流動(dòng)

51、傳輸，根據(jù)人們的需要被下載和刪除，它的傳播不再依仗于某種實(shí)物載體。.數(shù)字音樂(lè)傳輸速度快數(shù)字音樂(lè)以數(shù)字信號(hào)的方式在網(wǎng)絡(luò)空間中傳輸，其速度不是以物流方式進(jìn)行傳播的傳統(tǒng)音樂(lè)可比擬的。尤其是在寬帶技術(shù)日益成熟的今天，數(shù)字音樂(lè)在傳播速度上的優(yōu)勢(shì)更加明顯。.數(shù)字音樂(lè)的音質(zhì)不會(huì)產(chǎn)生損耗傳統(tǒng)音樂(lè)載體，比如磁帶、CD等，在多次使用后會(huì)產(chǎn)生不可避免的磨損，進(jìn)而導(dǎo)致音樂(lè)品質(zhì)下降。而數(shù)字音樂(lè)因?yàn)闆](méi)有實(shí)體形態(tài)，所以不存在磨損的情況，無(wú)論被下載、復(fù)制、播放多少遍，其品質(zhì)都不會(huì)發(fā)生變化。5 數(shù)學(xué)家與音樂(lè)很少有人既精通數(shù)學(xué)又熟識(shí)音樂(lè)，這使得把計(jì)算機(jī)用于合成音樂(lè)及樂(lè)器設(shè)計(jì)等方面難于成功。數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：周期函數(shù)，是現(xiàn)代樂(lè)器設(shè)計(jì)和計(jì)

52、算機(jī)音響設(shè)計(jì)的精髓。許多樂(lè)器的制造都是把它們產(chǎn)生的聲音的圖像，與這些樂(lè)器理想聲音的圖像相比較然后加以改進(jìn)的。電子音樂(lè)的忠實(shí)再生也是跟周期圖像緊密聯(lián)系著的。音樂(lè)家和數(shù)學(xué)家們將在音樂(lè)的產(chǎn)生和再生方面，繼續(xù)擔(dān)任著同等重要的角色。德國(guó)物理學(xué)家赫爾姆霍茨說(shuō)：“在中國(guó)人中，有一個(gè)明朝的王子叫朱載堉，他在舊派音樂(lè)家的大反對(duì)中，倡導(dǎo)七聲音階。把八度分成十二個(gè)半音以及變調(diào)的方法，也是這個(gè)有天才和技巧的國(guó)家發(fā)明的?！?997年中國(guó)國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人出訪美國(guó)，在哈佛大學(xué)演講時(shí)說(shuō)“明代朱載堉首創(chuàng)的十二平均律，后來(lái)成為國(guó)際通行的標(biāo)準(zhǔn)音調(diào)”。朱載堉是世界上第一位創(chuàng)立“十二平均律”的科學(xué)家，是我國(guó)偉大的音樂(lè)理論家，他不僅是中國(guó)近代

53、音樂(lè)的鼻祖，也是杰出的天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和文學(xué)家。朱載堉的十二平均律理論傳播到歐洲后，為歐洲學(xué)術(shù)界所驚嘆。朱載堉的成就震撼了世界。朱載堉在數(shù)學(xué)、天文學(xué)、計(jì)量學(xué)、音樂(lè)學(xué)、律學(xué)、舞學(xué)等多種科學(xué)、藝術(shù)領(lǐng)域里取得的卓越成就，使其成為國(guó)際矚目的世界文化名人。圍繞著十二平均律的創(chuàng)建，朱載堉成功地登上了一個(gè)又一個(gè)科學(xué)高峰。例如在數(shù)學(xué)方面，為了解決十二平均律的計(jì)算問(wèn)題，他討論了等比數(shù)列，找到了計(jì)算等比數(shù)列的方法，并將其成功地應(yīng)用于求解十二平均律。為了解決繁重的數(shù)學(xué)運(yùn)算，他最早運(yùn)用珠算進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，并提出了一套珠算開(kāi)方口訣，這是富有創(chuàng)見(jiàn)之舉。他還解決了不同進(jìn)位小數(shù)的換算方法，作出了有關(guān)計(jì)算法則的總結(jié)。在數(shù)學(xué)史上，這些都是很引人注目的成就。他在廣泛的科學(xué)領(lǐng)域里取得了非凡的成果，為我國(guó)創(chuàng)造36個(gè)“世界第一”：第一個(gè)創(chuàng)建