1、圓形磁場(chǎng)中的幾個(gè)典型問(wèn)題一做就錯(cuò).常見(jiàn)問(wèn)題許多同學(xué)對(duì)帶電粒子在圓形有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題常常無(wú)從下手,.對(duì)于這些問(wèn)題，針對(duì)具分別是“最值問(wèn)題、匯聚發(fā)散問(wèn)題、邊界交點(diǎn)問(wèn)題、周期性問(wèn)題” 體類(lèi)型，抓住關(guān)鍵要素，問(wèn)題就能迎刃而解，下面舉例說(shuō)明.一、最值問(wèn)題的解題關(guān)鍵一一抓弦長(zhǎng)1 .求最長(zhǎng)時(shí)間的問(wèn)題例1真空中半徑為 R=3xi0-2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有一磁感應(yīng)強(qiáng) 度為B=的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖 1所示一帶正電的粒子以初速度 vo=106m / s從磁場(chǎng)邊界上直徑 ab 一端a點(diǎn)處射入磁場(chǎng)，已知該 粒子比荷為q/m=10 8C / kg ,不計(jì)粒子重力，若要使粒子飛離磁場(chǎng) 時(shí)偏轉(zhuǎn)角最大，其入射時(shí)粒子初速度的方

2、向應(yīng)如何（以vo與Oa的夾角 表示）最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間多長(zhǎng)小結(jié)：本題涉及的是一個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題， 即粒子雖然在磁場(chǎng)中均做同一半徑的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但因其初速度方向變化， 使粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)短和位置均發(fā)生變化，并且弦長(zhǎng)的變化一定對(duì)應(yīng)速度偏轉(zhuǎn)角的變化， 同時(shí)也一定對(duì)應(yīng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)圓心角的變化，因而當(dāng)弦長(zhǎng)為圓形磁場(chǎng)直徑時(shí)，偏轉(zhuǎn)角最大.2 .求最小面積的問(wèn)題例2 帶電質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 m,電量為q,以平行于 Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射人如圖3所示第一象限的區(qū)域.為_(kāi)了使該質(zhì)點(diǎn)能從 x軸上的b點(diǎn)以垂直于x軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xoy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng) 舊4工磁場(chǎng).若此磁場(chǎng)僅分布

3、在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求此圓形磁場(chǎng)區(qū)J域的最小面積，重力忽略不計(jì).D小結(jié)：這是一個(gè)需要逆向思維的問(wèn)題，而且同時(shí)考查了空間想象能力，即已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡求所加圓形磁場(chǎng)的位置.解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要抓住粒子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)即該粒子只在所加磁 場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 所以粒子運(yùn)動(dòng)的 1 / 4圓弧必須包含在磁場(chǎng)區(qū)域中且圓運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)、W點(diǎn)必須是磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)，然后再考慮磁場(chǎng)的最小半徑.上述兩類(lèi)“最值”問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要找出帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng).二、匯聚發(fā)散問(wèn)題的解題關(guān)鍵一一抓半徑當(dāng)圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡半徑相等時(shí)，存在兩條特殊規(guī)律；規(guī)律一：帶電粒子從圓形有界磁場(chǎng)邊界上某點(diǎn)射入磁場(chǎng)，如果圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡

4、半徑相等，則粒子的出射速度方向與圓形磁場(chǎng)上入射點(diǎn)的切線方向平行，如甲圖所示。規(guī)律二：平行射入圓形有界磁場(chǎng)的相同帶電粒子，如果圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡半徑相等， 則所 有粒子都從磁場(chǎng)邊界上的同一點(diǎn)射出， 并且出射點(diǎn) 的切線與入射速度方向平行，如乙圖所示。例3如圖5所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向圖5上.在半彳至為 R的圓形區(qū)域內(nèi)加一與 xoy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng). 在 坐標(biāo)原點(diǎn) O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射 具有相同質(zhì)量 m、電荷量q （ q > 0 ）且初速為vo的帶電粒子，不 計(jì)重力.調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點(diǎn) O處的帶電微粒發(fā)射裝置， 使其在xoy平面 內(nèi)不斷地以相同速率

5、 vo沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入x軸上方，現(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向射出，則帶電微粒的速度必須滿足什么條件小結(jié)：研究粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要抓住圓形磁場(chǎng)的半徑和圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，建 立二者之間的關(guān)系，再根據(jù)動(dòng)力學(xué)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解問(wèn)題.三、邊界交點(diǎn)問(wèn)題的解題關(guān)鍵一抓軌跡方程限7例4如圖7所示，在xoy平面內(nèi)x> 0區(qū)域中，有一半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，圓心為O,半徑為 R =0.10m ,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=,磁場(chǎng)方向垂直 xoy平面向里.有一線狀粒子源放在y軸左側(cè)（圖中未畫(huà)出），并不斷沿平行于 x軸正方向釋放出電荷量為 q=+ X10-19C ,初速度vo = x io6m

6、 / s的粒子，粒子的質(zhì)量為 m =x 10-26kg ,不考慮粒子間的相互作用及粒子重力，求：從 y軸任意 位置（0, y）入射的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo).點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是最能反映抽象思維與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的物理模型，本題則利用圓形磁場(chǎng)與圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程求交點(diǎn)，是對(duì)初等數(shù)學(xué)的抽象運(yùn)用， 能較好的提高學(xué)生思維.四、周期性問(wèn)題的解題關(guān)鍵一一尋找圓心角1 .粒子周期性運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題例5如圖9所示的空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是半徑為R的圓，兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B .現(xiàn)有一質(zhì)量為 m、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力）從A 點(diǎn)沿aA方向射出.求：（1）若方向向外的

7、磁場(chǎng)范圍足夠大，離子自 A點(diǎn)射出后在兩個(gè) 磁場(chǎng)不斷地飛進(jìn)飛出，最后又返回 A點(diǎn)，求返回 A點(diǎn)的最短時(shí)間及 對(duì)應(yīng)的速度.（2）若向外的磁場(chǎng)是有界的，分布在以 O點(diǎn)為圓心、半徑為 R和2R的兩半圓環(huán)之 間的區(qū)域，上述粒子仍從 A點(diǎn)沿QA方向射出且粒子仍能返回 A點(diǎn)，求其返回 A點(diǎn)的 最短時(shí)間.2 .磁場(chǎng)發(fā)生周期性變化例6如圖12所示，在地面上方的真空室內(nèi)，兩塊正對(duì)的平行金屬板水平放置.在兩板之間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)按如圖13所示規(guī)律變化（沿 y軸方向?yàn)檎较颍?在兩板正中間有一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖 14所示規(guī)律變化， 如果建立如圖12所示的坐標(biāo)系，在t=0時(shí)刻有一質(zhì)量 m=x 10-9k

8、g、電荷量q =x 10-6C的帶正電的小球， 以v0=1m /s的初速度沿 y軸方向從 O點(diǎn)射入，分析小球在磁場(chǎng)中的運(yùn) 動(dòng)并確定小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間及離開(kāi)時(shí)的位置坐標(biāo).小結(jié)：對(duì)于周期性問(wèn)題，因?yàn)榱Ｗ舆\(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界都B/Xio N圖14是圓，所以要充分利用圓的對(duì)稱(chēng)性及圓心角的幾何關(guān)系，尋找運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)稱(chēng)關(guān)系和周期性.五、磁場(chǎng)問(wèn)題的規(guī)律前面分析的六個(gè)典型例題，其物理情景各異，繁簡(jiǎn)不同，但解題思路和方法卻有以下四個(gè)共同點(diǎn).(1)物理模型相同即帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中均做勻速圓周運(yùn)動(dòng).(2)物理規(guī)律相同即洛倫茲力提供運(yùn)動(dòng)的向心力，通常都由動(dòng)力學(xué)規(guī)律列方程求解.(3)數(shù)學(xué)規(guī)律相同即運(yùn)用幾何知識(shí)求

9、圓心角、弧長(zhǎng)、半徑等物理量.(4)解題關(guān)鍵相同：一是由題意畫(huà)出正確軌跡；二是尋找邊界圓弧和軌跡圓弧的對(duì)應(yīng) 圓心角關(guān)系；三是確定半徑和周期， 構(gòu)建合適的三角形或平行四邊形， 求解圓的弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角等，最后轉(zhuǎn)化到題目中需求解的問(wèn)題.【同步練習(xí)】1.如圖所示，在半徑為 R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN是一豎直放置的感光板. 從圓形磁場(chǎng)最高點(diǎn) P垂直磁場(chǎng)射入大 量的帶正電，電荷量為 q,質(zhì)量為m ,速度為v的粒子，不考慮粒子間 的相互作用力，關(guān)于這些粒子的運(yùn)動(dòng)以下說(shuō)法正確的是()A.只要對(duì)著圓心入射，出射后均可垂直打在MN上B.對(duì)著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長(zhǎng)線不一定過(guò)圓心

10、C.對(duì)著圓心入射的粒子，速度越大在磁場(chǎng)中通過(guò)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，時(shí)間也越長(zhǎng)D.只要速度滿足v qBR,沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 m再運(yùn)用解析幾何知識(shí)MN上2.如圖所示，長(zhǎng)方形abcd的長(zhǎng)ad=0.6m,寬ab=0.3m, O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以 e為圓心eb為半徑的四分之一圓弧和以 O為圓心Od為半徑的四 分之一圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(邊界上無(wú)磁場(chǎng))磁感應(yīng)強(qiáng)度B=。一群不計(jì)重力、質(zhì)量 m=3< 10-7kg、電荷量 q=+2 x 10C的帶正電粒子以速度 v=5 x 12m/s沿垂直ad方向且垂 直于磁場(chǎng)射人磁場(chǎng)區(qū)域，則下列判斷正確的是()A.從Od邊射

11、入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B.從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C.從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在 ab邊D.從ad邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部通過(guò)b點(diǎn)3、一質(zhì)量為瞪、帶電量為q的粒子以速度%從。點(diǎn)沿3軸正方向射入磁感強(qiáng)度為8的一2處穿過(guò)K軸，速度方向圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后，從 與在軸正向夾角為30° ,如圖1所示(粒子重力忽略不計(jì))。試求：(1)圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積；(2)粒子從。點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá) 上點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間;(3)一點(diǎn)的坐標(biāo)。4、在xoy平面內(nèi)有許多電子(質(zhì)量為 鶴、電量為官),從坐標(biāo)O不斷以相同速率也沿不同方向射入第一象限，如圖

12、所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于立沙平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能平行于X軸向K正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。5.如圖所示，在坐標(biāo)系 xoy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)為 Oi (a, 0),圓內(nèi)分 布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在直線y=a的上方和直線x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿 x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為 E, 一質(zhì)量為 m、電荷量為+q (q>0)的粒子以速度 v從O 點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入，當(dāng)入射速度方向沿x軸方向時(shí)，粒子恰好從 Oi點(diǎn)正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，求：(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；(2)粒子離開(kāi)第一象限時(shí)速度方向與y軸正方

13、向的夾角；(3)若將電場(chǎng)方向變?yōu)檠?y軸負(fù)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不變，粒子以速度v從。點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向、并與x軸正方向夾角 9=30°射入第一象限，求粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間to從A點(diǎn)射入的粒子恰好從 y軸上的A6 .如圖所示的直角坐標(biāo)系中，從直線 x=-2l°到y(tǒng)軸 區(qū)域存在兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)， 其中x軸上方的電場(chǎng)方向沿 y軸負(fù)方向，x軸下方的 電場(chǎng)方向沿y軸正方向。在電場(chǎng)左邊界從 A (-21°, -l°)點(diǎn)到C (-21°, °)點(diǎn)區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為 +q、質(zhì)量為m的粒子。從某時(shí)刻起， A點(diǎn)到C點(diǎn)

14、間的粒子依次連續(xù)以相同速度 v°沿x軸正方向射入電場(chǎng)。(0, -1。)點(diǎn)沿沿x軸正方向射出電場(chǎng)，其軌跡如圖所示。不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用。(1)求從AC間入射的粒子穿越電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間t和勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小。(2)求在A C間還有哪些坐標(biāo)位置的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)(3)為便于收集沿x軸正方向射出電場(chǎng)的所有粒子，若以直線x=2lo上的某點(diǎn)為圓心的圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，設(shè)計(jì)分布垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)， 使得沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子 經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)x=2lo與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)。則磁場(chǎng)區(qū)域最小半徑是多大相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B是多大7 .如圖所示，在

15、xoy坐標(biāo)系中分布著三個(gè)有界場(chǎng)區(qū)：第一象限中有一半徑為r=0.1m的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bi=1T,方向垂直紙面向里，該區(qū)域同時(shí)與x軸、y軸相切，切點(diǎn)分別為A、C;第四象限中，由y軸、拋物線FG ( y10x2 x 0.025,單位：m)和直線DH ( y x 0.425 ,單位：m)構(gòu)成的區(qū)域中，存在著方向豎直向下、強(qiáng)度E=C的勻強(qiáng)電場(chǎng);以及直線DH右下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2=?，F(xiàn)有大量質(zhì)量 m=1 X 1-0 kg (重力不 計(jì))，電量大小為q=2X104C,速率均為20m/s的帶負(fù)電的粒子從 A處垂直磁場(chǎng)進(jìn)入第一象限，速度方向與y軸夾角在0至1800之間。(1)求這些粒子

16、在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的半徑；(2)試證明這些粒子經(jīng)過(guò) x軸時(shí)速度方向均與 x軸垂直;(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這些粒子會(huì)經(jīng)過(guò)y軸上的同一點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)。8.如圖所示，半圓有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓心O1在x軸上，OO1距離等于半圓磁場(chǎng)的半徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為虛線MN平彳T x軸且與半圓相切于 P點(diǎn)。在MN上方是正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為 E,方向沿x軸負(fù)向，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2。B1, B2方向均垂直紙面，方向如圖所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向從原點(diǎn)O射入第I象限，其中沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)過(guò) P點(diǎn)射入MN后，恰好在正交的電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，粒子質(zhì)量為 m,電荷量為

17、q (粒子重力不計(jì))。求：(1)粒子初速度大小和有界半圓磁場(chǎng)的半徑。(2)若撤去磁場(chǎng) B2,則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子從 y軸出電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)。(3)試證明：題中所有從原點(diǎn) O進(jìn)入第I象限的粒子都能在正交的電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)。9.如圖所示，真空中一平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，存在著兩個(gè)邊長(zhǎng)為 L的正方形勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域I、n和兩個(gè)直徑為 L的圓形磁場(chǎng)區(qū)域 出、IV。 電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小均為 E,區(qū)域I的場(chǎng)強(qiáng)方向沿 x 軸正方向，其下邊界在 x軸上，右邊界剛好與區(qū) 域n的邊界相切；區(qū)域 n的場(chǎng)強(qiáng)方向沿 y軸正方 向，其上邊界在 x軸上，左邊界剛好與剛好與區(qū) 域IV的邊界相切。磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為2 2mE

18、,區(qū)域出的圓心坐標(biāo)為(0, L)、磁場(chǎng)方向垂直于 xOy平面向外；區(qū)域IV的圓心 ,qL2坐標(biāo)為(0, 2)、磁場(chǎng)方向垂直于 xOy平面向里。兩個(gè)質(zhì)量均為 m、電荷量均為q的帶正電粒子M、N,在外力約束下靜止在坐標(biāo)為( 3L,工)、(3L,433L)的兩點(diǎn)。在2224x軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外) 放置一塊足夠長(zhǎng)的感光板， 板面垂直于xOy平面。將粒子M、 N由靜止釋放，它們最終打在感光板上并立即被吸收。不計(jì)粒子的重力。求：(1)粒子離開(kāi)電場(chǎng)I時(shí)的速度大小。(2)粒子M擊中感光板的位置坐標(biāo)。(3)粒子N在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。10. 一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子以速度Vo,從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁

19、感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b處穿過(guò)x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為 30 ,同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)強(qiáng)為 E、方向沿與x軸負(fù)方向成60 角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，通過(guò)了b點(diǎn)正下方的c點(diǎn)，如圖所示，粒子的重力不計(jì)，試求：(1)圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積;(2) c點(diǎn)到b點(diǎn)的距離。11.如圖甲所示，質(zhì)量m = x 1-25kg,電荷量q=x ld5C的帶正電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處?gxOy平面射入第一象限內(nèi)，且在與x方向夾角大于等于 30°的范圍內(nèi)，粒子射入時(shí)的速度方向不同，但大小均為 V0=xi0n/s?，F(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B