1、21空間點(diǎn)、直線、平面之間的空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系位置關(guān)系21.1平面平面一、閱讀教材P4043，回答以下問題：1由于幾何里的平面是無(wú)限延展的，所以需求時(shí)可以將平面恣意，通常畫 表示平面2當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮住部分的線段畫成3公理1：假設(shè)一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)即這條直線在這個(gè)平面內(nèi)延展平行四邊形虛線一切符號(hào)表示：Al，Bl，且A，B .如圖：l4公理2：經(jīng)過的三個(gè)點(diǎn)，有且只需一個(gè)平面即三點(diǎn)確定一個(gè)平面5公理3：假設(shè)不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只需一條經(jīng)過的公共直線假設(shè)平面和有且僅有一條公共直線l，就說平面

2、和，l叫做，記作.符號(hào)表示：與不重合，P，P與有一條交線l，且Pl.不在同一條直線上不共線這個(gè)公共點(diǎn)相交交線l二、解答以下問題1點(diǎn)A在直線l上，又稱直線l經(jīng)過點(diǎn)A，記作；點(diǎn)A不在直線l上，又稱，記作.2點(diǎn)A在平面內(nèi)，又稱，記作；點(diǎn)A不在平面內(nèi)，又稱 ，記作.3直線l在平面內(nèi)，又稱平面經(jīng)過直線l，記作；直線l在平面外，又稱平面不經(jīng)過直線l，記作.Al直線l不經(jīng)過點(diǎn)AAl平面經(jīng)過點(diǎn)AA平面不經(jīng)過點(diǎn)AAll4直線a與b相交于點(diǎn)A，記作；直線l與平面相交于點(diǎn)A，記作；平面與相交于直線l，也稱作直線l是平面與的交線，記作 .5點(diǎn)A是平面與的公共點(diǎn)，能記作A嗎？不能，由于兩個(gè)平面假設(shè)有一個(gè)公共點(diǎn)，就必有一

3、條經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的公共直線，因此應(yīng)表示這條公共直線，而不是一個(gè)點(diǎn)abAlAl本節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三個(gè)公理本節(jié)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：公理的了解與運(yùn)用點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的符號(hào)表示與畫圖1反映平面根本性質(zhì)的三個(gè)公理是研討空間中點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的最根本的根據(jù)，是構(gòu)成立體幾何知識(shí)體系的根底(1)公理1反映了直線與平面的位置關(guān)系，是斷定點(diǎn)、直線能否在平面內(nèi)的根據(jù)，可運(yùn)用公理一證明點(diǎn)、直線在平面內(nèi)(斷定點(diǎn)在平面內(nèi)的步驟是：先斷定直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在直線上，由此得出點(diǎn)在平面內(nèi))；公理一的另一個(gè)作用是用來檢驗(yàn)平面(2)公理2是確定平面的根據(jù)，“確定的含義是“有且僅有即“存在一個(gè)平面且“只需一個(gè)平面(3)公理3是斷定兩平面

4、相交的根據(jù)，也是證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)的根據(jù)運(yùn)用公理3斷定點(diǎn)共線(或點(diǎn)在直線上)的步驟：點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，直線是這兩個(gè)平面的交線，那么點(diǎn)在直線上2要逐漸熟習(xí)用集合言語(yǔ)來表達(dá)空間幾何元素間位置關(guān)系，掌握文字言語(yǔ)、符號(hào)言語(yǔ)和圖形言語(yǔ)的相互轉(zhuǎn)化例1假設(shè)點(diǎn)Q在直線b上，b在平面內(nèi)，那么Q、b、之間的關(guān)系可記作()AQb，bBQb，bCQb，b DQb，b解析解法1：(直接法)點(diǎn)Q在直線b上，Qb.直線b在平面內(nèi)，b.應(yīng)選B.解法2：(排除法)點(diǎn)Q與直線b之間的關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系，只能用符號(hào)“或“ 表示，C、D應(yīng)予排除直線b與平面之間是集合與集合之間的關(guān)系，只能用符號(hào)“或“ 表示，A應(yīng)予以排除

5、應(yīng)選B.點(diǎn)評(píng)直線、平面都看作點(diǎn)的集合，但是用符號(hào)表達(dá)直線與平面之間關(guān)系時(shí)，應(yīng)該用或 ，不能用、 等將下面用符號(hào)言語(yǔ)表示的關(guān)系改用文字言語(yǔ)予以表達(dá)，并畫圖形表示l，Al，AB，AC.解析文字言語(yǔ)表達(dá)為：點(diǎn)A在平面與平面的交線l上，AB、AC分別在、內(nèi)圖形言語(yǔ)表示如右圖點(diǎn)評(píng)文字言語(yǔ)比較自然、生動(dòng)，它能將問題所研討的對(duì)象的含義更加明白地表達(dá)出來，我們教科書上的概念、定理等多以文字言語(yǔ)表達(dá)圖形言語(yǔ)，易引起明晰的視覺籠統(tǒng)，它能直觀地表達(dá)概念、定理的本質(zhì)以及相互關(guān)系，在籠統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想面前起著詳細(xì)化和加深了解的作用，故應(yīng)下功夫掌握三種言語(yǔ)的相互轉(zhuǎn)化.例2知ABC的邊AB、BC在平面內(nèi)，判別AC能否在平面內(nèi)解

6、析AB在平面內(nèi)，A點(diǎn)一定在平面內(nèi)BC在平面內(nèi)，C點(diǎn)一定在平面內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)C都在平面內(nèi)直線AC在平面內(nèi)(公理1)點(diǎn)評(píng)將上述證明過程用符號(hào)表示為：AB，A，BC，C，AC.可見符號(hào)言語(yǔ)比文字言語(yǔ)簡(jiǎn)捷得多，因此應(yīng)加強(qiáng)符號(hào)言語(yǔ)的運(yùn)用，熟練地將三種言語(yǔ)相互轉(zhuǎn)化三條直線a、b、c兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)，知a與b都在平面內(nèi)，求證c也在平面內(nèi)分析如圖，設(shè)abD，acF，bcE，由a可知，F(xiàn)，由b知，E，由Ec，F(xiàn)c知，c.解析知a，b，設(shè)abD，acF，bcE，如圖求證：c.證明：acF，F(xiàn)c，F(xiàn)a，a，F(xiàn)a，F(xiàn)；同理可知E，EF，即c.點(diǎn)評(píng)解答立體幾何證明題，普通可先畫出符合題設(shè)要求的圖形，由知條件和待證結(jié)論分

7、析解題的思緒，找準(zhǔn)切入點(diǎn)依次寫出證明過程.例3定義：假設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)不共面，依次銜接四點(diǎn)得四邊形ABCD稱作空間四邊形假設(shè)空間四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA上各有一點(diǎn)P、Q、R、S，且直線PS與QR交于點(diǎn)K，求證B、D、K共線分析欲證B、D、K三點(diǎn)共線，只需證明K在直線BD上，而BD是平面ABD與平面BDC的交線，故運(yùn)用公理3可獲證證明PSQRK，KPS，PS平面ABD，K平面ABD同理，K平面BCD又BD平面ABD平面BCD據(jù)公理3，KBD即B、D、K共線總結(jié)評(píng)述：證明三點(diǎn)共線，普通先證兩點(diǎn)確定的直線是某兩個(gè)平面的交線，再證第三個(gè)點(diǎn)是兩平面的一個(gè)公共點(diǎn)也可以證明三點(diǎn)都是兩個(gè)

8、平面的公共點(diǎn)，兩個(gè)平面不重合例4為什么自行車可只安裝一個(gè)腳撐？解析根據(jù)公理2知道，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，我們把自行車的前后輪看作是兩個(gè)點(diǎn)，因此只需求在自行車旁安裝一個(gè)撐腳作為第三點(diǎn)，由這不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，因此自行車只安裝一只撐腳就可以一扇門，可以想象為平面的一部分，通常用兩個(gè)合頁(yè)把它固定在門框的一邊上，當(dāng)門不鎖上時(shí)，可以自在轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)門鎖上，那么門就固定在墻面上他可以用平面的哪一性質(zhì)來解釋這一景象？_答案可以用公理一來解釋這一景象解析當(dāng)門不上鎖時(shí)，兩個(gè)合頁(yè)相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線，經(jīng)過一條直線有無(wú)數(shù)個(gè)平面上鎖后，三個(gè)不共線點(diǎn)確定獨(dú)一平面例5不共面的四點(diǎn)最多可以確定幾個(gè)平面？

9、分析不共面的四點(diǎn)中必定恣意三點(diǎn)不共線(為什么？)借助公理3可解解析設(shè)四點(diǎn)構(gòu)成的集合A，B，C，D，當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)不共面時(shí)，經(jīng)過四點(diǎn)的平面是不存在的，但是(A，B，C)、(B，C，D)、(C，D，A)、(A，B，D)各可以確定一個(gè)平面，所以空間不共面的四點(diǎn)，可以確定四個(gè)平面例6空間有五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E，假設(shè)A、B、C、D共面且B、C、D、E共面，那么這五點(diǎn)共面能否正確？為什么？錯(cuò)解共面由于A、E都在B、C、D所確定的平面內(nèi)辨析錯(cuò)解沒有正確了解公理2，只需不共線三點(diǎn)才可確定一個(gè)平面，當(dāng)B、C、D不共線時(shí)，由公理3知，A、E都在B、C、D確定的平面內(nèi)即五點(diǎn)共面當(dāng)B、C、D共線時(shí)，空間五點(diǎn)

10、可以不共面，如以下圖所示正解當(dāng)B、C、D不共線時(shí)，由公理3知，A、E都在B、C、D確定的平面內(nèi)即五點(diǎn)共面當(dāng)B、C、D共線時(shí)，假設(shè)A在B、C、D、E確定的平面內(nèi)，那么A、B、C、D、E共面，假設(shè)A不在B、C、D、E確定的平面內(nèi)，那么A、B、C、D、E不共面如圖l，B、C、D都在l上，A，E，A，E都不在l上，滿足上述條件，但A、B、C、D、E不共面1線段AB在平面內(nèi)，直線AB能否在平面內(nèi)？為什么？解析線段AB在平面內(nèi)，AB的兩端點(diǎn)A、B在內(nèi)，由公理1知直線AB在平面內(nèi)2判別以下命題能否正確：(1)假設(shè)兩個(gè)不重合的平面有兩個(gè)公共點(diǎn)A、B，那么它們就有無(wú)數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)都在直線AB上；(2)過一條直線的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)解析(1)正確(2)正確，如書脊和書頁(yè)3用符號(hào)言