1、蒁蕿肄羋莇薈螄肁芃薇袆芆腿薆羈聿蒈薅蚈芅莄蚄螀肇芀蚄袂芃膆蚃肅肆薄螞螄羈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蠆蠆膂膈蚈螁羅蕆螈袃膁莃螇羆羃艿螆蚅腿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞螂螂芅芁荿襖肈膇蒈羆芄蒆蕆蚆肇莂蒆袈節(jié)莈蒆羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿蒃裊羆蒞蒂羇膁芁薁蚇羄膇薀蝿膀蒅薀羂羃蒁蕿肄羋莇薈螄肁芃薇袆芆腿薆羈聿蒈薅蚈芅莄蚄螀肇芀蚄袂芃膆蚃肅肆薄螞螄羈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蠆蠆膂膈蚈螁羅蕆螈袃膁莃螇羆羃艿螆蚅腿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞螂螂芅芁荿襖肈膇蒈羆芄蒆蕆蚆肇莂蒆袈節(jié)莈蒆羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿蒃裊羆蒞蒂羇膁芁薁蚇羄膇薀蝿膀蒅薀羂羃蒁蕿肄羋莇薈螄肁芃薇袆芆腿薆羈聿蒈薅蚈芅莄蚄螀肇芀蚄袂芃膆蚃肅肆薄螞螄羈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇

2、節(jié)蠆蠆膂膈蚈螁羅蕆螈袃膁莃螇羆羃艿螆蚅腿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞螂螂芅芁荿襖肈膇蒈羆芄蒆蕆蚆肇莂蒆袈節(jié)莈蒆羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿蒃裊羆蒞蒂羇膁芁薁蚇羄膇薀蝿膀蒅薀羂羃蒁蕿肄羋莇薈螄肁芃薇袆芆腿薆羈聿蒈薅蚈芅莄蚄螀肇芀蚄袂芃膆蚃肅肆薄螞螄羈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蠆蠆膂膈蚈螁羅蕆螈袃膁莃螇羆羃艿螆蚅腿芅 2007年考研數(shù)學(xué)四大題出題點預(yù)測及例題2007年考試就要到了，今年考試都考些什么呢？同學(xué)們關(guān)心，我也關(guān)心。自從輔導(dǎo)班完成之后，我一直在琢磨這個問題，下面我列舉可能出大題的知識點，幫大家復(fù)習(xí)。數(shù)學(xué)四有三個地方是必考的：必考極限的求法，必考二重積分的計算，必考二次型。以下題目都不會考，要注意其中的方法

3、。1.極限的求法極限的求法，年年都考。今年大家要注意以下類型：及無窮小量的階的比較方面的題目。例1：極限分析: 本題屬型未定式，化為指數(shù)函數(shù)求極限即可.詳解: = =例2:求極限.解1 原式 解2 原式 評論：常常用對數(shù)恒等式求解，等價無窮小代換是極限計算的精髓！好幾年沒考連續(xù)與間斷點方面的題目了，今年有可能考。這類題目有可能函數(shù)用極限的形式給出。例3：設(shè), 求的間斷點【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與間斷點.對不同的,先用求極限的方法得出的表達(dá)式, 再討論的間斷點.解：顯然當(dāng)時,; 當(dāng)時, ,所以 ,因為 故為的間斷點.又如例4：求在（，）內(nèi)的間斷點，并判斷其類型例5：a=？時在

4、x=0點連續(xù)，x=0是可去間斷點。.關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的討論例6：設(shè)函數(shù)，其中在x=1處連續(xù)，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性與可導(dǎo)性 【分析】被積函數(shù)含有絕對值，應(yīng)當(dāng)作分段函數(shù)看待，利用f(x)在x=1處左右導(dǎo)數(shù)定義討論即可.解： f(x)在x=1處的連續(xù) ， ，可見，f(x)在x=1處可導(dǎo)的充分必要條件是 .例7：設(shè)函數(shù)在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達(dá)式;()問為何值時, 在處可導(dǎo).解：()當(dāng),即時, .()由題設(shè)知 . .令, 得.即當(dāng)時, 在處可導(dǎo).積分的計算在歷年的考研試題中,關(guān)于反三角函數(shù)的考題最多。主要涉及arcsin(x)

5、,arctan(x)，另外還要注意廣義積分和定積分的換元積分法。例8:計算不定積分 【分析】 被積函數(shù)含有根號，典型地應(yīng)作代換：x=tant, 或被積函數(shù)含有反三角函數(shù)arctanx，同樣可考慮作變換：arctanx=t，即 x=tant.解：設(shè)，則=又= =，故 因此 = =【評注】本題也可用分布積分法： = = = =，移項整理得 =4.不等式的證明或問題這一問題考過多年了，2006年數(shù)學(xué)四考了不等式的證明，今年該考問題了。這一問題一般在a,b的使用拉格朗日中值定理或可棲中值定理，有時學(xué)要結(jié)合介值定理或先用幾分中值定理處理等方法解決問題:例9設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)

6、，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使【分析】 根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點c，使得，然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價于，問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的.【詳解】 因為f(x)在0，3上連續(xù)，所以f(x)在0，2上連續(xù)，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是 ， .故由介值定理知，至少存在一點，使 因為f(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在，使例10:設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在,使得 例1

7、1:設(shè)在，上連續(xù)，（，）內(nèi)可導(dǎo)，且證明：在（，）內(nèi)至少存在一點使得例12:設(shè)函數(shù)在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，證明：在（，）內(nèi)存在，使得這三個題目都講過了，望大家能舉一反三。5.微分方程與幾何(積分)綜合題微分方程年年都考，大多與其他課程結(jié)合命題，與切線、邊動上限的積分、無窮級數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、曲線積分與路徑無關(guān)問題聯(lián)合出題。例13：在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.() 求的方程；() 當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值.分析()利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；()利用定積分計算平面圖形的面積，確定參數(shù).解：() 設(shè)曲線的方程為，

8、則由題設(shè)可得 ，這是一階線性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲線的方程為 . () 與直線（）所圍成平面圖形如右圖所示. 所以 ， 故.又如：1. 設(shè)函數(shù)，滿足=， =2 且=0，=2，求2.對任意0,曲線上點處的切線在軸上的截距為,求的表達(dá)式. 6.微導(dǎo)數(shù)與二元極（最）值 這一章今年可能考某經(jīng)濟(jì)問題的極值問題,無條件極值或條件極值.例14：設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又, 求【分析】 本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題：，直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用【詳解】 ，故 ，所以 =例15：假設(shè)某企業(yè)在兩個相互分割的市場上獨立出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分

9、別是，價格單位：萬元/噸，需求量單位：噸；成本函數(shù)是（1）如果實行價格差別策略，試確定兩個市場上的銷量和價格,使企業(yè)利潤最大?用無條件極值做,答案(4,5),(10,7)(2) 如果實行價格無差別策略，試確定兩個市場上的銷量和統(tǒng)一價格,使企業(yè)利潤最大?變成一元函數(shù)問題,當(dāng)然也可用條件極值做,條件是.答案(5,4),88.二重積分的計算一定考二重積分的計算有兩種基本方法：化二重積分為累次計分，用極坐標(biāo)變換計算二重積分；三個技巧：利用函數(shù)的奇偶性化簡積分，把X型區(qū)域轉(zhuǎn)化為Y型區(qū)域，對計分區(qū)域分割等例16：計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域.【分析】畫出積分域，看成X型區(qū)域不好算，看成Y型區(qū)

10、域處理。【詳解】積分區(qū)域如右圖.因為根號下的函數(shù)為關(guān)于的一次函數(shù)，“先后”積分較容易，所以 例17：計算二重積分，其中.【分析】 被積函數(shù)含有絕對值，應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分即可.【詳解】 記，于是 =+=【評注】 形如積分、等的被積函數(shù)均應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分.線性代數(shù)要考二次型（1）用正交線性替換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。例18：已知二次型的秩為()求的值；()求正交變換，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型；【分析】 （I）根據(jù)二次型的秩為2，可知對應(yīng)矩陣的行列式為0，從而可求a的值；（II）是常規(guī)問題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變

11、換.【詳解】 （I） 二次型對應(yīng)矩陣為 ，由二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=例19：的特征值之和為，特征值之積為 -12（） a,b的值（） 正交變換將二次型華為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所用的正交變換。（2）判別一個矩陣式正定矩陣（可能性大） 判別一個矩陣是正定矩陣，首先應(yīng)說明A是(實)對稱矩陣,然后用 方法一:用正定二次型的定義 例20：設(shè)A是的實矩陣，為n階單位矩陣，已知，證明當(dāng)時，B為正定矩陣。 證： 所以B是對稱的 對于任

12、意的非零列向量，因為 所以B為正定矩陣。 方法二:用特征根全大于0的方法（可能考）例21：為三階實對稱矩陣，且滿足A2+2A=0,已知A的秩為2（1）求A全部特征值（2）當(dāng)k為何值時,矩陣A+kE是正定的?解：設(shè)是A的一個特征根， ，。 A為實對稱矩陣，所以A的特征值全部為實數(shù)。A的秩為2，所以A的全部特征值為-2，-2，0A+kE的全部特征值為k-2，k-2，k,當(dāng)k2時，特征值全部大于0，A+kE是正定的。評注：特征值特征向量問題是歷年考試的重點，特別是實對稱矩陣的特征值特征向量問題更是重點。實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，頻頻出現(xiàn)在試題中。 例22：三階實對稱矩陣A的特征值是1

13、，2，3，矩陣A的屬于特征值1，2的特征向量分別是（1）求矩陣A的屬于特征值3的特征向量（2）求矩陣A 解：設(shè)A的屬于特征值3的特征向量為所以 ，求得基礎(chǔ)解系， 令，求A就容易了。方法三:用順序主子式全大于0的方法(一般是填空題)例23：設(shè)二次型是正定的，求t的取值范圍。10.概率論的題目(1)邊緣分布的求法,二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例24：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度; 直接用條

14、件概率公式計算即可.解 （I） 關(guān)于X的邊緣概率密度=關(guān)于Y的邊緣概率密度= （II） 令，1） 當(dāng)時，；2） 當(dāng)時， =; 3) 當(dāng)時，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：（III） (2)數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)。例24 ：設(shè)，為兩個隨機(jī)事件,且, , , 令 求() 二維隨機(jī)變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. 【分析】本題的關(guān)鍵是求出的概率分布，于是只要將二維隨機(jī)變量的各取值對轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件和表示即可解 () 因為 ，于是，則有，( 或)，即的概率分布為： 0 1 0 1 ()方法一：因為，所以與的相關(guān)系數(shù) 方法二： X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故 ，從而 () 的可能取值為：0，1，2 ，即的概率分布為： 0 1 2 真誠祝福同學(xué)們考試成功！ 膁芄蒈罿膀莆蚃裊艿蒈蒆螁羋膈蟻蚇裊芀蒄薃襖蒂蝕羂袃膂薂袈袂芄螈螄袁莇薁蝕袁葿莄罿羀腿蕿裊罿芁莂螁羈莃薇蚇羇膃莀蚃羆芅蚆羈羅莈蒈袇羅蒀蚄螃羄膀蕆蠆肅節(jié)螞薅肂莄蒅襖肁肄蟻螀肀芆蒃螆肀莈蝿螞聿蒁薂羀肈膀莄袆?wù)仄M薀螂膆蒞莃蚈膅肅薈薄膄膇莁羃膄荿薇衿膃蒂葿螅膂膁蚅蟻膁芄蒈罿膀莆蚃裊艿蒈蒆螁羋膈蟻蚇裊芀蒄薃襖蒂蝕羂袃膂薂袈袂芄螈螄袁莇薁蝕袁葿莄罿羀腿蕿裊罿芁莂螁羈莃薇蚇羇膃莀蚃羆芅蚆羈羅莈蒈袇羅蒀蚄螃羄膀蕆蠆肅節(jié)螞薅肂莄蒅襖肁肄蟻螀肀