1、13 / 12一筆畫與多筆畫CJ一知識框架一、一筆畫的認識所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準重復.從上圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖.但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來探求解決這個問題的方法什么樣的圖形能一筆畫成呢？這就是一筆畫問題，它是一種有名的數(shù)學游戲.所謂一筆畫，就是從圖形上的某點出發(fā)，筆不離開紙，而且每條線都只畫一次不準重復.我們把一個圖形中與偶數(shù)條線相連接的點叫做偶點.相應的把與奇數(shù)條線相連接的點叫做 奇點.二、一筆畫問題(1) 能一筆畫出的圖形必須是連通的圖形；(2) 凡是只由偶點組成的連通

2、圖形 .一定可以一筆畫出.畫時可以由任一偶點作為起點 .最后仍回到這點；(3) 凡是只有兩個奇點的連通圖形一定可以一筆畫出.畫時必須以一個奇點作為起點 .以另一個奇點作為終點；(4) 奇點個數(shù)超過兩個的圖形，一定不能一筆畫.三、多筆畫問題我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫.多筆畫圖形的筆畫數(shù)恰等于奇點個數(shù)的一半.事 實上，對于任意的連通圖來說，如果有 2n個奇點(n為自然數(shù))，那么這個圖一定可以用 n 筆畫成.與J重難點(1)知道什么樣的的是奇點？什么樣的點是偶點(2) 知道什么樣的圖形可以一筆畫出.(3) 不能一筆畫出的圖形叫做多筆畫圖形，多筆畫圖形的筆畫數(shù)與什么有關呢?【例1】 下圖是某

3、地區(qū)所有街道的平面圖 .甲、乙二人同時分別從 A、B出發(fā)，以相同的速度走遍所有的街道，最后到達C.如果允許兩人在遵守規(guī)則的條件下可以選擇最短路徑的話，問兩人誰能最先到達C?【解析】 本題要求二人都必須走遍所有的街道最后到達C,而且兩人的速度相同.因此，誰走的路程少，誰便可以先到達 C.容易知道，在題目的要求下，每個人所走路程都至少是所有街道路程的總和.仔細觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)圖中有兩個奇點：A和C.這就是說，此圖可以以 A、C兩點分別作為起點和終點而一筆畫成.也就是說，甲可以從 A出發(fā)，不重復地走遍所有的街道，最后到達C;而從B出發(fā)的乙則不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的總和，而乙所

4、走的路程則必定大于這個 總和，這樣甲先到達 C.【答案】甲先到達 C.【例2】 右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個展覽廳還有一個進口和一個出口，問游人能否一次不重復地穿過所有的門，并且從入口進，從出口出?AQ3SO【考點】一筆畫問題【難度】2星 【題型】解答【解析】 將圖形中的6個區(qū)域看成6個點，每個門看成連結他們的線段，顯然6個點都是偶點，所以有人能一次不重復的走過所有的門.【答案】能【鞏固】右圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由.如果能，應從哪開始走?【考點】一筆畫問題【解析】不能例3 【難度】2星【題型】解答卜

5、圖中的每條線都表示一條街道，線上的數(shù)字表示這條街道的里數(shù).郵遞員從郵局出發(fā)，要走遍各條街道，最后回到郵局.問：郵遞員怎樣走，路線最合理?郵遞員走的路程最短時，路線最合理 .利用一筆畫的知識分析可得：因為郵遞員從郵局作為起點和終點，所以沒有奇點是最理想的，但實際上圖中卻有8個奇點，郵遞員必須重復走某些路線.根據(jù)多筆畫改為一筆畫的方法得知：重復走的路線的兩個端點應為奇點.重復的總路程應該盡可能短我們把需重復走的路線，用虛線添在圖中，通過分析與計算可知；當郵遞員所走的路線如右圖時，重復的路程最短，全程共走了56+4=60 （里）.其中56為所有街道的總長，4為所重復走的路程.小結：本題屬于最短郵遞路

6、線問題 .解決這樣的題目時，有兩點值得注意：在所給圖中，每 條邊都有具體的長度，這與前面其他問題中不考慮長度是不同的；郵遞路線中，郵遞員必須以郵 局作為起點和終點，即在最后能一筆畫出的圖中，所有的點都必須是偶點.這也與前面游人可以選擇進出口的問題不同.【例4】右圖是某地區(qū)街道的平面圖，圖上的數(shù)字表示那條街道的長度.清晨，灑水車從 A出發(fā)，要灑遍所有的街道，最后再回到 A.問：如何設計灑水路線最合理?【解析】 這又是一個最短路線的問題.通過分析可以知道：在灑水路線中，K是中間點，因此必須成為偶點,這樣灑水車必須重復走 KC這條邊（如下左圖）.至此，奇點的個數(shù)并未減少，仍是 6個，但問題 卻轉化為

7、例6的類型.類似于例6,容易得出，灑水車必須重復走的路線有： GF IJ、BC.即灑水路 線如下右圖.全程 45+3+6=54 （里）【例5】 在3X3的方陣中每個小正方形的邊長都是100米.小明沿線段從 A點到B點，不許走重復路，他最多能走多少米？【考點】一筆畫問題【難度】3星【題型】解答【解析】這道題大多數(shù)同學都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解.首先，圖中有8個奇點，在8個奇點之間至少要去掉 4條線段，才能使這8個奇點變成偶點；其次，從A點出發(fā)到B點, A, B兩點必須是奇點，現(xiàn)在 A B都是偶點，必須在與 A B連接的線段中各去掉 1條線段， 使A, B成為奇點.所以至少要去掉

8、 6條線段，也就是最多能走 1800米，走法如圖【例6如圖是某餐廳的平面圖，共有五個小廳，相鄰兩廳之間有門相通，并且設有入口.請問你能否從入口進入一次不重復地穿過所有的門.如果可以，請指明穿行路線，如果不能，應關閉哪個門就可以辦到？【考點】【解析】一筆畫問題【難度】4星【題型】解答可以將圖中的五個小廳以及廳外的部分都抽象成點，為方便解題，給它們分別編號.這時，連通 廳與廳之間的門就相當于各點之間的連線.于是題目中餐廳平面圖就抽象成為一個連通的圖形， 如下：【答案】求穿形路線的問題就轉化成一筆畫的問題.在抽象出的圖形中，我們可以找到四個奇點，即、和廳外，所以圖形不能一筆畫出也就是說，從入口進入不

9、可能一次不重復的穿過所有的門.但根據(jù)一筆畫問題的知識，只要關閉門，把、變?yōu)榕键c，就可以辦到，關閉B可行路線如上 圖.【例7（2009 數(shù)學解題能力展示讀者評選活動五年級初賽 6題）某城市的交通系統(tǒng)由若干個路口（右圖中線段的交點）和街道（右圖中的線段）組成，每條街道都連接著兩個路口.所有街道都是雙 向通行的，且每條街道都有一個長度值 （標在圖中相應的線段處）. 一名郵遞員傳送報紙和信件， 要從郵局出發(fā)經過他所管轄的每一條街道最后返回郵局（每條街道可以經過不止一次）.他合理安排路線，可以使得自己走過最短的總長度是 .【考點】一筆畫問題【難度】4星 【題型】填空【解析】根據(jù)一筆畫的有關概念，道路圖中

10、有6個奇點，郵遞員不可能不重復地走遍所有街道并返回郵局.但可以對道路圖作一些處理，相當于郵遞員通過走重復的道路，完成一筆畫，如下圖:總路程為3-10+2x8 =46.【答案】46例8 18世紀的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心匯合，匯合處有一座小島A和一座半島D,人們在這里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個小島連接起來（如圖a）.如果游人要一次走過這七座橋，而且對每座橋只許走一次，問如何走才能成功？【考點】一筆畫問題【難度】4星【題型】解答【解析】歐拉解決這個問題的方法非常巧妙.他認為：人們關心的只是一次不重復地走遍這七座橋，

11、而并不關心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線.這樣，一個實際問題就轉化為一個幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問題了.而圖 B中有4個奇點顯然不能一筆畫出.【答案】不能【鞏固】如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個島，有七座橋連接這兩個島及河岸.問：一個散步者能否次不重復地走遍這七座橋?【考點】一筆畫問題【難度】4星【題型】解答【例9】一個郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā),要走遍各街道，最后回到郵局.怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米?【考點】一筆畫問題111郵扃【難度】5星【題型】解答1郵局【解

12、析】圖中共有8個奇點，必須在8個奇點間添加4條線，才能消除所有奇點，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫.在距離最近的兩個奇點間添加一條連線，如左下圖中虛線所示，共添加4條 連線，這4條連線表示要重復走的路，顯然，這樣重復走的路程最短，全程 30千米.走法參考右卜圖（走法不唯一）.郵向【答案】30千米【隨練1】一輛清潔車清掃街道，每段街道長1公里，清潔車由A出發(fā)，走遍所有的街道再回到A.怎樣走路程最短，全程多少公里？【考點】一筆畫問題【解析】【難度】2星【題型】解答【答案】如圖，27;【隨練2】右圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由.如果能，應從哪開始

13、走?【解析】我們將每個展室看成一個點， 室外看成點E,將每扇門看成一條線段， 兩個展室間有門相通表示兩個點間有線段相連，于是得到右圖.能否不重復地穿過每扇門的問題，變?yōu)橛覉D是否一筆畫問題上圖中只有A, D兩個奇點，是一筆畫，所以答案是肯定的，應該從 A或D展室開始走.【答案】能，應該從 A或D展室開始走例題精講【作業(yè)1】下列圖形分別是幾筆畫？怎樣畫?【答案】（1） 1筆 （2） 2筆（3） 1筆【作業(yè)2】 從A點出發(fā)，走遍右上圖中所有的線段，再回到A點，怎樣走才能使重復走的路程最短?【作業(yè)3】郵遞員要從郵局出發(fā)，走遍左下圖（單位：千米）中所有街道，最后回 到郵局，怎樣走路程最短？全程多少千米？

14、2【答案】【作業(yè)4】有一個郵局，負責21個村莊的投遞工作，下圖中的點表示村莊， 線段 表示道路.郵遞員從郵局出發(fā)，怎樣才能不重復地經過每一個村莊，最后回到郵局？ 口 .【答案】【作業(yè)5】一只木箱的長、寬、高分別為 5, 4, 3厘米（見右圖），有一只甲蟲從 A點出發(fā)，沿棱爬行，每條棱不允許重復，則甲蟲回到A點時，最多能爬行多少厘米？【答案】34厘米.【作業(yè)6】在六面體的頂點B和E處各有一只螞蟻（見右圖），它們比賽看誰能爬 過所有的棱線，最終到達終點D.已知它們的爬速相同，哪只螞蟻能獲勝？D【解析】 許多同學看不出這是一筆畫問題，但利用一筆畫的知識，能非常巧妙地解答這道題.這道題只要求爬過所有的

15、棱，沒要求不能重復 .可是兩只螞蟻爬速相同，如果一只不重復地爬遍所有的棱，而另 一只必須重復爬某些棱，那么前一只螞蟻爬的路程短，自然先到達D點，因而獲勝.問題變?yōu)閺腂到D與從E到D哪個是一筆畫問題.圖中只有E, D兩個奇點，所以從E到D可以一筆畫出，而從B 至|J D卻不能，因此 E點的螞蟻獲勝.【答案】E點的螞蟻獲勝.【作業(yè)7】下圖是一個街區(qū)街道的平面圖.郵遞員從郵局出發(fā)，跑遍所有街道投送 信件.請你為他安排一條最短的路線，并按圖中標出的千米數(shù)算出這條路線的長度 （單位：千米）數(shù)學文化小故事：“ 0”的來歷大約 1500 年前， 歐洲的數(shù)學家們是不知道用“ 0” 的。 他們使用羅馬數(shù)字。 羅馬數(shù)字是用幾個表示數(shù)的符號，按照一定規(guī)則，把它們組合起來表示不同的數(shù)目。在這種數(shù)字的運用里，不需要“0”這個數(shù)字。而在當時，羅馬帝國有一位學者從印度記數(shù)法里發(fā)現(xiàn)了“ 0” 這個符號。他發(fā)現(xiàn)，有了“0”，進行數(shù)學運算方便極了，他非常高興，還把印度人使用“ 0”的方法向大家做了介紹。過了一段時間，這件事被當時的羅馬教皇知道了。 當時是歐洲的中世紀，教會的勢力非常大，羅馬教皇的權利更是遠遠超過皇帝。教皇非常惱