1、音樂與數(shù)學1500字小論文 淺談音樂中的數(shù)學 一、音樂中蘊涵的數(shù)學原理 在公元前六世紀，古希臘著名的哲學家、數(shù)學家畢達哥拉斯用比率將數(shù)學與音樂聯(lián)系起來，他認識到所撥琴弦產(chǎn)生的聲音與琴弦的長度有關，發(fā)現(xiàn)了和聲與整數(shù)之間的關系。于是，畢達哥拉斯音階（the pythagorean scale）和調音理論誕生了。 二、音符中的數(shù)字 萊布尼茨說過：“音樂是數(shù)學在靈魂中無意識的運算”。眾所周知，古今中外的音樂雖然千姿百態(tài)，但都是由7個音符（音名）組成的，數(shù)字17在音樂中是奇妙的數(shù)字。 數(shù)字1 萬物之本。老子云：“道生一、一生二、二生三、三生萬物?！闭麄€宇宙就是一個多樣統(tǒng)一的和諧整體。這也是一條美感基本法

2、則，適用于包括音樂在內(nèi)的所有藝術及科學之中。古希臘數(shù)學家尼柯瑪赫早就提出“音樂是對立因素的和諧的統(tǒng)一，把雜多導致統(tǒng)一，把不協(xié)調導致協(xié)調?！焙喲灾?，便是“一”變“多”，“多”變“一”的原理。中國俗語也說：“九九歸一”。文藝復興時期以來五百年的專業(yè)音樂在內(nèi)容上和形式上盡管存在天壤之別，但都共同遵循這個原理。音樂上許多發(fā)展樂思的手法，如重復、變奏、衍生、展開、對比等等，頻率差兩倍就聽起來像呢？這里需要引入陪音（upper partials）的概念，也稱為泛音（overtone）。除了一些音色很純的音（比如機器發(fā)出的正弦波）外，多數(shù)樂器演奏中除了激活原本頻率的聲波（基音）之外還會激活這些頻率的整數(shù)倍，

3、也就是陪音。當你按下鋼琴的C4，這時空氣中激蕩著的不只有261.6赫茲的聲波，還有523.3赫茲、784.9赫茲、1046.5赫茲等等（稱為泛音列），而泛音列中各個音的不同強度和相位正反映了樂器的音色。注意523.3赫茲是C5，1046.5赫茲是C6，但784.9赫茲并不是一個C音，我們后文會講到784.9赫茲比較接近G5。也就是說，同一音名的兩個音之間肯定有陪音的關系，但反之不成立陪音不必須是同一音名?；氐桨硕鹊膯栴}：C5本身就是C4最近的一個陪音，C5的陪音也都是C4的陪音，所以彈C5時激活的音頻彈C4時也會激活（當然強度不同），兩個音聽起來自然像啦 【平均律】 搞清楚了啥是八度，那一個八

4、度里的音又是怎么分的呢？大家知道七聲調式中一個八度是7個基本音級、12個半音，2個半音等于一個全音。大調是全全半全全全半 (1/1200) = 1.00058倍，一個八度也就是1200個音分。普通人對音高的辨別閾大概是20音分（0.2個半音），而音樂家可以達到5音分（0.05個半音），不同音高下的辨別閾還有所不同。 為什么要用平均律，讓所有音均勻分布呢？一個重要的原因是方便轉調。比如周杰倫的安靜，開始一直是B?調，在唱到第二遍副歌你要我說多難堪的時候突然升了一個全音變成了C調也就是之前的B?變成C，C變成D，D變成E等等，但盡管音高變了旋律聽起來還是一樣的，唱也還是一個感覺，區(qū)別最多也就是轉一

5、下調情緒激動一點。這種轉調后的不變性是平均律特有的，在其他一些律制（比如五度相生律、純律和中庸全音律）中不成立。同時這也意味著除平均律外，其他律制中每個調號的色彩都略有不同。這就是為什么亨德爾會偏好F大調和G小調（當時還沒有平均律），而lady gaga就不那么在乎。 【音程的協(xié)和】 前菜上完了，下面是主菜：音程的協(xié)和。協(xié)和（consonant）這個概念，操作定義大致就是聽起來和諧、悅耳。在實證研究中一般是給參與者同時播放兩個正弦音（這種音不帶陪音，只有基音），調整其間的頻率間隔，然后讓參與者在7點量表上評價這個音程有多悅耳、多優(yōu)美、多和諧之類。Plomp和Levelt的這篇論文里結合了前人和

6、他們自己的實驗結果，得到這樣一條曲線來描述兩個正弦音的間隔與這個音程不協(xié)和程度的關系： 圖一：音程不協(xié)和度與音程中根音和冠音間隔半音數(shù)的關系（圖出自American Scientist上的這篇文章，是P & L原文Fig.10的重新制作） 怎么樣，這條曲線看起來很光滑圓潤小正太吧？可如果是這樣，難道兩個音的間隔越大越協(xié)和？那為什么又要分協(xié)和音程和不協(xié)和音程呢？且慢，記得我們講這只是兩個基音之間的不協(xié)和程度，而考慮上兩個音各自陪音之間的協(xié)和程度之后，這圖就變成了下面的樣子： 圖二：考慮陪音后的音程不協(xié)和度（出自American Scientist，P & L原文F

7、ig.11的重新制作） 光滑圓潤的小正太轉眼變成了小刺猬，而且這刺還不是亂長，偏偏長在0、3、4、5、7、9、12這幾條線附近，是不是很神奇？我反正覺得挺神奇的。原文中沒有給詳細的推導過程，于是我就自己嘗試推導了一下（藍字部分）。 首先圖一這個小正太，怎么看怎么像一個Gamma分布。我試了幾次后發(fā)現(xiàn)它和Gamma (2,1)最為接近： 圖三：用Excel自制的Gamma (2,1)，和圖一長得很像吧 這個曲線大概反映出我們聽覺的特點：當兩個純音間隔很?。ū热缧∮?.2個半音）時人耳難以分辨，因此感覺是完全協(xié)和的。當剛開始能夠分辨出兩個音的時候感覺特別刺耳，于是就出現(xiàn)了1-2個半音處不協(xié)和的高峰

8、，而之后隨著間隔變大刺耳的感覺逐漸減弱，不和諧度也下降了。Gamma (2,1) 模型的具體數(shù)值如下表： 表一：根據(jù)Gamma (2,1) 算出的不協(xié)和度數(shù)值（y軸無量綱） 接下來看陪音之間的協(xié)和。打個不太恰當?shù)谋确?，談戀愛不僅要兩個人談得來，還要講究門當戶對不是？所以說還要拿雙方的弟弟妹妹們來配配看是否和諧，最后把所有不和諧的因素加起來看。表二中列出了根音6倍之內(nèi)陪音和冠音8倍之內(nèi)陪音的間隔半音數(shù)。從圖三中看到兩個音相差6個半音以上不協(xié)和程度就很低了，所以忽略掉陪音頻率差別在3:2以上的情況（實際計算的時候我是忽略了2:1以上的情況）。 表二：根音陪音和冠音陪音的間隔半音數(shù) 把表二中的數(shù)值代

9、入Gamma模型，就得到表三的不和諧度： 表三：根音陪音和冠音陪音的不協(xié)和度 把所有陪音的不協(xié)和度加起來就得到了圖四，和American Scientist上的圖（圖二）差不多吧：圖四：考慮陪音后的音程不協(xié)和度（Excel自制） 以上部分我們用一個Gamma模型推導了考慮陪音后根音-冠音間隔和音程不和諧度的關系。那么圖上突然下降的那幾根刺是怎么來的呢？ 舉例來講，間隔半音數(shù)7附近不協(xié)和度突然下降，而這個下降主要來自根音的3倍音（橙色線）和6倍音（綠色線）。回到表三，可以看到7個半音（G4）這一欄下黑框中的兩個數(shù)（0.02）遠遠小于黑框兩邊6個半音和8個半音兩欄（0.37），使得G4的陪音與C4

10、的3倍音、6倍音上的不和諧度只有兩邊F?4和G?4的10%不到。類似的情況也出現(xiàn)在0、3、4、5、9、12個半音的欄目中（表三中粗體標出）。 之所以這些位置會出現(xiàn)不協(xié)和度突然下降，尋根溯源到表二就很清楚了：表三中標粗的位置在表二中都接近0（絕對值 < 0.2）。對照Gamma分布的曲線（圖三）和之前的討論，兩個音相差小于0.2個半音時普通人難以分辨其差別，也就不會覺出不協(xié)和。而一旦稍高于這個閾限，不協(xié)和度就陡然上升。這也就解釋了為什么會有刺及其兩邊的突起形狀。 還是以G4（和C4間隔7個半音）為例：G4的2倍音和C4的3倍音太過接近，以致聽不出不協(xié)和；G4的4倍音和C4的6倍音，

11、G4的6倍音和C4的9倍音等等也都如此。這樣疊加的效果使得G4和C4構成的音程總體而言聽起來不協(xié)和度低，也就解釋了7附近的不協(xié)和度下降。注意，不管原圖還是自制圖中都只考慮了根音6倍以內(nèi)的陪音，加上更高倍數(shù)陪音的話刺會更多。 OK，如果還有人follow的話，以上冗長的推導簡單來講就是要證明這樣一個結論：當根音和冠音的振動頻率成簡單整數(shù)比時，音程就協(xié)和。兩者所成整數(shù)比越簡單、越精確，音程就越協(xié)和。 這個結論大體是得到實證數(shù)據(jù)支持的：我們通常聽來協(xié)和的音程（圖二中刺的位置）都可以近似表示成簡單整數(shù)比，而不協(xié)和音程表示成整數(shù)比要么分子分母較大，要么誤差較大（表 四）。簡單整數(shù)比也同樣能解釋一些三和弦

12、的協(xié)和：比如同為大三度和小三度的疊加，大三和弦其三個音的比例1200 = 0.0125。 然后考慮簡單整數(shù)比a/b：a/b為整數(shù)（1、2）時產(chǎn)生的是極完全和諧音程，這時候m/n = 0或1，必然有精確解。而我們關注的是其他協(xié)和音程，即a/b = 3/2, 4/3, 5/4, 6/5時能不能找到相應的m/n。而事實上，只要找到在a/b = 3/2（純五度）和a/b = 5/4（大三度）情況下符合*式的m1/n和m2/n，其他常用協(xié)和音程也都迎刃而解。藍字部分解釋了為什么存在純五度和大三度后就能導出所有其他協(xié)和音程： log2 (4/3) = 1 log2 (3/2)，log2 (3/2) 是有理

13、數(shù)時log2 (4/3) 必是同分母的有理數(shù)，即存在純五度也就存在純四度 log2 (5/4) = 1 log2 (8/5)，存在大三度也就存在小六度 log2 (6/5) = log2 (3/2) log2 (5/4)，存在純五度、大三度也就存在小三度 log2 (5/3) = 1 log2 (6/5)，存在小三度也就存在大六度 好，接下來的工作就是一個一個試了（連分數(shù)可以得到最接近的解，但我們需要所有誤差范圍之內(nèi)的解）：下面列出了n在30以內(nèi)所有接近純五度的m1/n，m1/n log2 (3/2) = 0.585 7/12, 14/24 10/17篇三：有關音樂的論文 流行音樂鑒賞與情感

14、流行音樂是指一部分流行歌曲、影視歌曲、通俗器樂曲、爵士音樂和布魯斯音樂等。通俗音樂的內(nèi)容貼近生活實際，歌詞簡單，語言生動形象，直白表達情感，容易理解，容易接受。 我們欣賞流行音樂，除了它朗朗上口、節(jié)奏輕快、親切自然以外，還有它的表現(xiàn)形式。那些制作精良的MV，讓你隨著音樂融入它的風格之中，有時它強烈的節(jié)奏讓我們身體跟著起舞，有時它的輕柔讓我們感覺有人在耳邊輕輕細語。在緊張繁忙的學習工作之余，這是最好不過的放松方式了。因為應試教育帶來的壓力，我們這些學生們總是試圖尋找心靈上的解脫。特別在中學時的我們，總是在排名和分數(shù)中掙扎，我們幼小的心靈被烙下無數(shù)個痛苦創(chuàng)傷，幸好那時開始接觸流行音樂的我們都在音樂

15、找到了宣泄。流行音樂伴隨著我們長大，特別是在那時出道的歌手們，他們的音樂和我們的想法真正的無代溝。 真該好好感謝流行音樂，陪我走過了這么多個困難?；蛟S是寂靜的夜里，或許是無人的教室，在音樂中聆聽我們自己的內(nèi)心，品味生活中的酸甜苦辣，他們就像老朋友一樣，總能抓住你的心。等我們都長大了，我們也不會忘記老朋友的。就像父輩們一直喜歡如李宗盛、羅大佑、鄧麗君等歌星，卻總也無法理解周杰倫的歌曲好在哪里。不同年代的音樂應該也有代溝。 這就是音樂，抓住了感情，音樂就有了靈魂。我們熟知美國流行音樂中的布魯斯、爵士樂，布魯斯俗稱藍調，藍色在美國文化代表著憂郁、憂傷。早年大部分移民從世界各地來到美國，一般地說是出自

16、于自愿，他們基本上是愿意把自己的文化同美國文化融合在一起。但只有黑人例外。他們是作為奴隸被迫來到這個國家的。他們身上“除了鎖鏈以外，一無所有，但他們的頭腦中卻牢記著非洲舞蹈和音樂的豐富傳統(tǒng)?！焙谌伺`們在農(nóng)場勞動時，不允許說話，但可以唱歌。他們依靠自人聽不懂的勞動號子和歌曲相互傳遞信息，交流感情，通過這種表達方式，把他們郁積在心里的痛苦與不平宣泄出來，從而逐漸形成了具有黑人特點的黑人音樂。 黑人音樂在形成過程中也在不斷地發(fā)生著變化，這種變化包括汲取白人音樂成分，產(chǎn)生了布魯斯、爵士樂等形式。而最初的搖滾樂就是黑人音樂“節(jié)奏布魯斯”，西方也有人把搖滾樂稱作為“下層階級反抗當局的一種形式”。關于節(jié)奏

17、布魯斯，在網(wǎng)上搜到得答案：這是一種由布魯斯演變而來的音樂風格。在上個世紀初，隨意走進美國的一家小酒館，就能看到小舞臺上一個拿著一把破吉他的黑人彈著扭曲的音符，用他那沒調的嗓子和聽起來十分膚淺的歌詞訴說著黑人在美國的遭遇。這就是布魯斯。隨著時代的進步，這種音樂也變得更具有音樂性了。曾經(jīng)沒調的音樂變得富有節(jié)奏，進而也更加旋律化。于是早期的RBRhythm and Blues就這樣形成了。 真正將RB引入中國的是陶喆，也有人稱他“中國的RB之父”。雖然說不清他的歌曲里的RB風格，但是我們?nèi)TV唱他的歌總是找不對感覺，而且也很難唱，對歌手要求很高，據(jù)我所知RB是目前最難唱的音樂，歌手必須很有技巧地運

18、用喉嚨與聲帶來推、擠，要能夠既曖昧又準確。盡管陶喆的歌非常受歡迎，可傳唱他的歌人確實不多。因為文化和生理上的差異，美國的RB并不是很容易被中國人接受。直到周杰倫出了第一張專輯，開始我們一下子不明白這是什么音樂，但是唱起來很順。這是周杰倫的帶有本土特色的節(jié)奏布魯斯，他摒棄RB中一些美國元素，用本土的唱法，更輕松的詮釋了布魯斯。所以也有人說，不管陶喆先前的個人專輯有多么的出色，周杰倫的出現(xiàn)絕對給他很大的壓力。流行音樂是指與古典、正統(tǒng)的音樂不同的一種音樂形式，能夠讓城市中的大多數(shù)聽眾所接受，易于掌握，能使普通大眾都感興趣的音樂。這類音樂作品旋律清晰，音域適中，伴奏和和聲手法都非常簡易。 很多偉大人物

19、和成功人士都愛好音樂，恩格斯年輕時就熱愛音樂，曾寫過一部歌劇，嘗試過作曲；盧梭是偉大的哲學家，同時他的音樂理論甚至音樂創(chuàng)作在音樂史上都具有重要地位；我國的地質學家家李四光、數(shù)學家蘇步青、科學家錢三強都是音樂愛好者?音樂對人才成長的影響功能。美好的音樂能緩解精神壓力，促進人才成長。這一點要從音樂對人的影響來理解。愛因斯坦曾經(jīng)說過他一生的事業(yè)得益于童年時期的音樂訓練。令人驚奇的是，這位世界一流的科學家，兒時曾經(jīng)被看成是個笨頭笨腦的孩子。4歲時才開口說話，上學后每次考試都是最后一名。滿分5分的成績，他總是拿1分。校長和老師一致斷言：這孩子將來不會有什么出息。當時他很沮喪，打算退學。但他的父親并沒有放

20、棄。老愛因斯坦開始教兒子拉小提琴，并一再鼓勵他。后來，愛因斯坦的小提琴拉得棒極了，經(jīng)常被邀請登臺演出。并且他開始變得自信起來，通過自己的努力最終成為科學巨匠。學過音樂的孩子，是最聰慧、最敏感、最善解人意的孩子。比起那些沒有接受過音樂訓練的孩子而言，這樣的孩子更有可能獲得幸福美滿的人生。我從小就學習長笛，雖然沒有成為音樂家，但那段音樂學習經(jīng)理在我的一生起了很大的作用。正像上面說得那樣他使我自信、勇敢、有修養(yǎng)。我雖然沒有成為什么大的科學家，但音樂帶給我的高雅卻始終留在我的血液中。音樂，對于人的道德、智力、感情和事業(yè)都有較大的影響力。在大學期間我雖然沒有繼續(xù)學習長笛，但我選擇了流行音樂欣賞課作為我學

21、習音樂，陶冶情操的另一個途徑。學習音樂欣賞有利于以積極美好的音樂強化我的道德觀念，有利于培養(yǎng)我樂觀的人生態(tài)度，有利于提高我的綜合素質，從而全面協(xié)調發(fā)展，成為國家的棟梁之材。 通過一個學期音樂鑒賞課的學習，讓我知道如果學生缺乏必要的音樂欣賞能力，音樂的美感就不能為學生所感受，音樂本身也會黯然失色。假如我們能真正的融入到音樂之中，我們的情感必將得到升華。 在我們的現(xiàn)實生活中，音樂是必不可少的調味品。不管是高興還是傷心，只要聽聽音樂，我們的內(nèi)心都可以得到極大的滿足。激動時，它使你感到溫馨；焦躁時，它使你安詳，苦悶時，它使你豁達、開朗；悲傷時，它使你振作。每當一個人悠閑無事的時候，我喜歡安靜地躺在床上

22、，合上雙眼，隨著歡快的音調放飛自己的思緒，讓我在音樂的海洋之中暢游。我喜歡聽歡快的音樂，那動人的旋律，清脆而有活力，它飽含了人們內(nèi)心激越和對美好生活的展望，仿佛使我找到了我前進的方向和動力。以前我聽音樂只是在單純消磨時間,根本就不知道原來音樂里面還有著情節(jié)和感人的故事,現(xiàn)在聽音樂和以前完全不一樣了,在欣賞歌曲時有著和普通人不同的理念,比普通人高一層境界，因為我可以進入到音樂豐富情感之中。進入音樂欣賞的世界，讓我可以置身體會到音樂所具有的獨特魅力，讓人們在不覺之中喜歡上它，在這個過程中，我們的情感得到提升和豐富。 音樂是一種善于表現(xiàn)和激發(fā)感情的藝術，可以說，音樂欣賞的過程就是感情體驗的過程，它既是欣賞者對音樂的感情內(nèi)涵進行體驗的過程，同時也是欣賞者自己的感情和音樂中表現(xiàn)的感情相互交融、