1、高三數(shù)學試題第3頁（共6頁）2021屆高三模擬考試2021. 04數(shù)學試題本試卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1 .答卷前，考生務必將自己的姓名、考號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2 .回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號 涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在 答題卡上.寫在本試卷上無效.3 .考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題；本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1 .已知集合 A = z|、= lnz>, B = y

2、63;Z|» = 2sin/,則 AAB =A. (0, 21C. L 2B. 0, 2D. (0. 1, 22 .命題“VGN, / -1GQ”的否定為A. V6N, 7產一iqqB. VCN, rz2-lCQD.zr-lEQ+ ln2g尤 40,3 .已知函數(shù)/Cr)號則/(2 021) =1/(Z一3) ">0,A.B. 2eD. 2e24 .已知點（1. 1）在拋物線C： / = 22/（力0）上,則。的焦點到其準線的距離為A- TB冊C. 1D. 25 .大數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了一個公式：門=cosz + isini, i是虛數(shù)單位，。為自然對數(shù)的底 數(shù).此公式被

3、譽為“數(shù)學中的天橋”.根據此公式.（cos j+isin j）2022 = （注：底數(shù)是正實數(shù)的實效指數(shù)瓶的運算律適用于復數(shù)指數(shù)霸的運算）A. 1B. -1C. iD. -i6,若（1 + 1）+。2（1 十 1）2十。3（# 十 1）'HFasQ+l）15,則仁3 =A. 20B. -20C. 15D. -157 .醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內、中、外三層.內層為親膚 材質（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細聚丙烯纖維熔噴材料層），外 層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據國家質量監(jiān)督檢驗標準, 醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標，根據長

4、期生產經驗，某企業(yè)在生產線狀態(tài)正常情況下 生產的醫(yī)用口罩的過濾率NN（0. 937 2 , 0.013 92）.若1N（，a2）（a>0）,則 P（M-2<z4+%）=0.954 5, P（戶一3a<r4+3a）=0.997 3. 0.977 25切=0.316 4. 有如下命題：甲:Pa<0,9X0.5?乙：P（x<0.4»P（x>l. 5）；丙：P（jr>o. 978 9）=0.001 35；T：假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的50只口罩中過濾率大于叢+ 2。的數(shù) 量.則P（X>l）=0.6.其中假命題是 A.甲B.乙C.丙D

5、. T8 .已知橢圓C與雙曲線/ 一娟=1有相同的左焦點巳、右焦點F2,點P是兩曲線的一 個交點，且下廣；際=0.過F2作傾斜角為45°的直線交C于A, B兩點（點A在Z 軸的上方），且冗=人溫，則4的值為A. 3+V3 B. 3+72C. 2+73D. 2+72二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有 多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9 .已知 a>0. 6>0, a+ = ,則A. a+Ov B.1 C. 4a 64" D.42b2310 .已知函數(shù)/(1)= I sin % | 十

6、春 | sin(E£) | ,則乙A. /Cr)在告，向上的最小值是1B. /1)的最小正周期是5C直線工=y柒6g是/()圖象的對稱軸 乙2D.直線丁=-2與/Cz)的圖象恰有2個公共點11 .列昂納多斐波那契(Leonard。Fibonacci, 11701250年)是意大利數(shù)學家，1202年 斐波那契在其代表作算盤書中提出了著名的“兔子問題”，于是得斐波那契數(shù)列, 斐波那契數(shù)列可以如下遞推的方式定義：用F()(eN")表示斐波那契數(shù)列的第 項,則數(shù)列F(滿足:F(1)=F(2)=1, F(+2) = F( + 1)+P().斐波那契 數(shù)列在生活中有著廣泛的應用，美國1

7、3歲男孩Aidan Dwyer觀察到樹枝分叉的分布 模式類似斐波那契數(shù)列，因此猜想可按其排列太陽能電池，找到了能夠大幅改良太 陽能科技的方法.蘋果公司的Log。設計,電影達芬奇密碼等,均有斐波那契數(shù)列 的影子.下列選項正確的是A. F(8)?=F(7)F(9)+1B. F(1)+F(2)HFF(6) + 1=F(8)C. F(2)+F(4)HFF(2)=尸(2+1)一2D. F了+ F(2)J + F()2=f() F( + i)12.如圖,正方體ABCD-AIiGDi的棱長為1,點P是BO 內部(不包括邊界)的AB動點.若BDJ_AP,則線段AP長度的可能取值為A組B1A- 3R5C.*D,

8、<高三數(shù)學試題第7頁(共6頁)13.已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情近視率三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分進行調查，則抽取的高中生中近視0小學初中高中學段圖2況分別如圖1和圖2所示，為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學生人數(shù)為.14 .如圖，由四個全等的三角形與中間的一個小正方形瓦GH拼成pc的一個大正方形ABCD中，7節(jié)=3熊.設區(qū)云=打55+西，則工+y的值為.15 .寫出一個圖象關于直線z = 2對稱且在0, 2上單調遞增的偶函數(shù)/（%）=."B16 . 2020年11月23日國務院扶貧辦確定的全國832個貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻

9、堅取得重大突破.為了使扶貧工作繼續(xù)推向深入，2021年某原貧困縣對家庭狀況較困 難的農民實行購買農資優(yōu)惠政策.（1）若購買農資不超過2 000元，則不給予優(yōu)惠；（2）若購買農資超過2 000元但不超過5 000元，則按原價給予9折優(yōu)惠；（3）若購買農資超過5 000元，不超過5 000元的部分按原價給予9折優(yōu)惠，超過5 000元的部分按原價給予7折優(yōu)惠.該縣家境較困難的一戶農民預購買一批農資，有如下兩種方案：方案一：分兩次付款購買，實際付款分別為3 150元和4 850元；方案二：一次性付款購買.若采取方案二購買這批農資，則比方案一節(jié)省元.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明

10、、證明過程或演算步驟.17 .（本小題滿分10分）已知數(shù)列。"）中，©=。2 = 1，且?！?2=?！?1+2即.記3=?！笆?+?！?，求證： （1”。“是等比數(shù)列；（2）仍”的前項和Tn滿足, ”2+ 十+1 J 22 J 3n + 1 乙18.(本小題滿分12分)若 f (x)=sin(ur(o>0, 0<p<5)的部分圖象如圖所示，/(0)=-y» /(t?) = 0. 乙乙JL乙(1)求/(1)的解析式;在銳角AABC中，若A>B,八?一自哼求儂,并證明sinA>竽.19.(本小題滿分12分)如圖，正方體ABCD-AiBiG&

11、quot;的棱長為1,點F在棱CC1上，過B, ", F三點的正方體的截面a與直線AA|交于點E.(D找到點E的位置，作出截面a(保留作圖痕跡)，并說明理由；(2)已知CF=a ,求a將正方體分割所成的上半部分的體積V1與下半部分的體積匕之比.20.(本小題滿分12分)天問一號火星探測器于2021年2月10日成功被火星捕獲，實現(xiàn)了中國在深空探測領域的技術跨越.為提升探測器健康運轉的管理水平，西安衛(wèi)星測控中心組織青年科 技人員進行探測器遙控技能知識競賽，已知某青年科技人員甲是否做對每個題目相 互獨立,做對A, B, C三道題目的概率以及做時時獲得相應的獎金如表所示.題目ABC做對的概率

12、0.80.60.4獲得的獎金/元1 0002 0003 000規(guī)則如下：按照A, B, C的順序做題，只有做對當前題目才有資格做下一題.(1)求甲獲得的獎金X的分布列及均值；(2)如果改變做題的順序，獲得獎金的均值是否相同？如果不同，你認為哪個順序獲得獎金的均值最大？(不需要具體計算過程，只需給出判斷)21 .（本題滿分12分）已知動點M與兩個定點0（0, 0）, A（3, 0）的距離的比為白，動點M的軌跡為曲線C.（1）求。的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線n = 3上的動點？（3,力分別作C的兩條切線FQ、PR（Q、R為 切點），N為弦QR的中點，直線/： 3工+43=6分別與1軸、軸

13、交于點E、F,求 NEF的面積S的取值范圍.22 .（本題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=acos2+ 1 - 1-工,且/'*）=0.（1）求實數(shù)Q的值，并判斷八1）在（0, 5）上的單調性；（2）對確定的AGN”,求了（力）在2藐+5, 2/冗+加上的零點個數(shù).2021屆高三模擬考試數(shù)學試題參考答案及評分標準2021. 4高三模擬數(shù)學答案第1頁（共12頁）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.CCAB DBDA 二、多項選擇題；本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9. BC

14、D10. ACD11. BD12. ABC三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 2014-115.|sinx| ； x-4k , xw41一2,41+ 2,左 wZ ； (x-4)2, 4xw4左一 2,4"+ 2"左eZ等（符合題意的均給分，注意|tan工x|不正確）16. 700 4四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）(1)證明:由 an+2 = an+1 + 2% ,得 bn+1= an+2 + an+l = 2(an+l + an) = 2bn.又4=4+出=2/0,所以"

15、是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.2 2 x2(2)由(1)知，*= 2=2(2。-1).于是一)b, a 鼠)+ (22 -1 23-1-)+(2"1_- 22n+1-l *因為一>0,所以2向一 1b?J+b,i+l < -.Th 210分18. (1)由/(0) = ,得 sin' = .又 0<。<二，故"二火.2226由/常) = 0,得sin(o*a=0.所以加2 +4=祈，kwZ,12 62即 0=1(6% 1), ksZ.由3>0,結合函數(shù)圖象可知!所以0<3<經.4分2 G 1252I?17所以有0<

16、一（6左一 1）<一,即一人 一.又無wZ,所以左=1. 5分5566從而幻= 2x(6xl-1) = 2.因此，/(x) = sin(2x + ). 563 得 sin(4 8) = .5/ 士 / / 4 _ B tt、 3由 w二'兀4又0< 力一£<5,故cos(/-4) = m.于是T二月"高三模擬數(shù)學答案 第2頁（共12頁）兀B A B it A B八又 A + B> ,所以 4 =+>+ 10分22242又尸sinx在(0二)上單調遞增,/£(0,烏)，色+ 上冬£(03)， 2242212分所以 si

17、n 4 >sin( +】9. (1)作法1：在正方形CDD|G中，過尸作GOC,且交棱。:于點G.連接力G,在正方形內過作且交棱4同于點£.連接EB, ED、,則四邊形8EQ尸就是要作的截面a. 2分理由：由題意，平面an平面42二口£，a fl平面BCX = BE ,平面AD H平面BCX,應有D、E H BF . 4分同理，BE H FD、.所以四邊形8助廠應是平行四邊形.由作圖過程，F(xiàn)G H DC , FG = DC .又 AB 1/DC, AB =DC , 所以AB / FG, AB = FG .所以四邊形AOFG是平行四邊形.所以 AG / BF, AG =

18、 BF.6 分由作圖過程，DE / AG .又EAHDG ,所以四邊形E4GD1是平行四邊形，所以DE H AG , D】E = AG . 7分又 AG " BF , AG = BF ,所以 RE /BF ,且 DQBF .所以8應)尸是平行四邊形.四邊形8£2尸就是要作的截面.8分 作法2： (1)在正方形GDAG中，過尸作EGOC,且交棱于點G.連接NG,在正方形”>14內過4作。由 HG,且交棱44)于點連接EB, EDlt則四邊形BED產就是要作的截面a.理由：由題意，口平面42=。£， Ea八平面BC= BF »平面AD1 平面BC,所以

19、D、E / BF.因為兩平行直線確定一個平面，則平面BEDF就是平面a .高三模擬數(shù)學答案 第3頁(共12頁)由作圖過程，F(xiàn)G/IDC, FG = DC.又 AB M DC, AB = DC ,所以 AB " FG, AB = FG .所以四邊形ABFG是平行四邊形.由作圖過程，D.E/ AG.所以尸.所以AG / BF.6分四邊形BE。尸就是要作的截面a. 8分作法3：在棱力上取點E,使得&E二CF.連接即，ED、,則四邊形8ER尸就是要作的截面a.理由：由題意，平面平面二afl平面8G =8尸，平面平面8C,所以D】E/BF 同理可證BE 尸馬.所以四邊形8即尸應是平行四

20、邊形.5分應有D1E = BF,又因為44萬和均為直角三角形，且49 =4C,由勾股定理得= dBF? -BC? =CF.7分由E的取點過程，知四邊形8ER尸就是要作的截面a. 8分作法4：在棱上取點E,使得4E = CF.連接ED,則四邊形BED尸就是要作的截面a.理由：由題意，an平面/an平面8G=8產2分平面4 A 平面BQ,所以D】E/BF. 4分同理BE/FD,所以四邊形切尸是平行四邊形. 5分下證所取的點E使得BEO尸是平行四邊形：高三模擬數(shù)學答案 第4頁（共12頁）在正方體力acq 44GA中，而=瓦.因為= A.E II FC ,所以乖=元. 6分所以證二派+章=在+定二初.

21、7分所以D】E/FB ,且RE=FB ,所以8EQ尸是平行四邊形.四邊形8EQ尸就是要作的截面.8分作法5：因為DBF,所以4,8,廠三點確定的平面就是平面a. 1分在平面a內過2作瓦"且交棱44于點盡連接瓦?, ED-則四邊形6M尸就是要作的截面a.理由：由題意，。平面4。=4七，白。平面£。1=8尸，平面/。1平面8G，所以D】E/BF . 6分根據作圖過程，QE 口 BF .四邊形尸就是要作的裁面.8分(2)解法 L 由題意，CF = a (0<a<l).高三模擬數(shù)學答案第5頁(共12頁)由(1)的證明過程，可得AE = a.而該正方體的體積p=l, %=

22、修一匕=1 一;二.所以匕：匕=1.12分解法2：由題意，CF = a（O<a<T）.由（1）的證明過程，可得由（1）的作法1,可知平面。將正方體分割所成的下半部分的幾何體可視為三棱柱ADG - BCF與三極柱EAB - D】GF的組合體,% Vadg-bcf + Veab-dgf11分而該正方體的體積V = l,匕=/一/二;,所以匕：匕=1.12分20.（本小題滿分12分）（1） ,«：分別用Z, B,。表示做對題目A, B, C的事件，B, C相互獨立.由題意，X的可能取值為0, 1000, 3 000, 6 000.P(X = 0) = P(yl) = 0.2 ；

23、 P(X = 1000) = P(/B) = 0.8 X 0.4 = 0.32 ；P(X = 3 000) = P(ABC) = 0.8 x 0.6 x 0.6 = 0.288 ；P(X = 6 000) = P(ABC) = 0.8 x 0.6 x 0.4 = 0.192 .X010003 0006 000P0.20.320.2880.192所以甲獲得的獎金x的分布列為：E(X) = 0x0.2 + 1000x032 + 3000x0.288 + 6000x0,192 = 2336 .（2）改變做題的順序，獲得獎金的均值互不相同. 決策的原則是選擇期望值E（X）大的做題順序，這稱為期望值原則

24、.做對的概率大表示題目比較容易，做對的概率小表示題目比較難.猜想：按照由易到難的順序做題,即按照題目A, B, C的順序做題，得到獎金的期望值最大.12分高三模擬數(shù)學答案第1頁（共12頁）21.（本題滿分12分）解：（1）設由也0 = 1得w+寸 MA 27(x-3)2 + /化簡得/+/+21-3 = 0, B|J(x + 1)2+/=4. 2 分故。是以（一1,0）為圓心，半徑為2的圓.3分（2）解法 1：設。（一1,0）,又尸（3,p）（pw0）,則。尸的中點為（1,馬，DP=y116 + p2 .2以線段DP為直徑的圓的方程為（x -1+ 3 -爭2=（ J（耳,®HWx2+

25、/-2x-py-3 = 005分或者：以線段力尸為直徑的圓的方程為(x + l)(x-3) + (j-0)(y p) = 0 ,整理得了2+,2_2工_即_3 = 0 9由題意，。、R在以。尸為直徑的圓上.又0、R在C： x2+r+2x-3 = 0±, 由-，得4x + py = 0.所以，切點弦0R所在直線的方程為4工+眇=0.可見QR恒過坐標原點。（0,0）.4x + py-G消去工并整理得(16 + /)/-8力-48 = 0 .設。（再,乂），&則%+為 =(x + 1) +y =4點N縱坐標匕v =之士" = 4 J .216 + p因為顯然Vn所以點N與

26、點。(一1,0),。(0,0)均不重合.因為N為弦0R的中點，且力(-1,0)為。的圓心,由圓的性質，可得DNLQR,即。NLON.所以點N在以。為直徑的圓上，圓心為G半徑 =9分22因為直線3x + 4y = 6分別與工軸、y軸交于點E、F ,35所以E(2,0),尸(0,二)，因此跖|=3.2圓心G (-,0)到直線3x + 4y = 6的距離 2|3x（-1） + 4x0-6|10分d =?=設尸的邊E尸上的高為力，則一,3 1點N到直線3x + 4y = 6的距離力的最小值為d-尸二=1；3 1點N到直線3x + 4y = 6的距離的最大值為d +尸=一+ =2.2 2S的最小值Smi

27、n=1x2xl = 2,最大值鼠八=1x3x2 = 3.m,n 2 242 2212分因此人好的面積S的取值范圍是弓，I* . 解法 2：設D(T,0),。(±,必)，R(x2iy2).由。1.尸。，可得。處的切線方程為(工一玉)區(qū)+1) +。一%)(必一 0) = 0.4分整理得（玉+1）尢+7/一必2_再=0 .又X；+2/ -3 = 0 ,整理得（Xj+】）x+m,+4一3 = 0. 同理，可得R處的切線方程為(X2+Dx + %y + X2-3 = 0.高三模擬數(shù)學答案 第8頁(共12頁)4玉+孫=0, 乜+多=0又P(3,p)在兩條切線上,3a +1) + py. +x -

28、3 = 0.所以，整理得13(x2 +1) + p為 + 士 3 = 0.顯然，點。，H的坐標滿足直線4x + q = 0的方程.而兩點確定一條直線，所以切點弦QR所在直線的方程為4無+力=0.6分下同解法1. it22.(1)解法L /(x)的定義域為R/r(x)=-flsinx + er 1分所以/'(巴)= -asin2+e2 2 =i a .由題意，1 一 = 0,即。=1. 2 分22于是，/F(x) = -sinx + e2 .因為函數(shù)y二-sinx在(0,會上單調遞減，尸e?在嗚)上單調遞減，所以，(x) = -sinx + e2 ”在(0,2)上單調遞減. 3分2 JI

29、 K又($ = _0吟+* = 0, 所以當*w(0,9時,/«)"9 = 0.所以/在(0苫)上單調遞增.4分2 n Y解法2：函數(shù)/*)的定義域為R. /(x) = -asinx4-e2 . 1分n x所以 J'(/) =-asin+e? 2 =1-a .由題意，1一0 = 0,即 a = l.2 分n于是,fr(x) = -sinx + e2 .當 xw(0,4)時，/,(x) = -sinx + e2 > c° - sin x = 1 - sin x > 0 . 2所以在(03)上單調遞增. 4分2 nK(2)解法 1： /'(

30、%) =-sinx +>，/"(x) = -cosx-e5 .JTxjr因為y = -cosx在2碗+萬，2紅十句上單調遞增，y = -e2在2方t + 萬，2碗+兀上單調遞增,高三模擬數(shù)學答案第9頁(共12頁)xjr所以/"(x) = -cosx-e2在2E + n，2反+兀上單調遞增. 5分k . X、 7TJT (2X4-)a fX f (2kn + y) = -cos(27T + )-e22 =-e-2fal<0 ,-(2Xk+x)-2Axf (27r + 7t) = -cos(2Zr7t+ n)-e2 =l-e 2>0,由零點存在定理及/&quo

31、t;(x)的單調性，知存在唯一的幾6(2%九十二,2也十70,使得 2從而，當 xe(2%7r +3/)時，fx) < fx0) = 0 , /'(x)單調遞減; 2當xwQo,2Atc+ 兀)時,/"(%)> fx) = 0，廣(x)單調遞增. 7 分f，Qkit + y) = -sin(2左冗 +y)+ /一(/=)=-l<e°-l=0 ,TTITF'a)在2 + 5，2E +可上的最小值=/'(XQ)</"(2E+a)<0 ,E-(2EQ -2ht f (2hu + k) = -sin(27r+ 兀)+

32、e2 = e 2> 0 .由零點存在定理及/'(x)的單調性，知存在唯一的玉£。0,2桁+兀)，使得小%)二0.8分從而，當xe(2E + ：xJ 時，r(x)</'(陽)= 0, /(x)單調遞減； 2當X£(X1,2E+兀)時，fx)>/(xl)=0 , /(x)單調遞增.9 分冗7T-(2Ax+)/(2® + g = cos(2M + )+le22 =i-e-2>l-eo=O ,=_(2 尿+n)-Ziirf (2k7i + k) = cos(2kn+ n)+ 1-e2=-e ,< 0 ,jr/(x)在2阮+ 3, 2阮+兀上的最小值/(X焉=/(再)</(2E+70<0.10分由零點存在定理及/(X)的單調性，知/(x)在2E + g, 2版十句(左eN*)上有且僅有一個零點.12分解法 2： /(x)