1、目 錄實(shí)驗(yàn)01 基本語法1實(shí)驗(yàn)02 一元函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算8實(shí)驗(yàn)03 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用19實(shí)驗(yàn)04 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用32實(shí)驗(yàn)05 繪制空間圖形42實(shí)驗(yàn)06 多元函數(shù)微分學(xué)60實(shí)驗(yàn)07 多元函數(shù)積分學(xué)71實(shí)驗(yàn)08 無窮級數(shù)及其應(yīng)用81實(shí)驗(yàn)09 常微分方程及其應(yīng)用92實(shí)驗(yàn)10 編程104實(shí)驗(yàn)01 基本語法實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：Mathematica軟件在數(shù)值計(jì)算、符號計(jì)算、編程方面的基本語法數(shù)據(jù)類型在Mathematic中，基本的數(shù)據(jù)類型有四種：整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)。整數(shù)與整數(shù)的計(jì)算結(jié)果是精確的整數(shù)或有理數(shù)。例如2的100次方是一個(gè)31位的整數(shù)：ln1:=2100Out1=1267650600

2、228228229401496703205376有理數(shù)是由兩個(gè)整數(shù)的比來組成如：In2:=12345/5555Out2=實(shí)數(shù)有兩種表示形式：(1)用數(shù)學(xué)表達(dá)式精確表示,例如：(2)用浮點(diǎn)數(shù)近似表示，包括小數(shù)形式和指數(shù)形式。例如：In3:=0.239998In4:=1.23*12復(fù)數(shù)是由實(shí)部和虛部組成，實(shí)部和虛部可以用整數(shù)、實(shí)數(shù)、有理數(shù)表示。用I表示虛數(shù)單位。如：In6:=3+0.7I數(shù)值類型轉(zhuǎn)換在Mathematica中的提供以下幾個(gè)函數(shù)達(dá)到轉(zhuǎn)換的目的：函數(shù)功能Nx將x轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)（有效位一般為6位）Nx,n將x轉(zhuǎn)換成近似實(shí)數(shù)，精度為nRationalizex給出x的有理數(shù)近似值Rational

3、izex,dx給出x的有理數(shù)近似值，誤差小于dx舉例:In1:=N5/3,20Out1=1.6666666666666666667In2:=Rationalize%Out2=數(shù)學(xué)常數(shù)Mathematica定義了一些常見的數(shù)學(xué)常數(shù)，這些數(shù)學(xué)常數(shù)都是精確數(shù)。常數(shù)意義Pi表示3.14159E自然對數(shù)的底e2.71828Degree1度，/180弧度I虛數(shù)單位iInfinity無窮大數(shù)學(xué)常數(shù)表示精確值。如：In1:=Pi2Out1=2In2:=Pi2/NOut2=9.8696變量在Mathmatica中用等號(或: )為變量賦值。一個(gè)變量可以表示一個(gè)數(shù)值，一個(gè)數(shù)組，一個(gè)表達(dá)式，甚至一個(gè)圖形。"

4、;="為立即賦值，":=”稱為延遲賦值。如：In1:= x=3Out1= 3In2:=y:=x+1In3:= yOut3= 4對于已定義的變量，當(dāng)不再使用時(shí)，可以隨時(shí)用.清除它的值，如果變量本身也要清除用函數(shù)Clearvar，例如:x=.Clearx系統(tǒng)函數(shù)Mathematica定義了大量的函數(shù)可以直接調(diào)用。下面是一些常用的數(shù)學(xué)函數(shù)：函數(shù)功能Sqrtx開平方Floorx不比x大的最大整數(shù)Ceilingx不比x小的最小整數(shù)Signx符號函數(shù)Roundx接近x的整數(shù)Absxx絕對值Maxx1,x2,x3.x1,x2,x3.中的最大值Minx1,x2,x3.x1,x2,x3.中的

5、最小值Random01之間的隨機(jī)函數(shù)RandomR,xmax0xmax之間的隨機(jī)函數(shù)(R為Real,Integer,Complex之一)RandomR,xmin,xmaxxminxmax之間的隨機(jī)函數(shù)(R為Real,Integer,Complex之一)Expx指數(shù)函數(shù)exLogx自然對數(shù)函數(shù)lnxLogb,x以b為底的對數(shù)函數(shù)Sinx,Cosx,Tanx,Cscx,Secx,Cotx三角函數(shù)ArcSinx,ArcCosx,ArcTanx,ArcCscx,ArcSecx,ArcCotx反三角函數(shù)Sinhx,Coshx,Tanhxx,Cschx,Sechx,Cothx雙曲函數(shù)ArcSinhx,Ar

6、cCoshx,ArcTanhxx,ArcCschx,ArcSechx,ArcCothx反雙曲函數(shù)Modm,nm被n整除的余數(shù)，余數(shù)與n同號Quotientm,nm/n的整數(shù)部分GCDn1,n2,n3或GCDsn1,n2,或s的最大公約數(shù)，s為數(shù)據(jù)集合LCMn1,n2或LCMsn1,n2或s的最小公倍數(shù)，s為數(shù)據(jù)集合N!N的階乘N!N的雙階乘函數(shù)的定義定義函數(shù)的語法:fx_:=expr函數(shù)名為f,自變量為x，expr是表達(dá)式。例：定義函數(shù)f(x)=xsinx+x2In1:=fx_:=x*Sinx+x2In3:=Plotfx,x,-3,3定義多個(gè)變量的函數(shù)，格式為fx_,y_,z_,:=expr例

7、如定義函數(shù)f(x,y)=xy+ycosxIn1:=fx_,y_:=x*y+y*Cosx列表將一些相互關(guān)聯(lián)的元素放在一起，使它們成為一個(gè)整體。既可以對整體操作，也可以對整體中的一個(gè)元素單獨(dú)進(jìn)行操作。在Mathematica中這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就稱作列表(List)。列表a,b,c表示一個(gè)向量；列表a,b,c,d表示一個(gè)矩陣。在表中元素較少時(shí)，可以采取直接列表的方式列出表中的元素。In1:=1,2,3Out1=1,2,3下面是符號表達(dá)式的列表：In2:=1+%x+x%Out2=1+2x,1+2x+x2,1+3x+x3建表函數(shù)：函數(shù)功能Tablef,i,min,max,step以step為步長給出f的數(shù)

8、值表，i由min變到maxTablef,i,imin,imax,j,jmin,jmax,.生成一個(gè)多維表Rangen生成一個(gè)1,2,n的列表Rangen1,n2,d生成n1,n1+d,n1+d,.,n2的列表例：Table2*i,i,1,3Tablei+j,i,1,3,j,1,2Range10Range1,10,3使用函數(shù)MatrixForm可以以矩陣的方式輸出二維表。MatrixForm1,2,3,4當(dāng)t表示一個(gè)表時(shí)，ti表示t中的第i個(gè)子表。如果t=1,2,a,b那么t3表示“a”。In1:=t=Tablei+2,ji,1,3,j,3,5Out1=7,9,11,8,10,12,9,11,1

9、3In2:=t2Out2=8,10,12函數(shù)功能Prependlist, elem表示在表頭添加元素elemAppendlist, elem表示在表尾添加元素elemInsertlist,elem,n/-n表示在正/倒數(shù)第n個(gè)位置插入元素elemJoinlist1,list2.連接表list1, list2Unionlist1,list2.去掉重復(fù)元素并排序后的合并（集合的并）例如：A=1,2PrependA,3A=1,2;B=3,4;JoinA,BA=1,2,3;B=3,4,5;UnionA,B表達(dá)式Mathematica 能處理數(shù)學(xué)公式，表以及圖形等多種數(shù)據(jù)形式。盡管形式上很不一樣，但在M

10、athematica中都是表達(dá)式。表達(dá)式是由常量、變量、函數(shù)、運(yùn)算符和括號等組成。變換表達(dá)式表示形式函數(shù)函數(shù)功能Expandexpr按冪次升高的順序展開表達(dá)式Factorexpr以因子乘積的形式表示表達(dá)式Simplifyexpr進(jìn)行最佳的代數(shù)運(yùn)算，并給出表達(dá)式的最少項(xiàng)形式關(guān)系表達(dá)式與邏輯表達(dá)式關(guān)系運(yùn)算符：關(guān)系運(yùn)算符功能x=y相等x!=y不相等x>y大于x>=y大于等于x<y小于x<=y小于等于x=y=z都相等x!=y!=z都不相等x>y>z嚴(yán)格遞減x<y<z嚴(yán)格遞增給變量x，y賦值，輸出后一變量的值，如：In1:=x=2;y=9;x>yOu

11、t1=False常用的邏輯運(yùn)算：邏輯運(yùn)算符功能！非&&并|或Xor異或If條件LogicalExpandexpr展開邏輯表達(dá)式例如下面的例子說明它們的應(yīng)用：In4:=3*x2<y+1&&32=y (前面已給x,y賦值，x=2,y=9)Out4=FalseIn5:=3*x2<y+1|32=yOut5=True編程初步Mathematica中提供了一般的程序流程完成的方式，包括順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和分支結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu):(1)While循環(huán)條件,循環(huán)體"條件"是一個(gè)邏輯表達(dá)式，執(zhí)行時(shí)系統(tǒng)先對條件求值，如得到結(jié)果為True，則求它的表達(dá)式值

12、，然后重復(fù)上述過程，直到條件不滿足為止，循環(huán)結(jié)束。例：求平方不超過100的最大整數(shù)。x=0;Whilex2£100,x=x+1;x-1 (2)Fori=1，i<=imax ,i+,循環(huán)體在For 循環(huán)中，" i"表示循環(huán)變量，" i=1"表示循環(huán)變量從初值1 開始，"i<=imax"表示循環(huán)變量所能取的最大范圍，"i+"表示將i 的值增加一個(gè)單位。例：求出前10個(gè)自然數(shù)的和與前10個(gè)自然數(shù)的乘積S。S=0;P=1;Fori=1,i£10,i+,S+=i;P*=i;S,P(3)Do循環(huán)

13、體，循環(huán)條件Do 循環(huán)是計(jì)數(shù)型循環(huán)。例：x=1;Dox=1+1/x,i,1,5;x分支結(jié)構(gòu)(1)If條件,表達(dá)式1,表達(dá)式2，當(dāng)"條件"為True時(shí)，求"表達(dá)式"1的值；當(dāng)"條件"為False時(shí)，求"表達(dá)式2"的值。In1:= absx_:=Ifx<0,-x,xabs-1Out1= 1(2)Which條件1，表達(dá)式1，條件2，表達(dá)式2,In1:= a=2;Whicha=1,x,a=2,bOut2= b(3)Switch判別表達(dá)式，模式1，表達(dá)式1，模式2，表達(dá)式2,例：構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，當(dāng)x被3整除時(shí)，函數(shù)值為a

14、，當(dāng)x關(guān)于3的模為1時(shí)，函數(shù)值為b，當(dāng)x關(guān)于3的模為2時(shí)，函數(shù)值為c。In1:= fx_:=SwitchModx,3,0,a,1,b,2,cf1f2f3Out2= bOut3= cOut4= a轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)函數(shù)功能Break 用在For, While語句中，表示結(jié)束包含這個(gè)break表達(dá)式的最近循環(huán)，且以Null作為該結(jié)構(gòu)的值。Continue 立即結(jié)束包含這個(gè)Continue的循環(huán)，執(zhí)行下一次循環(huán)。Return從函數(shù)的求值過程中退出。Return 退出函數(shù)的求值，以Null作為當(dāng)前函數(shù)值。Returnexpr退出函數(shù)的求值，以expr作為當(dāng)前函數(shù)值。 全局變量與局部變量平常使用的變量都是全局變量

15、。在復(fù)雜的程序設(shè)計(jì)中需要引進(jìn)局部變量。在編寫程序和函數(shù)時(shí)，如果用到了中間變量，一定要使用局部變量。應(yīng)堅(jiān)決避免用全局變量作為函數(shù)或者程序的中間變量，否則很有可能出現(xiàn)不易發(fā)覺的錯(cuò)誤。使用Module定義局部變量的形式如下：Module局部變量列表,模塊例：求1+2+.+xfx_:=Modules,(s=0;Dos+=i,i,1,x;s)例：定義一個(gè)函數(shù)，其自變量為一個(gè)數(shù)組，求出這個(gè)數(shù)組的最大值、最小值、平均值和方差。fx_:=ModuleA,S,n,i, n=Lengthx;A=Sumxi/n,i,1,n;S=Sumxi2,i,1,n;S=SqrtS/n-A*A;A,Sf1,2,3,4,5實(shí)驗(yàn)02

16、 一元函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1、Mathematica的基本運(yùn)算； 2、一元函數(shù)作圖；3、一元函數(shù)求極限； 4、一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)Mathematica的基本運(yùn)算（1）多項(xiàng)式的表示形式函數(shù)功能Expandploy按冪次展開多項(xiàng)式ployExpandAllploy全部展開多項(xiàng)式ployFactorploy對多項(xiàng)式poly進(jìn)行因式分解FactorTermsploy,x,y,按變量x,y,進(jìn)行分解Simplifypoly把多項(xiàng)式化為最簡形式FullSimplifyploy把多項(xiàng)式化簡Collectpoly,x把多項(xiàng)式poly按x冪展開Collectpoly,x,y把多項(xiàng)式poly按x,y.的冪次展

17、開（2） 求解代數(shù)方程和方程組函數(shù)功能Solvelhs=rhs,vars給出方程的解集NSolvelhs=rhs, vars直接給出方程的數(shù)值解集Rootslhs=rhs ,vars求表達(dá)式的根FindRootlhs=rhs,x, x0求x在x0附近的方程的數(shù)值解一元函數(shù)作圖（1）基本一元函數(shù)繪圖Plotfx,x, xmin, xmax,選項(xiàng)Plotf1x,f2x,x,xmin,xmax,選項(xiàng)其中，fx, f1x,f2x,是函數(shù)表達(dá)式，x表示函數(shù)的自變量，xmin和xmax分別表示所要畫的圖形中x取值的上、下限。選項(xiàng)是對圖形參數(shù)的設(shè)定，如果不寫可選項(xiàng)，則系統(tǒng)按內(nèi)定的參數(shù)輸出圖形。（2）參數(shù)方程

18、繪圖ParametricPlotxt,yt,t,tmin,tmax（3）極坐標(biāo)方程繪圖PolarPlotr,t,t1,t2PolarPlotf1,f2,t,t1,t2極限Mathematica計(jì)算極限的函數(shù)是Limit。求導(dǎo)數(shù)Mathematica中求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是D。一元函數(shù)圖形基本一元函數(shù)作圖選項(xiàng)AspectRatio->Automatic 要求按實(shí)際比例作圖。無此選項(xiàng)時(shí)，按0.618:1作圖。Mathematica 可以很好地處理奇點(diǎn)。例：畫f(x)=在區(qū)間-1, 1上的圖形。系統(tǒng)可以略過x=0的點(diǎn)，而在它的鄰域內(nèi)畫出函數(shù)的圖形。例：畫出sinx , sin (2x)/2 , s

19、in(3x)/3在區(qū)間0, 2上的圖形。參數(shù)方程作圖參數(shù)方程作圖的函數(shù)語法：ParametricPlotxt,yt,t,tmin,tmax例：畫出旋輪線的圖形。極坐標(biāo)方程作圖例：畫四葉玫瑰線r=2cos(2t)的圖形。例：繪制r=cos(19/13t)的圖形。選項(xiàng)作圖函數(shù)可以添加選項(xiàng)，改變圖形屬性。以“選項(xiàng)名->選項(xiàng)值”的形式，可設(shè)置多個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)依次排列，用逗號隔開。若不設(shè)置選項(xiàng)，則函數(shù)用默認(rèn)值。部分選項(xiàng)如下：選項(xiàng)說明默認(rèn)值A(chǔ)spectRatio圖形的高、寬比0.618:1AxesLabel給坐標(biāo)軸加上名字不加PlotLabel給圖形加上標(biāo)題不加PlotRange指定函數(shù)因變量的區(qū)間計(jì)

20、算的結(jié)果PlotStyle用什么樣方式作圖（顏色，粗細(xì)等）值是一個(gè)表PlotPoint畫圖時(shí)計(jì)算的點(diǎn)數(shù)25Mathematica的基本運(yùn)算多項(xiàng)式的運(yùn)算對x 8 -1 進(jìn)行分解In1:=Factorx8-1Out1=(-1+x)(1+x)(1+x 2)(1+x4)展開多項(xiàng)式 (1+x) 5In2:= Expand(1+x)5Out2=1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x5展開多項(xiàng)式 (1+x+3y) 4In3:= Expand(1+x+3y)4Out3=1+4x+6x 2+4x 3+x 4+12y+36xy+36x 2y+12x 3y+54y 2+108xy 2+54x 2y 2+10

21、8y 3+108xy 3+81y 4展開并化簡(2+x) 4 (1+x) 4 (3+x) 3In4:= SimplifyExpand(2+x)4(1+x)4(3+x)3Out4=(3+x) 3 (2+3x+x 2 ) 4約去公因式使用Cancel函數(shù)可以約去公因式In1:= p1= a2+3*a+2; p2= a+1;Cancelp1/p2Out1=2+a商式和余式函數(shù)PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分別返商式和余式。例如：In2:=PolynomialQuotientx2, 1+2x,xOut2= 商的整式部分In3:= PolynomialRem

22、ainderx2, 1+2x,xOut4= 商的余式部分方程求根Mathematica把方程看作邏輯表達(dá)式。方程的解也是邏輯表達(dá)式。例如用 Rootslhs=rhs,vars 求方程x2-3x+2=0的根In1:=Rootsx2-3x+2=0,xOut1=x=1|x=2 這種表示形式說明x取1或2均可.而用Solvelhs=rhs,vars可得解集形式：In2:=Solvex2-3x+3=0,xOut2=x1,x2求解一元代數(shù)方程先看Solve函數(shù)例子：In3:=Solvex2-2x-3=0,xOut3= x-1,x3Solve函數(shù)可處理的主要方程是多項(xiàng)式方程。Mathematica總能對不高

23、于四次的方程進(jìn)行精確求解，對于三次或四次方程，解的形式可能很復(fù)雜。例如求x 3 +5x+3=0In4:=Solvex3+5x+3=0,x這時(shí)可用N函數(shù)求數(shù)值解：In5:=N%Out5= x-0.5641,x0.28205-2.28881i,x0.28205+2.28881i當(dāng)方程中有一些復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，Mathematica可能無法直接給出解來。在這種情況下可用FindRoot 來求解，但要給出迭代初值。例如求3Cosx=lnx的解：In6:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,1Out6= x1.44726只能求出x=1附近的解，如果方程有幾個(gè)解，給定不同的迭代初值時(shí)，可得到其他解。I

24、n7:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,10Out7= x13.1064確定迭代初值的常用的方法是：繪制圖形觀察In8:=Plot3*Cosx-Logx,x,0.5,28通過圖形可斷定在x=5附近有另一根：In9:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,5Out9= x5.30199求方程組的解使用Solve，NSolve和FindRoot也可求方程組的解。求解In10:=Slove2*x+3*y=9,x-2*y=1,x,yOut10= x3, y1求方程的全解Reduceexpr,vars通過對變量vars求解方程或不等式的方法化簡表達(dá)式expr.如果求的根，用Solve函

25、數(shù)求解的結(jié)果是：用函數(shù)Reduce可根據(jù)a,b,c的取值給出全部值。求和與求積在Mathematica中，數(shù)學(xué)上的和式符號用Sum表示，連乘符號用Product表示。下面列出求和與求積函數(shù)的形式和意義： 函數(shù)功能Sumf,i,imin,imax 求和Sumf,i,imin,imax,di以步長di增加i求和Sumf,i,imin,imax,j,jmin,jmax 嵌套求和Productf,i,imain,imax求積Product f,i,imin,imax,di以步長di增加i求積Productf,I,imin,imax,j,jmin,jmax嵌套求積Nsumf,i,imin,Infinit

26、y 求近似值NProductf,i,imin,Infinity 求近似值例：求1到9的奇數(shù)和：Sum2i-1,i,1,981Sumi*xi,i,1,9,2x+3 x3+5 x5+7 x7+9 x9Mathematic可以給出和的精確結(jié)果：Sum1/n!,n,1,118573539/4989600計(jì)算極限Mathematica計(jì)算極限的函數(shù)是Limit。函數(shù)功能Limitexpr,x->x0當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的極限Limitexpr,x-> x0,Direction->1當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的左極限Limitexpr,x->x0,Direction->

27、-1當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的右極限x0可以是常數(shù)，也可以是+、-.例求In1:=LimitSqrtx2+2/(3x-6),x->InfinityOut1=例求In2:=LimitSinx2/x2,x->0Out2=1例求In3:=LimitLogx/x,x->0,Direction->-1Out3= -求導(dǎo)一元函數(shù)求導(dǎo)Mathematica中求函數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)功能Df,x計(jì)算導(dǎo)數(shù)或Df,x1,x2,計(jì)算多重偏導(dǎo)數(shù)Df,x,n計(jì)算n階導(dǎo)數(shù)例：求函數(shù)sinx的導(dǎo)數(shù)。In1:=DSinx,xOut1=Cosx求函數(shù)exsinx的2階導(dǎo)數(shù)。In2:=DExpx*Sinx,x,2

28、Out2=2e x CosxMathematica也可以求未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)In10:=Dx*gx,xOut10=gx+xgxIn11:=Dx*gx,x,4Out11=4g (3)x+xg (4)x對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則同樣可用：In12:=Dghx,xOut12=ghx hx如果要得到函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，可以把這點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù)，如：In13:=DExpx*Sinx,x/.x->2Out13=e 2 Cos2+e 2 Sin2求隱函數(shù)、由參數(shù)方程定義的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)求導(dǎo)法則定義函數(shù)，調(diào)用函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。例：求x2+2y2=1確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)。為使用方便，定義求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)：調(diào)用此函

29、數(shù)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：定義求參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)的函數(shù)：調(diào)用此函數(shù)求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)。例 觀察數(shù)列極限的存在性。并計(jì)算該極限。取特殊值討論該數(shù)列的存在性。利用遞歸迭代方法，分別采用a=2,3,5時(shí)觀察極限的存在性。以a=2為例，編程實(shí)現(xiàn)該數(shù)列的動(dòng)畫展示。定義遞歸函數(shù)：x0:=0;xn_:=Sqrt2+xn-1繪制散點(diǎn)曲線：動(dòng)畫演示：ManipulateListPlotTablexn,n,1,m,PlotStyle®PointSize0.015,PlotRange®0,16,0,2.5,m,1,15從圖中可以看出，數(shù)列趨向2。若極限存在，則極限滿足，即，求解得由于第一個(gè)解為負(fù)數(shù)不符合題意，

30、所以極限為。例 設(shè)曲線方程為，從點(diǎn)出發(fā)，沿該曲線向右移動(dòng)，試動(dòng)態(tài)演示移動(dòng)點(diǎn)的切線。fx_:=Expxga_,x_:=fa+f'a(x-a)a=1;Plotfx,ga,x,x,0,2,PlotRange®0,2,0,8ManipulatePlotfx,ga,x,x,0,2, PlotRange®0,2,0,8,a,0,2習(xí)題1. 取很大的正整數(shù)n，驗(yàn)證公式和。2. 輸入以下表達(dá)式, 理解繪圖選項(xiàng)的含義:PlotSinx,Sin2x,Sin3x,x,0,2Pi,PlotStyle®RGBColor0.8,0,0,RGBColor0,0.5,0,RGBColor

31、0,0,1Plotx2,x,-3,3,PlotStyle®Dashing0.015,0.01,RGBColor1,0,03. 輸入以下表達(dá)式, 觀察函數(shù)的復(fù)合情形:PlotCosSinx,x,-2Pi,2PiPlotSinTanx-TanSinx/x2,x,-Pi,PiPlotExpx,ArcTanx,ExpArcTanx,x,-5,5, PlotStyle®RGBColor1,0,0,RGBColor0,0.5,0,RGBColor0,0,14. 輸入以下表達(dá)式，觀察函數(shù)的疊加情況g1=Plotx,x,-5,5,PlotStyle®RGBColor1,0,0g2

32、=Plot2Sinx,x,-5,5,PlotStyle®RGBColor0.3,0,0.5g3=Plotx+2Sinx,x,-5,5,PlotStyle®RGBColor0,0,1Showg1,g2,g35. 分別用ParametricPlot和PolarPlot作出五葉玫瑰線r=4sin(5q)的圖形.6. 定義數(shù)列，計(jì)算前10項(xiàng)的值, 觀察變化趨勢.7. 求極限:(1) (2) ，(3) (4) (5) (6) 8. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) (2) (3) 9. 求函數(shù) 的10階導(dǎo)數(shù)。10. 求隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)(1) ，(2) 實(shí)驗(yàn)03 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用實(shí)驗(yàn)

33、內(nèi)容：1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、極值。2、求函數(shù)的泰勒公式，并繪制函數(shù)及其泰勒公式的圖形。3、驗(yàn)證中值定理的正確性。4. 建立并求解一元函數(shù)的極值模型；5. 求解圓柱形水塔維修問題；6. 求解駁船的長度問題。數(shù)學(xué)知識利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，那么函數(shù)在此區(qū)間為的增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，那么函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的凹凸區(qū)間設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)存在，（1）若在內(nèi)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是凹的；（2）若在內(nèi)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是凹的.設(shè)在函數(shù)的拐點(diǎn)，則或不存在；但滿足或不存在的點(diǎn)未必是函數(shù)的拐點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異

34、號，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)；如在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正” ，則是的極小值點(diǎn)。泰勒公式對于正整數(shù)，若函數(shù)在閉區(qū)間上階連續(xù)可導(dǎo)，且在上階可導(dǎo)。任取，則對任意有：，其中稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，是泰勒公式余項(xiàng)，是的高階無窮小。中值定理【羅爾中值定理】如果函數(shù)滿足以下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一個(gè)，使得?！纠窭嗜罩兄刀ɡ怼咳艉瘮?shù)在區(qū)間滿足以下條件：（1）在上可導(dǎo)；（2）在上連續(xù)；則必有一，使得。【柯西（Cauchy）中值定理】設(shè)函數(shù)、滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）對任意，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得.【定理1（極值的第一充

35、分條件）】設(shè)函數(shù)y=f(x)在x的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可微（在x處可以不可微，但必須連續(xù)），若當(dāng)x在該鄰域內(nèi)由小于x連續(xù)地變?yōu)榇笥趚時(shí)，其導(dǎo)數(shù)f(x)改變符號，則f(x)為函數(shù)的極值. x為函數(shù)的極值點(diǎn)，并且（1）若導(dǎo)數(shù)f(x)由正值變?yōu)樨?fù)值，則x為函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）若導(dǎo)數(shù)f(x)由負(fù)值變?yōu)檎担瑒tx為函數(shù)的極小值點(diǎn)；（3）若導(dǎo)數(shù)f(x)不變號，則x不是函數(shù)的極值點(diǎn). 運(yùn)用該定理求函數(shù)極值點(diǎn)的一般步驟是：（1）確定函數(shù)定義域并找出所給函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（2）考察上述點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，確定極值點(diǎn)；（3）求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，得到極值.定理2（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處的二階

36、導(dǎo)數(shù)存在，若f(x)=0，且f(x)0，則x為函數(shù)的極值點(diǎn)，f(x)為函數(shù)的極值，并且（1）當(dāng)f(x)>0時(shí)，則x為函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(x)為函數(shù)的極小值；（2）當(dāng)f(x)<0時(shí)，則x為函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(x)為函數(shù)的極大值.運(yùn)用該定理求函數(shù)極值點(diǎn)的一般步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，并找出所給函數(shù)的全部駐點(diǎn)；（2）考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)處的符號，確定極值點(diǎn).Mathematica知識：求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)繪制一元函數(shù)圖形的函數(shù)求多項(xiàng)式方程的根的函數(shù)NSolve和NRoots函數(shù)NSolve的調(diào)用：NSolvefx=0,x，表達(dá)式的值是方程的所有根的近似值.函數(shù)NRoots的調(diào)用：

37、NRootsfx=0,x,n。給出方程所有根的近似值. 但是二者表示方法不同. 第3個(gè)參數(shù)n是計(jì)算精度(有效數(shù)字位數(shù)).求一般方程的近似根的函數(shù)FindRoot函數(shù)調(diào)用語法FindRootfx=0,x,a,選項(xiàng)或者FindRootfx=0,x,a,b,選項(xiàng)其中大括號中x是方程中的未知數(shù), 而a和b是求近似根時(shí)所需要的初值. 執(zhí)行后得到方程在初值a附近, 或者在初值a與b之間的一個(gè)根.此函數(shù)可求解方程組，第1個(gè)形參是多個(gè)方程構(gòu)成的列表，要給出各個(gè)未知數(shù)的初值. 例如,FindRootfx,y=0,gx,y= =0,x,a,y,b為了確定迭代初值, 可繪制函數(shù)圖形, 確定方程的根的大致位置。函數(shù)的

38、主要選項(xiàng)有:(1) 最大迭代次數(shù):MaxIterations->n, 默認(rèn)值是15.(2) 計(jì)算精度:WorkingPrecision->n, 默認(rèn)值是16位.求函數(shù)極值的函數(shù)FindMinimum, FindMaximum求函數(shù)的極小值： FindMinimumfx,x,a, 選項(xiàng)函數(shù)的主要選項(xiàng)有:(1) 最大迭代次數(shù):MaxIterations->n, 默認(rèn)值是30;(2) 計(jì)算精度:WorkingPrecision->n, 默認(rèn)值是16位.函數(shù)FindMaximum的調(diào)用語法與FindMinimum相同作平面圖元的函數(shù)Graphics用函數(shù)Graphics可以繪制

39、點(diǎn)、圓、線段和多邊形等圖元GraphicsLine0,0,1,2,3,-1,Axes->True數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.fx_:=x3-3x;Solvef'x=0,xPlotfx,f'x,x,-4,4x®-1,x®1觀察函數(shù)的增減與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系.求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)例2 求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).輸入fx_:=1/(3+x2);Solvef''x0,xPlotfx,f''x,x,-5,5觀察二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的凹凸之間的關(guān)系.例3 已知函數(shù)在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖形, 并找出所有的駐點(diǎn)和

40、拐點(diǎn).fx_:=x6/2-2*x5-25*x4/2+60*x3-150*x2-180*x-25;Plotfx,f'x,f''x,x,-6,6,PlotStyle®Black,Blue,RedNSolvef'x0,xNSolvef''x0,x兩個(gè)方程的根中的實(shí)數(shù)根分別是函數(shù)的駐點(diǎn)和拐點(diǎn)。求函數(shù)的極值例4 求函數(shù)的極值.fx_:=x/(1+x2);Plotfx,x,-10,10觀察它的兩個(gè)極值. 輸入Solvef'x=0,x則輸出x->-1,x->1即駐點(diǎn)為用二階導(dǎo)數(shù)判定極值, 輸入f''-1f'

41、'1輸出1/2與-1/2. 因此是極小值點(diǎn), 是極大值點(diǎn). 為了求出極值, 再輸入f-1f1輸出-1/2與1/2. 即極小值為-1/2, 極大值為1/2.求極值的近似值例5 求函數(shù)的位于區(qū)間內(nèi)的極值的近似值.輸入fx_:=2(Sin2x)2+5x*(Cosx/2)2/2;Plotfx,x,0,Pi則輸出.觀察函數(shù)圖形, 發(fā)現(xiàn)大約在附近有極小值, 在和有極大值. 用函數(shù)FindMinimum求極值的近似值. 輸入FindMinimumfx,x,1.5則輸出1.94461,x->1.62391即同時(shí)得到極小值1.94461和極小值點(diǎn)1.62391. 再輸入FindMaximumfx,

42、x,0.9FindMaximumfx,x,2.2則輸出3.73233,x®0.8641942.95708,x®2.24489得到函數(shù)兩個(gè)極大值和極大值點(diǎn).泰勒公式與函數(shù)逼近例6 觀察函數(shù)各階泰勒展開的圖形。t=TableNormalSeriesExpx,x,0,i,i,1,5;PrependTot,Expx;Plott,x,0,1,PlotStyle®Black,Red,Blue,RGBColor0,0.5,0例7 觀察函數(shù)各階泰勒展開的圖形.輸入t=TableNormalSeriesSinx,x,0,i,i,1,7,2;PrependTot,Sinx;Plott

43、,x,0,Pi,PlotStyle®Black,Red,Blue,RGBColor0,0.5,0輸出t=TableNormalSeriesSinx,x,0,i,i,1,13,2;PrependTot,Sinx;Plott,x,-2Pi,2Pi,PlotRange®-4,4,PlotStyle®Black,Red,Blue,RGBColor0,0.5,0中值定理驗(yàn)證例8 對函數(shù)觀察羅爾定理的幾何意義.因?yàn)橛闪_爾定理, 存在 , 使得(1) 畫出與的圖形, 并求出與.輸入fx_=x*(x-1)*(x-2);Plotfx,f'x,x,-1,3,PlotRange

44、®-3,3,PlotStyle®Red,Bluea=NSolvef'x0,xx®0.42265,x®1.57735 (2)畫出及其在點(diǎn)與處的切線.輸入Plotfx,fa1,1,2,fa2,1,2,x,-1,3例9 對函數(shù)在區(qū)間0,4上觀察拉格朗日中值定理的幾何意義.(1) 畫出及其左、右端點(diǎn)連線的圖形;輸入函數(shù)fx_=Log1+x;a=0;b=4;g1x_:=fa+(fb-fa)*(x-a)/(b-a);Plotfx,g1x,x,a,b (2)畫出函數(shù)的曲線圖, 并求出使得輸入g2x_:=f'x-(fb-fa)/(b-a);Plotg2x

45、,x,a,bNSolvef'x(fb-fa)/(b-a),xx®1.48534(3)畫出,它在處的切線及它在左、右端點(diǎn)連線的圖形.輸入函數(shù)g3x_:=fx1+f'x1*(x-x1);Plotfx,g1x,g3x,x,a,b例10 函數(shù)在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日中值定理的條件, 因此存在使驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論的正確性.輸入fx_:=x(-4);NSolveDfx,xf2-f1,x輸出:x->-1.08137+0.785663 I, x->-1.08137-0.785663 I,x->0.413048 +1.27123 I,x->0.413048 -1.2

46、7123 I,x->1.33665其中的實(shí)數(shù)解就是滿足拉格朗日中值定理的, 約為1.33665.例11 求解圓柱形水塔維修問題在地面上建有一座圓柱形水塔,水塔內(nèi)部的直徑為d, 并且在地面處開了一個(gè)高為H的小門.現(xiàn)在要對水塔內(nèi)部進(jìn)行維修施工, 施工方案要求把一根長為s(s>d)的水管運(yùn)到水塔內(nèi)部. 請問水塔的門高H多高時(shí), 才有可能成功地把水管搬進(jìn)水塔內(nèi)?(d=5米, s=8米)解答：水管搬進(jìn)水塔時(shí)，一端在地面上水平滑動(dòng)，另一端在水塔內(nèi)壁上垂直滑動(dòng)。設(shè)在水管運(yùn)動(dòng)過程中，入門處的高度為h，水管與地面的夾角為。由題意知：，因此.在水管移動(dòng)過程中，h隨的變化而變化，只有當(dāng)h在變化過程中的最

47、大值不大于門的高度H時(shí)，水管才能順利移動(dòng)水塔內(nèi)，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求h在0<</2內(nèi)的最大值。(1)繪制導(dǎo)函數(shù)的圖形輸入s=8;d=5;hx_:=s*Sinx-d*Tanxdh=Dhx,xPlotdh,x,0,1,PlotRange®-3,3輸出求函數(shù)在x=0.5附近的駐點(diǎn)，輸入t=FindRootdh0,x,0.5輸出 x -> 0.545269計(jì)算駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)函數(shù)的值ddhx_:=Dhx,x,2ddhx/.t輸出 -12.4475計(jì)算極大值輸入： hx/.t輸出 1.11611例12 求解駁船的長度問題有一艘寬度為5米的駁船欲駛過某河道的直角彎，河道寬度如下圖所

48、示。問：要駛過直角彎，駁船的長度不能超過多少米？（精確到0.01米）解答：首先，建立一元函數(shù)的極值模型設(shè)駁船長度為L，要使駁船能駛過直角彎，假定駁船外側(cè)與河道的邊沿剛好接觸，則河道內(nèi)側(cè)的角點(diǎn)到駁船外側(cè)的距離不能大于5米，否則無法通過。因而問題歸結(jié)為求L的最小值。設(shè)駁船外側(cè)與橫軸的夾角為x，則L=10/sinx5tanx+12/cosx5/tanx駁船過直角轉(zhuǎn)彎圖畫出函數(shù)的圖形，輸入fx_:=10/Sinx-5*Tanx+12/Cosx-5/Tanx;Plotfx,x,0,Pi/2,PlotRange®0,80輸出由圖可知，函數(shù)有惟一極值點(diǎn)，大約在0.75附近。為說明這一點(diǎn)，可以畫出導(dǎo)

49、函數(shù)的圖形，輸入：Plotf'x,x,0,Pi/2,PlotRange®-40,40輸出：由一元微分學(xué)知道，取極值的必要條件是一階導(dǎo)數(shù)等于零，輸入f'x輸出：-10 Cotx Cscx + 5 Cscx2 - 5 Secx2 + 12 Secx Tanx令導(dǎo)數(shù)等于零，求得駐點(diǎn)為：r= FindRootf'x = 0, x,0.5得到惟一駐點(diǎn)x -> 0.731998計(jì)算出函數(shù)的最大值，輸入fx/.r輸出：21.0372以上數(shù)據(jù)表明函數(shù)在x = 0.731998 處取得極大值 21.0372。用函數(shù) FindMinimum 求極值更方便：FindMinimumfx,x,0.8輸出：21.0372, x>0.731998此結(jié)果表示在x = 0.731998處函數(shù)取得極大值21.0372。習(xí)題1. 在區(qū)間上對函數(shù)驗(yàn)證拉格朗日中值定理的正確性。2. 在區(qū)間上對函數(shù)和驗(yàn)證柯西中值定理的正確性3. 求在處的切線和法線方程。4. 求在處的