1、2022年高考數(shù)學(xué)考前訓(xùn)練題1 .如圖，在四棱錐尸-4BCQ中，底面ABC。是邊長為2的正方形，方8為正三角形,且側(cè)面附B_L底面ABC。，PM=MD.(1)求證：PB平面4cM；(2)求二面角M-BC-D的大小.【分析】(1)連結(jié)8。，與4c交于點O,利用中位線定理證明B尸。M,由線面平行的判定定理證明即可；(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面C8M的法向量，由向量的夾角公式以及特殊角的三角函數(shù)求解即可.【解答】(1)證明：連接B。，與AC交于點。，在P8O中，因為O,M分別為BD,的中點，則又B/V平面ACM,OMu平面4cM,所以8P平

2、面ACM；(2)解：設(shè)E是AB的中點，連接PE,因為力8為正三角形，則又因為平面以B1,底面ABCZ),平面力BCI底面ABCC=AB,則尸EJ平面ABCD,過點E作EGF平行于CB,與CD交于點F,以£為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則E(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,V3),C(L2,0),。(-1,2,0),M(-1,1,易,所以西=(一|,-1,空),BC=(0,2,0),設(shè)平面CBM的法向量為i=(x,y,z),CMo - 2y =Z 在2 十 y-X3 -2)J o = t nTX 令因為PE_L平面ABC。,則平面A3CO的一個法向量為薪=(0,0

3、,1),所以|cosV蔡，=丁可=停,|n|m|2由圖可知，二面角M-8C-O是一個銳二面角,所以二面角M-BC-O的大小為30°.【點評】本題考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.2 .如圖，三棱柱ABC-DEF的側(cè)面BEFC是邊長為1的正方形，面8£7(_1面ADEB,AB=4,NDEB=60°,G是OE的中點.(1)求證：CE平面AGF；(2)求點O到平面4GF的距離；(3)在線段BC上是否存在一點P,使二面角P-GE-B為45°

4、,若存在，求BP的長；若不存在，說明理由.【分析】(1)連接8交A尸于H,連接”G,根據(jù)中位線定理可得”GCE,于是CE平面AGF；(2)建立空間坐標系，求出平面AG尸的法向量就利用距離公式求出。到平面4G尸的距離；TTT(3)假設(shè)存在符合條件的尸點，設(shè)BP=，求出平面尸GE的法向量m,令I(lǐng)cosVm,BC>|=卒計算人根據(jù)人的值做出判斷.【解答】(1)證明：連接CD交4尸于H,連接HG,三棱柱ABC-OEF,：.AD/CF,AD=CF,二四邊形ADFC是平行四邊形，是CO的中點，又G是OE的中點，J.HG/CE,又“Gu平面AGF,CEC平面AGF,平面AGF.(2)解：.四邊形BE尸

5、C是正方形，8C_L8E,平面BE尸C_L平面ABE。，TffiBEFCn-TffiABED=BE,BCu平面BEFC,BCLBE,：.BCmABED,VZBED=60°,BE=,GE=DE=AB=2,：.BG=>BE2+GE2-2-BEGE-cosBED=V3,ABE1+BG2=GE1,：.BGLBE,以B為原點，以BG,BE,8c為坐標軸建立空間直角坐標系8-肛z,如圖所示，貝|JG(G0,0),A(2V3,-2,0),F(0,1,1),D(273,-1,0),>>>：.AG=(-V3,2,0),GF=(-V3,1,1),DG=(-V3,1,0),設(shè)平面A

6、G尸的法向量煬=(x,y,z),則卜,絲=°,即卜f"+2y=°,In.GF=0I-岳+y+z=O令y=遮可得n=(2,V3,V3),設(shè)O到平面AGF的距離為d,則=喀2=義=縹.|n|同10(3)解：假設(shè)線段8c上存在一點P,使二面角尸-GE-B為45。，設(shè)P(0,0,h),T>則GP=(-V3,0,)，EP=(0,-1,A),設(shè)平面PGE的法向量為薪=(xi,yi,zi),則巾,號=°,即/廣汽z：0,lmEP=0+辰1=°A,T"令zi=l可得m=(五，h,1),T tBC-mTI. cos <BC,：8CJ_平面A

7、BE。，.辰=(0,0,1)是平面BGE的一個法向量，> m> =11_V2*+1x1厚二2解得h=冬線段8c上存在一點P,使二面角P-GE-8為45。，此時8P=孚.【點評】本題考查線面平行的判定，考查空間向量與空間距離、二面角的計算，屬于中檔題.3.在如圖所示的空間幾何體中，平面ACOL平面ABC,/XACO與ACB均是等邊三角形，AC=8E=4,BE和平面ABC所成的角為60°.過點£作平面A8C的垂線，垂足尸在N4BC的平分線上.(1)求證：O£LL平面4OC；(2)求點8到平面ADE的距離；(3)求二面角A-BC-E的正切值.【分析】(1)取

8、AC中點。，連接B。，點尸在B0上，連接EF,證明平面ABC,然后證明。_LAC,同理可得8O_L平面AOC,推出。OEF,DE/BO,即可證明DEIADC.(2)設(shè)點B到平面AOE的距離為d,由Vb-ade=VX-80E,解得d=b.(3)過尸點作尸GLBC于G,連接EG,說明NEG尸為二面角A-BC-E的平面角，然后求解三角形推出結(jié)果即可.【解答】(1)證明：取AC中點O,連接80,DO,由題意，8。為NABC的平分線，且80J_AC,DOLAC.由已知得，點尸在8。上，連接EF,則EF_L平面ABC,因為平面AC£>J_平面4BC,平面ACDC平面A8C=AC,DO

9、77;AC,所以O(shè)OJ_平面ABC,同理可得8O_L平面AOC,又因為£f_L平面ABC,：.DO/EF,因為BE和平面A8C所成的角為60°,即NEB尸=60°,所以。0=EF=2V3,所以四邊形EFOO為平行四邊形，DE/BO,所以DEmADC.(2)解：設(shè)點8到平面AOE的距離為d,/11由丫8一4。£=以一8。£得：ShADE-d=ShBDE-2,1111即一一-ACCEdED-DO-2,3232解得d=V3.(3)解：在面ABC內(nèi)，過尸點作尸GJ_BC于G,連接EG,因為E凡L平面ABC,BCu平面ABC,所以EFLBC,又EFCFG=F,所以8cL平面EFG,又EGu平面EFG,所以EG±BC,所以NEGF為二面角A-BC-E的平面角，在