1、利用Matlab求解機械設計優(yōu)化問題的分析董洪峰，化工學院，1012207123摘要： MATLAB是目前國際上最流行的科學與工程計算的軟件工具, 它具有強大的數(shù)值分析、矩陣運算、信號處理、圖形顯示、模擬仿真和最優(yōu)化設計等功能。本文淺談MATLAB在機械設計優(yōu)化問題的幾點應用。關鍵詞： MATLAB 約束條件 機械設計優(yōu)化 0 前言 在線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃等領域經(jīng)常遇到求函數(shù)極值等最優(yōu)化問題，當函數(shù)或約束條件復雜到一定程度時就無法求解，而只能求助于極值分析算法，如果借助計算器進行手工計算的話，計算量會很大，如果要求遇到求解極值問題的每個人都去用BASIC,C和FORTRAN之類的高級語言編寫一

2、套程序的話，那是非一朝一日可以解決的，但如用MATLAB語言實現(xiàn)極值問題的數(shù)值解算，就可以避免計算量過大和編程難的兩大難題，可以輕松高效地得到極值問題的數(shù)值解，而且可以達到足夠的精度。1.兩種約束條件求極值方法 1)無約束條件的極值問題的解算方法設有Rosenbrock函數(shù)如下：f(X1,X2)=100(X2-X1*X1)2+(1-X1)2求向量X取何值時，F(xiàn)(x)的值最小及最小值是多少？先用MATLAB語言的編輯器編寫求解該問題的程序如下：%把函數(shù)寫成MATLAB語言表達式fun=100*(X(2)-X(1)*X(1)2+(1-X(1)2%猜自變量的初值X0=-1 2; %所有選項取默認值o

3、ptions= ；%調(diào)用最優(yōu)化函數(shù)進行計算。%函數(shù)最小值存放在數(shù)組元素options(8)中%與極值點對應的自變量值存放在向量X里%計算步數(shù)存放在數(shù)組元素options(10)中X,options=fmins(fun,X0,options)；%顯示與極值點對應的自變向量X的值。%顯示函數(shù)最小值options(8)%顯示函數(shù)計算步數(shù)options(10)把上面這段程序保存為m文件，然后用“Tools”菜單中的“Run”命令行這段程序，就可以輕松的得到如下結果：X=9.999908938395383e-001 9.99982742178110e-001aans=195顯然，計算結果與理論結果的誤差

4、小到e-10級,這里調(diào)用了MATLAB的最優(yōu)化函數(shù)fmins(),它采用Nelder-Mead的單純形算法，就是因為這個函數(shù)的采用，使最小值問題的解算變得非常簡單。2）帶約束條件的極值問題的解法 設目標函數(shù)和約束條件如下:f(x) =-3X1+X2+X3-X1+2X2-X3= -114X1-X2-2X3=0,X2=0，X3=0;求X向量取何值時函數(shù)取極小值？對條件極值問題通常的做法都是將約束條件標準化（即把等式約束條件寫成等號為0的形式，把不等式寫成=0的形式）。然后把條件極值問題轉(zhuǎn)換為非條件極值問題，MATLAB也采用同樣的做法。下面是求解該問題的MATLAB語言程序。funf =f=-3*

5、X(1)+X(2)+X(3); %寫出目標函數(shù)表達式。fung=g=2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3； %把約束條件標準化，寫成向量函數(shù)。注意等式約束條件要放在前面。fun=funf ,fung %把目標函數(shù)表達式和約束條件表達式合成一個向量函數(shù)。 X0=101 %猜初值options= options13=1 %在options(13)中指定等式約束條件的個數(shù)。vlb =zeros(1,3); %指定向量X的下界為0。vub = ; %對向量的上界不做要求。X,options=constr(fun,X0,option

6、s,Vlb,Vlb); %調(diào)constr()函數(shù)%顯示與極值點對應的X 向量值。options(8) %顯示極小值options(10) %顯示計算次數(shù)g=2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3 %顯示約束條件表達式的取值。運行這段MATLAB程序得到如下結果:X=4.000000000000000e+000 1.00000000000000le+000 9.000000000000005e+000ans=-1.99999999999999le+000ans=17g 1.77635683940025le-015顯然，計算結果

7、是非常精確的，這里調(diào)用了MATLAB的最優(yōu)化函數(shù)constr()，它是專門用來解算條件極值問題的。2機械優(yōu)化設計應用實例 機械優(yōu)化設計把數(shù)學規(guī)劃理論與數(shù)值方法應用于設計中，用計算機從大量可行方案中找出最優(yōu)化設計方案，從而大大提高設計質(zhì)量和設計效率。MATLAB具有解決線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃、約束優(yōu)化和無約束優(yōu)化問題的內(nèi)部函數(shù)，因而可以完成這一功能。現(xiàn)舉一例：螺栓組聯(lián)結的優(yōu)化設計 如圖4所示的壓力容器螺栓組聯(lián)接中，已知D1= 400mm,D2 = 250mm，缸內(nèi)工作壓力為p=1.5 MPa，螺栓材料為35號鋼，s=320Mpa,安全系數(shù)S=3,取殘余預緊力Qp=1.6F,采用銅皮石棉密封墊片。現(xiàn)

8、從安全、可靠、經(jīng)濟的角度來選擇螺栓的個數(shù)n和螺栓的直徑d 。21 設計問題分析若從經(jīng)濟性考慮，螺栓數(shù)量盡量少些、尺寸小些，但這會使降低聯(lián)結的強度和密封性，不能保證安全可靠的工作；若從安全、可靠度考慮，螺栓數(shù)量應多一些、尺寸大一些為好，顯然經(jīng)濟性差，甚至造成安裝扳手空間過小，操作困難。為此，該問題的設計思想是：在追求螺栓組聯(lián)結經(jīng)濟成本最小化的同時，還要保證聯(lián)結工作安全、可靠。 2 2 設計變量 目標函數(shù) 約束條件 22 .1 設計變量 選取螺栓的個數(shù)n和直徑d(mm)為設計變量: 22 .2 目標函數(shù) 追求螺栓組聯(lián)結經(jīng)濟成本Cn最小為目標。而當螺栓的長度、材料和加工條件一定時，螺栓的總成本與nd

9、值成正比，所以本問題優(yōu)化設計的目標函數(shù)為min F(X) = Cn = nd = x1x2 強度約束條件 為了保證安全可靠地工作，螺栓組聯(lián)結必須滿足強度條件 ； 其中； N；對于粗牙普通螺紋：由文獻3推薦，小徑 d1=0.85d 所以，強度約束條件為： 密封約束條件 為了保證密封安全，螺栓間距應小于10d，所以，密封約束條件為： 安裝扳手空間約束條件 為了保證足夠的扳手空間，螺栓間距應大于5d，所以，安裝約束條件為： 邊界約束條件 ； 3. 建立數(shù)學模型綜上所述，本問題的數(shù)學模型可表達為：設計變量：目標函數(shù)：min F(X) = x1x2約束條件： s.t. ( i = 1, 2, 3, 4,

10、 5,)現(xiàn)運用MATLAB的優(yōu)化函數(shù)進行求解 : 先編寫M文件 function c,ceq=mynas(x)c(1)=146192/(x(1)*x(2)2)-106; % 非線性不等式約束 c(2)=400*pi/x(1)-10*x(2);c(3)=-400*pi/x(1)+5*x(2);ceq=; % 非線性等式約束在MATLAB命令窗口輸入:fun=x(1)*x(2); % 目標函數(shù)x0=4,6; % 設計變量初始值A=-1,0;0,-1; % 線性不等式約束矩陣b=0;0; Aeq=; % 線性等式約束矩陣beq=;lb=; % 邊界約束矩陣ub=;x,fval=fmincon(fun

11、,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mynlsub) % 調(diào)用有約束優(yōu)化函數(shù)運行結果如下:x = 11.4499 10.9751fval = 125.6637所以，該問題優(yōu)化結果為：n =11.4499 ,d = 10.9751，目標函數(shù)最小值：F(X)= 125.6637。根據(jù)實際問題的意義取整、標準化：n =12 ,d = 12。由此例可以看出，與其它編程語言相比，MATLAB語言可以簡化編程。圖5是調(diào)用MATLAB繪圖函數(shù)自動對上例繪制的數(shù)學模型要素圖（標注數(shù)字的曲線為目標函數(shù)的等值線），為此在MATLAB命令窗口輸入: x1=0.1:20;y1=146192./(106.*x1

12、.2);y2=400.*pi./(10.*x1);y3=400.*pi./(5.*x1);plot(y1,x1,y2,x1,y3,x1,x(1),x(2),o)y4=0.1:0.1:20;y4,x1=meshgrid(y4,x1);Q=y4.*x1;hold on;c,h=contour(y4,x1,Q); hold on;clabel(c,h) ;4結論 從上述實例可以看出，利用求解最優(yōu)化問題具有編程簡單，精度很高，速度很快，各種工形式的最優(yōu)化問題都適用等優(yōu)點，巧妙各種利用MATLAB語言可以取得事半功倍的效果。MATLAB具有科學計算的強大能力,不管處理什么樣的對象算法、圖形、圖像、報告或者算法仿真MATLAB都能夠幫助大家不斷提高工作效率。 MATLAB環(huán)境能夠完成算法開發(fā)、數(shù)據(jù)分析和可視化、高性能數(shù)據(jù)分析等工作，相對于傳統(tǒng)的 C、C+或者 FORTRAN語言，在 MATLAB中完成這些工作所消耗的時間僅僅是傳統(tǒng)手段的極小一部分。開放性的 MATLAB軟件和開發(fā)語言M 語言，能夠快速實現(xiàn)用戶好的想法和概念