1、計(jì)算機(jī)仿真期末大作業(yè)Prim 算法和 Kruskal 算法的 Matlab 實(shí)現(xiàn)05605 劉禹 050697(30)連線問題應(yīng)用舉例:欲鋪設(shè)連接n個城市的高速公路，若i城與j城之間的高速公路造價為Cj,試設(shè)計(jì)一個線路圖，使總的造價最低。連線問題的數(shù)學(xué)模型就是圖論中在連通的賦權(quán)圖上求權(quán)最小的支撐樹。試用 MatlabMatlab分別實(shí)現(xiàn)求最小支撐數(shù)的 PrimPrim 算法和 KrusalKrusal 算法(避圈法)。一 .基本要求：(1)(1)畫出程序流程圖；(2)(2)對關(guān)鍵算法、變量和步驟進(jìn)行解釋說明；(3)(3)用如下兩圖對所寫算法的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。即輸入圖的信息，輸出對應(yīng)圖的最小支撐

2、樹及其權(quán)值。(4)分析兩種算法的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。二 .擴(kuò)展要求：(1)提供對算法效率(復(fù)雜度)進(jìn)行評估的方法，并通過舉例驗(yàn)證，與分析得到的算法復(fù)雜度結(jié)果相對照；(2)從降低內(nèi)存消耗、減少計(jì)算時間的角度，對算法進(jìn)行優(yōu)化。三.實(shí)驗(yàn)步驟I.用Prim算法求最小生成樹i.i.算法分析及需求分析，程序設(shè)計(jì)prim 算法的基本思想是：設(shè) G=(V,E)是一個無向連通網(wǎng)，令 T=(U,TE)是 G 的最小生成樹。T 的初始狀態(tài)為 U=v0(v0E)TE=,然后重復(fù)執(zhí)行下述操作：在所有 EU,vtV-U 的邊中找一條代價最小的邊(u,v)并入集合 TE,同時 v 并入 U,直至 U=V 為止。顯然，Prim 算法

3、的基本思想是以局部最優(yōu)化謀求全局的最優(yōu)化，而且，還涉及到起始結(jié)點(diǎn)的問題。本程序完成的功能是：從圖中的任意結(jié)點(diǎn)出發(fā)，都能夠找出最小生成樹實(shí)現(xiàn)方案分析：Prim 算法的關(guān)鍵是如何找到連接 U 和 V-U 的最短邊來擴(kuò)充生成樹 T。設(shè)當(dāng)前 T 中有 k個點(diǎn)（即 T 的頂點(diǎn)集 U 中有 k 個頂點(diǎn)）則所有滿足 ufU,vfV-U 的邊最多有璃似條，從如此大的邊集中選取最短邊是不太經(jīng)濟(jì)的。利用 MST 性質(zhì)，可以用下述方法構(gòu)造候選最小邊集：對應(yīng) V-U 中的每個頂點(diǎn)，保留從該頂點(diǎn)到 U 中的各頂點(diǎn)的最短邊，取候選邊最短邊集為 V-U 中的 n-k 個頂點(diǎn)所關(guān)聯(lián)的 n-k 條最短邊的集合。為表示候選最短邊

4、集，需設(shè)置兩個一維數(shù)組 lowcostnlowcostn和 adjvexnadjvexn,其中 lowcost 用來保存集合 V-U 中的各頂點(diǎn)與集合 U 中頂點(diǎn)的最短邊的權(quán)值，lowcostv=0 表示頂點(diǎn) v 已經(jīng)加入最小生成樹中；adjvex 用來保存依附于該邊在集合 U 中的頂點(diǎn)。例如下式表明頂點(diǎn)和頂點(diǎn)熊之間的權(quán)值為 wlowcosti=w;adjvexi=k;程序流程圖L輸入開始焙點(diǎn).如果輸入的給點(diǎn)越界，即不在圖中.則輸出錯誤信息提示用戶宣新輸入。并對程序中要用到的數(shù)粗?jǐn)喑跏蓟痵tart_point=input(k);%輸入最小生成樹產(chǎn)生起點(diǎn)采取了 sprintf 格式化字符串的方法

5、，就避免了編程的人每次根據(jù)輸入圖的頂點(diǎn)數(shù)手動對提示作修改。效果如下：在對第一幅圖進(jìn)行算法驗(yàn)證時在 workspace 會如下輸出：pleaseinputthepointwhereyouwanttostart,dorememberitmustbebetween1and7在對第二幅圖進(jìn)行算法驗(yàn)證時在 workspace 會有如下輸出：pleaseinputthepointwhereyouwanttostart,dorememberitmustbebetween1and83.在輸出結(jié)果時為了使結(jié)果在 workspace 中輸出的清晰，使人一目了然，也使用了sprintf 格式化字符串的方法，代碼如下

6、s=0;forii=1:len-1關(guān)鍵代碼說明:1.將用于驗(yàn)證算法正確性的兩幅圖用鄰接矩陣的形式保存,分別保存為文件Graph1.m,Graph2.m（注：矩陣的對角線元素設(shè)置為零。）并在主程序 finallyprim中直接進(jìn)行調(diào)用。2.在輸入起點(diǎn)時應(yīng)該給程序的閱讀者就該圖的頂點(diǎn)數(shù)作出提示,能會輸入越界下標(biāo)。采取的方法如下len=length（graph_adjacent）;%求圖中有多少個頂點(diǎn)不然的話使用者很可k=sprintf(pleaseinputthepointwhereyouwanttostart,dorememberitmustbebetween1and%d,len);士根據(jù)上一步

7、輸入的開騏結(jié)點(diǎn)對lows日和mdNBi進(jìn)行初賦值：工根據(jù)上一步輸入的開始軸點(diǎn)對lci，85t和adjvexli斷T初原隹kiwcost-gFaph_adjacenfftmrt_pcinL二上Klowc口5明的值為吊點(diǎn)占#artjpdiit的叔曲adjvex=start_poink*on則L庵n上谿d中所有元素的值都為初蛤節(jié)點(diǎn)k=sprintf(最小生成樹第d 條邊：(%d,%d),權(quán)值%d,ii,tree(ii,1),tree(ii,2),graph_adjacent(tree(ii,1),tree(ii,2);disp(k);disp(,);s=s+graph_adjacent(tree(i

8、i,1),tree(ii,2);enddisp(最小生成樹的總代價為：,)disp(s);4.下面對算法的核心部分進(jìn)行說明：在 len-1 次循環(huán)中，每次循環(huán)要完成以下三項(xiàng)工作1 .找到最小邊，(需要求 lowcost 數(shù)組的最小非零值，因?yàn)?0 表示該邊已經(jīng)被加入到了最小生成樹中)由于是求非零的最小值，就不能在直接用 min 函數(shù)了。我采取的方法是這樣的：k=lowcost0;%k 為一邏輯數(shù)組，它和 lowcost 同維，對于每一個位%置 i 如果 lowcost(i)0 貝 Uk(i)=1%否則 k(i)=0;稍候?qū)⒂眠@個數(shù)組進(jìn)行輔助尋址cost_min=min(lowcost(k);%

9、找出 lowcost 中除 0 外的最小值index=find(lowcost=cost_min);%找出此最小值在 lowcost 中的下標(biāo)，即找到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)index=index(1);%因?yàn)樽钚≈档南聵?biāo)可能不止一個，這里取第一個下標(biāo)進(jìn)行處理lowcost(index)=0;%表明該節(jié)點(diǎn)已經(jīng)加入了最小生成樹中采用這種方法不僅充分利用了 matlab 的 built_in 函數(shù)，還避免了自己編寫代碼(循環(huán)+判斷 lowcostv是否為 0)來實(shí)現(xiàn)尋找不為零的最小值的麻煩，提高了代碼執(zhí)行的效率。2 .對 lowcost 和 adjvex 進(jìn)行更新，即：設(shè)剛加入最小生成樹的頂點(diǎn)為 index,比

10、較對于 U-V 中的每個頂點(diǎn) v:比較 lowcost(v)和(v,index)邊的權(quán)值大小，如果(v,index)邊的權(quán)值小，則令 lowcost(v)的值為該邊的權(quán)值，并將 adjvex(v)的值等于 indexforj=1:leniflowcost(j)graph_adjacent(j,index);lowcost(j)=graph_adjacent(j,index);adjvex(j)=index;endend3 .將該邊保存tree(i,:)=adjvex(index),index;ii.ii.結(jié)果如下求第一張圖的最小生成樹：pltaseinputthepointwhereyouwa

11、nttostart3Mr&ui&jnberitmustbebetwten1and72最小生成樹的總代價為:15最小生成樹第I條邊:權(quán)值為3最小生成樹第2條邊最小生成樹匏3條邊:最小生成樹第4條邊E最小生成樹匏5條邊:最小生成樹第6條邊(1,(3)(1,(3)值為2( (3,6),權(quán)值為16,7),權(quán)值為2(6,5，權(quán)值為3(1,(4)(1,(4)值為4pleaseinputthepointwhereyouward:tostartdorejiLemberitmustbebetween1arLti75最小生成樹的總代價為:15求第二張圖的最小生成樹:pleaseinputthepointwhere

12、youvanttostart7dorememberitmustbebetween1arid84最小生成樹第1條邊E最小生成樹第3 條邊:最小生成樹的總代價為:60pleaseinputthepointwhereyouwanttostartdorememberitmustbebetween1and88最小生成樹的總代價為:60Kruskal 算法的基本思想是：設(shè)無向連通網(wǎng)為 G=(V,E),令 G 的最小生成樹為 T=(U,最小生成樹第 1 條邊: (5,6),權(quán)值為 3最小生成樹第 2 條邊: (6,3),權(quán)值為 1最小生成樹第 3 條邊:(3,1)-權(quán)值為 2最小生成樹第 4 條邊: (6,

13、7),權(quán)值為 2最小生成樹第 5 條邊: (1,2)，權(quán)值為 3最小生成樹第 6 條邊: (1,4)，權(quán)值為 4最小生成樹第 2 條邊:(3,5)，權(quán)值為2最小生成樹第4 條邊: (3,6)(3,6), ,權(quán)值為國最小生成樹第5 條邊: (6,7)(6,7), ,板值為5最小生成樹第呂條邊:&).最小生成樹第條邊: (1,2)(1,2), ,權(quán)值為 9最小生成樹第1條邊:8,4)，權(quán)值為日最小生成樹第2幫邊,極值為6最小生成樹第3條邊tC3.5),權(quán)值知2最小生成樹第4條邊:權(quán)11為重最小生成樹第5條邊,(6,7) 權(quán)值為5最小生成樹第E條邊t (63)r根值為14最小生成樹第條邊:(1,2)

14、.權(quán)值為9II.用Krusal算法(避圈法)求最小生成樹i.i.算法分析及需求分析, 程序設(shè)計(jì)TE),其初始狀態(tài)為 U=V,TE=,這樣 T 中各頂點(diǎn)各自構(gòu)成一個連通分量。然后按照邊的權(quán)值由小到大的順序，依次考察邊集 E 中的各條邊。若被考察的邊的兩個頂點(diǎn)屬于 T 的兩個不同的連通分量，則將此邊加入到 TE 中去，同時把兩個連通分量連接成一個連通分量；若被考察邊的兩個結(jié)點(diǎn)屬于同一個連通分量，則舍去此邊，以免造成回路，如此下去，當(dāng) T中的連通分量個數(shù)為 1 時，此連通分量便為 G 的一棵最小生成樹。顯然，Kruskal 算法實(shí)現(xiàn)起來要比 prim 算法復(fù)雜些。選擇合適的存儲結(jié)構(gòu)存儲圖，采用合適的

15、排序算法對程序執(zhí)行效率的提高非常重要，采用簡單而明了的方法判斷邊的兩個端點(diǎn)是否在一個連通分支上更是尤為重要。一般來說，涉及 Kruskal 算法多采取邊集數(shù)組做為圖的存儲結(jié)構(gòu)，但考慮到 matlab 不像C 語言那樣可以方便地動態(tài)的生成數(shù)組和釋放內(nèi)存，仍采取了鄰接矩陣的形式保存圖，用于測試的兩幅圖，分別保存為 Graph11.M,Graph22.M.(注：鄰接矩陣的對角線元素設(shè)定為 100)這樣既方便對邊進(jìn)行操作，又方便對邊的頂點(diǎn)進(jìn)行操作。使用鄰接矩陣容易引起的問題是：由于鄰接矩陣是對稱矩陣，比如 graph_adjacent(1,2)和 graph_adjacent(2,1)代表的是同一條邊

16、，所以當(dāng)有一條邊被選入最小生成樹后，要對它的兩個結(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行更新。整個程序是以頂點(diǎn)為基本單位處理的。由于一條邊對應(yīng)兩個結(jié)點(diǎn)，取標(biāo)號較小的頂點(diǎn)做為主要處理對象，并用它來尋址該邊所對應(yīng)的另一個結(jié)點(diǎn)。這樣規(guī)格化的好處在于：程序流程的每一步都會在自己的預(yù)測中，出現(xiàn)了錯誤易于查找。下面介紹一下一個 matlab 的 built_in 排序函數(shù) sort 這個函數(shù)的功能非常強(qiáng)，也正因?yàn)椴捎昧诉@個函數(shù)才使我的程序簡潔高效。Y,I=sort(A);其中 A 為矩陣。則 Y 為將 A 中各列按從小到大排序后的結(jié)果，I 為 Y 中的元素在原矩陣 A 中所在的行號。舉例如下584og?610131233對于判斷兩個

17、點(diǎn)是否在同一個連通分支，我的方法如下：聲明一數(shù)組 tag 保存每個結(jié)點(diǎn)所在的連通分支的標(biāo)號，初始值為每個結(jié)點(diǎn)的標(biāo)號,當(dāng)兩個連通分量相連后則將它們的 tag 值設(shè)為一致程序流程圖:L相關(guān)變量初始化工作， 將原圖的鄰接矩陣拷貝到館mp矩陣中，避免程序?qū)υ仃囍苯舆M(jìn)行修改2.找最小生成樹（采用while循環(huán)，因?yàn)檠h(huán)次數(shù)事先并不知道）循環(huán)結(jié)束條件為找到了頂點(diǎn)數(shù)-1條最優(yōu)邊3.求最小生成樹的總代價并顯示，并顯示最小生成樹的邊，及其權(quán)值關(guān)鍵代碼說明：1 .如何判斷兩個點(diǎn)是否在同一個連通分支將圖中每個頂點(diǎn)的 tag 值設(shè)為自身標(biāo)號forj=1:lentag(j)=j;%關(guān)聯(lián)標(biāo)志初始化，將每個頂點(diǎn)的關(guān)聯(lián)標(biāo)志

18、設(shè)為其本身end;當(dāng)確定兩個頂點(diǎn)不在同一個連通分支時，將它們對應(yīng)的邊加入最優(yōu)邊集superedge 中，并修改其中一個頂點(diǎn)的及其所在連通分支的各個點(diǎn)的 tag 值，使其和另一連通分支具有相同的 tag 值。if(tag(anotherpoint)=tag(index)%當(dāng)兩個點(diǎn)不屬于一個連通集時，這兩個點(diǎn)之間的邊為最小生成樹的邊superedge(i,:)=index,anotherpoint;%將其加入最小生成樹的邊集中 i=i+1;%下標(biāo)加 1%下面的語句的作用是將兩個連通分支變成一個連通分支，即 tag 值一樣forj=1:len%以 index 的 tag 值為標(biāo)準(zhǔn)if(tag(j)=

19、tag(anotherpoint)&(j-=anotherpoint)%遍搜 tag 數(shù)組，先將和 anotherpointtag 值一樣的點(diǎn)的 tag 值變?yōu)?index 的 tag 值tag(j)=tag(index);endendtag(anotherpoint)=tag(index);%將 anotherpoint 的 tag 值變?yōu)?index 的 tag 值endend注意：上面的紅色代碼部分，要先將連同分支的其他點(diǎn)的 tag 值變?yōu)?tag(index),最后在改變 tag(anotherpoint)的 tag 值，如果先將 tag(anotherpoint)的值改變了，編號在a

20、notherpoint 之后的點(diǎn)的 tag 值就無法正確更新了2 .尋找最小邊Y,I=sort(temp);%將 temp 的每列按從小到大排序，數(shù)組 Y 保存 temp 排序后的結(jié)果，I 中保存相應(yīng)結(jié)果對應(yīng)的在 temp 中的下標(biāo)cost_min=min(Y(1,:);%找出權(quán)值最小的邊index=find(Y(1,:)=cost_min);%找出權(quán)值最小的邊對應(yīng)的頂點(diǎn)index=index（1）;%一條邊對應(yīng)兩個節(jié)點(diǎn)，且不同的邊的權(quán)值可能一樣，這里為了方便處理人為規(guī)定了順序，取標(biāo)號最小的頂點(diǎn)進(jìn)行處理anotherpoint=I（1,index）;%找到該邊對應(yīng)的另一個頂點(diǎn)%將該邊對應(yīng)的權(quán)值

21、修改為最大，防止該邊在下次循環(huán)中再次被選為最優(yōu)邊temp（index,anotherpoint）=100;temp(anotherpoint,index)=100;3 .顯示模塊采用的代碼參見 prim 算法。ii.ii.結(jié)果如下a.第一張圖的最小生成樹最小生成樹的總代價為:15b.第二張圖的最小生成樹最小生成樹第 1 1 條邊，最小生成樹第 2 2條邊二最小生成樹第3 3 條邊，最小生成樹第 4 4 條邊工最小生成樹笫 5 5 條邊.最小生成樹第 6 6 條邊工最小生成樹第條邊，（3,53,5）, ,權(quán)值為 2 2（66），權(quán)值為 5 5C3j4C3j4）, ,極值為 6 6（% %8 8）

22、, ,權(quán)值為 6 6Clj2Clj2），極值為 9 9（1,61,6）, ,權(quán)值為 1414最小生成樹第 1 1 條邊最小生成樹第 2 2 條邊;最小生成樹第 3 3 條邊;最小生成樹第 4 4 條邊:最小生成樹第 5 5 條邊;:（工 6 6）, ,權(quán)值為 1 1（1,31,3），權(quán)值為 2 2（6.76.7），權(quán)值為 2 21 1L2L2）權(quán)值為 3 3（5 5 評），權(quán)值為 3 311141114），權(quán)值為 4 46 6）, ,權(quán)值為 1818最小生成樹的總代價為工6060四.擴(kuò)展功能的完成(1)(1)提供對算法效率(復(fù)雜度)進(jìn)行評估的方法，并通過舉例驗(yàn)證，與分析得到的算法復(fù)雜度結(jié)果相對

23、照；理論分析設(shè)圖中的頂點(diǎn)數(shù)為 n,則 Prim 算法要執(zhí)行 n-1 次外循環(huán)找齊最小邊，每次外循環(huán)又要執(zhí)行n 次內(nèi)循環(huán)對 lowcost 和 adjvex 數(shù)組進(jìn)行更新，所以 Prim 算法的時間復(fù)雜度為 0(，與網(wǎng)中的邊數(shù)無關(guān)，因此適用于求稠密網(wǎng)的最小生成樹。因?yàn)?Kruskal 算法是依次對圖中的邊進(jìn)行操作，因此 Kruskal 算法的時間復(fù)雜度為 O(e),其中 e 為無向連通網(wǎng)中邊的個數(shù)。相對 Prim 算法而言，Kruskal 算法適用于求稀疏網(wǎng)絡(luò)的最小生成樹。程序驗(yàn)證1 .隨機(jī)生成 300300 的對稱稠密矩陣，用于觀測 Kruskal 和 Prim 算法的運(yùn)行時間。(分別在 fi

24、nallyprim 和 finallykruskal 腳本文件中的主循環(huán)開始和結(jié)束為止加 tic,toc)對稱矩陣采用如下方法生成。a=ceil*(rand(300);b=triu(a);c=b;a=a+c;forii=1:300a(ii,ii)=0;%(forprim)ora(ii,ii)=1000%(forkruskal)end運(yùn)行結(jié)果如下：a.primpleaseinputthepointriiereyouwanttostart,dorememberitmustbebetween1and3005Elapsedtineis0*172000seconcls;最小生成樹的總代價為：b.krus

25、kalElapsedtinsic22.719000營自小8面,最小生成朝晌總代除為：300由此可見對于稠密圖 prim 算法優(yōu)于 kruskal 算法2 .隨機(jī)生成一稀疏對稱矩陣，用于觀測 kruskal 和 prim 算法的運(yùn)行時間稀疏對稱矩陣采用如下方法生成a=ones(300)*1000;%如果 a(i,j)=1000 表明 i,j 兩點(diǎn)不連通a(:,2)=ceil(50*rand(1,300);a(2,:)=a(:,2);a(1,3)=1;a(3,1)=1;a(4,8)=2;a(8,4)=1;forii=1:300a(ii,ii)=0;%(forprim)end這是一個多播網(wǎng)，2 號結(jié)

26、點(diǎn)是廣播源，1,3 結(jié)點(diǎn)和 2 相連外，還彼此相連，同理 4,8 結(jié)點(diǎn)。運(yùn)行結(jié)果如下：a.Primpleaseinputth.pointwhereyouwanttostartjdoreniemberitmu5thebetween1and3005Elapsedtimeis01880D0secondc.量小生成樹的總代價為7337b.kruskalFlapsedFlapsedtimeistimeis3.3.609000609000seconds.seconds.最小生成樹的總代價為工73373.結(jié)果對比(時間單位 seconds)稀疏圖稠密圖Prim0.1880.172Kruskal3.60922

27、.719從表格的行的方向?qū)Ρ日f明：prim 算法更適于處理稠密圖；kruskal 算法更適于處理稀疏圖。從表格的列的方向?qū)Ρ日f明：似乎是 prim 算法在兩種場合都優(yōu)于 kruskal 算法，但這個結(jié)論是不正確的，因?yàn)槲业?kruskal 算法還沒有達(dá)到最優(yōu)化。(2)(2)從降低內(nèi)存消耗、減少計(jì)算時間的角度，對算法進(jìn)行優(yōu)化。對于 prim 算法，我認(rèn)為在我的思路范圍內(nèi)已經(jīng)達(dá)到了最優(yōu)。非零最小值的代碼實(shí)現(xiàn)，認(rèn)為很具有 matlab 風(fēng)格。k=lowcost0;%k 為一邏輯數(shù)組，它和 lowcost 同維，對于每一個位置 iiflowcost(i)0 貝 Uk(i)=1%否則 k(i)=0;稍候

28、將用這個數(shù)組進(jìn)行輔助尋址cost_min=min(lowcost(k);%找出 lowcost 中除 0 外的最小值index=find(lowcost=cost_min);%找出此最小值在 lowcost 中的下標(biāo)，即找到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)index=index(1);%因?yàn)樽钚≈档南聵?biāo)可能不止一個，這里取第一個下標(biāo)進(jìn)行處理lowcost(index)=0;%表明該節(jié)點(diǎn)已經(jīng)加入了最小生成樹中2.Kruskal 算法對 Kruskal 算法，我有兩點(diǎn)優(yōu)化口個欣K品匚,，山以苞士法有方更,歙1我才漾#篁個鄰蟆南8行重拉-阻虹一誨產(chǎn)喈海邙斷口兩支心生粗邛娥隨進(jìn)曲序更翻項(xiàng)燈jhile(suptreie(Im

29、-1dl)=Q一在巫叵%嗝麗列前Wl用大杵陶嫡T限存trp搏序后的結(jié)新I中腦用嶙刎度的在teip中的下標(biāo)如stjiimuiOfUr；蛾出我曾星小的立11曲中五4(1(1屈NCOBtjda);他由極值呈+的邊對區(qū)的頂點(diǎn)代比=in如出;上岫對麗卞節(jié)焉且不同的邊的權(quán)值哨ET，這里為了方便婦以為魁了胡 聯(lián)標(biāo)號小的頂點(diǎn)進(jìn)行處理aurtherpoiTit=Kljinds:):戒電闔也對應(yīng)的另一千頂點(diǎn)蝶鼬梅的施懿為最尢處睡在下燔腳再施燃就過tEKP(uirlfii,anotherpfliirt)=M,f 叩(anrrthetpoint,inidezl=OD,if(tagtflurtbarpoiirt)W就t

30、indn)：省麻好用工一力連 W.引t二q十盧之間的達(dá)為最小上酬於sQpeiedgitijiJ-tir.deK,aMthecpoiHtJ小iQA靶-生惻射電集中i=i+l;*F就門軒施語句的概耨兩饋置域在 T 政分堂附或上for-1:LD喟:indai的值為標(biāo)準(zhǔn)if.(arintherpuintmuthsijoint)t擾加( (DldM) )；etudmdtag(iJbdH):嚙的t型觸場end修改后的代碼如下:尤其得意的是尋找1314151617181520212223我25加27將293D3L323X比36月概a洪融先尊君aicrtherpointtaj喟一樣欣點(diǎn)的t線做.為七擊工班就值

31、有UT.U冽而t弱小5底節(jié)在整個很 中飄一凱聰蒯 西宣京的軟鞋初硅卜珊h哪1先建下當(dāng)蠲-港幽力用 T 例班般(即藤吉值憶期中出現(xiàn)普TS!較，這用囹噓博麥的13首融成出連通度L遮相額可口了的t量小生成樹的總代館為:60結(jié)果正確，說明改進(jìn)后的 Kruskal 算法正確：昆1二期出加期；心1屋曜犯叫e%tH；L)=S麗岫汕i陋1,；陶蹴Si小襤irjdss=fiftd(T(lhJ=cB?+.iiTJ;】1-181520202-222324-252626- -打.28-1依E：31-3233-扯出iruift華 H 司山如1)：你皂ta洲目平日,匕舊翻月的土if世崛MsuhlDlenjtMsMM燃即唯時支財欺 擇催思t駕似處2乂時(anrithjfixjiflijit).tnnd1知扯言),riset駕|：扯l)=taj(mdes),Junes41則他(疝bl);37-etd際%計(jì)即！=su:rtftg叩口j武鼎孫耽惟印血7)?宜:U血&SMtlueiptiintJ=ytip;M：Jiijd%油Mbs型M