1、精選課件1三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算問題問題:設(shè)設(shè) f (x , y , z) 在在上可積上可積 , 研究三重積分研究三重積分 dVzyxf),(的計(jì)算方法的計(jì)算方法 研究思路研究思路:設(shè)法將設(shè)法將 化為化為 dVzyxf),( dVzyxf),(先定積分再二重積分先定積分再二重積分(1) 先單后重先單后重 :(2) 先重后單先重后單 : dVzyxf),(先二重積分再定積分先二重積分再定積分精選課件2zxyx+y+z=10例例1. 計(jì)算計(jì)算,dddzyxx其中其中 是由平面是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域.解：解： D: 0 y 1x, 0 x 1 zyx

2、xdddyxxzxyx101010ddd24111Dx+y=1 xyyxDzxyx10ddd精選課件3例例2. 計(jì)算計(jì)算,ddd)cos(zyxzxy其中其中 是由拋物是由拋物柱面柱面xy 及平面及平面y=0, z=0, 所圍閉區(qū)域2 yx,ddd)cos(zyxzxyxDzzxyyx20d)cos(dd解：解： D: 0 y , 0 x x2xxzzxyyx20020d)cos(dd21162yxz2xz0 xy D02yx精選課件4例例3. 將將zyxzyxfddd),(化為三次定積分，其中化為三次定積分，其中 是由是由 z= x2+y2 和和 z=1所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域.解：解：先對(duì)

3、先對(duì) z 積分，將積分，將 向向 xy 平面投影平面投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2 精選課件5zyxzyxfddd),(111112222d),(ddyxxxzzyxfyxxyz01Dxyz=1z= x2+y2 精選課件6解解2：先對(duì)先對(duì) y 積分，將積分，將 向向 xz 平面投影：平面投影：z= x2+y2 Dxy: x2 z 1,z=1 1 x1z= x2+y2 2xzy222d),(ddddd),(111xzxzxyzyxfzxzyxzyxfxyz0Dxz112xzy2xzy精選課件7例例4. 計(jì)算計(jì)算,ddy

4、xz其中其中 是由是由 z=x2+y2 和和 z=1所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解：解：D(z): x2+y2zz0, 110ddddzzzyxz)(ddzDyx10dzzz1033z3zz2)(精選課件8例例5. 計(jì)算計(jì)算解：解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1 x yzxy0111x : 0 x 1 10ddddxxzyxx102)d(121xxx241)(ddxDzy2)1 (21x,dddzyxx其中其中 是由平面是由平面 x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域.D(x)z=1xy xy01x1x精選課件9例例6. 計(jì)算計(jì)算,ddd22

5、zyxyxz其中其中 由由22yxz與與 z=1 所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域.解：解： D: x2+y2122yxzz =122yxz z =r122 yxz =0 xyz0Dz=rz=1精選課件10zrzrzyxyxzdddddd*222110220dddrzzrrrrrd2)1 (2102215212dddrDzzrrxyz0z=rz=11D精選課件11例例7. 計(jì)算計(jì)算,dddzyxz =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解：解：D: x2+y21221yxz21rzzrzrzyxzdddddd*2101020dddrzzrrrrrd2)1 (21024210ddrDzzr

6、drxyz0121rz精選課件12oxyz12。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(軸的直線軸的直線作平行與作平行與過點(diǎn)過點(diǎn)zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即例例 3 3 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分 dxdydzz 。 其其中中 ：平平面面 , 0 , , 2 , 1 zxyxx及及 yz 2 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 例例 8.精選課件13于是，于是， z dxdydz 22100 xydxdyzdz oxyz12D 210281xdyydx 213241dxx.325 精選課件1422yxz與球面與球面例例

7、9. 計(jì)算計(jì)算,)(222dxdydzzyxI其中其中, 是由錐面是由錐面2222azyx所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.解解: 積分區(qū)域如圖所示. ,cos,sinsin,cossinrzryrx則錐面方程變?yōu)?4球面方程變?yōu)閞 = a, 區(qū)域變?yōu)閥xzO運(yùn)用球面坐標(biāo)計(jì)算, 令精選課件15,0 ,40 ,20| ),(arr故(該題也可選擇柱面坐標(biāo)計(jì)算，請(qǐng)讀者自行完成該題也可選擇柱面坐標(biāo)計(jì)算，請(qǐng)讀者自行完成.)dxdydzzyxI)(222ddrdrrsin22adrrdd044020sin).22(515ada405sin52 4 1:22 及及三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍區(qū)區(qū)域域平平面面, ,

8、 曲曲面面 yxyxzy14x+ y = 4x = 0 xzo1 22 yxz.zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算例例10.y14x+ y = 4xzo11 22 yxz.取第一卦限部分取第一卦限部分 4 1:22 及及三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍區(qū)區(qū)域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxzzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算例例10.4x+ y = 4y = 0 xyz Dyxzz , y,xfyxId )(dd1022.Dzzyxfyxyxxd ),(dd .o1 4 1:22 及及三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍區(qū)區(qū)域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxzzyxz ,

9、y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算例例10.666x+y+z=63x+y=62.例例11.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域666x+y+z=63x+y=62.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面平面y=0

10、 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域z = 0y = 042x+y+z=6.x0z y666zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域42.x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0

11、，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd.D0y x624D yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd.y2=xxyzo例例12. 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算 zx2 2 2 y2=xxyzo 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)

12、計(jì)算算z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxIxxd ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)計(jì)算算D例例13 由曲面由曲面z x2 2y2 及及z 2 x2所圍成的閉區(qū)域；所圍成的閉區(qū)域；xyzOzx22y222z2x211Oxyz2zx22y2z2x2If(x，y，z)dxdydz22222221111),( xyxxxdzzyxfdydx22222221111),( xyxxxdzzy

13、xfdydx22222221111),( xyxxxdzzyxfdydx例例13 由曲面由曲面z x2 2y2 及及z 2 x2所圍成的閉區(qū)域；所圍成的閉區(qū)域；精選課件30解解1 y其中其中由曲面由曲面 dVxyI21例例14計(jì)算積分計(jì)算積分, zx zxy112222 ,所界的立體所界的立體zyx1往往 xz 平面上的投影區(qū)域平面上的投影區(qū)域 zx Dxy122 : dVxyI21dxdzdyxy xzDzx 112221 zxy221 zx122 精選課件31 xzDdxdzzxx)(222121 111122222121xxdzzxxdx)( 1123222213111dxxxxx)(4

14、528 精選課件32解解例例15 計(jì)算積分計(jì)算積分 , 其中其中是兩個(gè)球是兩個(gè)球22222224Rzyx Rzzyx , dVz2的公共部分的公共部分zyx2Rz R由由2222Rzyx Rzzyx4222 2Rz 采用先重后單方法計(jì)算采用先重后單方法計(jì)算 RDzdzdxdyzdVz022 RDzdzdxdyz02)(精選課件33 dVz2 RDzdzdxdyz02)( 20222Rdzzzz)( RRdzzRz2222)( 548059R zyx2Rz 2222Rzyx Rzzyx4222 精選課件34例例16 設(shè)設(shè) , 其中其中由由 dVyxzI)(224122222 zyxyxz , 所界所界 解解4 2 r1 r11222 r zyx24222 r zyx422 yxz214020 r , , : zyx精選課件35 D dVyxzI)(22 ddrdrrrsinsincos222 ddrdr35sincos Ddrdrd3520sincos 40213520 drrddsincos 40215320 drrddsincos 403363 dsincos 1621 4 2 r1 rzyx精選課件36例例17. .)0(24222222體體積所圍成的公共部分的立與圍柱面求球面aaxyxazyx解解: 由對(duì)稱性由對(duì)稱性, 所求體積所求