1、數(shù)學(xué)史講義數(shù)學(xué)史講義 印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué) 4.1 4.1 印度數(shù)學(xué)印度數(shù)學(xué) 19211922年間印度河流域莫亨佐達(dá)羅、哈拉帕等古代城市遺址的考古挖掘，揭示了一個(gè)悠久的文明，史稱“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”這一文明的創(chuàng)造者是印度土著居民達(dá)羅毗荼人，其歷史可以追溯到公元前3000年左右 如果說希臘數(shù)學(xué)與其哲學(xué)密切相關(guān)，那么古代印度數(shù)學(xué)則更多地受到其宗教的影響雅利安人建立的婆羅門教(公元4世紀(jì)后改革為印度教)，以及稍后(公元前6世紀(jì))興起的佛教、耆那教等，形成了古代印度數(shù)學(xué)發(fā)展的濃厚的宗教氛圍 印度地圖 印度地圖古代印度數(shù)學(xué)古代印度數(shù)學(xué) 印度數(shù)學(xué)繁

2、榮于公元6世紀(jì)到12世紀(jì)之間，主要?dú)v史成就： （1）包括“零”在內(nèi)的數(shù)碼和十進(jìn)位制記數(shù)法。 （2）運(yùn)用正弦的三角計(jì)算。 （3）算術(shù)與代數(shù) 印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可以劃分為3個(gè)重要時(shí)期，首先是雅利安人入侵以前的達(dá)羅毗荼人時(shí)期(約公元前3000一前1400)，史稱河谷文化；隨后是吠陀時(shí)期(約公元前10世紀(jì)一前3世紀(jì))；其次是悉檀多時(shí)期(5世紀(jì)一12世紀(jì)) 4.1.14.1.1古代古代繩法經(jīng)繩法經(jīng) 印度數(shù)學(xué)最早有可考文字記錄的是吠陀時(shí)代，其數(shù)學(xué)材料混雜在婆羅門教的經(jīng)典吠陀當(dāng)中，年代很不確定吠陀即梵文veda，原意為知識、光明。吠陀內(nèi)容包括對諸神的頌歌、巫術(shù)的咒語和祭祀的法規(guī)等，這些材料最初由祭司們口頭傳誦，

3、后來記錄在棕櫚葉或樹皮上 吠陀吠陀（梵文，意為知識、光明）是印度雅利（梵文，意為知識、光明）是印度雅利安人的作品，成書于公元前安人的作品，成書于公元前1515前前5 5世紀(jì)，歷時(shí)世紀(jì)，歷時(shí)10001000年左年左右，婆羅門教的經(jīng)典，右，婆羅門教的經(jīng)典，其中的其中的繩法經(jīng)繩法經(jīng)（前（前8 8前前2 2世世紀(jì)）是紀(jì)）是吠陀吠陀中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測量的部分。中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測量的部分。釋迦牟尼（公元前釋迦牟尼（公元前565565公元前公元前486486年）傳揚(yáng)佛教時(shí)期，年）傳揚(yáng)佛教時(shí)期，佛教是佛教是古印度古印度的迦毗羅衛(wèi)國（今的迦毗羅衛(wèi)國（今尼泊爾尼泊爾境內(nèi)）王子喬達(dá)境內(nèi)）王子喬達(dá)摩摩

4、悉達(dá)多所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱為悉達(dá)多所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱為釋迦釋迦牟尼牟尼也就是也就是“釋迦族的圣人釋迦族的圣人”的意思，門徒稱他為佛），的意思，門徒稱他為佛），包含幾何、代數(shù)知識，如畢達(dá)哥拉斯定理、圓周率的近包含幾何、代數(shù)知識，如畢達(dá)哥拉斯定理、圓周率的近似值等。似值等。吠陀時(shí)期（公元前吠陀時(shí)期（公元前10前前3世紀(jì)）世紀(jì)）吠陀吠陀手稿手稿（毛里求斯，（毛里求斯，1980）l 印度雅利安人的作品，繩法經(jīng)出現(xiàn)在吠陀時(shí)代，包含畢達(dá)哥拉斯定理等數(shù)學(xué)知識 這些吠陀中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測量的部分測繩的法規(guī)(Sulva strus)，即繩法經(jīng)，大約為公元前8世紀(jì)至公元前2世紀(jì)的

5、作品其中有一些幾何內(nèi)容和建筑中的代數(shù)計(jì)算問題如勾股定理、矩形對角線的性質(zhì)等。給出了圓周率、根號2的近似值。 耆那教的經(jīng)典由宗教原理、數(shù)學(xué)原理、算術(shù)和天文等幾部分構(gòu)成。其中出現(xiàn)了許多計(jì)算公式，如圓的周長、弧長等。4.1.2“4.1.2“巴克沙利手稿巴克沙利手稿” ” 關(guān)于公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)；可參考資料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地區(qū)一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村莊，發(fā)現(xiàn)了這一時(shí)期的書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利手稿” 其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤計(jì)算、比例算法、級數(shù)求和、代數(shù)方程等，其代數(shù)方程包括一次方程、聯(lián)立方程組、二次方程

6、特別值得注意的是手稿中使用了一些數(shù)學(xué)符號 :（1）減號：“12-7”記成“12 7+” （2）零號：用點(diǎn)表示0 ，后來逐漸演變?yōu)閳A圈 。巴克沙利手稿中出現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼 ： 有一塊公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地區(qū)的瓜廖爾(GwMior)城而以瓜廖爾石碑著稱，上面已記有明白無疑的數(shù)“0”瓜廖爾數(shù)系為： 古代印度數(shù)學(xué)古代印度數(shù)學(xué) 印度數(shù)碼阿拉伯?dāng)?shù)碼 阿拉伯?dāng)?shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人創(chuàng)造的.關(guān)于關(guān)于0 0的發(fā)明的發(fā)明印度,0較早出現(xiàn)在巴克沙利手稿中，這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明.最早的零用來表示記數(shù)法中的空位，而沒有看作是一個(gè)獨(dú)立的數(shù).印度人起初也是用空位表示零，后記

7、成點(diǎn)號，最后發(fā)展為圈號.后來，印度人又把零作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)。摩訶毗羅說：“一個(gè)數(shù)乘以零得零，加上零、減去零或除以零這個(gè)數(shù)都不變.”關(guān)于關(guān)于0 0的發(fā)明的發(fā)明婆什迦羅在算法本源指出：“被除數(shù)為3、除數(shù)為0，得商 ，這個(gè)分母為0的分?jǐn)?shù)，稱為無限大量?！逼帕_摩笈多在婆羅摩笈多修正體系中比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則：“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)；正數(shù)減去零是正數(shù)；零減去零什么也沒有；零乘負(fù)數(shù)、正數(shù)或零都是零.” 用圓圈符號“0”表示零，可以說是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明在數(shù)學(xué)上，“0”的意義是多方面的，它既表示“無”的概念，又表示位值記數(shù)中的空位，而且是數(shù)域中的一個(gè)基本元素，可以與其他數(shù)一起運(yùn)算 印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳

8、入阿拉伯國家，后又通過阿拉伯人傳至 歐洲零號的傳播則要晚，不過至遲在13世紀(jì)初，斐波那契算經(jīng)中已有包括零號在內(nèi)的完整印度數(shù)碼的介紹印度數(shù)碼和十進(jìn)位值制記數(shù)法被歐洲人普遍接受之后，在歐洲近代科學(xué)的進(jìn)步中扮演了重要的角色 4.1.3 “4.1.3 “悉檀多時(shí)期的印度數(shù)學(xué)悉檀多時(shí)期的印度數(shù)學(xué)” 悉檀多(梵文siddhanta，原為佛教因明術(shù)語，可意譯為“宗”，或“體 系”)時(shí)代是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時(shí)期，其數(shù)學(xué)內(nèi)容主要是算術(shù)與代數(shù)，出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家，如阿利耶波多(Aryabhata，476一約550)、婆羅摩笈多(Brahmagupta，598665)、馬哈維拉(Mahavira，9世紀(jì))和婆什

9、迦羅(Bhaskara，1114一約1185)等（一）阿耶波多（一）阿耶波多 阿耶波多是現(xiàn)今所知有確切生年的最早的印度數(shù)學(xué)家，他只有一本天文數(shù)學(xué)著作阿耶波多歷數(shù)書(499)傳世該書最突出的地方在于對希臘三角學(xué)的改進(jìn)和一次不定方程的解法。 阿耶波多把半弦與全弦所對弧的一半相對應(yīng)(見圖)，成為今天的習(xí)慣，同時(shí)他以半徑的 作為度量弧的單位，實(shí)際是弧度制度量的開始他還給出了第一象限內(nèi)間隔為345的正弦差值表 34381 阿耶波多最大貢獻(xiàn)是建立了丟番圖方程求解的所謂“庫塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用輾轉(zhuǎn)相除法的演算程序，接近于連分?jǐn)?shù)算法 印度科學(xué)史上有重要影響的人物，是最早的印度印度科

10、學(xué)史上有重要影響的人物，是最早的印度數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家，499年天文學(xué)著作年天文學(xué)著作阿耶波多歷數(shù)書阿耶波多歷數(shù)書（圣（圣使天文書）傳世（相當(dāng)于祖沖之使天文書）傳世（相當(dāng)于祖沖之綴術(shù)綴術(shù)的年代），的年代），最突出之處在于對希臘三角學(xué)的改進(jìn)最突出之處在于對希臘三角學(xué)的改進(jìn),制作正弦表制作正弦表（sine一詞由阿耶波多稱為半弦的一詞由阿耶波多稱為半弦的jiva演化而來），演化而來），和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了的近似值的近似值3.1416（與劉徽所得的近似值相當(dāng)），建立了丟番圖（與劉徽所得的近似值相當(dāng)），建立了丟番圖方程求解的方程求解的“庫塔卡庫塔卡”（原意

11、為（原意為“粉碎粉碎”）法。）法。阿耶波多（公元阿耶波多（公元476約約550年）年）l 最早的印度數(shù)學(xué)最早的印度數(shù)學(xué)家：阿耶波多（家：阿耶波多（476約約550年）年）l 499年年阿耶波多阿耶波多歷書歷書(圣使天文書圣使天文書)“阿耶波多號阿耶波多號”人人造衛(wèi)星造衛(wèi)星（印度，（印度，1975）l 的近似值的近似值3.1416 婆羅摩笈多的兩部天文著作婆羅摩修正體系(628)和肯德卡迪亞格(約665)，都含有大量的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其代數(shù)成就十分可貴 (二二)婆羅摩笈多婆羅摩笈多 在這段時(shí)間（中國的隋唐時(shí)期），整個(gè)世界（無論在這段時(shí)間（中國的隋唐時(shí)期），整個(gè)世界（無論東方還是西方）都沒有產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)

12、學(xué)家。婆羅摩笈多東方還是西方）都沒有產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的出生在印度的7 7大宗教圣城之一的烏賈因，并在這里長大。大宗教圣城之一的烏賈因，并在這里長大。婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺工作，婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺工作，在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺之一。在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺之一。628628年發(fā)表天文學(xué)著作年發(fā)表天文學(xué)著作婆羅摩修正體系婆羅摩修正體系（宇宙的開（宇宙的開端），這是一部有端），這是一部有2121章的天文學(xué)著作，其中第章的天文學(xué)著作，其中第1212、1818章章講的是數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)成就十分可貴，比較完

13、整地?cái)⑹隽肆阒v的是數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)成就十分可貴，比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則，丟番圖方程求解的的運(yùn)算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂瓦格布拉蒂”法，即法，即現(xiàn)在所謂的佩爾（英，現(xiàn)在所謂的佩爾（英，1611161116851685年）方程的一種解法。年）方程的一種解法。他還著有他還著有肯德卡迪亞格肯德卡迪亞格（約（約665665年）年） 婆羅摩笈多（婆羅摩笈多（598約約665年）年）烏賈因天文臺烏賈因天文臺l 婆羅摩笈多（婆羅摩笈多（598約約665年）年）l 628年年婆羅摩修正婆羅摩修正體系體系(宇宙的開端宇宙的開端)比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則 利用二次插值法構(gòu)造了間隔為15的正弦函數(shù)表 獲

14、得了邊長為 的四邊形的面積公式（有誤）：dcba,)()()(dpcpbpapS2/(dcbap 實(shí)際上這一公式只 適用于圓內(nèi)接四邊形，婆羅摩笈多婆羅摩笈多未意識到這一點(diǎn)，后來馬哈維拉，由這一公式出發(fā)將三角形視為有一邊為零的四邊形，得到了海倫公式。( (三三) )馬哈維拉馬哈維拉 7世紀(jì)以后，印度數(shù)學(xué)出現(xiàn)了沉寂，到9世紀(jì)才又呈現(xiàn)出繁榮如果說7世紀(jì)以前印度的數(shù)學(xué)成就總是與天文學(xué)交織在一起，那么9世紀(jì)以后發(fā)生了改變 耆那教徒馬哈維拉的計(jì)算方法綱要(The Ganita-Sra-Sangraha)可以說是一部系統(tǒng)的數(shù)學(xué)專著，全書有9個(gè)部分：(1)算術(shù)術(shù)語，(2)算術(shù)運(yùn)算，(3)分?jǐn)?shù)運(yùn)算，(4)各種計(jì)

15、算問題，(5)三率法(即比例)問題，(6)混合運(yùn)算，(7)面積計(jì)算，(8)土方工程計(jì)算，(9)測影計(jì)算 給出了一般性的組合數(shù) 公式 knC給出橢圓周長近似公式： .162422abC馬哈維拉馬哈維拉 馬哈維拉是印度南部邁索爾人，耆那教教徒，曾在拉喜特拉庫塔王朝(R11strak&ta)的宮廷里生活過很長一段時(shí)間約公元850年，他撰寫了計(jì)算方法綱要(Ganitas1rasagraha)一書。該書在印度南部曾被廣泛使用， 11世紀(jì)被譯成泰盧固語。20世紀(jì)初，它被重新發(fā)現(xiàn)1912年，在馬德拉斯譯為英文出版計(jì)算精華是印度第一本初具現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)教科書，現(xiàn)今數(shù)學(xué)教材中的一些論題和結(jié)構(gòu)在其中已可見

16、到。( (四四) )婆什迦羅婆什迦羅 婆什迦羅是印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，長期在烏賈因負(fù)責(zé)天文臺工作他有兩本代表印度古代數(shù)學(xué)最高水平的著作莉拉沃蒂(Llvat)和算法本源，天文著作有天球和天文系統(tǒng)之冠 印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅，出生于印度南方的比德爾，成年后來婆什迦羅，出生于印度南方的比德爾，成年后來到烏賈因天文臺工作，成為婆多摩笈多的繼承者，到烏賈因天文臺工作，成為婆多摩笈多的繼承者，后來還做了這家天文臺的臺長。后來還做了這家天文臺的臺長。古印度數(shù)學(xué)最高成就古印度數(shù)學(xué)最高成就天文系統(tǒng)之冠天文系統(tǒng)之冠（115011

17、50年，年，中國的南宋時(shí)期）和中國的南宋時(shí)期）和天球天球，還有兩部婆什迦，還有兩部婆什迦羅的重要數(shù)學(xué)著作羅的重要數(shù)學(xué)著作算法本源算法本源、莉拉沃蒂莉拉沃蒂。 婆什迦羅（婆什迦羅（11141188年）年）“婆什迦羅號婆什迦羅號”人人造衛(wèi)星（印度第二造衛(wèi)星（印度第二顆衛(wèi)星）顆衛(wèi)星）（1979）l 婆什迦羅（婆什迦羅（11141188年）年）l 印度數(shù)學(xué)最高成就印度數(shù)學(xué)最高成就天文系統(tǒng)極致天文系統(tǒng)極致l 莉拉沃蒂莉拉沃蒂 莉拉沃蒂共有13章：第1章給出算學(xué)中的名詞術(shù)語；第2章是關(guān)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，包括加、減、乘、除、平方、開平方、立方、開立方等；第3章論各種計(jì)算法則和技巧；第4章關(guān)于利率等方面的應(yīng)

18、用題；第5 章數(shù)列計(jì)算問題，主要是等差數(shù)列和等比數(shù)列；第6章關(guān)于平面圖形的度量計(jì)算；第7至10章關(guān)于立體幾何的度量計(jì)算； 莉拉沃蒂莉拉沃蒂第11章為測量問題；第12章是代數(shù)問題，包括不定方程；第13章是一些組合問題 能夠熟地使用諸如和差與半角等三角公式 能夠認(rèn)識并廣泛使用無理數(shù) 莉拉沃蒂莉拉沃蒂婆什迦羅婆什迦羅天文系統(tǒng)之冠天文系統(tǒng)之冠 著于1150年，分 “應(yīng)用問題”、“代數(shù)”、“天球”和“行星數(shù)學(xué)”四篇。書中，他全面系統(tǒng)地介紹了算術(shù)、代數(shù)和幾何知識，反映了印度12世紀(jì)的記數(shù)法，記載了有關(guān)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的8種基本運(yùn)算，收集了有關(guān)利息、商品交換、合金成分、土方、倉庫容積、水利建設(shè)等各種與社會、經(jīng)濟(jì)活動有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，給出了有關(guān)代數(shù)、幾何、三角方面的一些成果。 關(guān)于印度的幾何婆羅摩笈多曾給出了一個(gè)求四邊形面積的公式：婆羅摩笈多定理： 設(shè)圓內(nèi)接四邊形的各邊依次是 ，其對角線為則dcbasdscsbsasS21其中nm,dcba