1、物理學(xué)教程第二版第五章課后習(xí)題答案第五章機(jī)械振動5-1一個質(zhì)點(diǎn)作簡諧運(yùn)動，振幅為A，在起始時刻質(zhì)點(diǎn)的位移為，且向x軸正方向運(yùn)動，代表此簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量為（）題5-圖分析與解（B）圖中旋轉(zhuǎn)矢量的矢端在x軸上投影點(diǎn)的位移為A/2，且投影點(diǎn)的運(yùn)動方向指向Ox軸正向，即其速度的x分量大于零，故滿足題意因而正確答案為（B）5-2一簡諧運(yùn)動曲線如圖（a）所示，則運(yùn)動周期是（）(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s （D）2.00 s題5-圖分析與解由振動曲線可知，初始時刻質(zhì)點(diǎn)的位移為A/2，且向x軸正方向運(yùn)動圖（）是其相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知初相位為-振動曲線上給出質(zhì)

2、點(diǎn)從A/2 處運(yùn)動到x=0處所需時間為1 s，由對應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量圖可知相應(yīng)的相位差，則角頻率，周期.故選（B）5-3兩個同周期簡諧運(yùn)動曲線如圖（a）所示， x1的相位比x2的相位（）（A）落后（B）超前（C）落后（D）超前分析與解由振動曲線圖作出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖（b）即可得到答案為（B）題5 -圖5-4兩個同振動方向、同頻率、振幅均為A的簡諧運(yùn)動合成后，振幅仍為A，則這兩個簡諧運(yùn)動的相位差為（）（A）60（B）90（C）120（D）180分析與解由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知兩個簡諧運(yùn)動1和2的相位差為120時，合成后的簡諧運(yùn)動3的振幅仍為A.正確答案為（C）題5-4圖5-5若簡諧運(yùn)動方程為，式中x的單位為m，

3、t的單位為s.求：（1）振幅、頻率、角頻率、周期和初相；（2）時的位移、速度和加速度分析可采用比較法求解將已知的簡諧運(yùn)動方程與簡諧運(yùn)動方程的一般形式作比較，即可求得各特征量運(yùn)用與上題相同的處理方法，寫出位移、速度、加速度的表達(dá)式，代入值后，即可求得結(jié)果解（1）將與比較后可得：振幅A0.10m，角頻率，初相0.25，則周期，頻率（）時的位移、速度、加速度分別為5-6一遠(yuǎn)洋貨輪，質(zhì)量為m，浮在水面時其水平截面積為S設(shè)在水面附近貨輪的水平截面積近似相等，水的密度為，且不計水的粘滯阻力，證明貨輪在水中作振幅較小的豎直自由運(yùn)動是簡諧運(yùn)動，并求振動周期分析要證明貨輪作簡諧運(yùn)動，需要分析貨輪在平衡位置附近上

4、下運(yùn)動時，它所受的合外力與位移間的關(guān)系，如果滿足，則貨輪作簡諧運(yùn)動通過即可求得振動周期證貨輪處于平衡狀態(tài)時圖（a），浮力大小為F mg當(dāng)船上下作微小振動時，取貨輪處于力平衡時的質(zhì)心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向下為x軸正向，如圖（b）所示則當(dāng)貨輪向下偏移x位移時，受合外力為其中為此時貨輪所受浮力，其方向向上，大小為題5-6圖則貨輪所受合外力為式中是一常數(shù)這表明貨輪在其平衡位置上下所作的微小振動是簡諧運(yùn)動由可得貨輪運(yùn)動的微分方程為令，可得其振動周期為5-7如圖（a）所示，兩個輕彈簧的勁度系數(shù)分別為、當(dāng)物體在光滑斜面上振動時（1）證明其運(yùn)動仍是簡諧運(yùn)動；（2）求系統(tǒng)的振動頻率題5-7圖分析從上兩題的求解

5、知道，要證明一個系統(tǒng)作簡諧運(yùn)動，首先要分析受力情況，然后看是否滿足簡諧運(yùn)動的受力特征（或簡諧運(yùn)動微分方程）為此，建立如圖（b）所示的坐標(biāo)設(shè)系統(tǒng)平衡時物體所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，Ox軸正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox軸，物體受彈性力及重力分力的作用，其中彈性力是變力利用串聯(lián)時各彈簧受力相等，分析物體在任一位置時受力與位移的關(guān)系，即可證得物體作簡諧運(yùn)動，并可求出頻率證設(shè)物體平衡時兩彈簧伸長分別為、，則由物體受力平衡，有（1）按圖（b）所取坐標(biāo)，物體沿x軸移動位移x時，兩彈簧又分別被拉伸和，即則物體受力為（）將式（1）代入式（2）得（）由式（3）得、，而，則得到式中為常數(shù)，則物體作簡諧運(yùn)動，振動

6、頻率討論（1）由本題的求證可知，斜面傾角對彈簧是否作簡諧運(yùn)動以及振動的頻率均不產(chǎn)生影響事實(shí)上，無論彈簧水平放置、斜置還是豎直懸掛，物體均作簡諧運(yùn)動而且可以證明它們的頻率相同，均由彈簧振子的固有性質(zhì)決定，這就是稱為固有頻率的原因（2）如果振動系統(tǒng)如圖（c）（彈簧并聯(lián)）或如圖（d）所示，也可通過物體在某一位置的受力分析得出其作簡諧運(yùn)動，且振動頻率均為，讀者可以一試通過這些例子可以知道，證明物體是否作簡諧運(yùn)動的思路是相同的5-8一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅A2.0 ×10-2 m，周期T0.50當(dāng)t0 時，（1）物體在正方向端點(diǎn)；（2）物體在平衡位置、向負(fù)方向運(yùn)動；（3）物體在x-1

7、.0×10-2m處，向負(fù)方向運(yùn)動；（4）物體在x-1.0×10-2 m處，向正方向運(yùn)動求以上各種情況的運(yùn)動方程分析在振幅A和周期T已知的條件下，確定初相是求解簡諧運(yùn)動方程的關(guān)鍵初相的確定通常有兩種方法（1）解析法：由振動方程出發(fā)，根據(jù)初始條件，即t 0 時，x x0和vv0來確定值（2）旋轉(zhuǎn)矢量法：如圖（a）所示，將質(zhì)點(diǎn)P在Ox軸上振動的初始位置x0和速度v0的方向與旋轉(zhuǎn)矢量圖相對應(yīng)來確定旋轉(zhuǎn)矢量法比較直觀、方便，在分析中常采用題5-8圖解由題給條件知A2.0 ×10-2 m，而初相可采用分析中的兩種不同方法來求解析法：根據(jù)簡諧運(yùn)動方程，當(dāng)時有，當(dāng)（1）時，則；（

8、2）時，因，??；（3）時，由，?。唬?）時，由，取旋轉(zhuǎn)矢量法：分別畫出四個不同初始狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖（b）所示，它們所對應(yīng)的初相分別為，振幅A、角頻率、初相均確定后，則各相應(yīng)狀態(tài)下的運(yùn)動方程為（1）（2）（3）（4）5-9有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為m的物體時，伸長量為9.8 ×10-2 m若使物體上、下振動，且規(guī)定向下為正方向（1）當(dāng)t0 時，物體在平衡位置上方8.0 ×10-2處，由靜止開始向下運(yùn)動，求運(yùn)動方程（2）當(dāng)t時，物體在平衡位置并以0.6·s-1的速度向上運(yùn)動，求運(yùn)動方程分析求運(yùn)動方程，也就是要確定振動的三個特征物理量A、和其中振動的角頻率是由彈

9、簧振子系統(tǒng)的固有性質(zhì)（振子質(zhì)量m及彈簧勁度系數(shù)k）決定的，即，k可根據(jù)物體受力平衡時彈簧的伸長來計算；振幅A和初相需要根據(jù)初始條件確定題5-9圖解物體受力平衡時，彈性力F與重力P的大小相等，即Fmg而此時彈簧的伸長量l9.8 ×10-2m則彈簧的勁度系數(shù)kFlmgl系統(tǒng)作簡諧運(yùn)動的角頻率為（1）設(shè)系統(tǒng)平衡時，物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向由初始條件t 0 時，x108.0 ×10-2 m、v100 可得振幅；應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可確定初相圖（a）則運(yùn)動方程為（2）t 時，x200、v200.6 ·s-1，同理可得；圖（b）則運(yùn)動方程為5-10某振動質(zhì)點(diǎn)的x-t曲線

10、如圖（a）所示，試求：（1）運(yùn)動方程；（2）點(diǎn)P對應(yīng)的相位；（3）到達(dá)點(diǎn)P相應(yīng)位置所需的時間分析由已知運(yùn)動方程畫振動曲線和由振動曲線求運(yùn)動方程是振動中常見的兩類問題本題就是要通過xt圖線確定振動的三個特征量A、和，從而寫出運(yùn)動方程曲線最大幅值即為振幅A；而、通?？赏ㄟ^旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法解出，一般采用旋轉(zhuǎn)矢量法比較方便解（1）質(zhì)點(diǎn)振動振幅A0.10 而由振動曲線可畫出t00 和t14 時旋轉(zhuǎn)矢量，如圖（b）所示由圖可見初相（或），而由得，則運(yùn)動方程為題5-10圖（2）圖（a）中點(diǎn)P的位置是質(zhì)點(diǎn)從A2 處運(yùn)動到正向的端點(diǎn)處對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖（c）所示當(dāng)初相取時，點(diǎn)P的相位為（如果初相取成，則點(diǎn)P

11、 相應(yīng)的相位應(yīng)表示為（3）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可得，則5-11質(zhì)量為10 g的物體沿x的軸作簡諧運(yùn)動，振幅A=10 cm，周期T=4.0 s，t=0 時物體的位移為且物體朝x軸負(fù)方向運(yùn)動，求（1）t=1.0 s時物體的位移；（2）t=1.0 s 時物體受的力；（3）t=0之后何時物體第一次到達(dá)x=5.0 cm處；（4）第二次和第一次經(jīng)過x=5.0 cm處的時間間隔.分析根據(jù)題給條件可以先寫出物體簡諧運(yùn)動方程.其中振幅A，角頻率均已知，而初相可由題給初始條件利用旋轉(zhuǎn)矢量法方便求出. 有了運(yùn)動方程，t時刻位移x和t時刻物體受力也就可以求出. 對于（3）、（4）兩問均可通過作旋轉(zhuǎn)矢量圖并根據(jù)公式很方便求解.

12、解由題給條件畫出t=0時該簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖（a）所示，可知初相.而A=0.10 m，.則簡諧運(yùn)動方程為(1)t=1.0 s 時物體的位移（2）t=1.0 s時物體受力（3）設(shè)t=0時刻后，物體第一次到達(dá)x=5.0 cm處的時刻為t，畫出t=0和t=t時刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖（b）所示，由圖可知，A與A的相位差為，由得（4）設(shè)t=0時刻后，物體第二次到達(dá)x=5.0 cm處的時刻為t,畫出t=t和t= t時刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖（c）所示，由圖可知，A與A的相位差為，故有題 5-11 圖5-12圖（a）為一簡諧運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的速度與時間的關(guān)系曲線，且振幅為2cm，求（1）振動周期；（2）加速度的最大

13、值；（3）運(yùn)動方程分析根據(jù)v-t圖可知速度的最大值vmax，由vmaxA可求出角頻率，進(jìn)而可求出周期T和加速度的最大值amaxA2在要求的簡諧運(yùn)動方程xAcos（t）中，因?yàn)锳和已得出，故只要求初相位即可由vt曲線圖可以知道，當(dāng)t0 時，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度v0vmax/2 A/2，之后速度越來越大，因此可以判斷出質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向向著平衡點(diǎn)運(yùn)動利用v0Asin就可求出解（1）由得，則（2）（3）從分析中已知，即因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿x軸正向向平衡位置運(yùn)動，則取，其旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖（b）所示則運(yùn)動方程為題5-12圖5-13有一單擺，長為1.0m，最大擺角為5°，如圖所示（1）求擺的角頻率和周期；（2）設(shè)開始時

14、擺角最大，試寫出此單擺的運(yùn)動方程；（3）擺角為3°時的角速度和擺球的線速度各為多少？題5-13圖分析單擺在擺角較小時（5°）的擺動，其角量與時間的關(guān)系可表示為簡諧運(yùn)動方程，其中角頻率仍由該系統(tǒng)的性質(zhì)（重力加速度g 和繩長）決定，即初相與擺角，質(zhì)點(diǎn)的角速度與旋轉(zhuǎn)矢量的角速度（角頻率）均是不同的物理概念，必須注意區(qū)分解（1）單擺角頻率及周期分別為（2）由時可得振動初相，則以角量表示的簡諧運(yùn)動方程為（）擺角為3°時，有，則這時質(zhì)點(diǎn)的角速度為線速度的大小為討論質(zhì)點(diǎn)的線速度和角速度也可通過機(jī)械能守恒定律求解，但結(jié)果會有極微小的差別這是因?yàn)樵趯?dǎo)出簡諧運(yùn)動方程時曾取，所以，單擺

15、的簡諧運(yùn)動方程僅在較小時成立*5-14一飛輪質(zhì)量為12kg，內(nèi)緣半徑r0.6，如圖所示為了測定其對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，現(xiàn)讓其繞內(nèi)緣刃口擺動，在擺角較小時，測得周期為2.0s，試求其繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量題5-14圖分析飛輪的運(yùn)動相當(dāng)于一個以刃口為轉(zhuǎn)軸的復(fù)擺運(yùn)動，復(fù)擺振動周期為，因此，只要知道復(fù)擺振動的周期和轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離，其以刃口為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量即可求得再根據(jù)平行軸定理，可求出其繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量解由復(fù)擺振動周期，可得（這里）則由平行軸定理得5-15如圖（a）所示，質(zhì)量為1.0 ×10-2kg的子彈，以500m·s-1的速度射入木塊，并嵌在木塊中，同時使彈簧壓縮從而作簡諧運(yùn)動，

16、設(shè)木塊的質(zhì)量為4.99 kg，彈簧的勁度系數(shù)為8.0 ×103 N·m-1，若以彈簧原長時物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向左為x 軸正向，求簡諧運(yùn)動方程題5-15圖分析可分為兩個過程討論首先是子彈射入木塊的過程，在此過程中，子彈和木塊組成的系統(tǒng)滿足動量守恒，因而可以確定它們共同運(yùn)動的初速度v0，即振動的初速度隨后的過程是以子彈和木塊為彈簧振子作簡諧運(yùn)動它的角頻率由振子質(zhì)量m1m2和彈簧的勁度系數(shù)k確定，振幅和初相可根據(jù)初始條件（初速度v0和初位移x0）求得初相位仍可用旋轉(zhuǎn)矢量法求解振動系統(tǒng)的角頻率為由動量守恒定律得振動的初始速度即子彈和木塊的共同運(yùn)動初速度v0為又因初始位移x00，

17、則振動系統(tǒng)的振幅為圖（b）給出了彈簧振子的旋轉(zhuǎn)矢量圖，從圖中可知初相位，則簡諧運(yùn)動方程為5-16如圖（a）所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其下掛有一質(zhì)量為m1的空盤現(xiàn)有一質(zhì)量為m2的物體從盤上方高為h處自由落入盤中，并和盤粘在一起振動問：（1）此時的振動周期與空盤作振動的周期有何不同？（2）此時的振幅為多大？題5-16圖分析原有空盤振動系統(tǒng)由于下落物體的加入，振子質(zhì)量由m1變?yōu)閙1 + m2，因此新系統(tǒng)的角頻率（或周期）要改變由于，因此，確定初始速度v0和初始位移x0是求解振幅A的關(guān)鍵物體落到盤中，與盤作完全非彈性碰撞，由動量守恒定律可確定盤與物體的共同初速度v0，這也是該振動系統(tǒng)的初始速度在確

18、定初始時刻的位移x0時，應(yīng)注意新振動系統(tǒng)的平衡位置應(yīng)是盤和物體懸掛在彈簧上的平衡位置因此，本題中初始位移x0，也就是空盤時的平衡位置相對新系統(tǒng)的平衡位置的位移解（1）空盤時和物體落入盤中后的振動周期分別為可見TT，即振動周期變大了（2）如圖（b）所示，取新系統(tǒng)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O則根據(jù)分析中所述，初始位移為空盤時的平衡位置相對粘上物體后新系統(tǒng)平衡位置的位移，即式中為空盤靜止時彈簧的伸長量，l2為物體粘在盤上后，靜止時彈簧的伸長量由動量守恒定律可得振動系統(tǒng)的初始速度，即盤與物體相碰后的速度式中是物體由h 高下落至盤時的速度故系統(tǒng)振動的振幅為本題也可用機(jī)械能守恒定律求振幅A5-17質(zhì)量為0.10

19、kg的物體，以振幅1.0×10-2 m作簡諧運(yùn)動，其最大加速度為4.0 ·s-1求：（1）振動的周期；（2）物體通過平衡位置時的總能量與動能；（3）物體在何處其動能和勢能相等？（4）當(dāng)物體的位移大小為振幅的一半時，動能、勢能各占總能量的多少？分析在簡諧運(yùn)動過程中，物體的最大加速度，由此可確定振動的周期T另外，在簡諧運(yùn)動過程中機(jī)械能是守恒的，其中動能和勢能互相交替轉(zhuǎn)化，其總能量EkA2/2當(dāng)動能與勢能相等時，EkEPkA2/4因而可求解本題解（1）由分析可得振動周期（2）當(dāng)物體處于平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，由機(jī)械能守恒可得系統(tǒng)的動能等于總能量，即（3）設(shè)振子在位移x0處動能

20、與勢能相等，則有得（）物體位移的大小為振幅的一半（即）時的勢能為則動能為5-18一勁度系數(shù)k=312 的輕彈簧，一端固定，另一端連接一質(zhì)量的物體，放在光滑的水平面上，上面放一質(zhì)量為的物體，兩物體間的最大靜摩擦系數(shù).求兩物體間無相對滑動時，系統(tǒng)振動的最大能量.分析簡諧運(yùn)動系統(tǒng)的振動能量為.因此只要求出兩物體間無相對滑動條件下，該系統(tǒng)的最大振幅即可求出系統(tǒng)振動的最大能量.因?yàn)閮晌矬w間無相對滑動，故可將它們視為一個整體，則根據(jù)簡諧運(yùn)動頻率公式可得其振動角頻率為.然后以物體m為研究對象，它和m一起作簡諧運(yùn)動所需的回復(fù)力是由兩物體間靜摩擦力來提供的.而其運(yùn)動中所需最大靜摩擦力應(yīng)對應(yīng)其運(yùn)動中具有最大加速度

21、時，即，由此可求出.解根據(jù)分析，振動的角頻率由得則最大能量5-19已知兩同方向、同頻率的簡諧運(yùn)動的運(yùn)動方程分別為；求：（1）合振動的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同頻率的簡諧運(yùn)動，則為多少時，x1x3的振幅最大？又為多少時，x2x3的振幅最??？題5-19圖分析可采用解析法或旋轉(zhuǎn)矢量法求解.由旋轉(zhuǎn)矢量合成可知，兩個同方向、同頻率簡諧運(yùn)動的合成仍為一簡諧運(yùn)動，其角頻率不變；合振動的振幅，其大小與兩個分振動的初相差相關(guān)而合振動的初相位解（1）作兩個簡諧運(yùn)動合成的旋轉(zhuǎn)矢量圖（如圖）因?yàn)?，故合振動振幅為合振動初相位?）要使x1x3振幅最大，即兩振動同相，則由得要使x1x3的振幅最小，即兩振動反相，則由得5-20兩個同頻率的簡諧運(yùn)動1 和2 的振動曲線如圖（a）所示，求（1）兩簡諧運(yùn)動的運(yùn)動方程x1和x2；（2）在同一圖中畫出兩簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量，并比較兩振動的相位關(guān)系；（3）若兩簡諧運(yùn)動疊加，求合振動的運(yùn)動方程分析振動圖已給出了兩個簡諧運(yùn)動的振