1、 返回第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項級數(shù)斂散性判別法數(shù)項級數(shù)斂散性判別法一、正項級數(shù)及其判別法一、正項級數(shù)及其判別法二、交錯級數(shù)及其斂散性二、交錯級數(shù)及其斂散性三、絕對收斂于條件收斂三、絕對收斂于條件收斂第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項級數(shù)斂散性判別法數(shù)項級數(shù)斂散性判別法一、正項級數(shù)及其斂散性,11211nnnnnnSuSuuuuS可知數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列.,21nSSS則稱 為正項級數(shù). 定義 若數(shù)項級數(shù) 的一般項1nnu), 2 , 1(0nun1nnu 定理 正項級數(shù) 收斂的充分必要條件為：它的前n 項部分和所構(gòu)成的數(shù)列 有上界.nS1nnu對于正項級數(shù) ，由于 ，因而, 2 , 1, 0nun1nnu 定理(比

2、較判別法1) 設(shè)兩個正項級數(shù) 與 如果滿足1nnu,1nnv，), 2 , 1( , nvunn那么(1) 假設(shè) 收斂, 那么 收斂.（大的收斂小的必收斂）1nnu1nnv(2) 假設(shè) 發(fā)散, 那么 發(fā)散. (小的發(fā)散大的必發(fā)散）1nnu1nnv證明 對于正項級數(shù) 與 ，由 則有1nnu1nnvnnvu ,02121nnnnTvvvuuuS 假如 收斂, 可知 有上界, 從而知 有上界.再由正項級數(shù)收斂的充分必要條件可知 收斂.1nnv nT1nnunS 假如 發(fā)散, 可知 無界, 從而知 無界. 因而，級數(shù) 也發(fā)散.1nnu nS1nnvnT說明：在比較判別法的條件中, 只要從某一項起有),

3、 1, 0( NNnkkvunn就可以. 推論 若正項級數(shù) 收斂，且存在N，當 時，有 ，則正項級數(shù) 也收斂.1nnvNn nnkvu 01nnu 若正項級數(shù) 發(fā)散，且存在N，當 時，有 ，則正項級數(shù) 也發(fā)散.Nn )0( kkvunn1nnu1nnv 解 (1)因為例 判定級數(shù) 的斂散性.;121) 1 (1nn112)2(nnnn), 2 , 1(021121nnnun而級數(shù) 發(fā)散，由比較法知 發(fā)散.121nn1121nn 因為), 2 , 1(2112nnnunnn (2)對于正項級數(shù)112nnnn而級數(shù) 收斂，由比較法知 收斂.121nn112nnnn例 判定級數(shù) 的斂散性.12sin

4、nn 解，), 2 , 1(02sinnunn故 為正項級數(shù).12sinnn若取 ，那么 為等比級數(shù)且收斂，nnv2112nnnnv因而 ，由比較判別法可知 收斂.12sinnn.22sinnnnu因當x0時，有sin x0為常數(shù)的斂散性. pppnpnn13121111若0p1, 將級數(shù)加括號有.212121131211ppp后者級數(shù)為等比級數(shù), 公比 , 級數(shù)收斂.1211pr因而，利用比較判別法可得知, 當p1時， 收斂.11npnpppppppp151817161514131211 項881814141414121211pppppppp綜合上述有.10111時發(fā)散時收斂，當ppnnp

5、解 (1)因為 (2)因為例 斷定 的斂散性.,)4)(1(1) 1 (1nnn121)2(nnn21)4)(1(10nnnun而級數(shù) 收斂，由比較法知 收斂.121nn1)4)(1(1nnn2311210nnnnnun而級數(shù) 收斂，由比較法知 收斂.1231nn121nnn 發(fā)散 發(fā)散1r10 p級數(shù)斂散性表達式 收斂 p-級數(shù)發(fā) 散調(diào)和級數(shù) 收斂 等比級數(shù)級數(shù)名稱11nn11npn1p0nnar10 r 在使用比較判別法時，需要根據(jù)待判別級數(shù)特征，選擇一個比較級數(shù)，常用的比較級數(shù)為 定理(比較判別法2) 設(shè)兩個正項級數(shù) 與 且 若極限 那么 1nnu,1nnv)0( limllvunnn)

6、, 2 , 1( 0nvn1nnu1nnv（1當 時，級數(shù) 與 斂散性相同. l0（2當 時，若級數(shù) 收斂，則級數(shù) 收斂.1nnu1nnv0l（3當 時，若級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù) 發(fā)散.1nnu1nnvl 為了使用上的方便，比較判別法可以寫成下面極限形式.例 判定級數(shù) 的斂散性. 1211nn,1121111 22nnnnun解 所給級數(shù)的通項 112nun發(fā)散，因級數(shù) 1 11 12nnnn. 11 12發(fā)散故nn11lim111lim 22nnnnnn由或由解 所給級數(shù)的通項 23nnnun由于例 判別級數(shù) 的斂散性. 232nnnn2/1312lim nnnnn因為 發(fā)散，由比較法知 發(fā)散.

7、2211nn232nnnnnnnn2lim33, 12lim22nnn解 （1由于 例 判別 的斂散性.,1cos1(1) 1nn1311ln2(2) nnn2111cos1lim 2nnn因為 收斂，由比較法知 收斂.121nn11cos1nnnn31311ln （2由于當 時n因為 收斂，由比較法知 收斂.nn132 1311ln2nnn 說明：比值判別法比比較判別法使用方便，它主要判別一般項由指數(shù)冪或階乘等形式構(gòu)成的正項級數(shù)的斂散性.但當 時，判別法失效.1 定理 (比值判別法) 若正項級數(shù) 后項與前項之比值的極限 ，那么（1當 時，級數(shù)收斂；（2當 時，級數(shù)發(fā)散；（3當 時，級數(shù)可能收

8、斂也可能發(fā)散.1nnunnnuu1lim111解 (1)nnnnnnnnnuu453453limlim1111,im1nnn所以原級數(shù)收斂.例 斷定 的斂散性.1453)2(nnnn,)!1(1) 1 (1nn（2）. 101lim!)!1(limlim1nnnuunnnnn所以原級數(shù)收斂.!)!1() 1(limlim111nannanuunnnnnnnn例 判定級數(shù) 斂散性.) e, 0( !1aanannnn解 原級數(shù)為正項級數(shù)，其通項為，)!(nanunnnananne11lim1nnnann) 1(lim當ae時，原級數(shù)收斂；當0a0) , 如果其收斂, 是絕對收斂, 還是條件收斂?111) 1(npnn解 記 ，那么 .pnnu1|pnnnu1) 1(1當p1時， 收斂，111|npnnnu因而 絕對收斂.111) 1(npnn發(fā)散，時，當111| 10npnnnup, ) 1(11ppnn, 01limpnn由知交錯級數(shù) 收斂,111) 1(npnn故為條件收斂.數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)必要條件必要條件正項級數(shù)正項級數(shù)比值根值判別法比值根值判別法比較判別法比較判別法斂散性質(zhì)定義斂散性質(zhì)定義級數(shù)發(fā)散