1、 建模中常用的數(shù)值計算建模中常用的數(shù)值計算方法及應(yīng)用實例方法及應(yīng)用實例 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院吉林大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院 劉金英劉金英 創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識 團隊精神團隊精神 重在參與重在參與 公平競爭公平競爭 歡迎同學(xué)們踴躍報名參加本年度全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽“我們不玩哥德巴赫猜想，我們讓你用數(shù)學(xué)的頭腦玩轉(zhuǎn)全世界”，“三天三夜瘋狂的數(shù)學(xué)經(jīng)歷叫你一生難忘”。 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是由教育部高等教育司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同舉辦的、一年一度的面向全國高等院校所有專業(yè)學(xué)生的一項通訊比賽，將于每年9月中旬舉行。這項競賽，已成為目前我國參加院校和學(xué)生人數(shù)最多的課外科技活動。 這項競賽的目的是，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)建

2、模和計算機技術(shù)解決實際問題的綜合能力，培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的人才。競賽題目不是抽象的數(shù)學(xué)難題，而是來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過簡化的實際問題，沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，而留有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮創(chuàng)造能力?！胺晟介_路”、“天車調(diào)度”、“節(jié)水洗衣機”、“投資的效益和風(fēng)險”、“足球隊排名”等等，如果你想體驗一下用學(xué)過的數(shù)學(xué)和計算機知識解決實際問題的能力，聽到又要組織競賽的消息，你不躍躍欲試嗎？ 數(shù)學(xué)建模競賽的形式與通常一支筆、一張紙、一個人完成的數(shù)學(xué)競賽不同，它是開卷的通訊比賽，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，隨意使用計算機、軟件和互聯(lián)網(wǎng)，三名學(xué)生組成一隊，團結(jié)合作、奮力攻關(guān)，在三天時間內(nèi)，用數(shù)學(xué)

3、方法和計算機技術(shù)完成一篇數(shù)學(xué)建模全過程的論文。這種方式與同學(xué)們將來工作的情況很相近，有利于培養(yǎng)勇于創(chuàng)新、理論聯(lián)系實際的學(xué)風(fēng)和相互協(xié)調(diào)、團結(jié)合作的團隊精神，有利于優(yōu)秀人才脫穎而出。如果你在完成學(xué)業(yè)的同時，想培養(yǎng)自己的綜合能力，這項競賽可是一個不可多得的機會呀！同學(xué)們，請點擊你可以隨時得到有關(guān)每年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的各種消息和資料。熱切期待著你關(guān)心、支持、參與到這項有利、有益、有趣的課外科技活動中來。 主要內(nèi)容引言1 多項式插值2 曲線擬合3 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法4 非線性方程求根5 Matlab中微分方程數(shù)值解的常用命令 引言引言 由于數(shù)學(xué)模型可以描述為：對于現(xiàn)實世界的一由于數(shù)學(xué)模型可以

4、描述為：對于現(xiàn)實世界的一個個特定對象，特定對象，為了一個為了一個特定目的，特定目的，根據(jù)特有的根據(jù)特有的內(nèi)內(nèi)在規(guī)律，在規(guī)律，做出一些必要的做出一些必要的簡化和假設(shè)，簡化和假設(shè)，運用適當(dāng)運用適當(dāng)?shù)牡臄?shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)工具，得到的一個得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。所以一般來。所以一般來說建立一個數(shù)學(xué)模型的過程就可以分為表述、解說建立一個數(shù)學(xué)模型的過程就可以分為表述、解釋、驗證這幾個階段釋、驗證這幾個階段. 表述（表述（Formulation）是指根據(jù)建模的目的和掌握是指根據(jù)建模的目的和掌握的信息（如數(shù)據(jù)、現(xiàn)象）將實際問題翻譯成數(shù)學(xué)的信息（如數(shù)據(jù)、現(xiàn)象）將實際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言確切地表述出來問

5、題，用數(shù)學(xué)語言確切地表述出來. 解釋（解釋（Interpretation）是指把數(shù)學(xué)語言表述的解）是指把數(shù)學(xué)語言表述的解答翻譯回現(xiàn)實對象，給出實際問題的解答答翻譯回現(xiàn)實對象，給出實際問題的解答. 驗證驗證(Vertification)是指用現(xiàn)實對象的信息檢驗得是指用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到地解答，以確認(rèn)結(jié)果的正確性到地解答，以確認(rèn)結(jié)果的正確性. 從這個過程來看建模過程主要是雙向翻譯過程，從這個過程來看建模過程主要是雙向翻譯過程，如何將一個用普通語言文字表達(dá)的問題通過適當(dāng)?shù)娜绾螌⒁粋€用普通語言文字表達(dá)的問題通過適當(dāng)?shù)暮喕图僭O(shè)表述為數(shù)學(xué)問題是至關(guān)重要的簡化和假設(shè)表述為數(shù)學(xué)問題是至關(guān)重要的.這里談到

6、這里談到的簡化和假設(shè)要服從于數(shù)學(xué)概念的抽象、數(shù)學(xué)定理的簡化和假設(shè)要服從于數(shù)學(xué)概念的抽象、數(shù)學(xué)定理的邏輯，適于用數(shù)學(xué)工具處理，而不是合情合理的的邏輯，適于用數(shù)學(xué)工具處理，而不是合情合理的簡化和假設(shè)。記住一點模型是種近似描述，而不是簡化和假設(shè)。記住一點模型是種近似描述，而不是拷貝拷貝.所以不要試圖將所有的因素都考慮進去，數(shù)學(xué)所以不要試圖將所有的因素都考慮進去，數(shù)學(xué)處理的可行性與實際問題的真實性是相對的處理的可行性與實際問題的真實性是相對的.越逼真越逼真的模型常常越復(fù)雜，即使數(shù)學(xué)上能處理，這樣的模的模型常常越復(fù)雜，即使數(shù)學(xué)上能處理，這樣的模型應(yīng)用時所需要的費用也會相當(dāng)高，而高費用不一型應(yīng)用時所需要的

7、費用也會相當(dāng)高，而高費用不一定與復(fù)雜模型取得的效益相匹配，所以建模時往往定與復(fù)雜模型取得的效益相匹配，所以建模時往往需要在模型的逼真性與可行性，費用與效益之間做需要在模型的逼真性與可行性，費用與效益之間做出折中的選擇。出折中的選擇。 因此我們的原則是因此我們的原則是能用初等的方法不用高等的方法；能用初等的方法不用高等的方法；能用線性的不用非線性的，也就是工程師原則能用線性的不用非線性的，也就是工程師原則-線性化線性化. 建模需要的能力是多方面的，但主要的一點是會將復(fù)建模需要的能力是多方面的，但主要的一點是會將復(fù)雜的問題簡單化、層次化、結(jié)構(gòu)化。具體地說會將一個復(fù)雜的問題簡單化、層次化、結(jié)構(gòu)化。具

8、體地說會將一個復(fù)雜的問題肢解成若干個相對獨立的小問題，每個小問題都雜的問題肢解成若干個相對獨立的小問題，每個小問題都能借用類比的方法給出相應(yīng)的模型，然后再能將小問題組能借用類比的方法給出相應(yīng)的模型，然后再能將小問題組裝成一個綜合問題。而每個小的模型都可以通過已知的算裝成一個綜合問題。而每個小的模型都可以通過已知的算法進行求解。法進行求解。 MATLAB有強大的數(shù)值計算功能，由于時間所限，只有強大的數(shù)值計算功能，由于時間所限，只介紹在數(shù)學(xué)模型中常用的幾個數(shù)值計算問題對于有關(guān)的介紹在數(shù)學(xué)模型中常用的幾個數(shù)值計算問題對于有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，只做簡單的介紹或不作介紹，具體可參閱計算數(shù)學(xué)知識，只做簡單的介紹

9、或不作介紹，具體可參閱計算方法的有關(guān)內(nèi)容方法的有關(guān)內(nèi)容 1 1 多項式插值多項式插值例例1 1 已知溫度和電阻的一組實測數(shù)據(jù)如下：已知溫度和電阻的一組實測數(shù)據(jù)如下：t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 82.3 95.7 100R()765 826 873 942 ？ 1032 ？ 如何獲得溫度t82.3時的電阻以及t100時的電阻？進一步地根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否給出溫度與電阻之間的關(guān)系？我們拋開問題的具體背景和實際意義用數(shù)學(xué)的語言翻譯過來就是：取自變量為溫度t，函數(shù)或因變量為電阻R；已知t和R的一組取值（ti，Ri），建立t與R的函數(shù)關(guān)系Rf(t)，并求t82.3，t100時的函數(shù)值

10、。 這類問題在實際工程技術(shù)中經(jīng)常會遇到，通常我們稱這組數(shù)據(jù)為“基準(zhǔn)數(shù)據(jù)”。當(dāng)所給的“基準(zhǔn)數(shù)據(jù)”之間其他點上函數(shù)值沒法獲得，或獲得的代價很高時，我們就可以利用一種稱作插值插值的方法，估算出此點的函數(shù)值插值問題的提出插值問題的提出：已知平面上n+1個點(xj,yj),j=0,1,n，其中xj互不相同，不妨設(shè). 求任一點x*( xj稱作插值點)處的函數(shù)值y*bxxxan10 求解的基本思路求解的基本思路：構(gòu)造一個相對簡單的函數(shù)y=f(x)，（通常取多項式）使f通過全部節(jié)點，即f(xj)=yj(j=0,1,n)，再用f(x)計算插值點的函數(shù)值，即y*=f(x*) 最簡單的插值方法是：先根據(jù)基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，調(diào)

11、用MATLAB的繪圖指令（如plot,mesh），獲得數(shù)據(jù)圖形表現(xiàn).然后，再估計所需點處的值當(dāng)然這樣會比較粗略，下面介紹應(yīng)用較為廣泛的三種插值方法及其指令1.1 Lagrange多項式插值多項式插值LagrangeLagrange插值多項式的構(gòu)造思想插值多項式的構(gòu)造思想：對給定的n+1節(jié)點，先構(gòu)造一組Lagrange基函數(shù)基函數(shù)： 是n次多項式，滿足令)(xlj, 2 , 1 , 0,01)(njijijixlijnnnyxlyxlyxlxP)()()()(1100nkjkkjknjjjxxxxxxxxxxxxxxl0j10n10)()()(x . . . )()x-(x . . . )()(

12、誤差估計誤差估計： 假定函數(shù) )(xf在插值區(qū)間a， b上具有 n+1 階導(dǎo)數(shù)，)(xPn是 )(xf的 n 次插值多項式，)()()(xpxfxrnn稱為用)(xPn代替 )(xf所產(chǎn)生的誤差，也稱為截斷誤差，關(guān)于 )(xf與Pn(x)的誤差有如下定理： 定理定理 1.1 當(dāng)f(x)在a，b上具有 n+1 階導(dǎo)數(shù)時，有誤差估計表達(dá)式 )( . . . )()!1()()()(10)1(nnnnxxxxxxnfxpxfr (1.1.4) 若 ).( . . )()!1()()(011)1(maxnnnnnbxaxxxxnMxrMxf (1.1.5)實際上， 由于 Mn+1常難以確定， 所以 （

13、1.1.5）式并不能給出精確的誤差估計 雖然由 （1.1.5）式可以看出，n 增加，)(xrn減少；f 越光滑，Mn+1越小，)(xrn越小，但當(dāng) )(xPn的次數(shù)變大時，)(xPn的光滑性可能會被破壞，出現(xiàn)很大的振蕩，即當(dāng) n時，在a，b內(nèi)并不能保證)(xPn處處收斂于 )(xf，出現(xiàn)所謂的 Runge 振蕩現(xiàn)象 結(jié)論：作高次插值多項式時，有振蕩現(xiàn)象且不能保證收斂性，因此實際意義不大，而這也就促使 人 們 去 尋 求 簡 單 的 低 次 多 項 式 插值通常適用二、三次多項時就足夠了，最好不要超過 5 次，除非你知道問題的實際意義. 1.2分段線性插值分段線性插值分段線性插值函數(shù)的構(gòu)造思想分

14、段線性插值函數(shù)的構(gòu)造思想：是將兩個相鄰的節(jié)點用直線連起來如此形成的一條表折線就是分段線性插值函數(shù)，也記作，它滿足且在每個小區(qū)間xi,xi+1上是線性函數(shù)可以示為 )()(0niiinyxlxP在其它點xxxxxxxxl0 x)(1010101-n,1,2,i0 xx)(1i111 - i11在其它點xxxxxxxxxxxxxxliiiiiiiii在其它點xxxxxxxxxlnnnnn0)(1 -n11三次樣條函數(shù)的構(gòu)造思想：三次樣條函數(shù)的構(gòu)造思想：三次樣條函數(shù)記作S(x)，它滿足下列條件：（1）在 上是3次多項式 ， i=1,n （2）在 上具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù) 要求三次樣條插值函數(shù)就是求一個S

15、(x) 滿足 (1)、在 上是3次多項式，i=1,n (2)、在 上具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù) (3)、 ,1iixxba,1iixxba,nxfxSii, 2 , 1 , 0 i)()(1.3三次樣條插值多項式三次樣條插值多項式要求出 S(x)，就要在每個小區(qū)間xi-1,xi上確定一個三次多項式 n,0,1,2i )(23iiiiidxcxbxaxS 確定)(xSi， 需要 4 個條件 （4 個參數(shù)） 共有 n 個區(qū)間， 這樣需 4n 個條件 由 )( )()( )()( )(111iiiiiiiiiiiixSxSxSxSxSxS ，i=1,2,n-1 (1.1.8) iiyxS )( i=0,1,2,n 共有 3（n-1）+n+1=4n-2 個條件要確定 S(x)還需要補充兩個條件，通常邊界條件的提法有： nnmxSmxS )(, )(00nnMxSMxS )(, )(00（1.1.9） 可以證明，4n 階線性方程組（1.1.7） 、 （1.1.8） 、 （1.1.9）有唯一解 對于二元函數(shù)的插值問題同樣具有命令函數(shù):z=interp2(x0,y0,z0,