1、1嘉應學院土木工程系第九章 漸近法學習要點學習要點課堂練習課堂練習本章作業(yè)本章作業(yè)2第九章漸近法-1 力矩分配法的基本概念-2 多結點的力矩分配-3 對稱結構的計算-4 無剪力分配法-5 本章小結3-1 力矩分配法的基本概念 力矩分配法源自位移法，但不必求解方程組，只需按表格進行計算，計算方便、快捷。 力矩分配法是逐步逼近（對多結點力矩分配而言）精確解的計算方法，是漸近法，不是近似法。 力矩分配法只適用于連續(xù)梁和無結點線位移的剛架。上一頁本節(jié)要點下一頁返回總目錄4一、轉(zhuǎn)動剛度a) SAB=4i，遠端為固端下面討論等截面直桿的轉(zhuǎn)動剛度。 轉(zhuǎn)動剛度表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力，在數(shù)值上等于使桿端產(chǎn)生單

2、位轉(zhuǎn)角（無線位移）時所需施加的力矩。用符號S表示，見下面各圖。施力端稱為近端 ，另一端稱為遠端。SAB1AiAB上一頁下一頁本節(jié)要點5 當A端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時，A端無線位移。轉(zhuǎn)動剛度SAB只取決于遠端支承條件及桿件的線剛度。b) SAB=3i，遠端為滾軸支座或鉸支座。d) SAB=0，遠端為滾軸支座，沿桿軸布置。c) SAB=i，遠端為滑動支座。1ASABiAB1ASABiAB1ASABiAB上一頁下一頁本節(jié)要點6二、分配系數(shù)桿端彎矩表達式：4 40 = 02= 26= 6ABAABAABACACAACADAADAADAEAAEAAEMiSSiMSSMiSSiMiSSi 用位移法求解右圖示結構，

3、未知量為A 。ii2i2iBCADEM0上一頁下一頁本節(jié)要點7平衡方程為：E0ABACADAMMMMM0AME0()ABACADAASSSSM00EAABACADAMMSSSSSE12ABACADASSSSSi上一頁下一頁本節(jié)要點AMAEMADMABMACM08回代求桿端彎矩：0000411 = 1233ABABABABAABABSSiMSMMMMSiS0000211= 1266ADADADADAADADSSiMSMMMMSiS0000611= 1222AEAEAEAEAAEAESSiMSMMMMSiS0 0ACACACSMS上一頁下一頁本節(jié)要點9對某結點，各桿分配系數(shù)之代數(shù)和為1，即：111

4、1362 由上式可以看出，結點力偶M0按系數(shù) 確定的比例分配給各桿端。系數(shù) 稱為分配系數(shù)，某桿的分配系數(shù) 等于該桿的轉(zhuǎn)動剛度S與交于同一結點的各桿轉(zhuǎn)動剛度之和 的比值，即S/iiSS。上一頁下一頁本節(jié)要點10三、傳遞系數(shù)12BAABABMCM0BAABABMCM 當近端有轉(zhuǎn)角時（無線位移），遠端彎矩與近端彎矩的比值稱為傳遞系數(shù)，用C表示。1BAABABMCM 在上面的討論中可知，遠端彎矩等于近端彎矩乘傳遞系數(shù)，即 。BAABABMCM上一頁下一頁本節(jié)要點AiAB4ABAMi2BAAMiAiAB3ABAMi0BAMABAMiBAAMi AiAB11四、單結點力矩分配 用位移法解圖a)所示結構時，

5、首先在結點B加上附加轉(zhuǎn)動約束，鎖住B使之不能轉(zhuǎn)動，于是可求得各桿固端彎距。附加約束產(chǎn)生的反力矩MB等于各桿端固端彎矩的代數(shù)和，見圖 b)。BMB=60kN.m150kN.m-90kN.m60.BMkNm150.kNm150.kNm90.kNm200kN20kN/mABCb)200kN3m3m6m20kN/mABCEIEIa)上一頁下一頁本節(jié)要點12 其次放松結點B，即在結點B加 MB，這是結構受結點力矩作用的情況，可以用力矩分配法進行計算，見圖 c）。ABC60.BMkNmBc)上一頁下一頁本節(jié)要點132）求固端彎矩6EIi 4BASi3BCSi30.4297BC40.5717BA1200 6

6、150.8FABMkNm 1200 6 150.8FBAMkNm 2120 690.8FBCMkNm (150 90)60.BMkNm 1）求分配系數(shù)結點B約束力矩為：解：結點B分配力矩為：60.BMkN m 上一頁下一頁本節(jié)要點60.BMkNm150.kNm150.kNm90.kNm200kN20kN/mABC143）運算格式4）作彎矩圖分配系數(shù)固端彎矩分配傳遞桿端彎矩ABC167.13115.74158.5632.13M圖（ kN.m ）上一頁下一頁本節(jié)要點0.5710.429-150150-90-34.26-25.74-167.13115.74-115.740-17.130ACBA BC

7、15例題9-2 作圖示剛架 M 圖。4EIi 3BASi326BCSii60.46213BC30.23113BA4BDSi40.30713BD1）求分配系數(shù)2m2m4m4m12kN6kN/m10.kN m I I(i) (i) 2I (2i)ABCD解：上一頁下一頁本節(jié)要點16312 49.16FBAMkN m16 168.12FBDMkNm 16 168.12FDBMkN m MBB9 -810.kN m10(98)9.BMkN m 9.BMkN m2) 求固端彎矩結點B約束力矩為：分配力矩為：2m2m4m4m12kN6kN/m10.kN m I I(i) (i) 2I (2i)ABCD上一

8、頁下一頁本節(jié)要點173) 運算格式0.2310.4620.3079-802.084.162.76011.084.169.38-5.24081.38BA BCBDDAC上一頁下一頁本節(jié)要點184) 作彎矩圖5) 討論若結點力矩為逆時針方向，則：10 (9 8)11.BMkN m11.BMkN m MBB9 -810.kN mABCD11.085.249.384.164.696.46M圖（ kN.m ）上一頁下一頁本節(jié)要點19例9-3 討論懸臂端的處理。 200kN20kN/mABCEIEI30kND3m3m6m2ma)60.KN m30kND2mC200kN20kN/mABCEIEI3m3m6m

9、b)解： 切除圖a)所示梁的CD段，則BC桿的C端有順時針方向的力矩60kN.m，該力矩在BC桿B端產(chǎn)生固端彎矩30kN.m，見圖 b）。上一頁下一頁本節(jié)要點20150903090.BMkN m90.BMkN m BA0.5710.429BC-51.39 -38.61ACD-150150-9060-60-175.7098.61-98.6160-6030-25.700C230.FBCCMikNm460.FCBCMikN miBCC上一頁下一頁本節(jié)要點21M 圖（ kN.m ）175.7098.6160ABC162.8510.70D上一頁返回本節(jié)下一頁返回總目錄229-2 多結點力矩分配一、多結點

10、力矩分配 1）鎖住結點B、C，各桿產(chǎn)生固端彎矩。結點約束力矩：30.FCCBMMkN m30.FBBCMMkN m ABCEIEID60kNEI4m2m2m4mABCD60kN30BM 30CM -3030EIEIEI上一頁本節(jié)要點下一頁返回總目錄23 2）放松結點B，即在結點B施加力矩-MB ，結點C仍鎖住。這相當于做一個單結點力矩分配。結點C約束力矩變?yōu)椋?7.5.CMkN m BCD30BM30 7.5 37.5CM 157.5157.5A上一頁下一頁本節(jié)要點24 3）重新鎖住結點B，同時放松結點C，即在C施加力矩 ，這又相當于做一個單結點力矩分配。結點B新的約束力矩為CM9.375.B

11、MkN m -9.375ABCD9.375BM 37.5CM -18.75-9.375-18.75上一頁下一頁本節(jié)要點25 4）重新鎖住結點C，同時放松結點B，即在B施加力矩 ，這又相當于做一個單結點力矩分配。結點C約束力矩變?yōu)锽M2.344.CMkN m 如此循環(huán)，可見連續(xù)梁的變形曲線越來越接近實際的變形曲線，即越來越趨近于精確解。 所謂多結點力矩分配，本質(zhì)上是單結點力矩分配。通常各結點做兩輪至三輪分配運算，就可以達到滿意的精度。ABCD9.375BM2.344CM 4.6882.3444.6882.344上一頁下一頁本節(jié)要點262BASi4BESi40.410BE20.210BA4BCSi

12、40.410BC44BCEIii44BEEIii422BAEIii2233CDEIii結點B例9-4 作圖示剛架M 圖。1) 求分配系數(shù)結點C4CBSi2323CDSii 20.3336CD40.6676CB解：2m4m4m18kN/m 4I4 I(2i) (i) 4I (i)BEDA6kN/m2 I (2i/3)C3m上一頁下一頁本節(jié)要點27 2) 求固端彎矩216 24.6FABMkN m 216 28.3FBAMkN m 2118 424.12FBCMkN m24.FCBMkN m2m4m4m18kN/m 4I4 I(2i) (i) 4I (i)BEDA6kN/m2 I (2i/3)C3

13、m上一頁下一頁本節(jié)要點283) 運算格式上一頁下一頁本節(jié)要點-242484-8-16-84.89.69.6-1.6-3.2-1.60.320.640.64-0.107-0.2134.8-4.84.80.32-0.320.3213.12 10.24 -23.36-1.129.71-9.715.12EADBA0.20.4BE0.4BCCB0.6670.333CD294) 作彎矩圖小結： 1）分配運算通常從約束力矩較大的結點開始，這樣收斂較快。 2）若停止分配運算，就不應再向中間結點的桿端傳遞彎矩。BEDAC1.1213.1223.3610.245.129.7119.47M圖（ kN.m ）上一頁下

14、一頁本節(jié)要點30例9-5做圖示帶懸臂的等截面連續(xù)梁的M圖。 1 0 5/6 1/6-50 50 25-4.2 -20.8-20.8 20.850-50ABCDEIEI5ii50kN1m5m1mADBC上一頁下一頁本節(jié)要點313 515BASii 3BCSi16BC56BA說明：1）在計算B結點各桿的分配系數(shù)時，C結點不鎖住， 即C結點處看作鉸支座。2）結點C處的分配系數(shù)是為了解決固端彎矩的求解問題。3）上面的計算過程等同于下圖所示的處理方法。D50kN1m50.kN mCABCEIEI5ii1m5m上一頁下一頁本節(jié)要點322. 多結點時的分配 下圖示結構，鎖住結點C， 放松結點B、D，即結點B

15、、D同時分配并向結點C傳遞。然后鎖住結點B、D，放松結點C，即結點C進行分配并向B、D傳遞，依此類推。-17.14-12.8634.29 45.7122.86-8.57-32.15 -32.15-16.07-16.07 3/74/7 0.50.5 4/73/7BCDAE-50 8050-80上一頁下一頁本節(jié)要點3. Excel 33 下圖示剛架，打的結點為一組，其余為另一組。兩組結點依次鎖住或放松，可大大加快計算速度。上一頁返回本節(jié)下一頁返回總目錄341. 對稱結構的計算 對稱結構在對稱荷載作用下，結構無側移，可以利用力矩分配法計算。根據(jù)位移法中的討論，取半邊結構以簡化計算。ABq2q1q1A

16、Bq2此桿轉(zhuǎn)動剛度S=0上一頁本節(jié)要點下一頁-3 對稱結構的計算返回總目錄35上一頁返回本節(jié)下一頁返回總目錄2122112iiiqlq1q11I2Iq1A討論：（1）當豎柱比橫梁的剛度大很多時，即i2i1，則i2/(i1+i2)接近于1，則梁端彎矩接近于固端彎矩，此時，豎柱對橫梁而言起固定支座作用，橫梁可按兩端固定梁計算；（2）當橫梁比豎柱的剛度大很多時，即i1i2，則i2/(i1+i2)接近于0，則梁端彎矩接近于0，此時，豎柱對橫梁而言起鉸支座作用，橫梁可按簡支梁計算.36 9-4 無剪力分配法 力矩分配法只適用于無側移剛架或連續(xù)梁。因為若剛架的內(nèi)部結點有側移，則力矩分配法中的分配關系和傳遞

17、關系均不能成立。 有一類剛架，其內(nèi)部結點雖然有線位移，但可以不取作位移法的基本未知量，對這類剛架也可以求得類似于力矩分配法中的分配關系和傳遞關系，于是可以按照力矩分配法的格式進行計算，此即為無剪力分配法。一、概述上一頁本節(jié)要點下一頁返回總目錄37二、基本概念1適用無剪力分配法的條件 1）剛架除兩端無相對側移的桿件外；2）其余桿件為剪力靜定桿（即剪力只取決于外荷載）。若結構中只存在下列兩類桿件，則適用于無剪力分配法。上一頁下一頁本節(jié)要點38 用位移法解上題，基本未知量取B ，BH 不必作為未知量。AB桿剪力靜定，BC桿無相對側移。 2無剪力分配法的概念ABBiiBBi放松結點B約束力矩反號分配i

18、ABC-MBiB原結構qABCEI，lEI，lEIil鎖住結點B產(chǎn)生固端彎矩qABCMB（約束力矩）上一頁下一頁本節(jié)要點39216BABMiql213ABBMiql 3BCBMi0BABCMM21406Biql桿端彎矩表達式位移法方程彎矩圖218ql238qlM圖ABC2124Bqli（ ）0BM上一頁下一頁本節(jié)要點40由上面的討論可得出如下結論： 1）剪力靜定桿AB在B端的轉(zhuǎn)動剛度為SBA=iBA,傳遞系數(shù)為CBA= -1。 2）剪力靜定桿AB的固端彎矩按下端固定、上端滑動的單跨梁查表求得。qAB上一頁下一頁本節(jié)要點41BASi3BCSi0.75BC0.25BA216FBAMql 213FA

19、BMql 下面用無剪力分配法解上題。1）求轉(zhuǎn)動剛度及分配系數(shù)2）求固端彎矩EIilqABCEI，lEI，l上一頁下一頁本節(jié)要點423）運算格式上一頁下一頁本節(jié)要點彎矩圖218ql238qlM圖ABC0.250.75-ql2/6ql2/24 ql2/8-ql2/3-ql2/24-ql2/8 ql2/8-3ql2/8ACBA BC43如右圖示，放松結點B，AB桿剪力等于零。小結：1）在放松結點B，即約束力矩MB反號分配的始終，剪力靜定桿AB之剪力始終等于零，所以稱為無剪力分配法。 2）若剛架橫梁的兩端無相對側移，柱的剪力靜定，則該剛架可用無剪力分配法計算。iABCiB-MB上一頁下一頁本節(jié)要點443）對于剪力靜定桿：轉(zhuǎn)動剛度S= i；傳遞系數(shù)C= -1；按下端固定，上端滑動的單跨梁求固端彎矩。上一頁下一頁本節(jié)要點45三、雙層半剛架橫梁AB、CD兩端無相對側移，柱AC、CE為剪力靜定桿。4m4m4mABCDE4kN2kN3kN/miiii求固端彎矩CA4kN3kN/mEC18kN鎖住結點A、C產(chǎn)生固端彎矩。ABCDE4kN2kN3kN/mMAMC上一頁下一頁本節(jié)要點46CiiCCiCiiCCi放松結點鎖住結點CABCDEAAiiAAi-MACM放松結點鎖住結點ABCDECCMAM上一頁下一頁本節(jié)要點47