1、ch7-17.3 7.3 區(qū)間估計區(qū)間估計引例引例 已知 X N ( ,1), 不同樣本算得的 的估計值不同，因此除了給出 的點估計外, 還希望根據(jù)所給的樣本確定一個隨機(jī)區(qū)間, 使其包含參數(shù)真值的概率達(dá)到指定的要求. 的無偏、有效點估計為X隨機(jī)變量ch7-2如引例中，要找一個區(qū)間,使其包含 的真值的概率為0.95. ( 設(shè) n = 5 )51,NX1, 051NX取05. 0查表得96. 12/zch7-3這說明即稱隨機(jī)區(qū)間為未知參數(shù) 的置信度為0.95的置信區(qū)間.95. 05196. 15196. 1XXP05. 096. 151XP5196. 1,5196. 1XXch7-4 反復(fù)抽取容量

2、為5的樣本,都可得到一個區(qū)間,此區(qū)間可能包含也可能不包含未知參數(shù) 的真值, 而包含真值的區(qū)間占95%.)5196. 1,5196. 1(XX5196. 1X5196. 1X1置信區(qū)間的意義置信區(qū)間的意義 的置信區(qū)間 的置信上限置信度 的置信下限ch7-5若測得 一組樣本值, 它可能包含也可能不包含 的真值, 反復(fù))51,51(22zXzX當(dāng)置信區(qū)間為時則得一區(qū)間(1.86 0.877, 1.86 + 0.877)抽樣得到的區(qū)間中有95%包含 的真值.?2/z為什么要取86. 1x算得區(qū)間的長度為5122z 達(dá)到最短ch7-697. 3)13. 2(84. 13321zz92. 3)96. 1(

3、96. 1221zz-2-1120.10.20.30.432z31z-2-1120.10.20.30.42z21z取 = 0.05ch7-7設(shè) 為待估計參數(shù), 是一給定的數(shù), ( 0 1). 若能找到兩個統(tǒng)計量),(212nXXX),(211nXXX使得1)(21P則稱隨機(jī)區(qū)間),(21為參數(shù) 的置信度為1 - 的置信區(qū)間,21,分別稱 為置信下限與上限, 1 - 稱為置信水平或置信度. 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義ch7-8q 反映了估計的可靠度, 越小, 越可靠.q 置信區(qū)間的長度 反映了估計精度 12 越小, 1- 越大, 估計的可靠度越高,但這時, 往往增大, 因而估計精度降低.121

4、2越小, 估計精度越高.q 確定后, 置信區(qū)間 的選取方法不唯一, 常選最小的一個.幾點說明幾點說明ch7-9 求參數(shù)求參數(shù)置信區(qū)間置信區(qū)間保保 證證可靠性可靠性先先 提高精 度再再ch7-10q 尋找一個樣本的函數(shù)),(2nxXXXg它含有待估參數(shù), 不含其它未知參數(shù), 它的分布已知, 且分布不依賴于待估參數(shù) (常由 的點估計出發(fā)考慮 ).51,NX) 1, 0(),(5121NXXXgXn例如求置信區(qū)間的步驟求置信區(qū)間的步驟ch7-11q 給定置信度 1 ,定出常數(shù) a , b ,使得1),(21bXXXgaPn( 引例中)96.1,96.1baq 由bXXXgan),(21解出),(21

5、nXXX),(21nXXX得置信區(qū)間),( 引例中 )5196. 1,5196. 1(),(XXch7-12(一一) 一個正態(tài)總體一個正態(tài)總體 X N ( 2)的情形的情形置信區(qū)間常用公式置信區(qū)間常用公式(1) 方差方差 2已知已知, 的置信區(qū)間的置信區(qū)間) 1 (),(22nzXnzX推導(dǎo)推導(dǎo)) 1 , 0(),(21NnXXXXgn),(2nNX由選取統(tǒng)計量ch7-13由確定2znXP2z),(0022nzXnzX解2znX得 的置信度為 的置信區(qū)間為1ch7-14(2) 方差方差 2未知未知 , 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 ) 1(nTnSXT由) 1(2ntnSXP確定) 1(2nt故 的置

6、信區(qū)間為nSntXnSntX) 1(,) 1(22推導(dǎo)推導(dǎo) 選取統(tǒng)計量) 2() 1(,) 1(22nSntXnSntXch7-15(3) 方差方差 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間-22468100.0250.050.0750.10.1250.152) 1() 1(222nSnK選取得 2 的置信區(qū)間為 ) 4 () 1() 1(,) 1() 1(2122222nSnnSn2222121) 1(2222122SnP則由ch7-16例例1 1 某工廠生產(chǎn)一批滾珠, 其直徑 X 服從解解 (1)6/06. 0,(NX)01. 0 ,(N即)1 , 0(1 . 0NX96. 1025. 02 zz正態(tài)分布

7、 N( 2), 現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī) (1) 若 2=0.06, 求 的置信區(qū)間 (2) 若 2未知,求 的置信區(qū)間 (3) 求方差 2的置信區(qū)間.抽取 6 件, 測得直徑為15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1置信度均為0.95ch7-17由給定數(shù)據(jù)算得95.146161iixx由公式 (1) 得 的置信區(qū)間為)15.15,75.14()1 . 096. 195.14,1 . 096. 195.14(2) 取)5(6tSXT5706. 2) 5(025. 0t查表由給定數(shù)據(jù)算得95.14x226. 0.051. 0)6(5126122sxxsiich7

8、-18)187.15,71.14() 5(6),5(6(025. 0025. 0tsxtsx由公式 (4) 得 的置信區(qū)間為(3) 選取樞軸量)5(5222SK 831. 0)5(,833.12)5(209752025. 0)3069. 0,0199. 0() 5 (5,) 5 (5(2975. 022025. 02ss查表得.051. 02s由公式 (2) 得 的置信區(qū)間為ch7-19),(21nXXX為取自總體 N ( 1 12 ) 的樣本,),(21mYYY為取自總體 N ( 2 22 ) 的樣本,置信度為 1 2221,;,SYSX分別表示兩樣本的均值與方差(二二) 兩個正態(tài)總體的情形

9、兩個正態(tài)總體的情形ch7-20),(),(222211mNYnNXYX,相互獨立, 21的置信區(qū)間為) 1 , 0()()(222121NmnYX(1) 2221,已知已知, 的置信區(qū)間的置信區(qū)間21mnzYXmnzYX2221222122)(,)()5(ch7-21) 1 , 0 (11)()(),(212221NmnYXmnNYX) 1() 1(2221nSn)2(2) 1() 1(11)()(222121mntmnSmSnmnYX2221,22221(2) 未知未知( 但但 ) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間21) 2() 1() 1(2222221mnSmSn) 1() 1(2222mSmch7

10、-2221的置信區(qū)間為12) 1() 1(11)()(2222121tmnSmSnmnYXP2) 1() 1(11)(22212mnSmSnmntYX)6(ch7-23取樞軸量(3) 方差比方差比2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間 ( 1 , 2 未知未知) 1, 1(/2221222122222121mnFSSSSF因此, 方差比2221的置信區(qū)間為) 1, 1(1,) 1, 1(121222122221mnFSSmnFSS)9(ch7-24例例2 2 某廠利用兩條自動化流水線罐裝番茄醬. 現(xiàn)分別 從兩條流水線上抽取了容量分別為13與17的兩個相互獨立的樣本1321,XXX1721,YYY 與已知

11、2222217 . 4,4 . 2,5 . 9,6 .10gsgsgygx假設(shè)兩條流水線上罐裝的番茄醬的重量都服從正態(tài)分布, 其均值分別為 1與 2ch7-25 若它們的方差相同,22221求均值21的置信度為0.95 的置信區(qū)間;差ch7-26)2(2) 1() 1(11)()(222121mntmnSmSnmnYX解解查表得0484. 2)28(025. 0t21由公式(6) 的置信區(qū)間為)5545. 2,3545. 0(2) 1() 1(11)(22212mnSmSnmntYX(1) 取樞軸量ch7-27( (三三) ) 單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間定義定義 對于給定的 (0 1) , 是待估參數(shù)),(21nXXX是總體 X 的樣本, 若能確定一個統(tǒng)計量),(21nXXX使得)1)(1)(PP或則稱),()(或為置信度為1 - 的單側(cè)置信區(qū)間. ),(21nXXX或（單側(cè)置信下限單側(cè)置信上限ch7-28例例3 3 已知燈泡壽命X 服從正態(tài)分布, 從中隨機(jī)抽取 5 只作壽命試驗, 測得壽命為 1050 , 1100 , 1120 , 1250 , 1280 (小時) 求燈