1、第十一章第十一章 曲線與曲面曲線與曲面積分積分第一類曲線積分第一類曲線積分特點(diǎn)特點(diǎn)(1)(1)被積函數(shù)的定義域是曲線弧被積函數(shù)的定義域是曲線弧. .( , ),( , )f x yx yL (2) (2)微元微元 是平面曲線弧長(zhǎng)元素是平面曲線弧長(zhǎng)元素. .ds (3) (3)空間曲線上的一類曲線積分空間曲線上的一類曲線積分( , , )f x y z ds( , )dLf x ys對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分: :(1)公式法公式法:22d( )( , )(),)( )(Lx yttstfttdf( ),()( ),xttyt L的的參數(shù)方程：參數(shù)方程：L:( ),yy x axb( ),

2、(),yy xaxbxx( ),(),xx ycydyy( ),xx y cydL:一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方程。小下限方程。小下限, ,大上限大上限. .2.第一類曲線積分的計(jì)算第一類曲線積分的計(jì)算步驟：步驟：22d( )( , )(),)( )(Lx yttstfttdf1.寫出寫出L的的參數(shù)參數(shù)方程，確定參數(shù)的范圍方程，確定參數(shù)的范圍2.化為定積分化為定積分一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方程。小下限方程。小下限, ,大上限大上限. .(2)技巧：對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算技巧：對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算.例題例題例例1 1

3、22,xyLeds其中其中L 為圓周為圓周直線直線 及及x軸在第一象限軸在第一象限222,xyayx邊界邊界. .計(jì)算計(jì)算內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè) 例例3 3 計(jì)算計(jì)算 其中其中L為為 形成形成4433(),Lxyds222333xya的弧段的弧段. . yaxo例例2 22,x yzds其中其中 為折線為折線ABCD,這里這里A，計(jì)算計(jì)算B，C，D依次為依次為0 0 00 0 21 0 21 3 2( , , ),( , , ),( , , ),( , , ).oxyABL1 nMiM1 iM2M1M述移動(dòng)過(guò)程中變力述移動(dòng)過(guò)程中變力 所作的功所作的功W. .設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在設(shè)一質(zhì)點(diǎn)

4、在xoy平面內(nèi)從點(diǎn)平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧沿光滑曲線弧L移動(dòng)移動(dòng)的作用，其中函數(shù)的作用，其中函數(shù)( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j 到點(diǎn)到點(diǎn)B, ,在移動(dòng)過(guò)程中，這質(zhì)點(diǎn)受到變力在移動(dòng)過(guò)程中，這質(zhì)點(diǎn)受到變力( , ),( , )P x y Q x y( , )F x y 在在L上連續(xù)上連續(xù). .計(jì)算在上計(jì)算在上(,)iiF 第二類曲線積分第二類曲線積分1.引例：變力沿平面曲線做功引例：變力沿平面曲線做功WF S iiiiiWPxQyddLWP xQ yddLP xQ y對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 (2) (2)被積函數(shù)的定義域是曲線弧被積函數(shù)的定義域是曲線

5、弧. .( , ),( , ),( , )P x y Q x yx yLddLP xQ y對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分特點(diǎn)特點(diǎn)(1)(1)積分曲線是有向曲線弧積分曲線是有向曲線弧. . (3) (3)微元微元 是有向弧微分是有向弧微分 在坐標(biāo)軸上的投影在坐標(biāo)軸上的投影d ,dxydsddddLLP xQ yP xQ y 與一類曲線積分的與一類曲線積分的本質(zhì)區(qū)別本質(zhì)區(qū)別 (4) (4)變力沿空間曲線做功變力沿空間曲線做功dddLWP xQ yR z一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方程。下起上終之參程。下起上終之參. .2.第二類曲線積分的計(jì)算第二類曲

6、線積分的計(jì)算(1)公式法公式法:( ),( ),xtyt 有向曲線有向曲線L的的參數(shù)方程：參數(shù)方程：從從 到到t . ( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQL:( )yy x從從 到到xa. bL:( )xx y從從 到到xc.d( ),yy xxx從從 到到xa. b( ),xx yyy從從 到到xc.d步驟：步驟：1.寫出寫出L的的參數(shù)參數(shù)方程，確定參數(shù)的方程，確定參數(shù)的走向走向2.化為定積分化為定積分一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方程。下起上終之參程。下起上終之參. .( ,

7、 )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQ例題例題yx yx1 1( , )B11( ,)Aoyx,dLxyx其中其中L為沿拋物線為沿拋物線 從從點(diǎn)點(diǎn)2yx 到到的一段的一段. . 例例4 4 計(jì)算計(jì)算11( ,)A11( , )B 例例5 5 計(jì)算計(jì)算 其中其中 是是從從到到 的直線段的直線段. .3223,dddxyxzyx y z3 2 1( , , )A0 0 0( , , )B(1)格林公式格林公式平面閉曲線平面閉曲線 定理定理1 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑的曲線是由分段光滑的曲線 L圍成，圍成，則有則有( , ),P

8、x y( , )Q x yd dddLDQPx yP xQ yxy( 格林公式格林公式 )函數(shù)函數(shù)在在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), ,其中其中L是是D的的正向正向邊界曲線邊界曲線.DLD0L1L2L第二類曲線積分的重要定理第二類曲線積分的重要定理說(shuō)明：說(shuō)明： (1)格林公式僅計(jì)算格林公式僅計(jì)算平面閉曲線平面閉曲線的二類曲線積分的二類曲線積分.ddd dLDQPP xQ yx yxy (2) L是是D的的正向正向邊界曲線邊界曲線沿著邊界走，區(qū)域在左手沿著邊界走，區(qū)域在左手.ddd dLDQPP xQ yx yxy (3) L必須是必須是封閉封閉的平面曲線的平面曲線.( , )

9、,( , )P x yQ x y在在D上具有上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù). . (4)添邊添邊：構(gòu)成閉區(qū)域，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)：構(gòu)成閉區(qū)域，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù). 加負(fù)號(hào)加負(fù)號(hào)：沿著邊界走，區(qū)域在右手，記得添負(fù)號(hào)。：沿著邊界走，區(qū)域在右手，記得添負(fù)號(hào)。 挖洞：挖洞：含奇點(diǎn)時(shí)莫忘挖洞去奇點(diǎn)含奇點(diǎn)時(shí)莫忘挖洞去奇點(diǎn). 例例6 6 計(jì)算計(jì)算,)()3(Ldxyxdyyx其中其中L為為9)4() 1(22yx的的負(fù)負(fù)向向. .例例7 7 計(jì)算計(jì)算 上由點(diǎn)上由點(diǎn)到點(diǎn)到點(diǎn) 的一段弧的一段弧. .,Lxdy其中其中L為為122 yx)0 , 1 (A) 1 , 0(B應(yīng)用：應(yīng)用：22dd,Lx yy xx

10、y其中其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)例例8 8 計(jì)算計(jì)算 原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.LyxoDxyoLDrl1DDyxo1L2LBA12LLPdxQdyPdxQdy定義：定義：曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)等價(jià)于等價(jià)于0CPdxQdy條件：條件：12ddddLLP xQ yP xQ y120LLPdxQdy12dddd0LLP xQ yP xQ y(2)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)則曲線積分則曲線積分 在在D內(nèi)內(nèi) 定理定理2 設(shè)設(shè)D 是單連通域是單連通域 ,( , ),( , )P x yQ x y在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

11、在在 D 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立.PQyxddLP xQ y路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān)(或沿或沿D內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零)的充的充函數(shù)函數(shù)要條件是要條件是，其中其中L是從點(diǎn)是從點(diǎn)0 0( , ) 例例10 10 計(jì)算計(jì)算cos dsin dxLey xy y到點(diǎn)到點(diǎn) 的任意有向曲線的任意有向曲線.2 2(,) 利用路徑無(wú)關(guān)計(jì)算曲線積分利用路徑無(wú)關(guān)計(jì)算曲線積分，其中其中L是是xoy平面內(nèi)的任平面內(nèi)的任 例例9 9 計(jì)算計(jì)算22ddLxy xxy意有向閉曲線意有向閉曲線.特點(diǎn)：路徑無(wú)關(guān)，閉曲線特點(diǎn)：路徑無(wú)關(guān)，閉曲線, ,積分為零積分為零. .特點(diǎn)：路徑無(wú)關(guān)，非閉曲線特點(diǎn)：路徑無(wú)關(guān)，非

12、閉曲線, ,選易積分路線選易積分路線. .第二類曲線積分的計(jì)算方法總結(jié)第二類曲線積分的計(jì)算方法總結(jié)1.公式法：公式法：被積函數(shù)與積分路徑簡(jiǎn)單被積函數(shù)與積分路徑簡(jiǎn)單. ( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQddd dLDQPP xQ yx yxy2.格林公式：格林公式：平面閉曲線，不易積分，但平面閉曲線，不易積分，但 簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單.QPxy3.路徑無(wú)關(guān)：路徑無(wú)關(guān)：選擇簡(jiǎn)單路徑，積分選擇簡(jiǎn)單路徑，積分.PQyx三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積( , )d( , )dP x yxQ x yy( , )u x y ?du

13、? 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域D是一個(gè)是一個(gè)單連通域單連通域, 函數(shù)函數(shù)P(x,y) )及及定理定理3 3PQyx在在D內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立.u( (x, ,y) )的全微分的充的全微分的充ddP xQ y在在D內(nèi)為某一函數(shù)內(nèi)為某一函數(shù)Q( (x, ,y) )在在D內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則曲線積分的被積則曲線積分的被積表達(dá)式表達(dá)式要條件是要條件是1.1.全微分的條件全微分的條件( ,0)A xyxo( , )B x y在整個(gè)在整個(gè)xoy面內(nèi)面內(nèi) 例例11 11 驗(yàn)證驗(yàn)證22()()xy dxxy dy( , )u x y的全微分，并求這樣一個(gè)函數(shù)的全微分，并求這樣一個(gè)函數(shù). .是一函數(shù)是

14、一函數(shù)第一類曲面積分第一類曲面積分( , , )d.f x y zS“一投，二代，三換，投影，換元看方程一投，二代，三換，投影，換元看方程”第一類曲面積分的計(jì)算第一類曲面積分的計(jì)算221( , )d d( , , )d , ,xyxyDz x yzzf x y zSf xxyy 例例12 計(jì)算計(jì)算 , ,其中其中 為球面為球面 222()IxyzdS2222xyzR222()IxyzdS2222xyzR2222xyzR 例例1 13 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中 為為222()IxyzdS22220()xyzRz R 之間的圓柱面之間的圓柱面 例例14 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中 為平面為平面2221I

15、dSxyz01,zz221xy 例例1 15 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中 為球面為球面2()IxyzdS2221xyz 步驟：步驟：1.1.寫出曲面的顯式表達(dá)式寫出曲面的顯式表達(dá)式( , )zz x y2.2.將曲面向?qū)⑶嫦騲oy面投影面投影xyD3.3.求出曲面面積元素求出曲面面積元素221d ddxyzzSx y221( , )d d( , , )d , ,xyxyDz x yzzf x y zSf xxyy4.4.化為二重積分化為二重積分“一投，二代，三換，投影，換元看方程一投，二代，三換，投影，換元看方程”預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)：上側(cè)上側(cè)n(,1)xyzzcos0( , 1)xyz z co

16、s0下側(cè)下側(cè)前側(cè)前側(cè)(1,)yzxxn cos0( 1,)yzxxcos0后側(cè)后側(cè):( , )xx y zoxyz通過(guò)曲面上任一點(diǎn)處法向量的指向來(lái)指定通過(guò)曲面上任一點(diǎn)處法向量的指向來(lái)指定. .例：例：:( , )zz x yoxyz1.1.有向曲面的側(cè)有向曲面的側(cè)右側(cè)右側(cè)n(,1,)xzyycos0(, 1,)xzyycos0左側(cè)左側(cè):( , )yy x zoxyzoxyz2.2.有向曲面在坐標(biāo)面上的投影有向曲面在坐標(biāo)面上的投影 設(shè)設(shè) 為有向曲面為有向曲面,S在在 上取一小塊曲面上取一小塊曲面.)(xy上各點(diǎn)處法向量的方向余弦上各點(diǎn)處法向量的方向余弦S在在xOy面上的投影區(qū)域的面積為面上的投影

17、區(qū)域的面積為假定假定Scos有相同的符號(hào)有相同的符號(hào).,)(yxS把把 在在 xoy 面上的投影記為面上的投影記為S則規(guī)定則規(guī)定()x yS(),x y(),x y 0 ,時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0coscosS() ,zxS 在在 zox面上的投影面上的投影Soxyz() ,yzS 在在 yoz面上的投影面上的投影Soxyz()yzS() ,yz() ,yz 0 ,0cos0cos0coscosS()zxS() ,zx() ,zx 0 ,0cos0cos0coscosS( , , )d d( , , )d d( , , )d d .P x y zy zQ x y zz xR x y zx

18、 y第二類曲面積分第二類曲面積分( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )P x y z dydzP x y z dydzQ x y z dzdxQ x y z dzdxR x y z dxdyR x y z dxdy 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 則則與側(cè)有關(guān)與側(cè)有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)1( , , )d dIP x y zy zd dcos dy zS :( , ),xx y z( , )yzy zD( ( , ), , )d d( , , )d d( ( , ), , )d dyzyzDDP x y zy zy zP x y zy zP x y z

19、y zy z取前側(cè)取前側(cè)取后側(cè)取后側(cè)d dcosdz xS :( , ),yy z x( , )zxz xD2( , , )d dIQ x y zz xoxyz( , ( , ), )d d( , , )d d( , ( , ), )d dzxzxDDQ x y z x zz xQ x y zz xP x y z x zz x取右側(cè)取右側(cè)取左側(cè)取左側(cè)oxyz第二類曲面積分的計(jì)算第二類曲面積分的計(jì)算oxyz:( , ),zz x y( , )xyx yD( , , ( , )d d( , , )d d( , , ( , )d dxyxyDDR x y z x yx yR x y z x yR x

20、 y z x yx y取上側(cè)取上側(cè)取下側(cè)取下側(cè)3( , , )d dIR x y zx yd dcos dx yS 一投，二代，三定號(hào)，投影，代入看積分，定號(hào)要靠曲面?zhèn)纫煌?，二代，三定?hào)，投影，代入看積分，定號(hào)要靠曲面?zhèn)?例例1616 計(jì)算計(jì)算 其中其中 是平面是平面 含在含在()d d ,xzx yxza 柱面柱面 部分內(nèi)的部分內(nèi)的上側(cè)上側(cè). .222xya 理解：在曲面上；曲面面積元素的投影理解：在曲面上；曲面面積元素的投影. .例例1717 計(jì)算計(jì)算 其中其中 是球面是球面22,x y zdxdy2222xyzR 的下半部分的的下半部分的下側(cè)下側(cè). . 特點(diǎn)：曲面具有單值函數(shù)表達(dá)式特點(diǎn)：曲面具有單值函數(shù)表達(dá)式dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,(2、化為二重積分、化為二重積分3、計(jì)算二重積分、計(jì)算二重積分:xyD1、明確、明確 的方程，確定投影的方程，確定投影:( , )zz x y步驟：步驟：一投，二代，三定號(hào)，投影，代入看積分，定號(hào)要靠曲面?zhèn)纫煌?，二代，三定?hào)，投影，代入看積分，定號(hào)要靠曲面?zhèn)? , , )P x y z dydz( , , )cosQ x y zdS( , , )cosP x y zdS( ,