1、會計學12.2.2反證法反證法68216第一頁，編輯于星期五：十三點 十九分。直接證明：直接證明：(1)綜合法綜合法(2)分析法分析法由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч麍?zhí)果索因執(zhí)果索因1 1Q QP P2 23 3P PP P1 12 2P PP P得到一個明顯得到一個明顯成立的結(jié)論成立的結(jié)論P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q第1頁/共26頁第二頁，編輯于星期五：十三點 十九分。思考？思考？ A A、B B、C C三個人，三個人，A A說說B B撒謊，撒謊，B B說說C C撒謊，撒謊，C C說說A A、B B都撒謊。則都撒謊。則C C必定是在撒謊，為必定是在撒謊，為什么？什么？分析分析: :假設(shè)假設(shè)C C沒有

2、撒謊沒有撒謊, , 則則C C真真. 那么那么A A假且假且B B假假; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 這與這與B B假矛盾假矛盾. .那么假設(shè)那么假設(shè)C C沒有撒謊不成立沒有撒謊不成立; ;則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. .第2頁/共26頁第三頁，編輯于星期五：十三點 十九分。 將將9 9個球分別染成紅色或白色。那么個球分別染成紅色或白色。那么無論怎樣染，至少有無論怎樣染，至少有5 5個球是同色的。你能個球是同色的。你能證明這個結(jié)論嗎？證明這個結(jié)論嗎？間接證明：間接證明： 不是直接從原命題的條件逐步不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法。推得命題成立的證明方法

3、。反證法反證法是一種常用的是一種常用的間接證明間接證明的方法。的方法。思考？思考？第3頁/共26頁第四頁，編輯于星期五：十三點 十九分。 反證法：反證法： 假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的推理推理, ,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤引出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤, ,從而從而證明原命題成立證明原命題成立, ,這樣的的證明方法叫反證這樣的的證明方法叫反證法。法。反證法的思維方法：反證法的思維方法： 正難則反正難則反第4頁/共26頁第五頁，編輯于星期五：十三點 十九分。 應(yīng)用反證法的情形：應(yīng)用反證法的情形： (1)(1)直接證明困難直接證明困難; ; (2) (2)需分

4、成很多類進行討論需分成很多類進行討論（3)3)結(jié)論為結(jié)論為“至少至少”、“至多至多”、“有無窮有無窮多個多個” -類命題；類命題； （4 4）結(jié)論為）結(jié)論為 “唯一唯一”類命題；類命題；正難則反正難則反!第5頁/共26頁第六頁，編輯于星期五：十三點 十九分。 一般地，假設(shè)原命題不成立，一般地，假設(shè)原命題不成立， 經(jīng)過正確經(jīng)過正確的推理，的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。 因此說明假設(shè)錯因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，誤，從而證明了原命題成立， 這樣的證明這樣的證明方法叫做方法叫做反證法反證法（歸謬法）。（歸謬法）。其過程包括：其過程包括：反設(shè)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；假設(shè)命題的結(jié)論不

5、成立；存真存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。而肯定原結(jié)論成立。歸謬歸謬從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理，得出，得出矛盾矛盾；第6頁/共26頁第七頁，編輯于星期五：十三點 十九分。歸繆矛盾：歸繆矛盾：（1 1）與已知條件矛盾；）與已知條件矛盾；（2 2）與已有公理、定理、定義矛盾；）與已有公理、定理、定義矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。第7頁/共26頁第八頁，編輯于星期五：十三點 十九分。常見否定用語常見否定用語是是不是不是 有有沒有沒有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一個不是不都是，即

6、至少有一個不是都有都有不都有，即至少有一個沒有不都有，即至少有一個沒有都不是都不是部分或全部是，即至少有一個是部分或全部是，即至少有一個是唯一唯一至少有兩個至少有兩個至少有一個有（是）至少有一個有（是）全部沒有（不是）全部沒有（不是）至少有一個不至少有一個不全部都全部都第8頁/共26頁第九頁，編輯于星期五：十三點 十九分。例例1 1 已知已知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一個根。有且只有一個根。1 12 21 12 2不不妨妨設(shè)設(shè)其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x xabxa根，因此方程至少有一個證：由于0至少存在兩個根假設(shè)方程)0

7、(0abax第9頁/共26頁第十頁，編輯于星期五：十三點 十九分。1 12 2則則a ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1212 ax -ax = 0 ax -ax = 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0與已知a 0矛盾,與已知a 0矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。第10頁/共26頁第十一頁，編輯于星期五：十三點 十九分。用反證法證明：圓的兩條不是直徑用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。

8、的相交弦不能互相平分。已知已知：如圖，在：如圖，在 O中，弦中，弦AB、CD交于點交于點P，且，且AB、CD不是直徑不是直徑.求證：求證：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 2 2證明：證明：假設(shè)弦假設(shè)弦AB、CD被被P平分平分，連結(jié)連結(jié) AD、BD、BC、AC, DPOBAC因為弦因為弦AB、CD被被P點平分，所以四邊形點平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形是平行四邊形所以所以CBDCADADBACB,因為因為 ABCD為圓內(nèi)接四邊形為圓內(nèi)接四邊形所以所以180,180CBDCADADBACB因此因此90,90CADACB所以，對角線所以，對角線AB、CD均為直徑，均為直徑，這與已知條件

9、矛盾，即假設(shè)不成立這與已知條件矛盾，即假設(shè)不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。第11頁/共26頁第十二頁，編輯于星期五：十三點 十九分。用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。交弦不能互相平分。已知已知：如圖，在：如圖，在 O中，弦中，弦AB、CD交于點交于點P，且，且AB、CD不是直徑不是直徑.求證求證：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 2 2由于由于P點一定不是圓心點一定不是圓心O，連結(jié)，連結(jié)OP，根據(jù)垂徑定理的推論，有根據(jù)垂徑定理的推論，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。證明：證明：假設(shè)弦假

10、設(shè)弦AB、CD被被P平分，平分，即過點即過點P有兩條直線與有兩條直線與OP都垂直，都垂直，這與垂線性質(zhì)矛盾，即假設(shè)不成立這與垂線性質(zhì)矛盾，即假設(shè)不成立證法二證法二OPAB，OPCD，第12頁/共26頁第十三頁，編輯于星期五：十三點 十九分。演練反饋演練反饋證明：假設(shè)以任意三個點為頂點的三角形都是銳角三角形。記四個 點為A、B、C、D。考慮點D在 之內(nèi)或之外兩種情況。ABC(1)如果點D在 之內(nèi)，根據(jù)假設(shè)，ABCDABCBDCADBADC,都為銳角三角形所以270BDCADBADC這與一個周角為這與一個周角為360矛盾。矛盾。 第13頁/共26頁第十四頁，編輯于星期五：十三點 十九分。演練反饋演

11、練反饋(1)如果點D在 之外，根據(jù)假設(shè)，ABCADBCBCDBADADCABC,都是銳角三角形，即360ADCBCDABCBAD這與四邊形內(nèi)角和矛盾。這與四邊形內(nèi)角和矛盾。所以，綜上所述，假設(shè)不成立，從而題目結(jié)論成立所以，綜上所述，假設(shè)不成立，從而題目結(jié)論成立。即這些三角形不可能都為銳角三角形。即這些三角形不可能都為銳角三角形。第14頁/共26頁第十五頁，編輯于星期五：十三點 十九分?？偨Y(jié)提煉總結(jié)提煉1 1.用反證法證明命題的一般步驟是什么用反證法證明命題的一般步驟是什么? 用反證法在歸謬中所導出的矛盾可以用反證法在歸謬中所導出的矛盾可以是與題設(shè)矛盾是與題設(shè)矛盾,與假設(shè)矛盾與假設(shè)矛盾,與已知定

12、義、公與已知定義、公理、定理矛盾，自相矛盾等理、定理矛盾，自相矛盾等反設(shè)反設(shè) 歸謬歸謬 結(jié)論結(jié)論2.用反證法證題用反證法證題,矛盾的主要類型有哪些矛盾的主要類型有哪些?第15頁/共26頁第十六頁，編輯于星期五：十三點 十九分。/3abababa求證：，且，如果，和平面，已知直線例apb第16頁/共26頁第十七頁，編輯于星期五：十三點 十九分。推理推理 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理（歸納、類比）（歸納、類比） （三段論）（三段論）證明證明 直接證明直接證明 間接證明間接證明（分析法、綜合法）（分析法、綜合法） （反證法）（反證法）數(shù)學數(shù)學公理化思想公理化思想第17頁/共26頁第十八頁，編輯

13、于星期五：十三點 十九分。？是等差數(shù)列嗎？為什么）數(shù)列（不是等比數(shù)列）求證：數(shù)列（項和，是它的前的等比數(shù)列，是公比為、設(shè)212nnnnSSnSqa演練反饋演練反饋第18頁/共26頁第十九頁，編輯于星期五：十三點 十九分。2P26變式提升導學：3類題演練4127P第19頁/共26頁第二十頁，編輯于星期五：十三點 十九分。第20頁/共26頁第二十一頁，編輯于星期五：十三點 十九分。例例1 1：用反證法證明：用反證法證明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b證：假設(shè) a b不成立，則 a b證：假設(shè) a b不成立，則 a b若若 a a = =b b，則則a a = = b b, ,與已知

14、a b矛盾,與已知a b矛盾,若 a b，則a b,若 a b，則a b矛盾,與已知a b矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論 a b成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論 a b成立。第21頁/共26頁第二十二頁，編輯于星期五：十三點 十九分。 例例4 4 求證：求證： 是無理數(shù)。是無理數(shù)。2 2證：假設(shè) 2是有理數(shù)，證：假設(shè) 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m m = =2 2n n2 22 2 m m= = 2 2n n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設(shè)設(shè)m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4

15、k = 2n ，即n = 2k從而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這與m，n互質(zhì)矛盾！這與m，n互質(zhì)矛盾！所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。第22頁/共26頁第二十三頁，編輯于星期五：十三點 十九分。121212122222112211221:若p p = 2(q +q ),證明:關(guān)于x的方程1:若p p = 2(q +q ),證明:關(guān)于x的方程x +p x+q = 0與x +p x+q = 0中至少有一x +p x+q = 0與x +p x+q = 0中至少有一個有實根.個有實根.2 22 22 22 2: :若若a a, ,

16、b b, ,c c均均為為實實數(shù)數(shù), ,且且a a = = x x - -2 2y y+ +, ,2 2b b = = y y - -2 2z z+ +, ,c c = = z z - -2 2x x+ +, ,3 36 6求求證證: :a a, ,b b, ,c c中中至至少少有有一一個個大大于于0 0. .作業(yè)作業(yè)第23頁/共26頁第二十四頁，編輯于星期五：十三點 十九分。思考？思考？ A A、B B、C C三個人，三個人，A A說說B B撒謊，撒謊，B B說說C C撒謊，撒謊，C C說說A A、B B都撒謊。則都撒謊。則C C必定是必定是在撒謊，為什么？在撒謊，為什么？分析分析:假設(shè)假設(shè)C沒有撒謊沒有撒謊, 則則C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假;由由A A假假, , 知知B B真真. . 這這與與B B假矛盾假矛盾. .那么那么假設(shè)假設(shè)C C沒有撒謊不成立沒有撒謊不成立; ;則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. .第24頁/共26頁第二十五頁，編輯于星期五：十三點 十九分。思考題思考題: :甲、乙、丙三箱共有小球甲、乙、丙三箱共有小球384384個個, ,先由先由甲箱取出若干放進乙、丙兩箱內(nèi)甲箱取出若干