1、立體幾何知識點整理直線和平面的三種位置關系：1. 線面平行l(wèi)符號表示：2. 線面相交方法二：用面面平行實現(xiàn)。方法三：用平面法向量實現(xiàn)。若 n 為平面的一個法向量，n l 且l , 則 l / 。符號表示：符號表示：方法一：用線面平行實現(xiàn)。3. 面面平行：方法一：用線線平行實現(xiàn)。l /l 'm/ m'l , m且相交l',m'且相交方法二：用線面平行實現(xiàn)。l /m /l , m 且相交l /lml / m垂直關系：方法三：用線面垂直實現(xiàn)。方法二：用面面平行實現(xiàn)。/l l / mm若 l ,m ，則 l / m 。方法四：用向量方法：若向量 l 和向量 m 共線且l

2、、m 不重合，則l / m。2. 線面平行：方法一：用線線平行實現(xiàn)。l / mml /l1. 線面垂直：方法一：用線線垂直實現(xiàn)。l ACl ABlAC AB AAC, AB方法二：用面面垂直實現(xiàn)。mll m,l2. 面面垂直：方法一：用線面垂直實現(xiàn)。5 / 12方法二：計算所成二面角為直角。3. 線線垂直： 方法一：用線面垂直實現(xiàn)。llm m方法二：三垂線定理及其逆定理。P POl OA l PAl方法三：用向量方法：若向量 l 和向量 m 的數(shù)量積為0，則l m 。四 .夾角問題: （一 ）異 面直線所成的角：（1） 范圍： （0 ,90 ）為直線l 與面 所成的角。（2）范圍：0 ,90

3、當 0 時， l 或 l /當 90 時， l（3）求法：方法一：定義法。步驟1：作出線面角，并證明。步驟2：解三角形，求出線面角。（三 ）二 面角及其平面角（1）定義：在棱l 上取一點P，兩個半平面內分別作l 的垂線（射線）m、 n，則射線m 和 n 的夾角為二面角l的平面角。（2）求法：方法一：定義法。步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。步驟2：解三角形求出角。余弦定理：（常用到余弦定理）222cos a b c2abb（計算結果可能是其補角）方法二：向量法。轉化為向量的夾角（計算結果可能是其補角）：cosAB ACAB AC（二 ）線 面角（1）定義：直線 l 上任取一點P（交點除外），

4、 作 PO 于O,連結AO， 則 AO 為斜線PA在面內的射影，PAO （圖（2）范圍：0 ,180 （3）求法：方法一：定義法。步驟1：作出二面角的平面角（三垂線定理），并證明。步驟2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟1：如圖，若平面POA 同時垂直于平面和 ，則交 線 （ 射 線 ）AP 和 AO 的 夾 角 就 是 二 面 角 。步驟 2：解三角形，求出二面角。方法三：坐標法（計算結果可能與二面角互補）。步驟二： 判斷 與n1 n2 的關系， 可能相等或者互補。五 .距離問題:2線面距、面面距均可轉化為點面距。3異面直線之間的距離方法一：轉化為線面距離。mn如圖， m

5、和 n 為兩條異面直線，n 且 m/ ，則異面直線m 和 n 之間的距離可轉化為直線m 與平面之間的距離。方法二：直接計算公垂線段的長度。方法三：公式法。1點面距。方法一：幾何法。P步驟 1：過點P 作 PO 于 O，線段PO 即為所求。步驟2：計算線段PO 的長度。（直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法）如圖， AD 是異面直線m 和 n 的公垂線段，m/ m'，則異面直線m 和 n 之間的距離為：dc2 a2 b2 2abcos8 / 12x試題典例考點 1 點到平面的距離例 1 如圖，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2， D為 CC1中點（）求證：AB1 平面A1B

6、D ；（）求二面角A A1 D B 的大小；（）求點C 到平面A1BD 的距離解答過程（）取BC 中點 O ，連結 AO ABC 為正三角形，AO BC B正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC 平面BCC1B1，AO平面BCC1B1連結B1O ，在正方形BB1C1C 中，O，D 分別為BC，CC1的中點，B1OBD ，AB1 BD在正方形ABB1A1 中，AB1 A1B，AB1 平面A1BD （）設AB1 與A1B 交于點G ，在平面A1BD中，作 GF A1D 于F ，連結 AF ，由（）得AB1平面A1 BDAF A1D ， AFG 為二面角A A1D B的平面角在 AA1D 中，由

7、等面積法可求得AF 4 5 ，5又 AG 1 AB12 ， sin AFG AG 2102AF 4 545所以二面角A A1D B的大小為arcsin 10 4A1BD 中， BDA1D5，A1B22，SA1BD6，SBCD 1在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距離為3設點 C 到平面A1 BD 的距離為d VA1 BCDVC A1BD1 S BCD33S A1BD d3S A1BD2點 C 到平面A1BD 的距離為2 2解法二： （）取BC 中點O，連結AO ABC為正三角形，AO BC 在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC 平面BCC1B1 ，AD 平面BCC1B1 取 B1C

8、1 中點O1 ， 以 O 為原點，OB ， OO1 ， OA的方向為x，D（ 1，1，0）， A1（0， 2，3），A（0，0，3）， B1（1，2，0），AB1 （1，2，3），BD（ 2，1，0），BA1 （ 1， 2，3）AB1 BD2 2 0 0， AB1 BA11 4 3 0，AB1 BD， AB1 BA1y， z軸的正方向建立空間直角坐標系，則 B（1， 0， 0），AB1 平面A1BD A1AD 的法向量為n （x， y， z）AD （ 1，1，3）， AA1 （0，2， 0）n AD ， n AA1 ，n AD0， xy3z 0，y0，n AA10，2y0，x 3z令 z 1

9、得 n （ 3， 0，1） 為平面A1 AD 的一個法向量AB1 平面A1BD ，AB1 為平面A1BD 的法向量cos n ， AB n AB1336 AB1n AB12 2 24A A1D B 的大小為arccos 6 410 / 12， AB1 為平面A1BD 法向量，BC （ 2， 0， 0） AB1 （1， 2， 3）點 C 到平面A1 BD 的距離d BC AB122 AB12 2 2考點 2 異面直線的距離例 2 已知三棱錐S ABC ，底面是邊長為4 2 的正三角形，棱SC的長為2，且垂直于底面. E、 D 分別為 BC、 AB的中點，求CD 與 SE 間的距離.解答過程： 如

10、圖所示，取BD 的中點 F，連結 EF， SF， CF ，EF 為 BCD 的中位線，EF CD, CD 面 SEF, CD到平面 SEF 的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉化為線CD 上一點 C 到平面 SEF的距離，設其為h，由題意知，BC 4 2 ,D、 E、 F 分別是AB、BC、 BD 的中點，CD 2 6, EF 1 CD 6,DF 2,SC 2BD 到平面GB1D1 的距離.又 S O1OGOH O1G3 OH 2, OH26即 BD 到平面GB1D1 的距離等于26111123VS CEFEF DF SC62 232323在 Rt SCE中，SESC2 CE2

11、2 3在 Rt SCF 中，SFSC2 CF 24 24 230112323又 EF 6, S SEF 3 由于 VC SEFVS CEF S SEF h ，即 3 h ，解得 h3333故 CD 與 SE 間的距離為2 3 .3考點 3 直線到平面的距離例 3 如圖，在棱長為2 的正方體AC1 中，G 是 AA1 的中點，求思路啟迪：把線面距離轉化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解解答過程：解析一BD 平面 GB1D1，BD 上任意一點到平面GB1D1 的距離皆為所求，以下求點 O 平面GB1D1的距離,B1D1 A1C1， B1D1 A1A，B1D1 平面A1ACC1 ,又B1D1平面

12、GB1D1平面A1ACC1GB1D1，兩個平面的交線是O1G ,作 OH O1G 于 H，則有OH 平面GB1 D1，即OH 是 O 點到平面GB1D1 的距離.在 O1OG中， S OOG 1 O1O AO 1 222 .小結 ： 當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關鍵是選準恰當?shù)狞c，轉化為點面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.考點 4 異面直線所成的角6 / 12例 4 如圖，在Rt AOB 中， OAB ，斜邊 AB 4 Rt AOC 可以通過Rt AOB 以直線 AO 為軸旋轉6得到，且二面角B A

13、O C 的直二面角D 是 AB 的中點（ I ）求證：平面COD 平面AOB ；（ II）求異面直線AO 與 CD 所成角的大小解答過程 ： （ I）由題意，CO AO ， BO AO，BOC 是二面角B AO C是直二面角，CO BO ，又AO BO O， CO 平面 AOB，又 CO 平面 COD 平面 COD 平面AOB（ II）作DE OB ，垂足為E ，連結CE（如圖），則DE AO，CDE 是異面直線AO 與 CD 所成的角在RtCOE 中，COBO 2，OE 1BO 1 ，CECO2OE252又DE1 AO3在 RtCDE中，tanCDECE5152DE33異面直線AO與 CD所

14、成角的大小為arctan 15 3解法2： （ I）同解法1II）建立空間直角坐標系O xyz，如圖，則O（0， 0，0），A（0， 0，2 3），C（2，0，0），OA （0， 0， 2 3） ， CD （ 2，1， 3） ，6623224OA CDcos OA， CDOA CD異面直線AO 與 CD 所成角的大小為arccos 6 4小結 ： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補形法：把空間SCBA其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系，如解析三.一般來說，平移法是最

15、常用的，應作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍： 考點 5 直線和平面所成的角例 5. 四棱錐 S ABCD 中，底面ABCD 為平行四邊形，側面SBC 底面ABCD 已知 ABC 45 ， AB 2， BC 2 2， SA SB 3SA BC ；SD與平面SAB所成角的大小SA SB，所以AO BO，解答過程：（）作SO BC ，垂足為O，連結AO ，由側面SBC 底面 ABCD，得 SO 底面 ABCD 又 ABC 45 ， 故 AO B為 等 腰 直 角 三 角 形 ，AO BO，由三垂線定理，得SA BC （）由（）知SA BC ，依題設AD BC ，

16、故 SA AD ， 由 AD BC 2 2， SA 3， AO 2，得 SO 1， SD 11 SAB的面積S1 1AB SA2 1AB 22221連結 DB ，得 DAB 的面積S2AB AD sin135 22設 D 到平面SAB的距離為h，由于VDSABVSABD ，得1 h S11 SO S2，解得h2 33設 SD 與平面SAB所成角為，則 sin h 222 SD 1111所以，直線SD與平面 SBC所成的我為arcsin 22 11解法二：（）作SO BC ，垂足為O ，連結 AO ，由側面SBC 底面 ABCD ，得SO 平面 ABCD CyESA SB，所以AO BO 又 A

17、BC 45 ， AOB 為等腰直角三角形，AO OB 如圖，以O 為坐標原點，OA為 x軸正向，建立直角坐標系O xyz，A（2，0，0），B（0，2， 0），C（0，2， 0），S（0， 0，1），SA （2，0， D1），CB （0，2 2， 0）， SACB 0，所以 SA BC AB 中點E ，E 2， 2，0 ，2222 / 122， 2，1 442連結 SE ，取SE 中點G ，連結 OG ，GOG 2， 2， 1 ， SE 2， 2，1 ， AB （ 2， 2，0） 44222SE OG 0， AB OG 0 ， OG 與平面 SAB內兩條相交直線SE ， AB垂直所以 OG 平

18、面SAB ， OG 與 DS 的夾角記為， SD 與平面 SAB 所成的角記為，則 與 互余D（ 2， 2 2， 0） ， DS （ 2， 2 2，1）OG DS22 ，22 ，cossincos OG DS1111所以，直線SD 與平面 SAB 所成的角為arcsin 22 11小結 ：求直線與平面所成的角時，應注意的問題是（1 ）先判斷直線和平面的位置關系；（ 2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：構造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，計算常用解三角形的方法求角，結論點明直線和平面所成的角的值 .考點 6 二面角CA CB ，例 6如圖， 已知直二面角PQ ， A PQ

19、， B ， C ，BAP 45 ，直線 CA和平面所成的角為30 （ I ）證明 BC PQ（ II）求二面角B AC P的大小過程指引 ： （ I）在平面內過點C作 CO PQ 于點O，連結OB 因為 ，PQ ，所以CO，又因為 CA CB ，所以 OA OB 而 BAO 45 ，所以 ABO 45 ， AOB 90 ，從而BO PQ ，又 COPQ，所以PQ平面 OBC 因為 BC平面 OBC，故PQ BC II）由（I）知，BO PQ ，又 ，PQ ，BO ，所以 BO 過點 O作 OH AC 于點 H ，連結 BH ，由三垂線定理知，BH AC故BHO 是二面角B AC P的平面角I）

20、知，CO ，所以CAO是 CA和平面所成的角，則CAO 30 ，不妨設 AC 2，則 AO 3， OH AOsin30 3 2于 是 在 Rt BOH 中 ，在 Rt OAB 中 ， ABO BAO 45 ， 所 以 B O A O 3 ，BO 3t a n BHO故二面角 2B AC P 的大小為arctan2 OH 32小結 ：本題是一個無棱二面角的求解問題. 解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內的兩條平行直線找出棱，補形構造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二

21、面角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.考點 7 利用空間向量求空間距離和角例 7 如圖，已知ABCD A1B1C1D1 是棱長為3的正方體，點 E 在 AA1 上，點F 在 CC1 上，且AE FC1 1 （ 1 ）求證：E， B， F， D1 四點共面；2（ 2 ）若點 G 在 BC 上， BG ，點 M 在 BB1 上，GM BF ，垂足為H ，3求證： EM 平面BCC1B1 ；（ 3）用表示截面EBFD1 和側面BCC1B1 所成的銳二面角的大小，求tan 過程指引： （ 1 ）如圖，在DD1 上取點N ，使 DN 1 ，連結 EN ， CN ，則AEDN1 ， CF ND12M因為 AE DN ， ND1 CF ， 所以四邊形ADNE ， CFD1N 都為平行四邊形而 EN AD， FD1 CN C1FC又 因 為 AD BC， 所 以 EN BC， 故 四 邊 形 BCNE 是 平 行 四 邊 形 ， 由 此 推 知 CN BE ， 從 而FD1 BE因此，E， B， F， D1四點共面2）如圖，GM BF ，又 BM BC ，所以 BGM CFB ，BC 2 3BM B