1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：年 級：高二課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：教學(xué)內(nèi)容1 .二項(xiàng)式定理：,.、n _0n _1n._rn_r.r_n.n,，.“、（a+b） =Cna +Cna b +Cna b + +Cnb （n= N ）,2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù) Cnr （r= 0,1,2, n）.項(xiàng)數(shù)：共（r+1）項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第 r +1項(xiàng)C：anbr叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用工書=C：anbr表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有 （n+1）項(xiàng)。順序：注意正確選擇 a

2、, b,其順序不能更改。（2 +功”與8 + 2）”是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n,是升哥排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是 C：,Cn,C：,C：, ,C：.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。4 .常用的結(jié)論：令 a =1b=x （1x）n= c0C1xC2x2，Crxr-c nxn（n5 N ）,（ x）V/ nn x V/ n xv/ n xv/ n x （n ）令 a =1,b = -x, （1-x）n =C0 -dx+dx2 -+C；x,+（-1）nCnxn（nW N"）5

3、.性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C0 =C； , C： =cnk4二項(xiàng)式系數(shù)和：令a=b=1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C：+cn+C；+C；+cn=2n,變形式 cn +C： + +cn + +C： =2n -1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令 a =1,b = 1,則 Cn0-C1 +C2-C；+(-1)nCnn = (1-1)n = 0,U g| C°4_C2C4 上八241 4_ 3 _T.- I 2r _1 I1 v OnO n 信Cn Cn CnCn"，= Cn Cn Cn =2 2 =2奇數(shù)項(xiàng)的系

4、數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：n 八0 n 0 八1 n 1 八2 n _2 2n 0 n12n(ax) Cna xCnax Cn a x 卜+Cna x a0a1x a2x+ +anxn c0 0 n c1 n 1 c2 2 n _2n n 0n21(xa)=Cna xCnax Cnax 4+Cna x=anx4+a2x a1x a0令x =1,貝1Ja0+a1+a2+a3 +an =(a +1)n令x = -1，則 a0-a1+a2-a3 +一 +an=(a 1)n+得，a。+a2 +a4+an = （a十"十（a -1）n （奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和）2得，a1 +a3 +a5+an =色

5、77;1£二（a二!匚（偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和）2n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2取得最大值。如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)cm，Cnn'2同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求（a+bx）n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別 Ar1 - Ar-為A, A2,一人書，設(shè)第r十1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有«，從而解出r來。Ar 1 - Ar 2題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：C1 +C； 6+C3 62 +C： 6n=解：(1+6)n =C0 +Cn 6+C； '62 +C3 63 +C：

6、6n與已知的有一些差距，11 232n n 11c. 22n n - Cn Cn 6 Cn 6Cn 6- (Cn 6 Cn 6Cn 6 )6= ：(C； C； 6 C； 62 ： 6n -1) = ：(1 6)n-1= ：(7n-1)666練：Cn 3C2 9c3 -3n4Cn =.解：設(shè) Sn =C： +3Cn +9C； +3n,C：,則QQp1 Q02 Q23 23.pnQnp01 2 .2 223Q3n &nn3Sn= Cn3Cn 3Cn 3 Cn 3=CnCn3Cn 3Cn 3Cn 3-1=(1 3) - 1. Sn(1 3)n -1 _ 4n -13 一 3題型二：利用通項(xiàng)公

7、式求 xn的系數(shù);例:在二項(xiàng)式(，1+3/X2)n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)?解：由條件知C：n=45,即C： =45,，n2 n90 = 0,解得n = 9(舍去)或n = 10 ,由12101 2Tt=C1r0(xN)10"(x3)r =C1r°xF 3,，由題意-Yr r =3,解得 r =6, 43則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)丁6書=G6)x3 =210x3,系數(shù)為210。21a9練：求(x -)展開式中x的系數(shù)？2x解：Tr¥ =c；(x2)"(1)r =c9x182( 3rx=c；(1)rx183 ,令 183r =9,

8、則 r = 3 2x22931 321故x的系數(shù)為C9(-)=一一。22題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);例:2110求一項(xiàng)式(x +7=)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?2.x解:r 2 10 -t1 r r1r20=r58 1 8Tt=C1r0(x2)10"(y)r =C1r0(±)rx 2 ,令20；2r=0,得 r = 8,所以 丁9=00%)452561 6練：求一項(xiàng)式(2x-)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?2x解:Tt=C；(2x)6(1)(*)=(1)rC626g)rx6a ,令 6 2r = 0,得 r =3,所以 T4 =(1)3C； = 2021 n練：若(x +一)的二項(xiàng)展開式

9、中第 5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=. x解：T5 =C4(x2)n(1)4 =C：x2n,2,令 2n 12 =0 ,得 n = 6. x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng); 例：求二項(xiàng)式(Jx-3/x)9展開式中的有理項(xiàng)?ii27 427 r解:平=C；(x2)9,(_x3)r =(1)rC；xk ,令ZZ,0 0<r 99)得 r = 3或 r = 9, 6所以當(dāng) r =3時(shí)，至二r=4, T4=(1)3C93x4 = 44x4, 6當(dāng) r=9 時(shí)，2L1L =3 , T10 =(1)3C；x3 =_x3。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;若(1-6)n展開式中

10、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為-256，求 n.解:展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0 , a1, an ,10令x = -1, 則有 a0 +a1 +an =0,，令x = 1,則有 a0+a2 -a3 十，十(-1)n an = 2n，將-得：2(a1 +a3 + a5 +)=一2n，: a1 +a3 +a5 +, = 2n,有題意得，2n=256 =28,，n =9。練：若(3f- +5p；)n的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024,求它的中間項(xiàng)。解：；C： +C：+C： 4C2r + =C：+C；+C2r4+=2n,，. 2n= 1024 ,解得 n=11 所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n=6,n=7, 丁54=

11、Cnj1)6(5W)5 = 462 xu，T6書= 462、次題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；1 n 例：已知(2+2x),若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：: C：+C； =2C5,，n2 21n+98 = 0，解出門=7或門=14,當(dāng)n=7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是3 1 4 3354 1 3 4T4和T5，T4的系數(shù)=C7() 2 =35, T5的系數(shù)=C7() 2 =70，當(dāng)n=14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大T-kJ'* v*/7''/1 7 7的項(xiàng)是 T8, T8的系數(shù)=C74(-)727 =3

12、432。練：在(a +b)2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù) 2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n =Tn+，也就是第n+1項(xiàng)。一由2練:在(；一步)n的展開式中，只有第 5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解:只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 2+1=5,即n=8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于 2c86練:寫出在(a-b)7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)?解:因?yàn)槎?xiàng)式的哥指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)(第4,5項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值,從而有T4 = -C3a4b3的系數(shù)最小，T5 =c4a3b4系數(shù)最大。1n練:若展開式刖二項(xiàng)的

13、二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求(,+2x)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?解:由C0 +C； +C2 =79，解出n =12，假設(shè)T一項(xiàng)最大，：1_121 12122 2x)12 =1)12(1 4x)12A IC r 4r _ C r4-r =412 11J，化簡得到 9.4 Er E10.4 ,又丁 0E r E12 ,二 r =10 ,-Ar 2C；2 4r _C；214rH展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11 ,有T11 "，七卬0*10 =16896x10練:在(1+2x)1°的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解:假設(shè)Tr十項(xiàng)最大，Tr書=C1r02r xrAr 1 - Ar_C1r0 2

14、r -C1；d2Ar 1 - Ar 2 或2,一或12-2(11 - r) _ r . . .解得i ) ，化簡得到6.3EkE7.3,又= 0Er E10, r 1 _ 2(10 - r)，r =7 ,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 丁8 =C127x7 =15360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)例：求當(dāng)(x2+3x+2)5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法:(x2+3x+2)5 =(x2+2)+3x5,噂=C；(x2+2)51(3x)，當(dāng)且僅當(dāng) r =1 時(shí)，Tr書的展開式中才有 x的一次項(xiàng)，此時(shí) 工書=耳=C5(x2+2)43x,所以x得一次項(xiàng)為ClC：243x它的系數(shù)為C1C：243 = 240。

15、2_5550 51 45051 45_5解法:(x2 +3x+2)5 =(x+1)5(x+2)5 =(C；x5 +c5x4 + +或)9卜5 +C5x42+ C；25)故展開式中含x的項(xiàng)為C；xC；25+C；x24 =240x,故展開式中x的系數(shù)為240.練：求式子(x| ,:一 |x|2)3的常數(shù)項(xiàng)?解：(M+白-2)3 =(正-6,設(shè)第 r+1 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則 Tr4r = C6(-1)r|x|6(Q)r二(- 1)6C，得3 _ 36-2r=0,r=3,.T31 =(-1)C6=-20.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：求(1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數(shù).解：' (1 2x

16、)3的展開式的通項(xiàng)是CT (2x)m2m.xm,(1x)4的展開式的通項(xiàng)是 C4 <x)n =C4 Mn ,xn,其中 m = 0,1,2,3,n = 0,1,2,3,4,令m + n =2MUm = 0J1n =2,m =1且 n =1,m = 2且門=0,因此(1 + 2x)3(1 - x)4的展開式中 x2的系數(shù)等于 c0 20 C： (-1)2 +C3 21 c4 <-1)1+C3 22 C0 ,(-1)0 = -6.練:求（1 +衣）6（1 + J=）10展開式中的常數(shù)項(xiàng) xmn4m-3n解：（1 十Vx）6（1+J）10展開式的通項(xiàng)為 c6nx3 c" =C6

17、n C1n0，xF *xm = 0, _Lm = 3, _im = 6其中m=0,1,2,6,n=0,1,2,10，當(dāng)且僅當(dāng)4m = 35即 < 或/ 或<n=0, n=4,n=8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C； C00 - C3 C: C6 C80 =4246.練：已知（1 +x +x ）（x + ）的展開式中沒有吊數(shù)項(xiàng) ，n w N且2 E n工8,則門=. x解：（x+4）n展開式的通項(xiàng)為cn父,=c；通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得 xcn xn'r,cn xn“rcn父H也:展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2 <n<8:.n #4r且n =4r +1 且n =4r +2,

18、即n #4,8且n =3,7且n #2,6,二 n = 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在(x-歷2006的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次幕的項(xiàng)之和為S，x =五時(shí),S =解：設(shè)(x -匹2。6=% +a1x1 +a2x2 +a3x3 +a2006x2006(-x ->/2) 2006=a0 -a1x1 +a2x2 a3x3 + a2006x2006 得 ZWx+ay+asx5 +十a(chǎn)x2005) = (x -咫 2006 (x + V2)2006二(x -匹2006展開式的奇次曷項(xiàng)之和為S(x) =1(x-石)2006 -(x+石)200623 2006當(dāng)x = /IS(后=

19、1(點(diǎn)一在 2006 -(V2 +在 2006 = - = -23008 22題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式(33/X + 1)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p ,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xp +s=272 ,則n等于多少？3 1 n2n .0斛：右(3x + )=a0 +ax +a2x + + anX ,有 P = a0 + a + an , S =Cn +-+Cn =2 , x令 x=MHp=4n,又 p+s=272 44n+2n =272= (2n+17)(2n 16) = 0 解得 2n = 1© 2n = 17(舍去),練:3Mx 二 x.n =4.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64

20、 ,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少？2n =64 ,所以n = 6 ,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為11 Y解：令x=1 ,則3&- 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為IJx )C63(3 . x)3 (- _)3 =540.練:解:123axa?xa3x.a2009x2009(x- R),則a1 . a2 . a20092-2009222=0a1 . a2.二產(chǎn)2009，12-20092 22=1,因向a1十告十.a2009入2009二一出在令x =0可得a。，1，1令x=2，可得a0 +若(1 -2x)2009 二a0a1+等+駕的值為 2 2222009練： 若(x 2)5 =a5x5 +a4x4 +a3x3

21、 +a2x2 +a1x1 +a0,貝Ua + a2 +a3 +a4 +a5 =解：令x =0得a0 = -32，令x =1 得a0 +a1 +a2 +a3 +a4 +a5 = -1,a! a2 a3 a4 a5 =31.題型十一：整除性；例：證明：32n電-8n 9(nw N*)能被64整除證：32n2 -8n-9=9n1-8n-9= (81)n1-8n-9=*8n+ +*8n + + C：；82 +*81 +Cn； -8n-9=C0 +8n + +C：+8n +一+ Cnn 182 +8(n +1)+1 -8n-9 = C；+8n. +C：+8n +,一+ C；：82由于各項(xiàng)均能被64整除二

22、32n七-8n -9(n e N*)能被64整除1、(x 1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 1、設(shè)f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 f+=(_2)11/2=_102422、C0 +3C； +32C：十一 +3nC； =2、2、4n3、(V5十二=)20的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第項(xiàng).,、53、3,9,15,21 4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和是4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對值之和實(shí)為(2x+1) 5展開式系數(shù)之和，故令 x=1,則所求和為35 5、求(1+x+x 2)(1-x) 10展開式中x4的系數(shù).5、(1+x+x2)(1 x)10 =(1 x3)(1x)9,要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)c4(-x)4作積，第一個(gè)因式中的一 x3與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)C；(x)作積，故x4的系數(shù)是C；+C9=135.6、求(1+x)+(1+x) 2+, +(1+x) 10 展開式中 x3 的系數(shù).10 116、(1+x)+(1+x)2 +(1+x)10 =(1 x)1_(1 x) = (x 1) (x 1)原式中 x3實(shí)為這分