1、期期 末末 復復 習習(一一)把把 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 個元個元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn個不同的元素的所有排列的種數(shù)用個不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，表示，且且 nnP!nPn 全排列全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列，逆序數(shù)為，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列在一個排列在一個排列 中，若數(shù)中，若數(shù) ，則稱這兩個數(shù)組成一個則稱這兩個數(shù)組成一個逆序逆序 nstiiiii21stii 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆逆序數(shù)序數(shù)逆序數(shù)逆序數(shù)分別計算出排列

2、中每個元素前面比它大的數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)方法方法2 2方法方法1 1分別計算出排在分別計算出排在 前面比它大的前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出數(shù)碼之和，即分別算出 這這 個元素個元素的逆序數(shù)，這的逆序數(shù)，這 個元素的逆序數(shù)之總和即為所求個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)n,n,121 n,n,121 nn計算排列逆序數(shù)的方法計算排列逆序數(shù)的方法定義定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元在

3、排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為一次對換將相鄰兩個元素對調(diào)，素不動，稱為一次對換將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換叫做相鄰對換定理定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性變奇偶性推論推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)對換對換 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 n階行列式的定義階行列式的定義., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示對表示對

4、個排列的逆序數(shù)個排列的逆序數(shù)為這為這的一個排列的一個排列為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中ntnppppppnn .,)1(21212121的逆序數(shù)的逆序數(shù)為行標排列為行標排列其中其中亦可定義為亦可定義為階行列式階行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用數(shù)等于用數(shù)一數(shù)一數(shù)中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零則此行列式則此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有兩行如果行列式有兩行行列式變號行列式變號列列互換行列式的兩行互換行列式的兩行即即式相等式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列行

5、列式與它的轉(zhuǎn)置行列kk n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì)., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不變行列式的值不變對應的元素上去對應的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一數(shù)的各元素乘以同一數(shù)行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于兩個行列此行列式等于兩個行列則則的元素都是兩數(shù)之和的元素都是兩數(shù)之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式為零式為零則此行列則此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行提到行列式符號的外面提到行列式符號的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某

6、一行行列式中某一行）余子式與代數(shù)余子式）余子式與代數(shù)余子式.,)1(1 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式叫做元素叫做元素；記；記的余子式，記作的余子式，記作階行列式叫做元素階行列式叫做元素列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的行和第行和第所在的第所在的第階行列式中，把元素階行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAajijiDDAaijijjknkikijkinkki當當當當其中其中當當當當或或當當當當 、用定義

7、計算、用定義計算2 2、化三角形行列式計算、化三角形行列式計算計算行列式常用方法：利用運算把行列式計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3 3、展開法、展開法將行列式按某行或某列展開。將行列式按某行或某列展開。4 4、拆分法、拆分法拆成行列式之和拆成行列式之和5 5、降階法、降階法、遞推法、遞推法.4abcdbadccdabdcbaD 例例 計算計算例例 計算計算.21xaaaaxaaaaxaDnn 7 7、利用范德蒙行列式計算、利用范德蒙行列式計算 1112112222121).(111jinjinnnnn

8、nnxxxxxxxxxxxD111111 1111222222111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaba bbaaba bbDaababb 例例 計算計算計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用法綜合應用 在計算時，首先要仔細考察行列式在構(gòu)造上在計算時，首先要仔細考察行列式在構(gòu)造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變換后，再的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法考察它是否能用常用的幾種方法.,)1( ), 2 ,

9、1;, 2 , 1(212222111211矩陣矩陣簡稱簡稱列矩陣列矩陣行行叫做叫做列的數(shù)表列的數(shù)表行行排成排成個數(shù)個數(shù)由由nmnmaaaaaaaaaAnmnjmianmmnmmnnij 矩陣的定義矩陣的定義.,復復矩矩陣陣元元素素是是復復數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣叫叫做做實實矩矩陣陣元元素素是是實實數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第陣陣叫叫做做矩矩的的元元素素個個數(shù)數(shù)叫叫做做矩矩陣陣其其中中jiAaAnmij .),()( )1(AAnmaAaAnmijijnm 也記作也記作矩陣矩陣或或式可簡記為式可簡記為.)(;2121行行矩矩陣陣叫叫做做只只有有一一行行的的矩矩陣陣叫叫做做列列矩

10、矩陣陣只只有有一一列列的的矩矩陣陣aaaAaaaAnm 方陣列矩陣行矩陣方陣列矩陣行矩陣.,)1(階方陣階方陣稱為稱為時時當當式式對對nAnm 兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，就稱兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，就稱它們是同型矩陣它們是同型矩陣.,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(BABAnjmibabBaAijijijij 記記作作相相等等與與矩矩陣陣那那么么就就稱稱矩矩陣陣即即們們的的對對應應元元素素相相等等并并且且它它是是同同型型矩矩陣陣與與如如果果同型矩陣和相等矩陣同型矩陣和相等矩陣零矩陣單位矩陣零矩陣單位矩陣.,O記作記作零矩陣零矩陣元素都是零的矩陣稱為元素都是零的矩

11、陣稱為., 1 Enn簡簡記記作作階階單單位位陣陣叫叫做做階階方方陣陣其其余余元元素素都都是是零零的的主主對對角角線線上上的的元元素素都都是是.,)( ,)(,)(的的和和與與稱稱為為矩矩陣陣加加法法定定義義為為為為兩兩個個同同型型矩矩陣陣設(shè)設(shè)BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律矩陣相加矩陣相加).( ,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij 并并規(guī)規(guī)定定從從而而有有負負矩矩陣陣的的稱稱為為矩矩陣陣記記設(shè)設(shè)ABBA )()(CBACBA ).(,aAAAAAij 規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù)運算規(guī)律運算規(guī)律);()

12、(AA ;)(AAA .)(BABA 數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣.), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 記記作作其其中中矩矩陣陣是是一一個個的的乘乘積積與與規(guī)規(guī)定定設(shè)設(shè)矩陣相乘矩陣相乘運算規(guī)律運算規(guī)律);()(BCACAB );(),()()(為數(shù)為數(shù)其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm n階方陣的冪階方陣的冪.,111121是正整數(shù)是正整數(shù)其中其中定義定義階方陣階方陣是是設(shè)設(shè)kAAAAAAAAnAkk .,)(,

13、 為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中l(wèi)kAAAAAklkllklk .)(BAABkkk 一般地一般地方陣的運算方陣的運算方陣的行列式方陣的行列式.det,AAAAn或或記記作作的的行行列列式式陣陣叫叫做做方方的的元元素素所所構(gòu)構(gòu)成成的的行行列列式式階階方方陣陣由由運算規(guī)律運算規(guī)律.;,BAABAAnBAn 則則階方陣階方陣為為為數(shù)為數(shù)設(shè)設(shè)轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣.,AAAT記記作作的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置矩矩陣陣叫叫做做陣陣到到一一個個新新矩矩的的行行換換成成同同序序數(shù)數(shù)的的列列得得把把矩矩陣陣.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT 一些特殊的矩陣一些特殊的矩陣對稱矩陣對稱矩陣.,為對稱矩陣

14、為對稱矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnAT 反對稱矩陣反對稱矩陣.,矩陣矩陣為反對稱為反對稱則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnAT 正交矩陣正交矩陣.,正交矩陣正交矩陣為為則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AEAAAAnATT 對角矩陣對角矩陣.,為對角矩陣為對角矩陣則稱則稱素全為零素全為零其余元其余元如果除了主對角線以外如果除了主對角線以外階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AnA數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣主對角線上的所有元素全為主對角線上的所有元素全為 的對角陣稱為的對角陣稱為數(shù)量陣數(shù)量陣. . 上三角矩陣上三角矩陣主對角線以下的元素全為零的方陣稱為上三主對角線以下的元素全為零的方陣稱為

15、上三角矩陣角矩陣下三角矩陣下三角矩陣主對角線以上的元素全為零的方陣稱為下三主對角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣角矩陣伴隨矩陣伴隨矩陣. 212221212111的伴隨矩陣的伴隨矩陣叫做方陣叫做方陣方陣方陣所構(gòu)成的所構(gòu)成的的各元素的代數(shù)余子式的各元素的代數(shù)余子式行列式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij .:EAAAAA 伴隨矩陣具有重要性質(zhì)伴隨矩陣具有重要性質(zhì)稱滿足下列兩個條件的矩陣為稱滿足下列兩個條件的矩陣為階梯形矩陣階梯形矩陣：1 1）若有零行（元素全為零的行），位于底部；）若有零行（元素全為零的行），位于底部；階梯形矩陣階梯形矩陣2 2）各非零行的首非零元位于前一行首

16、非零元之右）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. .稱滿足下列三個條件的矩陣為稱滿足下列三個條件的矩陣為行最簡形矩陣行最簡形矩陣：1 1）行階梯形矩陣）行階梯形矩陣行最簡形矩陣行最簡形矩陣2 2）各非零行的首非零元均為）各非零行的首非零元均為1.1.3 3）首非零元所在列其它元素均為）首非零元所在列其它元素均為. .稱滿足下列兩個條件的矩陣為稱滿足下列兩個條件的矩陣為標準形標準形：1 1）左上角為單位陣；）左上角為單位陣；標準形標準形）其它元素均為）其它元素均為. .定義定義., 1AAAA 矩矩陣陣記記作作的的逆逆的的逆逆矩矩陣陣是是唯唯一一的的則則有有逆逆矩矩陣陣若若逆矩陣逆矩陣.)

17、,( , 的逆矩陣的逆矩陣稱為稱為且矩陣且矩陣秩的秩的、滿、滿或非奇異的、非退化的或非奇異的、非退化的是可逆的是可逆的則稱矩陣則稱矩陣使使如果存在矩陣如果存在矩陣階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)ABAEBAABBnA 相關(guān)定理及性質(zhì)相關(guān)定理及性質(zhì). 0 AA可可逆逆的的充充分分必必要要條條件件是是方方陣陣.,1AAAA 則則可逆可逆若矩陣若矩陣.)()();0(1)( ;)(111111AAAAAATT .)( ,111ABABABBA 且且也可逆也可逆那么那么都可逆都可逆與與若同階方陣若同階方陣.,)(,1AEEAEAA 變變成成了了就就原原來來的的時時變變成成當當把把施施行行初初等等行行變變換換只只需

18、需對對分分塊塊矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣要要求求可可逆逆矩矩陣陣.,1AEEAEA 就就變變成成了了原原來來的的時時變變成成當當把把施施行行初初等等列列變變換換或或者者對對分分塊塊矩矩陣陣求逆矩陣的初等變換法求逆矩陣的初等變換法下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換. .jirr （1 1）互換兩行：）互換兩行：（2 2）數(shù)乘某行：）數(shù)乘某行：kri （3 3）倍加某行：）倍加某行：jikrr 同理，把同理，把 換成換成 可定義矩陣的可定義矩陣的初等列變換初等列變換. .rc定義定義 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為矩陣矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為矩陣的的初等變

19、換初等變換定義定義經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 ，如果矩陣如果矩陣ABAB與與等等價價就稱矩陣就稱矩陣，記作記作AB等價關(guān)系的性質(zhì)：等價關(guān)系的性質(zhì)：反身性、對稱性、傳遞性反身性、對稱性、傳遞性. .,ETEP一一次次相應的，三種初等變換對應著三種初等方陣相應的，三種初等變換對應著三種初等方陣. .定義定義就稱為就稱為初等矩陣初等矩陣. .P( , )E i j 1011011111k E i k ( ）( ）1111k , ( )E i j k AEERT 1EA AE1EA ECT1 1、求逆、求逆 ABERT EXABEXECT2 2、求方程、求方程XAB 1XBA

20、 AXB 1XA B 形如形如,XBBX16,A XAXXA 162,A XAXAE 2,AXEAX的方程稱為矩陣的方程稱為矩陣方程方程. .求未知矩陣求未知矩陣 , ,都是利用矩陣運算把矩陣方程化為都是利用矩陣運算把矩陣方程化為若若都可逆都可逆, ,上述類型的方程可以用求逆方法求出上述類型的方程可以用求逆方法求出, ,AXBM AXM XBM若若不可逆不可逆, , 可以用待定系數(shù)法求出可以用待定系數(shù)法求出. .,m nin Aif 0 ;rD10 .rD （1 1）（2 2）則則 稱為矩陣稱為矩陣 的的最高階非零子式最高階非零子式. .rDA)(Ar)(AR記為記為 或或 . .最高階非零子

21、式最高階非零子式的階數(shù)稱為的階數(shù)稱為矩陣的矩陣的秩秩 . if ABR AR B 定定理理，則稱則稱 An階方陣階方陣 ，0( )ifAR An,m nin A A為為滿秩陣滿秩陣. .( )ifR Am A，則稱則稱 為為行滿秩陣行滿秩陣；( )ifR An A，則稱則稱 為為列滿秩陣列滿秩陣；0( )ifAR AnA，則稱則稱 為為降秩陣降秩陣. .（1 1）()min, m nR Am n （2 2）()( ),()( ),0TR AR A R kAR A k( )0R O （3 3）（4 4）10( )ifAAR An 階方陣階方陣，（5 5）0( )rifDR Ar0( )rifDR