1、學(xué)院： 信息學(xué)院： 信息學(xué)院： 信息專(zhuān)業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)號(hào)：201114600117 學(xué)號(hào)：201114600122 學(xué)號(hào)：201114600112姓名：余 姓名：劉莎姓名：張瑋函數(shù)插值學(xué)習(xí)報(bào)告第1章對(duì)象描述一、函數(shù)插值描述許多實(shí)際問(wèn)題都用函數(shù) y = f (x) 來(lái)表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系，其中相當(dāng)一部分函數(shù)是通過(guò)試驗(yàn)和觀測(cè)的到的。雖然 f (x) 在某個(gè)區(qū)間a,b 上是存在的，但卻只能給出a,b 上一系列點(diǎn) xi(i = 0,1,L, n) ，這只是一張函數(shù)表。有的函數(shù)雖有的函數(shù)值 yi= f (xi )表達(dá)式，但由于計(jì)算復(fù)雜，使用不方便，

2、通常也造一個(gè)函數(shù)表，如大家熟悉的三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表、平方根和立方根表等。為了研究函數(shù)變化的規(guī)律，往往需要求出不在表上的函數(shù)值。因此，我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個(gè)既能反應(yīng)函數(shù) f ( x) 的特性，又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù) P( x) ，用 P( x) 近似 f ( x) 。通常選一類(lèi)較簡(jiǎn)單的函數(shù)(如代數(shù)多項(xiàng)式或分段代數(shù)多項(xiàng)式)作為 P( x) ，并使 P( xi ) =f ( xi ) 對(duì)(i = 0,1,L, n)成立。這樣確定的 P( x) 就是我們希望得到的插值函數(shù)。例如，在現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)中用計(jì)算機(jī)程序控制加工機(jī)械零件，根據(jù)設(shè)計(jì)可給出零件外形曲線的某些型值點(diǎn)( xi , yi ) i = 0

3、,1, L, n ，加工時(shí)為控制每步走刀方向及步數(shù)，就要算出零件外形曲線其他點(diǎn)的函數(shù)值，才能加工出外表光滑的零件，這就是求插值函數(shù)的問(wèn)題。插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來(lái)自生產(chǎn)實(shí)踐。早在一千多年前的隋唐時(shí)期制定歷法時(shí)就應(yīng)用了二次插值，隋朝劉焯（公元 6 世紀(jì)）將等距節(jié)點(diǎn)二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。但插值理論都是在 17 世紀(jì)微產(chǎn)生以后才逐步發(fā)展的，牛頓的等距節(jié)點(diǎn)插值公式及均差插值公式都是當(dāng)時(shí)的重要成果。近半世紀(jì)由于計(jì)算機(jī)的廣泛使用和造船、航空、精密機(jī)械加工等實(shí)際問(wèn)題的需要，使插值法在理論上和實(shí)踐上得到進(jìn)一步發(fā)展，尤其是 20 世紀(jì) 40 年代后期發(fā)展的樣條(spline)插值，更獲得廣泛應(yīng)用，成為

4、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)。二、函數(shù)插值的相關(guān)概念設(shè)函數(shù) y = f ( x) 在區(qū)間a,b 上有定義，且已知在點(diǎn)簡(jiǎn)單函數(shù) P( x) ，使P( xi ) = yi ,i = 0,1,L, na. £n £ b 上的值 ，若存在一成立，就稱 P( x) 為 f ( x) 的插值函數(shù)，點(diǎn)n 稱為函值節(jié)點(diǎn)，包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間a, b 稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù) P( x) 的方法稱為插值法。若 P( x) 是次數(shù)不超過(guò)n 的代數(shù)多項(xiàng)式，即P( x) = a0 + a1x +L+ anxn,其中ai 為實(shí)數(shù)，就稱 P( x) 為插值項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值。若 P( x) 為分段的

5、多項(xiàng)式，就稱為分段插值。若 P( x) 為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值。從幾何上看，插值法就是求曲線，使其通過(guò)給定的n +1 個(gè)點(diǎn)( xi , yi ),i = 0,1,L, n ，并用它近似f ( x) 。已知曲線 y =三、函數(shù)插值的相關(guān)理論1. 多項(xiàng)式插值設(shè)在 區(qū)間a,b 上給定n +1 個(gè)點(diǎn)a £n £ bf ( xi )(i = 0,1,L, n) ，求次數(shù)不超過(guò)n 的多項(xiàng)式(1,2) ，使P( xi ) = yi ,i = 0,1,L, n ，上的函數(shù)值 yi =(1.1)由此可得到關(guān)于系數(shù)a0,a1, L, n 的n +1 元線性方程組a0 + a1x0 +L+

6、 a xn = y0 ,n 0a0 + a1x1 +L+ a xn = y1,n 1Ma0 + a1x1 +L+ a xn = yn ,n n此方程組的系數(shù)矩陣為é1xn ùx0 x1MxnLLLL0 úêxn úê11úA = êêMê1Múxn úën û稱為范德蒙矩陣，由于 xi (i = 0,1,L, n) 互異，故det A = Õ(xi _ x j ) ¹ 0因此，線性方程組的解a0,a1,L, an 存在且唯一，于是有下面

7、結(jié)論。滿足條件（1.1）的插值多項(xiàng)式 P( x) 是存在唯一的。2. 拉格朗日插值如果已知n +1 個(gè)點(diǎn)(xi , f (xi ) (i = 0,1,L, n) ，可以先構(gòu)造插值基函數(shù)li (x) (i = 0,1,L, n) 如下：nx - x j-)L()Õ0n=li (i -n )j =0 xi - x j j ¹i0 )L(i且滿足l (x ) = ì0j ¹ ij = iíijî1然后以對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的函數(shù)值為系數(shù)作線性組合，即得所要求的插值多項(xiàng)式nLn (x) = å yi li (x)i =0顯然Ln (xi ) =

8、 yi(i = 0,1,2,.n)（2.1）我們稱 Ln (x) 為L(zhǎng)agrange 插值多項(xiàng)式。當(dāng)n = 1, 2 時(shí)，稱為線性插值或拋物插值多項(xiàng)式。定理( 余項(xiàng)定理) 設(shè) f (n) (x) 在區(qū)間a,b 上連續(xù)， f (n+1) (x) 在(a,b) 內(nèi)存在，n 是區(qū)間a,b 上的互異節(jié)點(diǎn)， Ln (x) 是 Lagrange 插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意的 x Îa,b ，插值余項(xiàng)f (n +1) (x )a < x < bRn (x) = f (x)Ln (x) =wn+1(x)，（2.2）(n + 1)!其中x Î (a,b) 且依賴于 x 。【注】余項(xiàng)表達(dá)

9、式只有在 f (x) 的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用。x 在(a,b) 內(nèi)的具置一般不能f (n +1) (x) = Mn +1 ，那么插值多項(xiàng)式j(luò)給出，如果我們能夠求出 max(x) 逼近 f (x) 的截?cái)嗾`差限是na < x<bR (x) £ Mn+1 w(x)n +1n(n +1)!特別地， n = 1 時(shí)，線性插值的誤差估計(jì)為£ M 22!(x（2.3）R (x)11n = 2 時(shí)，二次插值的誤差估計(jì)為£ M 33!R (x)()223. 均差與牛頓插值多項(xiàng)式定義（均差）： 利用插值基函數(shù)求出 Lagrange 插值多項(xiàng)式，在理論上是很重要的，但用

10、 Ln (x)計(jì)算 f (x) 近似值卻不大方便，特別當(dāng)精度不夠，需增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，計(jì)算要全部重新進(jìn)行。為此我們可以給出另一種便于計(jì)算的插值多項(xiàng)式 Nn (x) ，它表達(dá)為Nn (x) = a0 + a1(x - x0 ) +L + an (x -n -1)(3.1)其中ai (i = 0,1,L, n) 為待定常數(shù).顯然，它可根據(jù)插值條件Nn (xi ) = f (xi ), i = 0,1,L, n(3.2)直接得到，例如當(dāng) x = x0 時(shí)，得a0 =f (x0 ) ；當(dāng) x = x1 時(shí)，由(3.1)得 Nn (x1) =f (x1) ，得= f (x1) - f (x0 ) 。實(shí)際上

11、 y = Na(x) 就是直線方程的點(diǎn)斜式。N (x) = L (x) ，并且 N(x) Î H，其1111nnx - x10中 Hn = Span1,-n -1) 。為了得到系數(shù)的表達(dá)式，先引進(jìn)一下定義。定義 3.1記 f xm = f (xm ) 為 f的零階均差，零階均差的差商記為 = f xm - f x0 f x ,L, x0mxm - x0稱為函數(shù)關(guān)于點(diǎn) x0 , xm 的一階均差。一般地，記(k-1)階均差的差商為 = f m - f x0 ,L, xk -1f mx - xmk -1稱為 f 關(guān)于點(diǎn)m 的k 階均差。均差有以下重要性質(zhì)：(1) 均差對(duì)稱性.k 階均差可

12、表示為函數(shù)值 f (x0 ),L, f (xk ) 的線性組合，即k0kåf (x )f x ,L, x = i(3.3)i -i =0 (k )這個(gè)性質(zhì)可用歸納法證明，見(jiàn)3。(3.3)表明均差 f 為均差對(duì)稱性。k 與節(jié)點(diǎn)排列次序無(wú)關(guān)，稱(2) 如果 f k 是 x 的 m 次多項(xiàng)式，則 f x,k +1 是 x 的(m-1)次多項(xiàng)式。證明由均差定義可知 = f k - f k +1f x,k +1x - xk +1右端為 x 的 m 次多項(xiàng)式，且當(dāng) x = xk +1 時(shí)，此式為零，所以含有 xi Îa, b 的因子，與分母相約后得到(m-1)次多項(xiàng)式。(3) 若 f

13、Î Cna, b ，并且 xi Îa, b 互異，則有f (n) (x )f x ,L, x =(3.4)0nn!這公式可直接由 Rolle 定理證明。如下表：牛頓插值根據(jù)均差定義，把 x 看成a, b 上一點(diǎn)，可得f (x) = f (x0 ) + f x,0 )f x, x0 = f x0 , x1 + f x, x0 ,1)n -1 =n + f x, x0 ,L,f f n )只要把后一式代入前一式，就得到f (x) = Nn (x) + Rn (x) ，其中Nn (x) = f (x0 ) + f x0,0 ) +L + f -n -1)(3.5)Rn (x) =

14、 f x,)(3.6)wn+1(x) 是由(3.2.7)定義的。由(3.5)確定的多項(xiàng)式 Nn (x) 顯然滿足插值條件，且次數(shù)不超過(guò) n，它就是形如(3.1)的多項(xiàng)式。我們稱 Nn (x) 為Newton 均差插值多項(xiàng)式。系數(shù)ak 就是均差表 3-1 中加橫線的各階均差，它比 Lagrange 插值的計(jì)算量少，且便于程序設(shè)計(jì)。(3.6) 為插值余項(xiàng)，由插值多項(xiàng)式的唯一性可知，它與(3.2.9)是等價(jià)的。事實(shí)上，利用均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系式(3.4)，可由(3.6)推出(3.2.9)。但(3.6)更有一般性，它對(duì) f 是由離散點(diǎn)給出的情形或 f導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)均適用。4. 埃爾米特 Hermite 插值f

15、 (x) 在區(qū)間a,b 上n + 1 個(gè)互異節(jié)點(diǎn)a =點(diǎn)上滿足:n = b ，定義在a,b 上函數(shù) f (x) 在節(jié)xkf ( xk )一階均差二階均差三階均差四階均差x0f ( x0 )x1f ( x1 )f x0 , x1 x2f ( x2 )f x1 , x2 f 2 x3f ( x3 )f x2 , x3 f 3 f x0 ,3 x4f ( x4 )f x3 , x4 f 4 f x1 ,4 f x0 , x1 ,4 x5f ( x5 )f x4 , x5 f 5 f x2 ,5 f x1 , x2 ,5 f (xi ) = yi ,f ¢(xi ) = yi¢ 。

16、求一個(gè)次數(shù)不高于2n + 1 次的插值多項(xiàng)式 H(x)滿足2n + 2 個(gè)條件:H（x j）= y j , H ¢（x j）= mj( j = 0,1,×××n).這里給出了2n + 2 個(gè)條件，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2n + 1 的多項(xiàng)式 H2n+1( x) = H ( x) 。其形式為H2n +1( x) = a0 + a1x + × × × + a2n +1x2n +1 。（1）Hermite 插值的基本定理<1>存在唯一性H2n +1( x) = a0 + a1x + × × 

17、15; + a2n +1x2n +1<2>誤差可估性f (2n+2) (x )w2 (x)x Î (a,b)R(x) = f (x) - H2n+1(x) =(2n + 2)!（2）Hermite 插值多項(xiàng)式的構(gòu)造一般公式，設(shè)有兩組函數(shù)hi (x)，Hi (x) 分別滿足a. hi (x)，Hi (x) 都是這少2n + 1 次多項(xiàng)式= ì0, j ¹ iH ' (x ) = dH (x ) = 0 (i, j = 0,1,L, n)íijijijî1, j = ib.= ì0, j ¹ ih (x )

18、= dh' (x ) = 0(i, j = 0,1,L, n)íijijijî1, j = in則Hermite 插值多項(xiàng)式為 H (x) = åhi (x) yi + Hi (x) y'i 。從而令 hi (x) = a + b(x - xi ) li (x)2 ，這i =0里li (x) 為拉格朗日插值基函數(shù)。把hi (xi ) = 1, h'i (xi ) = 0 (i = 0,1,L, n) 帶入得： a = 1, b = -2l'i (xi ) 。從而有： hi (i )li '(xi ) li (x)2 。同理可

19、得：ni ) li (x)2 和 H (x) = åhi (x) yi + Hi (x) y'i 。i =0Hi (5. 分段低次插值所謂分段線性插值就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線連接起來(lái)逼近。設(shè)已知節(jié)點(diǎn)a =上的函數(shù)值為： y0, y1,L, yn 。n = b構(gòu)造插值函數(shù)j(x) 使其滿足：（1） ji (x) Î C 0a, b（2） ji (xi ) = yi (i = 0,1,L, n)（3）在每個(gè)小區(qū)間上x(chóng)i , xi +1 (i = 0,12,3., n) ， ji (xi ) 是線性函數(shù)- x xi +1ii +1則稱j(x) 是 f (x) 在a, b 上的

20、分段線性插值多項(xiàng)式。分段表達(dá)式j(luò)(y +i y。ii +1x- xxi +1i6.三次樣條插值若函數(shù) S ( x) Î C 2a,b ，且在每個(gè)小區(qū)間x j , x j +1 上是三次多項(xiàng)式，其中是給定節(jié)點(diǎn)，則稱 S ( x) 是節(jié)點(diǎn)a =n = bn 上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn) x jf (x j )( j = 0,1,L, n) ，并成立 S (x j ) = y j, j = 0,1,L, n,則稱 S ( x) 為三次樣條插值函上給定函數(shù)值 y j =數(shù)。設(shè) f ( x) Î C 4a,b ， S ( x) 為滿足第一種或第二種邊界條件的三次樣條函數(shù)，令 h =hi

21、 = xi+1 - xi (i = 0,1,L, n) ，則有估計(jì)式max hi ，0£i £n +1f ( k ) ( x) _ S ( k ) ( x)f ( k ) ( x) h4-k , k = 0,1,2,£ Ckmaxa£ x£bmaxa£ x£b5384, C =, C = 3 。這個(gè)定理不僅給出了三次樣條插值函數(shù) S ( x) 的誤差估計(jì)，而且說(shuō)1其中C =012248明當(dāng)h ® 0 時(shí)， S ( x) 及其一階導(dǎo)數(shù) S '( x) 和二階導(dǎo)數(shù) S ''( x) 均分別一致收

22、斂于 f ( x) ， f '( x) ， f ''( x) 。四、函數(shù)插值國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀國(guó)內(nèi)所有關(guān)于函數(shù)插值的研究如下表：表 1可壓縮多介質(zhì)流體動(dòng)力學(xué)飛機(jī)積冰的數(shù)值計(jì)算與積冰試驗(yàn)相似準(zhǔn)則研究易賢中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心題名作者來(lái)源高精度數(shù)值計(jì)算方法和網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)柏勁松中國(guó)工程物理北京部生物醫(yī)學(xué)電磁正反問(wèn)題數(shù)值計(jì)算方法研究壽國(guó)法浙江大學(xué)CFD 模擬方法的發(fā)展成就與展望閻超; 于劍; 徐晶磊;力學(xué)進(jìn)展數(shù)值計(jì)算方法課程教學(xué)的若干思考唐旭清; 朱平江南大學(xué)學(xué)報(bào)基于重心型插值的數(shù)值計(jì)算方法李淑萍山東科學(xué)分層介質(zhì)中三維目標(biāo)電磁散射的方程方法及其關(guān)鍵技術(shù)徐利明電子科技大學(xué)換熱管及

23、內(nèi)外流體多場(chǎng)耦合數(shù)值分析方法研究張強(qiáng)東北石油大學(xué)旋翼繞流的高效數(shù)值計(jì)算方法及主動(dòng)控制研究韓忠華西北工業(yè)大學(xué)科學(xué)與工程計(jì)算中的 Fourier 級(jí)數(shù)多尺度方法孫衛(wèi)明北京交通大學(xué)電力變壓器絕緣結(jié)構(gòu)優(yōu)化和電磁方案自動(dòng)設(shè)計(jì)的研究張國(guó)強(qiáng)華北電力大學(xué)關(guān)于數(shù)值分析課程教學(xué)研究的綜述和思考杜廷松大學(xué)數(shù)學(xué)船舶與海洋結(jié)構(gòu)物運(yùn)動(dòng)的三維時(shí)域方法及應(yīng)用朱海榮上海交通大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法課程初探谷照升; 蘇欣; 張淼長(zhǎng)春學(xué)報(bào)小波有限元理論研究與工程應(yīng)用的進(jìn)展何正嘉; 陳雪峰機(jī)械工程學(xué)報(bào)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格變形方法研究進(jìn)展周璇; 李水鄉(xiāng); 孫樹(shù)立;力學(xué)進(jìn)展自動(dòng)化技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)中國(guó)無(wú)線電電子學(xué)基于無(wú)網(wǎng)格方法的聲學(xué)問(wèn)題數(shù)值模擬研究李坤華技

24、大學(xué)基于牛頓插值原理的期貨價(jià)格波動(dòng)函數(shù)及保證金隨動(dòng)模型遲國(guó)泰; 劉軼芳;數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究浮體在大幅波浪中的運(yùn)動(dòng)和荷載計(jì)算研究錢(qián)昆大連理工大學(xué)流、浪模式和物質(zhì)長(zhǎng)期輸運(yùn)分離研究朱首賢華東師范大學(xué)熱化學(xué)非平衡流及其輻射現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算研究柳軍國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)工程地質(zhì)三維建模與計(jì)算的可視化方法研究劉振平巖土力學(xué)船興波及其對(duì)結(jié)構(gòu)物作用的研究孫雷大連理工大學(xué)表 2高等數(shù)學(xué)中數(shù)值計(jì)近航天器控制中的應(yīng)用作者來(lái)源時(shí)間算方法的研究范鷹; 李英英; 李崑; 楊麗萍; 萬(wàn)詩(shī)敏; 劉昊旸城市建設(shè)學(xué)院學(xué)報(bào)數(shù)值計(jì)算方法課程初探谷照升; 蘇欣; 張淼長(zhǎng)春學(xué)報(bào)(科學(xué)版)斷裂力學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法的研究現(xiàn)狀與展望冒小萍; 郎

25、福元; 柯顯信商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)結(jié)構(gòu)可靠度分析的響應(yīng)面法及其實(shí)現(xiàn)桂勁松; 康海貴計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)自然單元法研究進(jìn)展王兆清; 馮偉力學(xué)進(jìn)展小波有限元理論研究與工程應(yīng)用的進(jìn)展何正嘉; 陳雪峰機(jī)械工程學(xué)報(bào)基于牛頓插值原理的期貨價(jià)格波動(dòng)函數(shù)及保證金隨動(dòng)模型遲國(guó)泰; 劉軼芳; 馮敬海數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究半空間跨界面目標(biāo)電磁散射的精確建模與高效計(jì)算徐利明; 聶在平; 胡俊電子學(xué)報(bào)測(cè)繪專(zhuān)業(yè)計(jì)算方法課程教學(xué)方法初探曹爽; 趙寶貴現(xiàn)代測(cè)繪通信中國(guó)無(wú)線電電子學(xué)電磁場(chǎng)與微波技術(shù)中國(guó)無(wú)線電電子學(xué)無(wú)單元法研究和應(yīng)用現(xiàn)狀及動(dòng)態(tài)曹?chē)?guó)金; 姜弘道力學(xué)進(jìn)展空冷塔空氣動(dòng)力場(chǎng)模型的建立與數(shù)值計(jì)算方法探討陳曉忠; 卜永東; 樊澤國(guó)內(nèi)電力技

26、術(shù)論工科數(shù)值計(jì)算教學(xué)的基礎(chǔ)性意義彭岳林有色金屬高教研究電場(chǎng)強(qiáng)度的三維數(shù)值計(jì)算汪琛; 尹涵春; 童林夙真空電子技術(shù)應(yīng)用協(xié)調(diào)單元計(jì)算三維對(duì)流問(wèn)題丁道揚(yáng); 吳時(shí)強(qiáng); 劉金培水利水運(yùn)科學(xué)研究P 型分布 _P 值通用算法的研究李世才水文計(jì)算方法(一)劉莊; 李有道重型機(jī)械有限元解法在不可壓縮流體不穩(wěn)定流分析中的應(yīng)用與進(jìn)展關(guān)孟儒重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)波動(dòng)光學(xué) MTF 計(jì)算誤差估計(jì)和新的計(jì)算方法余榮輝光學(xué)學(xué)報(bào)關(guān)于三次樣條插值方法在應(yīng)用中的一點(diǎn)改進(jìn)李宏杰計(jì)算機(jī)與應(yīng)用化學(xué)計(jì)算最優(yōu)控制的保辛數(shù)值方法及其在平動(dòng)點(diǎn)附彭大連理工大學(xué)表 3電力變壓器絕緣結(jié)構(gòu)優(yōu)化基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無(wú)網(wǎng)格法及其應(yīng)用孫海濤華技大學(xué)題名作者來(lái)源和電

27、磁方案自動(dòng)設(shè)計(jì)的研究張國(guó)強(qiáng)華北電力大學(xué)連續(xù)與非連續(xù)變形分析的有限覆蓋無(wú)單元方法及其應(yīng)用田榮大連理工大學(xué)研究剖開(kāi)算子法解三維粘性問(wèn)題的研究吳時(shí)強(qiáng)南京水利科學(xué)非平衡態(tài)濕蒸汽快速準(zhǔn)確數(shù)值模擬方法研究張冬陽(yáng)中國(guó)院（工程熱物理）可壓縮多介質(zhì)流體動(dòng)力學(xué)高精度數(shù)值計(jì)算方法和網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)柏勁松中國(guó)工程物理北京研究生部行波管電子光學(xué)系統(tǒng) CAD 技術(shù)研究廖平電子科技大學(xué)熱化學(xué)非平衡流及其輻射現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算研究柳軍國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)浮體在大幅波浪中的運(yùn)動(dòng)和荷載計(jì)算研究錢(qián)昆大連理工大學(xué)流、浪模式和物質(zhì)長(zhǎng)期輸運(yùn)分離研究朱首賢華東師范大學(xué)分層介質(zhì)中三維目標(biāo)電磁散射的方程方法及其關(guān)鍵技術(shù)徐利明電子科技大學(xué)瞬態(tài)電磁脈

28、沖的時(shí)域偽譜方法：研究、改進(jìn)及應(yīng)用馬弘舸電子科技大學(xué)船舶壓載水旋流分離處理的應(yīng)用理論研究任福安大連海事大學(xué)有缺陷穩(wěn)定性問(wèn)題分析研究孟聞遠(yuǎn)河海大學(xué)高壓容腔三維流場(chǎng)的有限元數(shù)值計(jì)算及其在球形穩(wěn)壓器優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究蘇欣平大學(xué)場(chǎng)路結(jié)合并考慮耦合的磁力機(jī)械分析與設(shè)計(jì)方法研究王勇合肥工業(yè)大學(xué)多相介質(zhì)沖擊響應(yīng)物質(zhì)點(diǎn)法分析王宇新大連理工大學(xué)可重復(fù)使用運(yùn)載器熱防護(hù)系統(tǒng)熱/力耦合數(shù)值計(jì)算研究馬玉娥西北工業(yè)大學(xué)無(wú)網(wǎng)格法及液體射流高速碰撞與侵徹模擬馬利浙江大學(xué)飛機(jī)積冰的數(shù)值計(jì)算與積冰試驗(yàn)相似準(zhǔn)則研究易賢中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心有限覆蓋 Kriging 插值無(wú)網(wǎng)格法及其在巖體斷裂中的應(yīng)用研究樊成大連理工大學(xué)旋翼繞

29、流的高效數(shù)值計(jì)算方法及主動(dòng)控制研究韓忠華西北工業(yè)大學(xué)表 4題名國(guó)孫海濤; 王元漢第二屆力作者來(lái)源學(xué)基史于與節(jié)方點(diǎn)法計(jì)論算學(xué)的術(shù)數(shù)研值討分會(huì)法集在我的固體力學(xué)計(jì)算方法的發(fā)展孫秀山; 岑章志; 劉應(yīng)華第二屆力學(xué)史與方法論學(xué)術(shù)研討會(huì)集分形參數(shù)估計(jì)方法的改進(jìn)及其在波動(dòng)性分析中的應(yīng)用曹廣喜Proceedings of the Conference on Web Based Business Management非連續(xù)譜多載頻 FMCW信號(hào)的分析和處理韓真真; 謝俊好2011 年亞太青年通信學(xué)術(shù)會(huì)議集（2）三種瞬變電磁全區(qū)視電阻率數(shù)值計(jì)算方法的比較研究郭嵩巍; 王緒本第九屆中國(guó)國(guó)際地球電磁學(xué)術(shù)討論會(huì)集在數(shù)

30、值分析實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用初探李志偉2010 國(guó)際與應(yīng)用集二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的關(guān)鍵問(wèn)題葛光濤Proceedings of 2010 International Conference on Remote Sensing (ICRS 2010) Volume 4波旅行時(shí)計(jì)算研究現(xiàn)狀徐常練SEG 第 68 屆年會(huì)概要面板堆石壩數(shù)值分析研究若干問(wèn)題徐澤平2004 水力發(fā)電國(guó)際研討會(huì)集（上冊(cè)）CFD 及其在醫(yī)療衛(wèi)生建筑空調(diào)凈化的應(yīng)用涂光備; 凌繼紅第九屆中國(guó)國(guó)際潔凈技術(shù)暨展覽中國(guó)保險(xiǎn)監(jiān)督管理委員會(huì)關(guān)于 2000 年度中國(guó)精算師資格（準(zhǔn)精算師部分）的公告計(jì)算力學(xué)趙興華; 周哲瑋自然科學(xué)年鑒數(shù)值計(jì)算方法及其程序設(shè)

31、計(jì)李繼毛中國(guó)年鑒計(jì)算數(shù)學(xué)徐利治自然科學(xué)年鑒P000008 計(jì)算方法及其在測(cè)繪中的應(yīng)用李建明中國(guó)年鑒計(jì)算數(shù)學(xué)王興華自然科學(xué)年鑒T 工業(yè)技術(shù)中國(guó)年鑒自然科學(xué)鮑海春哈爾濱年鑒第2章算法研究一、函數(shù)插值方法一覽表方法名稱經(jīng)典方法方法比較方法的優(yōu)點(diǎn)方法的缺點(diǎn)拉格朗日插值法（Lagrange）1、線性插值（兩點(diǎn)差值）2、拋物線插值（一元三點(diǎn)插值）3、插值公式一般形式（一元多點(diǎn)插值）4、分段插值（分段拋物線插值）1、插值模型簡(jiǎn)單，利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，理論分析方便；2、插值基函數(shù)比較好找。1、由于拉格朗日插值多項(xiàng)式和每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有關(guān),當(dāng)改變節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)， 需要重新計(jì)算，且增大

32、插值階數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)龍格 Runge 現(xiàn)象；2、插值基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，不太方便；高次插值不僅計(jì)算量大，而且精度不一定高；為了提高精度有時(shí)需增加節(jié)點(diǎn)，但原來(lái)的基函數(shù)全改變，也就是原來(lái)的數(shù)據(jù)不能用， 浪費(fèi)。牛頓插值法Newton1、牛頓均差插值2、等距節(jié)點(diǎn)的差分插值3、牛頓向前插值4、牛頓向后1、收斂速度快，為二階收斂且計(jì)算上較為方便；2、是求函數(shù)近似值常用的方法， 尤其是等距節(jié)點(diǎn)的差分插值公 式最為常用；3、比拉格朗日插值法計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì)；1、初始點(diǎn)選取，甚至無(wú)法實(shí)施；2、當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密時(shí)， 函數(shù)與插值多項(xiàng)式的差別越來(lái)越大，這種現(xiàn)象稱為Runge 現(xiàn)象所以高次插值多項(xiàng)式要慎用；3、G -1 的

33、存在性和計(jì)算量的問(wèn)題;k插值4、當(dāng)插值點(diǎn) x 接近數(shù)據(jù)表頭時(shí)， 一般用向前插值公式。而當(dāng)插 值點(diǎn) x 接近數(shù)據(jù)表尾時(shí)，則采用向后插值公式。5、要想增加精度，只要增加項(xiàng)數(shù)即可，原來(lái)的數(shù)據(jù)仍然有用；6、初始點(diǎn)要選在初始點(diǎn)附近；埃爾米特插值Hermite1、泰勒插值2、兩點(diǎn)三次埃爾米特插值3、三次埃爾米特插值1、保持插值曲線在節(jié)點(diǎn)處有切線（光滑），使插值函數(shù)和被插函數(shù)的密切程度更好；2、在節(jié)點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等由于高次插值存在龍格現(xiàn)象，它沒(méi)有使用價(jià)值分段低次插值法1、分段線性插值2、分段三次埃爾米特插值1、高次插值多項(xiàng)式的計(jì)算會(huì)帶來(lái)舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真，而低次分段插值提高

34、插值精度；2、計(jì)算量與 n 無(wú)關(guān)；3、n 越大，誤差越?。?、有一致的收斂性 5、分段三次埃爾米特插值比分段線性插值效果明顯改善1、分段三次埃爾米特插值要求給出節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）。三次樣條插值1、三次樣條插值1、具有良好的收斂性與穩(wěn)定性， 又有二階光滑度，理論上和應(yīng) 用上都有重要意義，在計(jì)算機(jī) 圖形學(xué)中有重要應(yīng)用。三次樣條函數(shù)的收斂性與誤差估計(jì)比較復(fù)雜。第3章算法應(yīng)用一、 函數(shù)插值方法怎么用？（程序設(shè)計(jì)）？1.函數(shù)插值用到的 Mathematica 函數(shù)InterpolatingPolynomialData,xInterpolatingPol

35、ynomiallist,x(*拉格朗日插值)InterpolationData,Interpolation->lInterpolationx1,y1,x2,y2,InterpolationOrder->1 (*三次樣條插值*)ListInterpolationDate2.函數(shù)插值的 Mathematica 主程序(1)拉格朗日插值的 Mathematica 主程序:Xk=Input“xk=”;yk=Input“yk”n=Dimensionsxk1-1n+1omaigax_:= å(x - xki)i=1omaigalx_:=Domaigax,xli_,x_:=omaiga

36、x/(x-xki)/ (omaigalx/.x ® xki)n+1å yki* li, xi=1lagrangex_:=Expandlagrangex(2)牛頓插值的 Mathematica 主程序:計(jì)算差商的 Mathematica 主程序：x=Input“xk=”;y=Input“yk=”;n=Lengthx(*構(gòu)造均差表*)temp=Table0,i,1,n,j,1,n;Fori=1,i<=n,i+,tempi,1=yi;Forj=2,j<=n,j+Fork=j,k<=n,k+Tempk,j=(tempk,j-1-tempk-1,j-1)/(xk-x

37、k-j+1);MatrixFormtemp牛頓插值法的完整程序x0,x1,x2,x3,x4=10,11,12,13,14;yk_:=LogxkTableyk,k,0,4/N;MatrixForm%fi_,j_:=(yj-yi)/(xj-xi)Tablefi,i+1,i,0,3/N;MatrixForm%fi_,j_,k_:=(fj,k-fi,j)/(xk-xi)Tablefi,i+1,i+2,i,0,2/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_:=(fj,k,l-fi,j,k)/(xl-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i,0,1/N;MatrixForm%fi_,j_,

38、k_,l_,m_:=(fj,k,l,m-fi,j,k,l)/(xm-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i+4,i,0,0/N;MatrixForm%A=y0,y1,y2,y3,y4,0,f0,1,f1,2,f2,3,f3,4,0,0,f0,1,2,f1,2,3,f2,3,4,0,0,0,f0,1,2,3,f1,2,3,4,0,0,0,0,f0,1,2,3,4;TransposeA/N;MatrixForm%a0=y0;a1=f0,1;a2=f0,1,2;a3=f0,1,2,3;a4=f0,1,2,3,4;Nx=Sumak*Product(x-xm),m,0,k-1,k,0,4/NE

39、xpand%例 yk = 2k 2 - 3k + 1 ，k=0,1,10, 計(jì)算它的各階差分。yk=Table2*k2-3k+1,k,1,10dyk=Tableyki+1-yki,i,1,9d2yk=Tabledyki+1-dyki,i,1,8d3yk=Tabled2yki+1-d2yki,I,1,7輸出各階差分：0,3,10,21,36,55,78,105,136,1713,7,11,15,19,23,27,31,354,4,4,4,4,4,4,40,0,0,0,0,0,03. 其他程序設(shè)計(jì)用C 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)牛頓插值，程序如下：#include<stdio.h>main()int i

40、,j,k,m,z=0;double sum=0,w=1,x,b56,cc24;for(i=0;i<5;i+)printf("請(qǐng)輸入 x%d、y%d: ",i,i);scanf("%lf%lf",&bi0,&bi1);for(j=2,k=1;j<6;j+,k+)for(i=j-1;i<5;i+)bij=(bi-1j-1-bij-1)/(bi-k0-bi0);printf("enter x:");scanf("%lf",&x);for(m=0;m<4;m+,z=0)cc0

41、m=bm+1m+2;dow*=(x-bz0);while(z+!=m);cc1m=w;sum=b01;for(m=0;m<4;m+)sum+=(cc0m*cc1m);printf("n 差值 y 為: %lfn",sum);4. 應(yīng)用舉例【例 1】已知插值節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)如表 4-1 所示，利用拉格朗日插值和牛頓插值多項(xiàng)式，求 x = 1.5 和x = -1.5 的函數(shù)值。表 4-1【分析】1）拉格朗日插值和牛頓插值都屬于整體插值，其基本思想是構(gòu)造經(jīng)過(guò)已知節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單多項(xiàng)式來(lái)未知節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，兩者對(duì)于相同的意志節(jié)點(diǎn)得到的是同一個(gè)多項(xiàng)式，只是表達(dá)形式不同而已。2）拉格朗日插值多項(xiàng)

42、式抄的構(gòu)造算法的基本思想是：（1）利用已知節(jié)點(diǎn)的 x 值，通過(guò)公式l (x) =w(x)構(gòu)造基函數(shù)。i(x - x )w¢(x )iixi-2012f (xi )171217n（2）構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式 L( x) = å yili (x)i =13）牛頓插值多項(xiàng)式的構(gòu)造算法的基本思想是：（1）利用公式 = f xi ,L, xi + k - f xi +1,L, xi + k f x ,L, xii + kxi - xi + k計(jì)算構(gòu)造牛頓插值需要用到的已知節(jié)點(diǎn)的差商表。（2）利用得到的差商表構(gòu)造牛頓插值多項(xiàng)式Nn (x) = f (x0 ) + f x0 ,0 ) +

43、L+ f -n -1)【Mathematica 程序】1.拉格朗日插值(*輸入數(shù)據(jù)xn 和yn 為已知節(jié)點(diǎn)的 x 值和 y 值構(gòu)成的向量x0 為未知節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的向量*)Clearx;xn=-2,0,1,2;yn=17,1,2,17;x0=-1.5,1.5;(*構(gòu)造基函數(shù)*)n=Lengthxn;nWx_:=; Õ(x - xni)i =1DWx_:=DWx,x;Li_,x_:=Wx/(x-xni)/(DWx/.x->xni);(*構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式*)nLagx_:= å yni*li, x ;i =1Print“拉格朗日插值函數(shù)為：”,lagx;（*畫(huà)圖觀察插值圖

44、形*）data=Tablexni,yni,i,1,n;pl=ListPlotdata,PlotStyle->PointSize0.02;ExpandLagx;P2=PlotLagt/.t->x,x,xni,xnn;Print“化簡(jiǎn)得：”，%；Showp1,p2,PlotRange->All(*利用插值多項(xiàng)式計(jì)算未知節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值并輸出*)Print“插值函數(shù)在”，x0，“處的函數(shù)值為：”,Lagt/.t->x0;運(yùn)行以上程序輸出得：拉格朗日插值函數(shù)為：-（17/24）(-2+x)(-1+x)x+1/4(-2+x)(-1+x)(2+x)-2/3(-2+x)x(2+x)+17

45、/8(-1+x)x(2+x)化簡(jiǎn)得：1-4x+4x2+x3插值函數(shù)在-1.5,1.5處的函數(shù)值為：12.625,7.3752.牛頓插值（*輸入數(shù)據(jù) xn 和yn 為已知節(jié)點(diǎn)的 x 值和 y 值構(gòu)成的向量，*x0 為未知節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的向量*）Cleart;xn=-2,0,1,2;yn=17,1,2,17;x0=-1.5,1.5;(*構(gòu)造差商表*)n=Lengthx;diff=Table0,i,1,n,j,1,n;Fori=1,i<=n,i+,diffi,1=yiForj=2,j<=n,j+,Fork=j,k<=j,k+,Diffk,j=(diffk,j-1-diff,k-1,j-1

46、)/(xk-xk-j+1)Print“差商表得：”，MatrixFormdiff;(*利用差商表構(gòu)造牛頓插值多項(xiàng)式*)n-1 ææööiå Õçç÷÷ø(t - x j) ´ diff i +1,i +1÷Newtont_:=diff1,1+;çç÷i =1 èè j =1øPrint“得牛頓插值多項(xiàng)式為：”，newtont;Print“化簡(jiǎn)得：”，Expandnewnott;(*畫(huà)圖觀察插值圖形*)p1=

47、plotnewnott,t,x1,xndata=Tablexi,yi,i,1,n;p2=ListPlotdata,PlotStyle->PointSize0.02;Showp1,p2(*利用插值多項(xiàng)式計(jì)算未知節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值并輸出*)Print“插值函數(shù)在”，x0，“處的函數(shù)值為：”，newtonx0;運(yùn)行上述程序，輸出得到以下結(jié)果：æ170ö00- 8 0ç÷0差商表： ç÷÷÷øççè牛頓插值多項(xiàng)式為：17-8(2+t)+3t(2+t)+(-1+t)t(2+t)化簡(jiǎn)得到

48、：1-4t+4t2+t3插值函數(shù)在-1.5,1.5處的函數(shù)值為：12.625,7.375【例 2】已知如表 4-2 所示的數(shù)據(jù)，構(gòu)造三次樣條函數(shù)的 M 表達(dá)式。表 4-2【分析】1）三次樣條插值為分段多項(xiàng)式插值，我們得到的三次樣條插值為一個(gè)分段函數(shù)，其在每個(gè)區(qū)間上為三次多項(xiàng)式，并且在節(jié)點(diǎn)處滿足二階可導(dǎo)。2）構(gòu)造三次樣條函數(shù)的基本思想為：（1）由已知數(shù)據(jù)構(gòu)造 M 關(guān)系式中的參數(shù)l, m, d ：= hi +1 , ml= 1 - liiih + hii +1éù- y - 6yyyi +1iii -1d =-êúih + hhhii +1 ëi +1iû（2）利用得到的參數(shù)構(gòu)造 M 關(guān)系式 di = mi Mi-1 + 2Mi + liMi+1 且利用端點(diǎn)條件擴(kuò)充 M 關(guān)系式。（3）利用追趕法求解 M 關(guān)系式。（4）利用M 關(guān)系式的解構(gòu)造出 M 表達(dá)式，即為所求的三次樣條插值多項(xiàng)式。xi0123f (xi )0110f ¢(xi )12【Mathematica 程序】（*輸入數(shù)據(jù)xx,yy 為已知數(shù)據(jù)的 x 值和 y 值，m 為邊界點(diǎn)