1、 8.7 8.7 二階常系數(shù)線性非齊次二階常系數(shù)線性非齊次 微分方程的解法微分方程的解法待定系數(shù)法求特解待定系數(shù)法求特解應用舉例應用舉例小結小結方程的基本形式方程的基本形式)sin(cos)()()()(xixexexxfxnxin 一、方程的基本形式一、方程的基本形式)()()(xfyxQyxPy )()(. 1xxfn xnexxf )()(. 2 )(xf我們只對我們只對的以下形式加以討論的以下形式加以討論xexxn sin)(或或xexxfxn cos)()(. 3 上述三種形式可歸納為下述形式：上述三種形式可歸納為下述形式： 這就是我們所討論的方程的基本形式。這就是我們所討論的方程的

2、基本形式。次次多多項項式式的的是是nxxn)( 其其中中xnexxf )()( 0, 0 0 取其解的實部取其解的實部),( i 是復常數(shù)是復常數(shù)取其解的虛部取其解的虛部形如形如設非齊方程特解為設非齊方程特解為xexQy )(* 代入原方程得代入原方程得)()()()()2()(2xxQqpxQpxQn 二、待定系數(shù)法求特解二、待定系數(shù)法求特解xnexqyypy)( 次次數(shù)數(shù)必必須須要要使使恒恒等等式式左左端端的的要要使使這這個個恒恒等等式式成成立立,.)(系系數(shù)數(shù)也也相相等等的的次次數(shù)數(shù)相相同同且且同同次次項項的的與與x xxexQexQy )()(* xxxexQexQexQy )()(2

3、)(2* .n)(次多項式次多項式為為xn )()()()()2()(2xxQqpxQpxQn 不不是是特特征征方方程程的的根根，若若 )1(, 02 qp 是是特特征征方方程程的的單單根根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ,)(*xnexQy .)(,)(的的次次數(shù)數(shù)相相同同應應和和的的次次數(shù)數(shù)這這時時左左端端的的次次數(shù)數(shù)就就是是xxQ .)(,)(的次數(shù)相同的次數(shù)相同應和應和的次數(shù)的次數(shù)這時左端的次數(shù)就是這時左端的次數(shù)就是xxQ ,)(*xnexxQy 是是特特征征方方程程的的重重根根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ,)(2*xnexQxy .)(,)(的的次次數(shù)數(shù)相

4、相同同應應和和的的次次數(shù)數(shù)這這時時左左端端的的次次數(shù)數(shù)就就是是xxQ ;n)(次多項式次多項式為為其中其中xQn;n)(次多項式次多項式為為其中其中xQn.n)(次多項式次多項式為為其中其中xQn綜上討論綜上討論, 對于方程對于方程, )(*xQexynxk 設設特特解解 是是特特征征重重根根是是特特征征單單根根不不是是特特征征根根 210knnnnaxaxaxQ 110)(其其中中.10為待定系數(shù)為待定系數(shù)，naaaxnexqyypy)( . 10，從從而而得得到到特特解解，代代入入方方程程求求出出待待定定系系數(shù)數(shù)naaa這種求特解的方法稱為待定系數(shù)法這種求特解的方法稱為待定系數(shù)法.232的

5、通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對應齊次方程通解對應齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是是單單根根，2 代入方程代入方程, , 得得xABAx 22,121 BAxexxy2*)121( 于于是是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1二、應用舉例二、應用舉例 * y設設xeBAxx2)( 23522 xxyyycbxaxy 2*cba,2*baxy ay2* 23)( 5)2(422 xxcbxaxbaxa23)54()52(522 xxcbaxbaax 25433215cbabaa

6、51 a2513 b12517 c125172513512 xxy* 的一特解的一特解.解解其中其中是待定系數(shù)是待定系數(shù)., 代入原方程得代入原方程得 或或 比較系數(shù)得聯(lián)立方程比較系數(shù)得聯(lián)立方程解得解得所以方程的特解為所以方程的特解為，而相應的齊次方程的特征根不為，而相應的齊次方程的特征根不為0，0 中中的的xe令方程的特解為令方程的特解為那么那么例例2 2 求求 例例3 3 求求xeyyy3596 的特解的特解 0962 321解解 的特征根的特征根 xeAxy32 即即-3為特征方程的二重根，故特解為為特征方程的二重根，故特解為,)32(32xeAxAxy xeAxAxAy32)9122(

7、 25 A代入原方程整理得代入原方程整理得將將 .2532xexy 所以方程的特解為所以方程的特解為 特征方程特征方程 )()(xxQyn 滿滿足足方方程程AxQAxxQ2)()(2 .52, 5)( Axn .sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應齊次方通解對應齊次方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程 4ixeyy ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin2ixxxx 所求非齊次方程特解為所求非齊次方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例4 4

8、012 的特征根為的特征根為 特征方程特征方程i )sin(cos4xix ),sincos(22*xixixixeyix ,是單根是單根i .2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解對應齊次方程通解對應齊次方程通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 設設代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAi,9431iBA ，ixeixy2*)9431( 例例5 5)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實部）（取實部）小結小結);(*xQexynxk 設設用待定系數(shù)法求特解。用待定系數(shù)法求特解。的的方方程程形形如如 )( xnexqyypy xnxmexQexPxf21)()()( 其其它它形形式式，如如對對于于用待定系數(shù)法及解的疊加原理與復方程的分解用待定系數(shù)法及解的疊加原理與復方程的分解原理求特解。原理求特解。思考題解答思考題解答設設 的特解為的特解為 2644xyyy *1yxeyyy2844 設設 的特解為的特解為*2y*