1、 習(xí)題解答三習(xí)題解答三2021-05-151;.1 力法力法 牛頓第二定律牛頓第二定律/動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理2 視察法視察法 對(duì)鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，直接寫(xiě)出結(jié)果對(duì)鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，直接寫(xiě)出結(jié)果3 剛度法剛度法/柔度法柔度法剛度法剛度法要使第要使第j個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生單位位移而其他廣義坐標(biāo)的位移為個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生單位位移而其他廣義坐標(biāo)的位移為0，需求在第，需求在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上個(gè)廣義坐標(biāo)上施加的力，即為剛度矩陣施加的力，即為剛度矩陣K中的元素中的元素kij柔度法柔度法在第在第j個(gè)廣義坐標(biāo)上施加單位力，使第個(gè)廣義坐標(biāo)上施加單位力，使第i個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生的位移，即為柔度矩陣個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生的位移，即為柔度矩陣A中的中的元素元素

2、aij4 Lagrange方程方程多自在度系統(tǒng)列微分方程多自在度系統(tǒng)列微分方程 MxKxF21 2iiiiiiidLLDQLVUDc xdtxxx慣性力慣性力保守力保守力阻尼力阻尼力動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能 A MxxAFmx kxcx 212mx 212kx2Ok2xk1J0T2T1T1mg解法一解法一 (力法力法) ：設(shè)：設(shè)m相對(duì)平衡位置的位移為相對(duì)平衡位置的位移為x，向下為正；，向下為正；J0相對(duì)平衡位置相對(duì)平衡位置的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為，順時(shí)針為正。，順時(shí)針為正。對(duì)對(duì)m：對(duì)對(duì)J0 ：11mxkRk x214 如下圖，固定滑車力學(xué)模型中，起吊物質(zhì)量量為如下圖，固定滑車力學(xué)模型中，起吊物質(zhì)量量為m，滑輪

3、繞中心，滑輪繞中心O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，假定繩，假定繩索與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。索與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。整理可得微分方程：220112Jk xRkRkR1121120000kk Rmxxk RkkRJ 注：重力項(xiàng)和彈簧靜伸長(zhǎng)抵消，由于注：重力項(xiàng)和彈簧靜伸長(zhǎng)抵消，由于mg = k。參見(jiàn)習(xí)題。參見(jiàn)習(xí)題2-5由由單獨(dú)引起的彈簧彈單獨(dú)引起的彈簧彈力彈簧被壓短力彈簧被壓短由由x單獨(dú)引起的彈簧彈單獨(dú)引起的彈簧彈力彈簧被拉長(zhǎng)力彈簧被拉長(zhǎng)3解法二解法二Lagrange方程：設(shè)方程：設(shè)m相對(duì)平衡位置的位移為相對(duì)平衡位置的位移為x；J0相對(duì)平衡位置相對(duì)平衡位置的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角

4、為。系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)勢(shì)能：系統(tǒng)勢(shì)能：2201122VmxJOk2x將以上各式代入Lagrange方程：即得微分方程。k1J02221211()22Uk xRkRLVU2110112, , , ()LLLLmxk xkRJk xRkkRxx 0, 0dLLdLLdtxxdt注：重力勢(shì)能和彈簧靜變形的彈性勢(shì)能抵消。注：重力勢(shì)能和彈簧靜變形的彈性勢(shì)能抵消。m4解法三剛度法：設(shè)解法三剛度法：設(shè)m相對(duì)平衡位置的位移為相對(duì)平衡位置的位移為x，向下為正；，向下為正；J0相對(duì)平衡相對(duì)平衡位置的轉(zhuǎn)角為位置的轉(zhuǎn)角為，順時(shí)針為正。，順時(shí)針為正。先令先令x = 1， = 0，要使系統(tǒng)受力平衡，須在，要使系統(tǒng)受

5、力平衡，須在m上施加向下的力上施加向下的力k1 ，在，在J0上施加逆時(shí)針力矩上施加逆時(shí)針力矩k1R，即，即再令再令x = 0， = 1，要使系統(tǒng)受力平衡，須在，要使系統(tǒng)受力平衡，須在m上施加向上的力上施加向上的力k1R，在，在J0上施加順時(shí)針力矩上施加順時(shí)針力矩即即因此微分方程為因此微分方程為111211, kkkk R Ok2xk1J0m21212212, ()kk RkkkR 1121120000kk Rmxxk RkkRJ 212()kkR5解法四柔度法：設(shè)解法四柔度法：設(shè)m相對(duì)平衡位置的位移為相對(duì)平衡位置的位移為x，向下為正；，向下為正；J0相對(duì)平衡相對(duì)平衡位置的轉(zhuǎn)角為位置的轉(zhuǎn)角為，順

6、時(shí)針為正。，順時(shí)針為正。假設(shè)假設(shè)m遭到一個(gè)向下的單位力，那么彈簧遭到一個(gè)向下的單位力，那么彈簧k1相對(duì)平衡位置伸長(zhǎng)相對(duì)平衡位置伸長(zhǎng)1/k1，彈簧，彈簧k2相對(duì)平衡位置伸長(zhǎng)相對(duì)平衡位置伸長(zhǎng)1/k2，所以，所以x = 1/k1+1/k2， = 1/(k2R)，即，即假設(shè)假設(shè)J0遭到一個(gè)順時(shí)針?lè)较虻膯挝涣兀敲磸椈稍獾揭粋€(gè)順時(shí)針?lè)较虻膯挝涣?，那么彈簧k1相對(duì)平衡位置無(wú)變形，相對(duì)平衡位置無(wú)變形，彈簧彈簧k2伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)1/k2R，所以，所以x = 1/k2R， = 1/(k2R2)，即，即因此微分方程為因此微分方程為1121122111+, aakkk ROk2xk1J0m122222211, aak

7、 Rk R122202201/1/1/()001/()1/()mkkk RxxJk Rk R 6215 用視察法建立圖示鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的振動(dòng)微分方程。用視察法建立圖示鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的振動(dòng)微分方程。解：微分方程為解：微分方程為1233111111334221122000kkkkmxccxxkkkmxccxx與與m1相連的一切彈簧相連的一切彈簧銜接銜接m1和和m2之間的一之間的一切彈簧的負(fù)數(shù)切彈簧的負(fù)數(shù)對(duì)角陣對(duì)角陣對(duì)稱陣對(duì)稱陣 (規(guī)那么規(guī)那么與剛度陣一樣與剛度陣一樣)對(duì)稱陣對(duì)稱陣與與m2相連的相連的一切彈簧一切彈簧m1k4k1k2k3c1m27216 繩索繩索-質(zhì)量系統(tǒng)的參數(shù)如下圖，設(shè)質(zhì)量系統(tǒng)的參數(shù)如下圖，設(shè)

8、m1 = 2m2，各段繩索中的張力均為，各段繩索中的張力均為T(mén)。試用柔度法建立系。試用柔度法建立系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程。統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程。解法一：柔度法把解法一：柔度法把m1和和m2豎直方向的位移作為豎直方向的位移作為廣義坐標(biāo)，向下為正。對(duì)廣義坐標(biāo)，向下為正。對(duì)m1施加一豎直向下的單位力，施加一豎直向下的單位力，使使m1和和m2產(chǎn)生的位移即為柔度系數(shù)產(chǎn)生的位移即為柔度系數(shù)a11和和a21 。同理，對(duì)m2施加一豎直向下的單位力，得柔度系數(shù)a12和a22。于是微分方程：Tm1m2T1121211111211sinsin12sin/, sin/ 23TTLaaLaLTLLL21122220210

9、0123mxxLmxxT2111123LaaT1122241 0223xxm LxxT即8解法二：剛度法把解法二：剛度法把m1和和m2豎直方向的位移作為豎直方向的位移作為廣義坐標(biāo)，向下為正。使廣義坐標(biāo)，向下為正。使m1產(chǎn)生豎直向下的單位位移，產(chǎn)生豎直向下的單位位移， m2位置不變，需求對(duì)位置不變，需求對(duì)m1和和m2施加的豎直向下的力，施加的豎直向下的力，即為剛度系數(shù)即為剛度系數(shù)k11和和k21 。同理，使m2產(chǎn)生豎直向下的單位位移，m1位置不變，得剛度系數(shù)k12和k22 。于是微分方程：Tm1m2T11111112 sin2sin1/TkTkLLLLL21122220210012mxxTmxx

10、Lk11Tk21T121211sinsin1/TkTkLL 9217 如下圖系統(tǒng)中，如下圖系統(tǒng)中，k1 = k2 = k3 = k，m1 = m2 = m，r1 = r2 = r，J1 = J2 = J。求系統(tǒng)的振動(dòng)微。求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。分方程。解：力法設(shè)解：力法設(shè)J1和和J2分別沿順時(shí)針?lè)较蛐謩e沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了轉(zhuǎn)了1和和2。那么彈簧內(nèi)力分別為均為拉。那么彈簧內(nèi)力分別為均為拉伸伸對(duì)對(duì)J1和和J2受力分析：受力分析：k2于是微分方程：k1F1F2F2F3k3J1, r1J2, r2121220210012JkrJ11 1 1221 12 2332 2, , FkrFkrrFkr121 1

11、1 1 1121 12 212221 12 2232 22Jkr rkrrrJkrrrkr r 注：還可以用剛度注：還可以用剛度法列方程。法列方程。10218 行車載重小車運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型如下圖，小車質(zhì)量為行車載重小車運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型如下圖，小車質(zhì)量為 m1，遭到兩根剛度為，遭到兩根剛度為 k 的彈簧的約束，的彈簧的約束，懸掛物質(zhì)量量為懸掛物質(zhì)量量為m2，懸掛長(zhǎng)度為，懸掛長(zhǎng)度為 L，擺角，擺角很小，求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。很小，求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。解：解： Lagrange方程以方程以m1程度方向的位移和程度方向的位移和m2的擺角為廣的擺角為廣義坐標(biāo)。義坐標(biāo)。由于由于m2相對(duì)相對(duì)m1的速度為的速度

12、為 ，m1的速度即牽連速度為的速度即牽連速度為 ，故故m2的絕對(duì)速度為的絕對(duì)速度為系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為勢(shì)能為勢(shì)能為kkLm1m2Lx 2222cosLxx L222212112cos22Tm xmLxx L2211 cos2Ukk xm gL11令 L = T - U，列Lagrange方程：可得于是微分方程：d0dd0dLLtxxLLt0sin2sin2sin2cos22202sin22cos221gLmLxmLxmLxmLmkxLmLmxmm 0222202221gLmxLmLmkxLmxmm 12222222000mmm Lkxxm Lm Lm gL 略去 高階項(xiàng)，且 ，方程可化簡(jiǎn)為

13、2sincos1，122/cosLxmmxmL 222/cosLmLm xL22/sinsinLm gLm x L /2Lxkx 12微分方程令 ，代入方程得線性方程組要使方程有非零解，須 ，從而得固有頻率 。將 代回線性方程組，得對(duì)應(yīng)的振型 。于是振型矩陣振型具有正交性：正那么振型多自在度系統(tǒng)自在振動(dòng)多自在度系統(tǒng)自在振動(dòng) 0MxKx i txX e 20KMX 2det0KMiiXi 0 TijXMXijTiiiXMXM12 .uXX 12(,.)TuMuMdiag M M將M換成K也成立1122 / /.uXMXM 2212 , .TTuMuIuKudiag13微分方程令 ，方程可解耦令

14、，方程可解耦1 直接解令 ，得 ，解得2 模態(tài)綜合法先分析自在振動(dòng)，得到振型和主坐標(biāo)，使方程解耦，再解方程多自在度系統(tǒng)受迫振動(dòng)多自在度系統(tǒng)受迫振動(dòng) 0MxKx xuy11112222000000MyKyMyKy 211122220000yyyy xuy MxKxF i txX e 2KMXF X1438 求圖示系統(tǒng)的固有頻率和主振型桿為剛性，不計(jì)質(zhì)量。求圖示系統(tǒng)的固有頻率和主振型桿為剛性，不計(jì)質(zhì)量。解：解：(剛度法剛度法) 以以m和和2m豎直方向的位移為廣義坐標(biāo)，向下為豎直方向的位移為廣義坐標(biāo)，向下為正。正。使使m產(chǎn)生豎直向下的單位位移，產(chǎn)生豎直向下的單位位移，2m位置不變，需求對(duì)位置不變，需

15、求對(duì)m和和2m施加的豎直向下的力，即為剛度系數(shù)施加的豎直向下的力，即為剛度系數(shù)k11和和k21 。k于是微分方程：kLm2mLL1121112220kkkkkLkLk L力平衡：力矩平衡：12224 , 5kkkk 得同理可得：112205400245xxmkkxxmkk11215 , 4kkkk 1k11k212kk15微分方程線性方程組特征方程解得固有頻率將固有頻率代入線性方程組，得振幅比于是振型矩陣：112205400245xxmkkxxmkk22540452kmkkkm242221590mkmk2212153 17153 17, 44kkmm21112222553 171.086416

16、553 170.461416BkmAkBkmAk 111.0860.461u22540452AkmkBkkm 2212注： !1639 如下圖均質(zhì)桿的質(zhì)心如下圖均質(zhì)桿的質(zhì)心 c 點(diǎn)向下挪動(dòng)的位移點(diǎn)向下挪動(dòng)的位移 x 及桿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)角及桿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)的固為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)的固有角頻率和主振型。有角頻率和主振型。解：設(shè)桿的質(zhì)心向下挪動(dòng)解：設(shè)桿的質(zhì)心向下挪動(dòng) x 且向順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)且向順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 。分別分析桿的受力平衡和力矩平衡：分別分析桿的受力平衡和力矩平衡：k于是微分方程：kL/4mcL/4L/2 224424LLxkLLxkJLxkLxkxm/p>

17、60200mkkLxxmLkLkL 17微分方程線性方程組特征方程解得固有頻率將固有頻率代入線性方程組，得振幅比于是振型矩陣：1422511124160200mkkLxxmLkLkL 2142225114161220kmkLkLkLmL2142225114161220AkmkLBkLkLmL 221223972397, 88kkmm2111222227971.424/ 4227978.424/ 42BkmALkLLBkmALkLL 111.4248.424uLL2212 !18310 如下圖改動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)中，如下圖改動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)中，kt1 = kt2 = kt，J1 = 2J2 = 2J。求系統(tǒng)的

18、固有頻率和主振型；。求系統(tǒng)的固有頻率和主振型；設(shè)設(shè)1(0) = 1 rad，2(0) = 2 rad， ，求系統(tǒng)對(duì)初始條件的呼應(yīng)。，求系統(tǒng)對(duì)初始條件的呼應(yīng)。解：設(shè)解：設(shè)J1和和J2的轉(zhuǎn)角分別為的轉(zhuǎn)角分別為1和和2 ，分析其力矩平衡，分析其力矩平衡kt2于是微分方程：特征方程固有頻率12(0)(0)0kt1J11J221 11 122122221tttJkkJk 112220210011tJkJ 22220ttttkJkkkJ 2211u振型矩陣：22122222, 22ttkkJJ也可用視察法19由振型矩陣得系統(tǒng)呼應(yīng)為代入初始條件解得即 1122u1111222211coscos22AtAt1

19、11222112211112222111222(0)coscos1(0)2cos2cos2(0)sinsin0(0)2sin2sin0AAAAAAAA 12121.207,0.207,0AA 1122111.207cos0.207cos22tt1122cos(12)/ 2cos(12)/ 2AA1122sinsin0AA20311 求圖示系統(tǒng)的振型矩陣求圖示系統(tǒng)的振型矩陣 、正那么化振型矩陣、正那么化振型矩陣 和主坐標(biāo)。和主坐標(biāo)。解：用視察法可得微分方程解：用視察法可得微分方程特征方程特征方程固有頻率 u ukmkmk112202002xxmkkxxmkk224222204302kmkmkmk

20、kkm22123, kkmm 1111u振型矩陣主質(zhì)量： 11011201101102TmmMuMumm 122MMm主質(zhì)量矩陣21主坐標(biāo) 112111122220.50.50.50.50.50.5xxyxxuxxyxx正那么化的振型矩陣(p.63 式3-79) 1211221/1/111112m/MMuMM或 11211122212/ 211112/ 2mxxyxxmuyxxmxx注：據(jù)此，微分方程可改寫(xiě)為如下的解耦方式：11112222000000MyKyMyKy 211122220000yyyy 1200TKuKuK其中22312 如下圖系統(tǒng)中，軸的抗彎剛度為如下圖系統(tǒng)中，軸的抗彎剛度為

21、EI，它的慣性矩不計(jì)，圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，它的慣性矩不計(jì)，圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J = mR2/4，R = L/4，靜平衡時(shí)軸在程度位置。求系統(tǒng)的固有頻率。，靜平衡時(shí)軸在程度位置。求系統(tǒng)的固有頻率。解：以圓盤(pán)豎直向下的位移解：以圓盤(pán)豎直向下的位移 x 和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。為廣義坐標(biāo)。方法一：柔度法方法一：柔度法微分方程：LR32112132LLaaEIEI在梁端點(diǎn)施加單位力時(shí)，撓度，轉(zhuǎn)角212222LLaaEIEI在梁端點(diǎn)施加單位彎矩時(shí)，撓度，轉(zhuǎn)角322LL03200LL2mxxEIEIJEIEI 23方法二：剛度法當(dāng)梁端點(diǎn)的撓度為1，轉(zhuǎn)角為0時(shí)，遭到的力為k11，力矩為k21。當(dāng)梁端點(diǎn)的撓度為0

22、，轉(zhuǎn)角為1時(shí)，遭到的力為k12，力矩為k22。LR32112111321121212L121326LL02k LkEIkEIEILEIkkkLEIEI3212221222122222L60324LL12k LkEIkEIEILEIkkkLEIEI32212600064EIEImxxLLJEIEILL 微分方程：24計(jì)算固有頻率特征方程固有頻率LR26432222687680m LEIL mE I12331.7021,16.2820EIEImLmL23222126064EIEImLLEIEIJLL25313 用用Rayleigh法和法和Dunkerley公式估算圖示系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)在鉛垂平面中作垂直于

23、繩索微振動(dòng)時(shí)的公式估算圖示系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)在鉛垂平面中作垂直于繩索微振動(dòng)時(shí)的基頻，并與準(zhǔn)確解相比較?；l，并與準(zhǔn)確解相比較。解：由解：由2-16題知，微分方程題知，微分方程特征方程：m1m2LLL21122220210012mxxTmxxL22222202TTmLLTTmLL2122330.6342TTm Lm L解得基頻的準(zhǔn)確解：26Rayleigh法法Dunkerley法法 21221-121 12Rayleigh39Rayleigh14TTTTTXXXKXTm LXMXXKXTm LXMKMX 任意假設(shè)振型函數(shù)，但各元素必須同號(hào)，比如令則第一種商：第二種商： 1222222204210221233mmmLLDKMmmmTT 21222131422TTTr DLmmLm 21222021 , 0012mxMKmx已知27415 改動(dòng)振動(dòng)參數(shù)如下圖，求系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)。改動(dòng)振動(dòng)參數(shù)如下圖，求系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)。解：微分方程解：微分方程kt線性方程組：振幅穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)kt2J1J2T sinttTtkJJsin021111221002 ,