1、 1. 1.指數(shù)冪的概念指數(shù)冪的概念 (1) (1)根式根式普通地普通地, ,假設(shè)假設(shè) xn=a (aR,n1, xn=a (aR,n1,且且nNnN* *), ), 那么那么x x 叫做叫做 . .式子式子 叫叫做做 , ,這里這里n n叫做叫做 , ,a a叫做叫做 . . (2) (2)根式的性質(zhì)根式的性質(zhì)naa的的n次方根次方根根式根式根指數(shù)根指數(shù)被開方數(shù)被開方數(shù) 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)時,正數(shù)的正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)次方根是一個正數(shù),負(fù)數(shù)的負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)次方根是一個負(fù)數(shù),這時這時,a的的n次方根用符號次方根用符號 表示表示. 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時,正數(shù)的正數(shù)的n次方根有兩

2、個次方根有兩個,它們互為相反它們互為相反數(shù)數(shù),這時這時,正數(shù)的正的正數(shù)的正的n次方根用符號次方根用符號 表示表示, 負(fù)的負(fù)的n 次次方根用符號方根用符號 表示表示.正負(fù)兩個正負(fù)兩個n次方根可以合寫為次方根可以合寫為 (a0). ( )n= . 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)時, = ;當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時, =|a|= 負(fù)數(shù)沒有偶次方根負(fù)數(shù)沒有偶次方根. 零的任何次方根都是零零的任何次方根都是零.nananananaa nnaa nnaa (a0)- a (a0,m,nN*,且n1).正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 ,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):aras= (a0,

3、r,sQ).(ar)s= (a0,r,sQ).(ab)r= (a0,b0,rQ).nma anma anmanma a1= = (a0,m,nN*,且且n1).nma10s sr ra aarsrbr ra a3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a0時時, ;當(dāng)當(dāng)x0時時, ;當(dāng)當(dāng)x1 0y1 0y1 增函數(shù)增函數(shù) 減函數(shù)減函數(shù) 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 指數(shù)冪的運(yùn)算指數(shù)冪的運(yùn)算 求值或化簡求值或化簡: (4)知知a,b是方程是方程x2-6x+4=0的兩根的兩根,且且ab0,求求 的的值值.baba; ;) )2 21 1( (+ + +4 48 8) )3 3( (; ; ) )2 2( (; ;) ) (

4、( ) ) )()(1 1( (3 33 33 32 23 32 23 31 13 34 43 315153 38 83 33 32 27 73 31 14 43 31 11 14 41 13 32 2a aa ab ba aababa ab ba aa aa aa aa aa az zy yx xz zy yx x332. .x xz zz zy yx x) )z zy y) )( (x xz zy y( (x x2 2- - -1 1- -1 14 41 13 32 2- -1 14 41 1- -1 14 41 13 32 2413131. .a aa aaaa aaaa a2 21 1

5、) )2 25 53 34 4( (2 21 16 67 72 21 13 315152 21 1) )3 38 8(-(-3 31 12 23 33 31 12 27 7(3)原式原式= a.a.a aa aa aa ab ba aa aa ab b2a2a4b4b) )4b4bb b2a2a)(a)(a2b2b- -(a(aa aa aa a2b2b- -a aa ab b2a2a4b4b8b)8b)- -(a(aa a3 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 32 23 31 13 31 13 32 23 32 23 31 13 31 13

6、32 23 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 32 23 31 13 31 13 32 23 31 12(4)方法一方法一:a,b是方程是方程x2-6x+4=0的兩根的兩根, a+b=6 ab=4. ab0, ,b ba a5 55 55 51 1b ba ab ba a, ,5 51 11 10 02 24 42 26 64 42 2- -6 6 a ab b2 2b ba aa ab b2 2- -b ba a) )b ba ab ba a( (2 2方法二方法二:a,b是方程是方程x2-6x+4=0的兩根的兩根,且且ab,而由而由x2-6

7、x+4=0,得得x1=3+ ,x2=3- ,a=3+ ,b=3- ,555.55515246)53(535925353b b- -a aabab2 2- -b ba ab ba ab ba a 5化簡以下各式化簡以下各式(其中各字母均為正數(shù)其中各字母均為正數(shù)):. .) )bb(4a(4a) )b b(-3a(-3abba a6 65 5(2)(2); ;ababbbaa) )bb(a(a(1)(1)2 21 13 3- -3 32 2-1-12 21 12 2- -3 31 16 65 53 31 12 21 12 21 1-1-13 32 2(1) 原式原式= (2)原式原式=1;1;b

8、ba ab ba ab baab ba a0 00 06 65 56 61 13 31 12 21 12 21 13 31 1653121612131ba2 23 32 23 32 21 12 23 33 31 13 36 61 12 21 13 33 32 23 36 61 14ab4ababab5 5abab1 14 45 5b ba a4 45 5) )b b(a(ab ba a4 45 5) )b b(4a(4ab ba a2 25 5知函數(shù)知函數(shù)1作出圖象；作出圖象；2由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；3由圖象指出，當(dāng)由圖象指出，當(dāng)x取什么值時有最值取什么值時有最值. .y

9、 y| |2 2x x | | )21(2)2(2)21()21(xx| |2 2x x | |y y)2()21(xx)21()2()21(x向左平移向左平移2個單位個單位 另一部分是另一部分是y=2x+2(x-2)的圖象，由以下變換可得到的圖象，由以下變換可得到:y=2x y=2x+2,如圖如圖,實線部分為函數(shù)實線部分為函數(shù) 的圖象的圖象.(2)由圖象察看知由圖象察看知,函數(shù)在函數(shù)在(-,-2上上 是增函數(shù)，在是增函數(shù)，在 (-2,+) 上是減函數(shù)上是減函數(shù).(3)由圖象察看知由圖象察看知 ,當(dāng)當(dāng) x=-2時，時， 函數(shù)函數(shù) 有有最大值，最大值為最大值，最大值為1，沒有，沒有最小值最小值.

10、向左平移向左平移2個單位個單位| |2 2x x | |y y)21(| |2 2x x | |y y)21(x)21(y y保管保管x0部分，將它沿部分，將它沿y軸翻折得軸翻折得x0的部分的部分 x)21(y y向左平移向左平移2個單位個單位 .)21(2xy y畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=2|x-1|的圖象，并根據(jù)圖象指出此函數(shù)的的圖象，并根據(jù)圖象指出此函數(shù)的一些重要性質(zhì)一些重要性質(zhì). 2x-1,x1, ,x1. 其圖象由兩部分對接而成，一是把其圖象由兩部分對接而成，一是把y=2x向右平移向右平移1個單位后取個單位后取x 1的部分；二是把的部分；二是把y= 的圖象向右的圖象向右平移平移1個單位后取

11、個單位后取x1的部分，對接處的公共點(diǎn)是的部分，對接處的公共點(diǎn)是(1,1),圖象如圖，作法略圖象如圖，作法略.y=2|x-1| =1)21(xx)21(由圖象可知由圖象可知,函數(shù)有三個重要性質(zhì)函數(shù)有三個重要性質(zhì):單調(diào)性單調(diào)性:在在(-,1在在1,+)上單調(diào)上單調(diào)遞增遞增;對稱性對稱性:函函數(shù)數(shù) 圖象關(guān)于直線圖象關(guān)于直線x=1對稱對稱;函數(shù)函數(shù)定義域為定義域為R,值域值域為 為 1 , + ) .上 單 調(diào) 遞 減 ，上 單 調(diào) 遞 減 ，求以下函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：求以下函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：1f(x)= ;2 g(x)=-( )x+4( )x+5. 【分析】【分析】 (1)

12、 定義域是使函數(shù)有意義的定義域是使函數(shù)有意義的x的取值范的取值范圍圍,單調(diào)區(qū)間利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解. (2) 利用換元法利用換元法,同時利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判別方法同時利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判別方法進(jìn)而求得值域進(jìn)而求得值域.4523 xx4 41 12149252x4 45 5x x- -x x2 24 45 5x x- -x x2 24523 xx49252x而而31,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)= 在在(-,1上是減函數(shù)上是減函數(shù),在在4,+)上是上是增函數(shù)增函數(shù).故故f(x)的增區(qū)間是的增區(qū)間是4,+),減區(qū)間是減區(qū)間是(-,1.4

13、523 xx(2)g(x)=-( )x+4( )x+5=-( )2x+4( )x+5.函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為R，令，令t=( )x(t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99, 等號成立的條件是等號成立的條件是t=2,即即g(x)9,等號成立的條件是等號成立的條件是( )x=2,即即x=-1,g(x)的值域是的值域是(-,9.412121212121由由g(t)=-(t-2)2+9(t0)，而，而t=( )x是減函數(shù)，是減函數(shù)，要求要求g(x)的增區(qū)間實踐上是求的增區(qū)間實踐上是求g(t)的減區(qū)間，的減區(qū)間，求求g(x)的減區(qū)間實踐上是求的

14、減區(qū)間實踐上是求g(t)的增區(qū)間的增區(qū)間.g(t)在在(0,2上遞增上遞增,在在2,+)上遞減上遞減,由由0 x1,那么那么f(x2)-f(x1)當(dāng)當(dāng)x2x1時時, 0.又又 0, 0,故當(dāng)故當(dāng)x2x1時時,f(x2)-f(x1)0,即即f(x2)f(x1),f(x)是增函數(shù)是增函數(shù).1102111011010101010222xxxxxxx)110)(110(10102)11021()11021(121212222222xxxxxx12221010 xx11012x11022x證法二證法二:思索復(fù)合函數(shù)的增減性思索復(fù)合函數(shù)的增減性.f(x)=y1=10 x為增函數(shù)為增函數(shù),y2=102x+1

15、為增函數(shù)為增函數(shù),y3= 為減函數(shù)為減函數(shù),y4=- 為增函數(shù)為增函數(shù),f(x)= 為增函數(shù)為增函數(shù).f(x)= 在定義域內(nèi)是增函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù).(3)令令y=f(x),由由y= ,解得解得102x= ,102x0,-1y1.即即f(x)的值域為的值域為(-1,1).11021101010102xxxxx11022x11022x110212xxxxx10101010 xxxx10101010yy11知定義在知定義在R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期有最小正周期2,且當(dāng)且當(dāng)x(0,1)時時,f(x)= .(1)求求f(x)在在-1,1上的解析式上的解析式;(2)證明證明:f(x)在

16、在(0,1)上是減函數(shù)上是減函數(shù).(1)當(dāng)當(dāng)x(-1,0)時時,-x(0,1).f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=-f(-x)= 由由f(0)=f(-0)=-f(0),且且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得得f(0)=f(1)=f(-1)=0.142xx.142142xxxx ,x(0,1) ,x(-1,0) 0, x-1,0,1.(2)證明證明:當(dāng)當(dāng)x(0,1)時時,f(x)= .設(shè)設(shè)0 x1x21,那么那么f(x1)-f(x2)=0 x1x20. -10,f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2),故故f(x)在在(0,1)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減.在區(qū)間在區(qū)間-1,1上上,有有f(x)=142xx142xx142xx.)14)(14()12)(22(1421422121122211xxxxxxxxxx22x22x212xx 1.單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì), 特別是函數(shù)圖