1、)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu),*yYy常見類型常見類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點(diǎn)：如何求特解？難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法方法：待定系數(shù)法.自由項(xiàng)為自由項(xiàng)為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程一、 型)()(xPexfmx 設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexQy)(*代入原方程代入原方程)()()()()2()().(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp

2、),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè);)(*xmexQy是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可設(shè)設(shè);)(*xmexxQy是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可設(shè).)(2*xmexQxy綜上討論綜上討論, )(*xQexymxk設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方程k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.例例1 1.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解特征方程特征

3、方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解,221xxececY 是單根，是單根，2 ,)(2*xeBAxxy設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2*) 121(于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 求通解求通解xxeyyy3596 解解特征方程特征方程0962 rr特征根特征根321 rr齊通解齊通解xexccY321)( 是是重重根根3 xeBAxxy32*)(可設(shè)即即23)(BxAxxQ BxAxxQ23)(2 BAxxQ26)( 代入（代入（*）式）式xBAx526 0,65 BAx

4、exy33*65非齊通解為非齊通解為xexxccy3321)65( 例例2 型型二二、xexPxfxm cos)()( 型型型型及及其其組組合合xexPxfxm sin)()( xexPxfxm cos)()( xexPxfxm sin)()( 分別是分別是 xjmexP)()( 的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部,)()(xjmexPqyypy 考慮方程考慮方程可設(shè)可設(shè)xjmkexQxy)(*)(次次復(fù)復(fù)系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式是是mxQm)()()()(21xjQxQxQm 記記次次實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式均均是是 mxQxQ)(),(21輔助方程輔助方程j js si in n s si i( (c

5、co os s c c( (x x) ) e ej jQ Q( (x x) ) Q Qx xy yx x2 21 1k k* *)cos)(sin)()sin)(cos)(2121xxQxxQjxxQxxQexxk 是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 jjk, 1, 0由分解定理由分解定理sin)(cos)(Re21*xxQxxQexyxkcos)(sin)(Im21*xxQxxQexyxk分別是以分別是以 xexPxfxm cos)()( xexPxfxm sin)()( 為自由項(xiàng)的非齊次線為自由項(xiàng)的非齊次線性微分方程的特解性微分方程的特解注意注意上述結(jié)論可推廣

6、到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程例例3 3.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解 對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4jxeyy ,是是單單根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy （取虛部）（取虛部）原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy 這種方法稱為復(fù)數(shù)法這種方法稱為復(fù)數(shù)法例例4 4.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)

7、齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2 jxxeyy ,2 不是特征方程的根不是特征方程的根j ,)(2*jxeBAxy 設(shè)設(shè)代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAj,9431jBA ，,)9431(2*jxejxy )2sin2)(cos9431(xjxjx ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy （取實(shí)部）（取實(shí)部）原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 注意注意xAexAexx sin,cos.)(的的實(shí)實(shí)部部和和虛

8、虛部部分分別別是是xjAe 例例5 5.tan的的通通解解求求方方程程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方程通解對(duì)應(yīng)齊方程通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解為原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例6 求通解求通解xeyyxcos 解解 相應(yīng)齊方程相應(yīng)齊方程0 yy特征方程特征方程jrr 2, 1201齊通解齊通解xcxcYsincos21 先求先求 xeyy 的特解的特解設(shè)設(shè)xAey *1代入方程代入方程21 Axey21*1 再求再求 xyycos 的特解的特解考慮輔助方程考慮輔助方程jxeyy 是單根是單根j 可設(shè)可設(shè)jxAxey jxjxAjxeAey jxjxAxeAjey 2代入方程得代入方程得jA21 xxjxxxejyjxcos21sin2121 取實(shí)部得取實(shí)部得xxysin21*2 原方程的特解原方程的特解)sin(21*2*1*xxeyyyx 所求通解為所求通解為)sin(21sincos21xxexcxcyx 三、小結(jié)三、小結(jié)(待定系數(shù)法待定系數(shù)法)可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQ