1、雙曲線1. II PF -1 Pqil= 2a2.X 2 y 2 標準方程： -=1a 2 b 23.i4 .點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.5 . PT平分PFJ2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩 個端點.6 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.7 .以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切.8 .設(shè)、A2為雙曲線的左、右頂點，則APFE在邊PF2 (或PFJ上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2 (或 A1).X2y29雙曲線a 一譽=1 (a>°,b>0)的兩個頂點為個-a ,。),

2、 A2(。,。),與y軸平行的直線交雙曲線于PJ時X 2y 2A1P1與A2P2交點的軌跡方程是a + b=1 ._ ,x 2 y2_xx y y10 .若p0(x0, y°)在雙曲線a-b- = 1 (a>0,b>0)上，則過P0的雙曲線的切線方程是玄-守=1.x2 y211 .若P0(x°, y°)在雙曲線a-b- = 1 (a>0,b>0)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1> P2,則切點弦PT?的直線方程是三-芋 二1.1 2a 2b 2x 2 y 2b 212 . AB是雙曲線瓦-石=1 (a>0,b>0)

3、的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則k0M , kB =瓦.x 2 y 2x x y y x 2 y 213 .若P (x , y )在雙曲線- = 1(a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是t-芋=- - +.000a 2 b 2a 2b 2a 2b 2x2 y2x2y2 x x y y14 .若P (x , y )在雙曲線一-=1 (a>0,b>0)內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡萬程是一-=+ -六. 0 0 0a 2 b 2a 2 b 2a 2b 2x 2 y 2111115 .若PQ是雙曲線-y- = 1 (b>a >0)上對中心

4、張直角的弦，則一十 二 一-=(r =l OP I,r =l OQ I). a 2 b 2r 2 r 2 a 2 b 2 1212x2 y216 .若雙曲線 =1 ( b>a >0)上中心張直角的弦L所在直線方程為Ax + By = 1 (AB豐0),則(1) a2 b2114 八 =2a 4 A 2 + b 4 B 2=A2 + B2 ;(2) L =.a 2 b 2I a 2 A 2 一 b 2 B 21- tza 2 + b 2 t、-17 .給定雙曲線 C ： b2 x2 - a2 y2 = a2 b2 (a>b>0) , C ： b2 x2 - a2 y2 =

5、 ( ab)2,則(i)對 C 上任意給定12a 2 - b 21a 2 + b 2a 2 + b 2 、的點P (x , y )，它的任一直角弦必須經(jīng)過C上一定點M(-x ,- y ).0 0 02a 2 - b 2 0a 2 - b 2 0(ii)對C上任一點P' (x ',y ')在C上存在唯一的點M，使得M，的任一直角弦都經(jīng)過P，點.200010x2y218 .設(shè)P0(x0, y0)為雙曲線a2 -b = 1 (a>0,b>0)上一點，P1P2為曲線C的動弦，且弦P0P1, P0P2斜率存在，記_ _,、一 一1 + m b 2為埠k 2,則直線P1

6、P2通過定點M(必。，-叫o)(m豐D的充要條件是仆勺=匚m . a -x 2y 219 .過雙曲線至黃=1 (a>0,b>o)上任一點4x0, y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，, b 2 x則直線BC有定向且k =-一0 (常數(shù)).BC a 2 yox 2y 2 20 .雙曲線a2 一卡=(a>0,b>o)的左右焦點分別為F/F 2，點P為雙曲線上任意一點/FPF2 = Y，則雙ya ：, V b2丫、曲線的焦點角形的面積為s= b2cot2 , P(c2 + b2tan2 cotg).AF1PF22 c 2 c 2x2y221 .若P為雙曲線區(qū)

7、太=1 (a>0,b>0)右(或左)支上除頂點外的任一點斤F2是焦點，/ PFF2 =a ,c a a B c a B a/PF F =0，則U= tan co t(或=tan co t).2 1c + a 22c + a22x2 y222 .雙曲線益五=1 (a>0,b>o)的焦半徑公式：(F(-c,0),F2(c,0)當 M (x , y )在右支上時，I MF 1= ex + a, I MF 1= ex - a.當 M (x , y )在左支上時，I MF I= - ex + a, I MF I= - ex - a .x2 y223 .若雙曲線»-加=1

8、 (a>0,b>0)的左、右焦點分別為F2，左準線為L,則當1<eW%：'2+1時，可在雙曲線上求一點P,使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項. x2 y224 . P為雙曲線瓦-正=1 ( a > 0,b > 0 )上任一點左F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則I AF21 -2a <I PA I + I P< I,當且僅當A, F2, P三點共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時，等號成立.x 2y 2T(a 2 + b 2)225 .雙曲線一-=1 (a>0,b>0)上存在兩點關(guān)于直線I ： y = k(x-x )對稱的

9、充要條件是x 2 >.a 2 b 200a 2 - b 2 k 226 .過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切 線垂直.27 .過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直x = a sec 3128 . P是雙曲線<(a>0, b>0)上一點，則點P對雙曲線兩焦點張直角的充要條件是e2 = .y = b tan 31 - tan 2 x2y2x2 y229 .設(shè)A,B為雙曲線一-=k (a>0,b>0, k > 0,k豐1 )上兩點，其直線AB與雙曲線

10、一-=1相交于 a2 b2a2 b2P, Q，則 AP = BQ .i( x 2_ y2)1 ( - ) x 2 y 2a 2 b 2.b 2 x 230 .在雙曲線-f- = 1中，定長為2m(m)0)的弦中點軌跡方程為m 2 = a 2 b ，其中tan a = a 2 b 2cos2 a sin2 aa 2 y 2a2b2當 y = 0 時,a = 90o.x2 y231 .設(shè)S為雙曲線- -J = 1 (a>0,b>o)的通徑，定長線段L的兩端點A,B在雙曲線上移動，記|AB| = l, a2 b2a 2 l. cM (x , y )是 AB 中點，則當 l 2 S 時，有

11、(x )=一 + (c2 = a2 + b , e =-);當 lS 時，有32 00mmc2ea(X )= a v'4 b 2 + 12 .0 min 2 bX 2 y 232.雙曲線一-=1 (a>0,b>0)與直線Ax + By + C = 0有公共點的充要條件是A2a2 - B2b2 < C2.a 2 b 2(X X )2 ( y - y )2 一33 .雙曲線-二-1，0/ = 1 ( a > 0,b > 0 )與直線Ax + By + C = 0有公共點的充要條件是 a 2b 2A2a2 - B2b2 < (Ax + By + C)2.

12、00X2 y2".設(shè)雙曲線益一宗=1 (a>0,b>0)的兩個焦點為F1、F2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在明中，記/勺PF? =a , /PFq = p/FF2P =y，則有sin a±(sin y - sin P)X2 y235.經(jīng)過雙曲線£宜=1 (a>0,b>0)的實軸的兩端點A1和A2的切線，與雙曲線上任一點的切線相交于P 和 P，則I PA I - I PA 1= b2.1212X2 y236 .已知雙曲線一一4 = 1 (b>a >0)，O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且OP 1 OQ . (1)

13、 a2 b211114 a2 b2a2 b2+=-; (2) |OP|2+|OQ|2的最小值為；(3) S的最小值是.I OP |2 I OQ |2 a2 b2b2 - a2 opqb2 - a2X2 y237 . MN是經(jīng)過雙曲線一-=1 (a>0,b>0)過焦點的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過雙曲線中心O且平 a2 b2行于 MN 的弦，則 I AB I2 = 2a I MN I.X2 y238 . MN是經(jīng)過雙曲線-j= 1(a>b>0)焦點的任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心O的半弦OP1MN， a2 b22111貝 U-=.a I MN I I OP I2

14、a2 b2X2 y239 .設(shè)雙曲線一-=1 (a>0,b>0) ,M(m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直 a2 b2a2線與雙曲線相交于P、Q兩點，則直線AP、A?Q(A1A2為兩頂點)的交點N在直線1 ： X =上.， m -m40 .設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相 應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFXNF.41 .過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, Aj A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M， A2P和A1Q交于點N，則MFXNF.X2 y242 .設(shè)雙

15、曲線方程一-f- = 1，則斜率為k(kW0)的平行弦的中點必在直線1 ： y = kx的共軛直線y = k'x上，而 a2 b2b2且 kk'= 一.a2X2 y243 .設(shè)A、B、C、D為雙曲線一-=1 (a>0,b>o)上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為a, P，直線 a2 b2I PA I I PBI b2 cos2 P - a2 sin2 PAB與CD相交于P,且P不在雙曲線上，則= : .I PC I - IPDI b 2 cos2 a-a 2 sin2 aX2 y244 .已知雙曲線瓦b- = 1 (a>0,b>0),點P為其上一點F

16、1, F 2為雙曲線的焦點，/Pq的外(內(nèi))角平 分線為1，作、F2分別垂直1于R、S，當P跑遍整個雙曲線時，R、S形成的軌跡方程是x2 + y2 = a2(a3b(x-c)(a2 + b2)x-b2c2 + a4c2(x-c)y2 = (ab3c2y2)2).45 .設(shè)ABC三頂點分別在雙曲線r上，且AB為r的直徑，l為AB的共軛直徑所在的直線，l分別交直線AC、 BC于E和F,又D為l上一點，則CD與雙曲線r相切的充要條件是D為EF的中點.x 2y 246 .過雙曲線一? = 1 (a>0,b>0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分 a 2 b 2八

17、I PF I線交x軸于P,則 I MN Ix 2y 2b 2 x47 .設(shè)A (%也)是雙曲線=1 (a>0,b>0)上任一點，過A作一條斜率為 一的直線L,又設(shè)d是1 1a 2 b 2a 2 y1原點到直線L的距離,1,，分別是A到雙曲線兩焦點的距離，則近d = ab.x 2y 2x 2 y 248 .已知雙曲線=1 (a>0,b>0)和一一二 =入(0 <入< 1 )，一條直線順次與它們相交于A、B、 a2 b2a2 b2C、D 四點，則 | AB | =|CD | .x2 y249 .已知雙曲線晟言=(a>0,b>0),A、B是雙曲線上的兩

18、點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(xq,0),x2 y250 .設(shè)P點是雙曲線二黃=1(a>0,b>0)上異于實軸端點的任一點,小F2為其焦點記/FPF2 =。，貝加)2 b 2, 丫I PF II PF 1=. S= b2 cot -.12 1 cos 0A PF1F2251. 設(shè)過雙曲線的實軸上一點B (m,o)作直線與雙曲線相交于P、Q兩點，A為雙曲線實軸的左頂點，連結(jié)APa ma2和AQ分別交相應于過B點的直線MN： x = n于m, N兩點，則/MBN = 90。O=.a + mb 2( n + a )2x2 y252. L是經(jīng)過雙曲線t- = 1 (a>0

19、,b>0)焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是雙曲線實軸的兩個焦點，e a2 b211. ab是離心率，點P e L，若/ EPF = a，則a是銳角且sin a < 或a< arc sin-(當且僅當I PH I= 一時取等號). eecx2 y253. L是經(jīng)過雙曲線J = 1 (a>0,b>0)的實軸頂點A且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準線與x a2 b21. 1軸交點，點P e L ,e是離心率，/ EPF =a ,h是L與X軸的交點c是半焦距，則a是銳角且sin a < 或a < arc sineeab(當且僅當I PA I=一時取等號)

20、.c x2 y254. L是雙曲線a； b- = 1 (a>0,b>0)焦點F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準線與x軸交點，H是L11與x軸的交點，點P e L , / EPF = a，離心率為e,半焦距為c,則a為銳角且sin a < 一或a< arc sin(當 e 2e 2. b :且僅當I PF I=一a a2 + c2時取等號).1 cx2 y255.已知雙曲線J= 1 (a>0,b>0),直線L通過其右焦點F且與雙曲線右支交于A、B兩點，將A、B a2 b22，一一 (2a2 + b2)2與雙曲線左焦點F1連結(jié)起來，則I FA I - I

21、FB I> 一a (當且僅當AB±x軸時取等號).x 2 V 256.設(shè)A、B是雙曲線一1=1 (a>0,b>0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，/PAB = a , /PBA =0 , a 2 b 22ab21cosa I/ BPA =y , c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有 I PA 1=.(2) tan a tan 0 = 1 - e2 .I a2 - c2co s2 y Ic2 a 2 b 2S =cot y .APAB b 2 + a 2x 2 V 257 .設(shè)A、B是雙曲線-j= 1 (a>0,b>0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦

22、點的區(qū)域)、外部的兩點， a2 b2且xA、Xb的橫坐標x/Xb = a2, (1)若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則/PBA = /QBA ； (2) 若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則/PBA + ZQBA = 180o.-.x2 V258 .設(shè)A、B是雙曲線一-=1 (a>0,b>0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的區(qū)域)外部的兩點， a2 b2(1)若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，(若B P交雙曲線這一支于兩點，則P、Q不關(guān)于x軸對稱)， 且/PBA = /QBA ,則點A、B的橫坐標xA、x§滿足xA xb = a2

23、； (2)若過B點引直線與雙曲線這一支相交于P、 Q兩點，且/PBA + ZQBA = 180o,則點A、B的橫坐標滿足xA - x§ = a2.x2 V259 .設(shè)A, A是雙曲線-2- = 1的實軸的兩個端點，QQ'是與AA'垂直的弦，則直線AQ與AQ的交點px2 V2的軌跡是雙曲線一 + 7- = 1.a2 b2x2 v28ab260 .過雙曲線一-工=1 (a>0,b>0)的右焦點F作互相垂直的兩條弦AB、CDJ-<I AB I + I CD I.a2 b2I a2 -b2 Ix2V261.到雙曲線一-=1 a2b2圓(x 土 ec)2 +

24、v2 = (eb)2.(a>0,b>0)c a兩焦點的距離之比等于 (c為半焦距)的動點M的軌跡是姊妹b , x 2 v 2 一 c - a .,、,62 .到雙曲線一一- =1 (a>0,b>0)的實軸兩端點的距離之比等于(c為半焦距)的動點M的軌跡 a2 b2b是姊妹圓(x土 a)2 + V2 = b2.x2 V2c - a63 .到雙曲線一-=1 (a>0,b>0)的兩準線和x軸的交點的距離之比為一 (c為半焦距)的動點的軌 a2 b2b跡是姊妹圓(x土 a)2 + V2 = (-)2 (e為離心率).ex2 V264 .已知P是雙曲線-y- = 1

25、(a>0,b>0)上一個動點，A', A是它實軸的兩個端點，且AQ 1 AP, AQ 1 AP , a2 b2x 2 b 2 v 2則Q點的軌跡方程是一-L = 1.a 2a 465 .雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項x 2 V 2. . _b 2 x66.設(shè)雙曲線一- = 1 (a>0,b>0)實軸的端點為A, A',P(x ,y )是雙曲線上的點過P作斜率為一1的直 a 2 b 21 1a 2 v1線l，過A, A分別作垂直于實軸的直線交l于M, M'，則(1) I AM II AM1

26、I= b2. (2)四邊形MAA'M，面積的最小值是2ab.x2 V267 .已知雙曲線-J= 1 (a>0,b>0)的右準線l與x軸相交于點E，過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線 a2 b2相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC1 x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.I ，(x - a)2 y268 . OA、OB是雙曲線-=1 (a>0,b>0,且a豐b )的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則(1)a 2b 2,2ab2 i直線AB必經(jīng)過一個定點(,0) .(2)以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是b 2 - a 2-)+ y2 =()2(

27、x 豐 0).b2 -a2b2 -a2,、(x - a)2 y2 ,69 . P(m,n)是雙曲線-二 = 1 (a>0,b>0)上一個定點，P A、P B是互相垂直的弦，則(1)直線a2b2,2ab2 + m(b2 - a2) n(a2 + b2)、AB必經(jīng)過一個定點(1-,-). (2)以P A、P B為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是b2 - a2b2 - a2/ ab2 - a2m、/b2n 、a2b4 + n2(a2 + b2)(x - -)2 + (y - )2 =(x 豐 m 且 y 豐 n).b2 - a2b2 - a2(b2 - a2)270 .如果一個雙曲線

28、虛半軸長為b,焦點F、F,到直線L的距離分別為cl,、d,，那么(1) dd = b 2，且F、F 12121 212在L同側(cè)O直線L和雙曲線相切，或L是雙曲線的漸近線.(2) d 1 d2 > b2，且、F2在L同側(cè)=直線L和雙曲線相離，(3) dd < b2，或F.、F,在L異側(cè)O直線L和雙曲線相交. 1212x2 y271 . AB是雙曲線一-=1 (a>0,b>0)的實軸，N是雙曲線上的動點，過N的切線與過A、B的切線交 a2 b2于C、D兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是x2 -4a2y2= 1(y豐0).x2 y272 .設(shè)點P(x0, y0)

29、為雙曲線a2-至=1 (a>0,b>0)的內(nèi)部(含焦點的區(qū)域)一定點，AB是雙曲線過定點 P (x0, y °)的任一弦.(b2x 2 - a2 y 2) - a2b2(1)如a > b，則當弦AB垂直于雙曲線實軸所在直線時(I PA I I PBI) =04.mma 2(b2x 2 - a2y 2) - a2b2(2)如a < b，則當弦ab平行(或重合)于雙曲線實軸所在直線時,(I PA I - I PB I)= 一0-V.minb 273 .雙曲線焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實軸為直徑的圓相外切.74 .雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長軸于非焦

30、頂點同側(cè)的實軸端點.75 .雙曲線兩焦點到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長為定值a+c與a-c.76 .雙曲線焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77 .雙曲線焦三角形中，外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.78 .雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.79 .雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.80 .雙曲線焦三角形中，雙曲線中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距離 成比例.81 .雙曲線焦三角形中，半焦距、外點與雙曲線中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段 成比例.82 .雙曲線焦三角形中,過任一焦點向