1、數(shù)理方程總結(jié)數(shù)理方程總結(jié)一、線性方程和疊加原理一、線性方程和疊加原理線性算符線性算符：僅含一階或二階偏導(dǎo)數(shù)的一次冪。：僅含一階或二階偏導(dǎo)數(shù)的一次冪。疊加原理疊加原理：對于線性方程：對于線性方程Lu(x,y,z,t)=0而言，而言，若若u1和和u2是方程的解，則它們的線性組合是方程的解，則它們的線性組合u3=c1u1+c2u2也是方程的解。也是方程的解。二、定解條件二、定解條件1、初始條件、初始條件0 x0 xLuh2、邊界條件、邊界條件1）第一類邊界條件）第一類邊界條件：給定要求解的函數(shù)：給定要求解的函數(shù)u在邊界上的值。在邊界上的值。例：取一根長度為例：取一根長度為L的弦，把它的兩端固定。的弦

2、，把它的兩端固定。例：細(xì)桿導(dǎo)熱問題，桿的一端例：細(xì)桿導(dǎo)熱問題，桿的一端x=L處與恒溫處與恒溫T的環(huán)境中。的環(huán)境中。2）第二類邊界條件）第二類邊界條件：給定要求解的函數(shù)：給定要求解的函數(shù)u在邊在邊界上的法向?qū)?shù)值。界上的法向?qū)?shù)值。例：細(xì)桿的橫振動問題，桿的一端如果不受任何例：細(xì)桿的橫振動問題，桿的一端如果不受任何約束。約束。3）第三類邊界條件：）第三類邊界條件：一和二的組合一和二的組合例：細(xì)桿的導(dǎo)熱問題，如果桿的例：細(xì)桿的導(dǎo)熱問題，如果桿的x=L端自由冷卻，端自由冷卻，環(huán)境溫度為環(huán)境溫度為T。4）銜接條件：）銜接條件：由于某種原因，所研究的體系內(nèi)部由于某種原因，所研究的體系內(nèi)部出現(xiàn)某種突變。出

3、現(xiàn)某種突變。 舉例舉例1 對于柔軟弦的縱向微振動問題導(dǎo)出下對于柔軟弦的縱向微振動問題導(dǎo)出下述情況的初始條件：述情況的初始條件： 如圖所示，弦的兩端固定，用橫向力如圖所示，弦的兩端固定，用橫向力F拉弦拉弦上的點(diǎn)上的點(diǎn)x=x0(設(shè)設(shè)FFT,FT為弦的張力為弦的張力)，把弦，把弦拉成如圖所示的三角形狀，即達(dá)到平衡后拉成如圖所示的三角形狀，即達(dá)到平衡后放手放手x=0 x=x0 x=LhFFTFT 舉例舉例3：一長為：一長為L的勻質(zhì)細(xì)桿，導(dǎo)熱系數(shù)為的勻質(zhì)細(xì)桿，導(dǎo)熱系數(shù)為k，左端有恒定的熱流流入，有恒定的熱流流左端有恒定的熱流流入，有恒定的熱流流出，熱流強(qiáng)度（即單位時間流過單位界面出，熱流強(qiáng)度（即單位時間

4、流過單位界面的熱量）都是的熱量）都是Q，寫出該熱傳導(dǎo)問題的邊界，寫出該熱傳導(dǎo)問題的邊界條件。條件。 QQx=0 x=L 例例4：一根導(dǎo)熱桿由兩種介質(zhì)構(gòu)成，兩段的：一根導(dǎo)熱桿由兩種介質(zhì)構(gòu)成，兩段的導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容、質(zhì)量密度分別為導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容、質(zhì)量密度分別為k1,c1, 1和和 k2，c2， 2。桿中的初始溫度分布。桿中的初始溫度分布為，且桿的兩端和側(cè)面都保持絕熱。寫出為，且桿的兩端和側(cè)面都保持絕熱。寫出這個熱傳導(dǎo)問題的整個定解問題。這個熱傳導(dǎo)問題的整個定解問題。IIIx=0 x=ax=b一長為一長為L的柔軟均質(zhì)重弦，上端固定在的柔軟均質(zhì)重弦，上端固定在以勻角速度以勻角速度 緩慢地轉(zhuǎn)動的豎直軸上，緩慢地轉(zhuǎn)動的豎直軸上，由于重力的作用，重弦的平衡位置是由于重力的作用，重弦的平衡位置是豎直線，試證明重弦相對于豎直線的豎直線，試證明重弦相對于豎直線的橫向微振動方程為：橫向微振動方程為：式中為弦的相對于豎直軸的橫向位移，式中為弦的相對于豎直軸的橫向位移，g是重力加速度。是重力加速度。222,txuxtxuxlxgttxu0uFTxFT x+dxF=dxu2xxx+dx一半徑為一半徑為R而表面熏黑的金屬長而表面熏黑的金屬長圓柱體，受到陽光照射，陽光方圓柱體，受