1、一、金融期權價格構成（一）金融期權的內在價值1、含義：期權的內在價值，即履約的價值，指期權合約本身所具有的價值，也是期權的買方立即執(zhí)行期權能獲得的收益。 期權的內在價值取決于協(xié)定價格與標的物市場價格的關系。 期權的內在價值不會小于零。根據(jù)內在價值，期權可分為實值、虛值和平值三種?？礉q期權看跌期權實值S XS X虛值S X平值S = XS = X看漲期權的內在價值 (T) = max0,S(T)-K看跌期權的內在價值P(T) = maxK-S(T),0 1、含義 期權的時間價值，即外在價值，指期權購買者為購買期權而實際付出的期權費超過該期權的內在價值的那部分價值。2、時間價值=期權價格-內在價值

2、 The time value represents the investors beliefs that they can make more money by selling or exercising the option at some future date. 性質 1 1:在在期權到期日，期權價格等于其內在價值（時間價值為0）。 性質 2 2:在在期權到期日之前，美式期權價格大于或等于其內在價值性質 3 3:對于具有相同標的資產和在相同執(zhí)行價格的兩個期權，距到期日較長的期權，其價格較高. .性質 4 4:對于具有相同標的資產和在相同到期日的兩個看漲期權，執(zhí)行價格越小的期權，其價格較

3、高； 對于具有相同標的資產和在相同到期日的兩個看跌期權，執(zhí)行價格越高的期權，其價格較高；性質 5 5:看漲期權的價格，不會高于標的資產的價格；Ifthepremiumofthecalloptionisgreaterthanthepriceofitsunderlyingasset:Today:buytheasset,writethecallandreceive$(C-S).Ifthecallisexerciseddeliverthestockandget$E.Ifitnotexercisedyoukeepboth$(C-S)andtheunderlyingasset.性質 6 6:看跌期權的價格

4、，不會高于執(zhí)行價格；1、協(xié)定價格與市場價格及兩者的關系（1）決定期權的內在價值（2）決定期權的時間價值協(xié)定價格與市場價格差距越大，時間價值越小，協(xié)定價格與市場價格差距越小，時間價值越大，當期權處于平值時，時間價值最大。2、權利期間（期權剩余的有效時間） 期權期間越長，套期保值時間越長，期權時間價值越大 隨著期權期間縮短，期權時間價值的增幅是遞減的。3、標的資產的收益：標的資產收益率越高，看漲期權價格越低，看跌期權價格越高。4、標的資產價格的波動性：標的資產價格波動性越大，期權價格越高5、利率：利率對看漲期權價格有正向影響，利率對看跌期權價格有負向影響影影響響因因素素歐歐式式買買權權歐歐式式賣賣

5、權權美美式式買買權權美美式式賣賣權權標的資產價格S+-+-協(xié)定價格X-+-+權利期間?+標的資產收益-+-+標的資產價格波動+利率+-+-其中：+為期權價格上升 -為期權價格下降X45內在價值期權價格時間價值S0C 看跌期權的價格看跌期權的價格X內在價值期權價格時間價值S0P6 5 4 3 2 1 0 權利期間 時間價值（一）假設條件看漲、看跌期權具有相同的執(zhí)行價格和相同的到期日，并且都是歐式期權。（二）平價關系 1、無收益資產的平價關系構造如下兩個組合：Portfolio A: 一份歐式看漲期權的多頭和 現(xiàn)金。Portfolio B:一份歐式看跌期權的多頭和一單位標的資產在 T,組合A 的價

6、值為:組合B的價值為: 因此，在t, 兩組合的價值應相等 )(tTrKe),()0 ,(KSMaxKKSMaxTT),()0 ,(KSMaxSSKMaxTTTPKeSCtTr)(2、有固定收益資產的平價關系 Where D is the PRESENTVALUEof the dividends paid over the entire life of the option.Thatis,wesubstitute(S- D)forS.)()(tTrKeDSCP3、期貨期權的平價關系 構造如下兩個組合：Portfolio A: 一份歐式期貨看漲期權的多頭和 現(xiàn)金。Portfolio B:一份歐式期

7、貨看跌期權的多頭和一份期貨合約和 現(xiàn)金。在 T,組合A 的價值為:組合B B的價值為: 因此，在t, 兩組合的價值應相等 )(tTrKe)(tTrFe),()0 ,(KFMaxKKFMaxTT),()()0 ,(KFMaxFFFFKMaxTTTPKeFeCtTrtTr)()(4、美式期權的平價關系（1）標的資產無收益的平價關系 （2）標的資產有收益的平價關系 )(tTrKeSpcKS)(tTrKeDSpcKDS（一）一）二項式定價模型與期貨定價相同，我們可以利用無套利定價原理對期權定價。方法是：構造一個證券組合，其贏利與期權正好相同(現(xiàn)金流復制方法現(xiàn)金流復制方法)。Black and Scho

8、les (1973) 正是應用這種方法得出了著名的期權定價公式。二項式定價模型，盡管簡單，但原理與Black and Scholes公式是相同的假設當前的無風險利率為20%, 股票當前的價格為60$，到時期末，股票價格要么下降到30$或上升到90 $. 90 60 30 到時期末，執(zhí)行價格為60$的期權的價值要么是0 或30. 30C 0 Cu = max (us - k),o Cd = max (ds - k),o設我們購買0.5股股票，并且從銀行借入 12.50 $. 則有： 30 = 0.5 90 - 12.5 (1+0.2) 0.5 60 -12.5 = 17.5 0 = 0.5 30

9、 - 12.5 (1+0.2) 可見，這個組合與看漲期權的盈虧完全相同，因此，看漲期權的價值與這個組合的價值相同，為$17.50. (C = 17.5) 如果期權的交易價格為$18.50 ，情況如何？此時，將出現(xiàn)套利機會。構造下列組合：賣出一份看漲期權： 買入由0.5份股票和$12.50現(xiàn)金組成的組合（由股票和債券的組合復制看漲期權）。在T時刻，兩個組合的收益相同，在時間t，投資者的凈收益為$1.00（18.5-17.5）問題：如果期權目前的交易價為$16.50 ，那么，你的套利組合應如何構建？假設 份股票+ L 現(xiàn)金可以復制看漲期權當股票價格上升到90 $，則： 90 + 1.2 L = 3

10、0 當股票價格下降到30 $，則： 30 + 1.2 L = 0 這樣： = 0.5， L= -12.5 組合與看漲期權對股票價格的敏感性相同。這個敏感性稱為套期保值比率或稱為看漲期權的系數(shù)： = C/S = (30-0) / (90-30) = 0.5 復制組合應包括份股票、借入 L 現(xiàn)金在實際中，股票的價格不僅是兩個值，可能有多個值。我們可以通過縮短每一步的時間周期，采取多步驟的方法，構造二叉樹模型的方法來模擬股票的多個值。為求解多階段的二叉樹模型，我們只要重復求解單階段的二叉樹模型即可，因此，我們首先要得出一般的單階段二叉樹模型。l符號設： S：標的物現(xiàn)行價格u：標的物價格可能上漲倍率（

11、u 1）d：標的物價格可能下降倍率（d 1） R = 1 +單周期的無風險利率為了防止出現(xiàn)套利機會，要求：d R u 當股票價格上升時， Su = u S ； 當股票價格下降時， Sd = d S 在到期日，期權的盈虧為：如果股票價格上升：Cu = max (us-k),o如果股票價格下降： Cd = max (ds-k),o l構造下列組合：買入 份股票+ 以無風險利率借入L 現(xiàn)金以復制看漲期權，則： u S + R L = Cu d S + R L = Cd 解之，得： = (Cu - Cd)/ (u S - d S)L = - (dCu - u Cd) / R (u-d) 注意：對看漲期

12、權來說，L 總是負值（總是借入資金）。問題：導出復制看跌期權組合的計算公式。記：記： C = S + L C = 1/R (q Cu + (1-q) Cd) 如果q是股票價格上漲的概率，則看漲期權的價格是期權未來價值的期望值的貼現(xiàn)值。l 衍生證券的風險中性定價 如果每個人都是風險中性的，股票的期望收益率將等于無風險收益率R. 在風險中性的世界中，股票上升的概率為q（注意在實際中，股票上升的概率為p，投資者是風險厭惡的 ）看漲期權的價格是期權未來價值的期望值的貼現(xiàn)值： C = 1/R q Cu + (1-q) Cd 一般公式為：Derivative Price = EQ(1/R)(T-t) Pa

13、yoff 此公式說明衍生證券的價格是其盈虧貼現(xiàn)值的期望值 (風險中風險中性的世界中性的世界中) dudRqduRuq1SSuSdSu2SudSd2CdCCuCu2Cd2Cud根據(jù)單階段模型： Cu = (q Cuu + (1-q) Cud) / R Cd = (q Cud + (1-q) Cdd) / R 當?shù)玫紺u 、 Cd ，再使用單階段模型，得：C = 1/R2 q2 Cuu + 2 (1- q) q Cud +(1-q)2 Cdd 同樣，這也是一般模型的特例：Derivative Price = EQ(1/R)(T-t) Payoff 在二叉樹模型中，確定u, d, and q是關鍵，

14、這里應用風險中性定價法估計這些數(shù)值。在風險中性世界中：l所有可交易證券的期望收益都是無風險利率；l未來現(xiàn)金流可以用期望值按無風險利率貼現(xiàn)假設股票的價格遵從幾何布朗運動，記：r為連續(xù)復利的無風險收益率，S為期初的證券價格，則在很小小 t末證券價格的期望值為 ：對一個價格遵從幾何布朗運動的股票來說，在t 內證券價格變化的方差為 （ ）為股票價格以年計的波動標準差。根據(jù)方差的定義，有：trSeSdqqSuSetr)1 ( tS22),(ttSS 假設d=1/u（Cox, Ross, Rubinstein的條件），解上面的三式，得u, d, and q的估計值為： teu t-ed dudRqdude

15、tr222222222)1 ()1 (dqquSdSquqStS)1 (dutrfqqfef看漲期權的價格是收益貼現(xiàn)值的期望，當標的資產的易變性增加時，標的資產價格出現(xiàn)極端值的概率增加，那么看漲期權處于實值或虛值的可能性增加，因此，波動性越高，盈虧貼現(xiàn)的期望值就越高，看漲期權的價格就越高。 What about a put option? l有紅利資產期權的定價支付連續(xù)紅利率資產的期權定價 記標的資產支付連續(xù)紅利率為i, 在風險中性條件下，可以用r- i 替代上面公式中r即可，其他不變。 這時，對于期貨期權，可以將期貨看成支付連續(xù)紅利率為r的證券，則 dudRqdudeti)-(rdud1ql

16、支付已知紅利率資產的期權定價若標的資產在未來某一確定時間將支付已知紅利率 （紅利與資產價格之比），我們可以通過調整各節(jié)點上的證券價格，計算期權價格，調整方法為：如果時刻 在除權日之前，則各結點處的證券價格不變，為：如果時刻 在除權日之后，則各結點處的證券價格為tiijdSujii, 2 , 1,tiijduSjii, 2 , 1,)1 ( 在二叉樹模型的中，假定無風險利率是常數(shù)，這顯然與實際不符。合理的假設是 ，即在時刻t的結點上，其應用的利率等于t到 之間的的遠期利率。其他條件不變，這樣，資產價格上升的概率為：tt)(tfr dudetf(t)qlq=0.5的二叉樹圖 如果在上面分析中，不假

17、定d=1/u，而令q=0.5，則當 的高階小量可以忽略時，得：tttirttiredeu2222)2/()2/(基本原理： 期權A和期權B的性質相似（如其他條件相同的歐式和美式期權），我們可以得到期權B的解析定價公式，而只能得到期權A的數(shù)值方法解。記 為期權B的真實價值（解析解）， 為期權A的較優(yōu)估計值， 分別表示用同一種方法計算出的期權估計值。假設用數(shù)值計算出的期權B的誤差等于期權A的誤差，即：可以證明，當 與 之間相關系數(shù)較大時，這說明這個方法減少了期權A的價值估計的方差，我們利用 和 的信息改進了對期權A的價值的估計。BfAfAfBfAABBffffAfBf)var()var(AAffB

18、fBf當二項式模型的區(qū)間長度很小，區(qū)間個數(shù)達到無窮時，二項式模型收斂于Black-Scholes模型1、假設條件l期權的標的物為一風險資產，允許賣空，并且完全可分l在期權到期日前，標的資產無任何收益和支付。l標的資產的交易是連續(xù)的，其價格的變動也是連續(xù)的，均勻的，既無跳空上漲，又無跳空下跌。標的資產價格的波動性為一已知常數(shù)。l存在著一個固定不變的無風險利率，交易者可以按此利率無限制地借入或貸出。l期權是歐式的，到期日前不執(zhí)行，不存在無風險套利機會l標的物的價格服從于對數(shù)正態(tài)分布，股票的收益率服從正態(tài)分布。 （1）Ito過程與Ito引理lIto過程lIto引理 若變量x遵從Ito過程，則變量x與

19、t的函數(shù)G將遵從下列過程dztxbdttxadx),(),(bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222dtdzl證券價格的變化過程l衍生證券價格的變化過程 l證券價格自然對數(shù)變化過程 令G=lnS,代入上式得：SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222dzdtdG)21(2l推導： 由上面的公式得：構造如下組合：該組合在 后必定沒有風險，因此，該組合在 中的瞬時收益率一定等于 的無風險收益率。zStSSzSSftSSftfSSff)21(2222SSfftSSftfSSff)21(2222ttt這樣有：將有關式子代入得：化簡得：邊界條件：C(T) = max0,S

20、(T)-KtrtSSffrtSSftf)()21(2222rfSSfSfrStf222221假設每個投資者都是風險中性的，利用風險中性定價模型， Derivative Price = EQ(1/R)(T-t) Payoff 歐式看漲期權的價值為： 假設標的物的價格服從于對數(shù)正態(tài)分布，股票的收益率服從正態(tài)分布， 我們得到Black-Scholes 定價公式為： )0 ,max()(KSEeCTtTr),)(2(lnln2tTtTrSST)N(dK)SN(dC2)(1tTret-T21t-Tt)-r(T)KSln(d1t-Tdd12r ：The annualized riskless intere

21、st rate from today until expiration. T：Time to expiration, in years (for example, 3 months = 0.25). e = 2.7183. = The instantaneous standard deviation of the assets return, annualized. The volatility annualized. The terms N(d1) and N(d2 ) are the cumulative standard normal distributions of d1 and d2

22、.（see picture） 應用平價公式，可得到無收益股票歐式看跌期權定價模型無收益股票歐式看跌期權定價模型:)SN(-d-)N(-dK)N(d-S1-)N(d-1KP12)(12)(tTrtTreel當標的證券有現(xiàn)值為I的收益時，用（S-I)替代S即可；當標的證券的收益率為di時，用 替代S即可。例如， 記di為年紅利率（from today until expiration） 應用平價公式，得有收益率的股票歐式看跌期權定價模型: )N(dK)N(dSC2)(1)(tTrtTdieet-T21t-Tt)-di)(T-r ()KSln(d1t-Tdd12)N(-dS-)N(-dK)N(d-1

23、S-)N(d-1KP1)(2)(1)(2)(tTditTrtTditTreeee)(tTdiSe 應用平價公式，得期貨歐式看跌期權定價模型:)N(dK)N(dFC2)(1)(tTrtTreet-T21t-T)KFln(d1t-Tdd12)N(-dF-)N(-dK)N(d-1F-)N(d-1KP1)(2)(1)(2)(tTrtTrtTrtTreeee當標的證券為時，用 替代S即可。)(tTrFe使用model對期權定價存在兩類風險 l模型特有風險 當股票價格偏離模型分布假設（對數(shù)正態(tài)）時，期權定價模型就存在誤差；特別是：n Jump risk.（跳躍風險） (The Black Scholes

24、model does not allow for sudden big changes in stock prices.)n Volatility may not be constant over time. l估計風險：估計風險： 我們僅僅能得到的是易變性的估計值。我們僅僅能得到的是易變性的估計值。所以，必須記住，所有基于所以，必須記住，所有基于期權定價模型計算的價格和無風險交易策略都僅是一個估計值。 問題：問題：當股票價格不服從對數(shù)正態(tài)分布時，期權如何定價？應用期權定價應用期權定價模型對我國證券市場的權證定價，并分析產生誤差的原因？在 Black-Scholes 和其他的期權定價模型中，易

25、變性是最難確定的一個輸入變量，因為易變性不能被觀測到，而且必須進行估計，其他輸入變量則能被觀測到，相對容易確定。有三類易變性:n 期權有效期內未來易變性： The input required in option models to calculate the options theoretical price.n 歷史易變性：給定樣本基礎上計算的過去收益率的樣本標準差 n 隱含易變性：當期權市場價格等于特定模型（如Black-Scholes model 或the binomial model ）的理論價格時的標準差 對未來易變性的確定沒有一種完全正確的方法。一般可以應用多種方法進行估計，如應

26、用隱含易變性作為未來易變性的估計值，或應用歷史易變性作為未來易變性的估計值，也有人應用GARCH 統(tǒng)計模型，估計未來易變性 什么是GARCH模型？如何應用GARCH估計未來易變性？如何判斷估計的精度？（1）波動率微笑與波動率期限結構 在現(xiàn)實世界中，波動率為常數(shù)的假設是不成立的。人們通過研究發(fā)現(xiàn)，應用期權市場價格和BS公式計算出來的隱含波動率具有以下兩方面的變動規(guī)律：l隱含波動率會隨期權的執(zhí)行價格不同而不同，這個規(guī)律被稱為“波動率微笑”；l隱含波動率會隨期權到期時間不同而不同，這個規(guī)律被稱為“波動率期限結構”；l波動率微笑產生的原因： 市場分布與BS假設分布（對數(shù)正態(tài)分布）存在差異。而且還與標的

27、資產有關；l貨幣期權的波動率微笑及隱含分布隱含波動率呈u形，平價時波動率最低、實值或虛值時波動率會上升，且兩邊對稱（深度虛值、實值看跌、看漲期權價格均較高（相對于BS公式計算 ）（隱含波動率高）匯率的極端變化要比對數(shù)正態(tài)分布所描述的更經常出現(xiàn)（跳躍）價格的跳躍和波動率的隨機性對波動率的影響會隨時間而改變l股票期權的波動率微笑及隱含分布隱含波動率呈右偏斜狀，波動率隨執(zhí)行價格的上升而下降，且不對稱；說明深度虛值看跌期權價格或深度實值看漲期權價格（執(zhí)行價低）會相對較低（隱含波動率低）；深度虛值看漲期權價格或深度實值看跌期權價格會較高（隱含波動率高。相對于BS公式）可能的解釋：與股市崩盤有關，這使得價

28、格下跌的可能性遠大于上升的可能性。l含義：隱含波動率隨到期日不同所表現(xiàn)出來的變化規(guī)律；l期限結構：從長期來看，波動率具有均值回復的特征。即到期日越近，隱含波動率變化越大，隨著到期日的延長，隱含波動率將逐步向歷史波動率的平均值靠攏；波動率微笑的形狀也受期權到期日時間的影響。到期日時間越近，波動率微笑越顯著，到期日時間越長，不同價格的隱含波動率差異越小。l波動率矩陣（波動率微笑與期限結構的結合）有效期 執(zhí)行價格 0.9 0.95 1.00 1.05 1.10一個月三個月六個月一年兩年五年 14.2 13.0 12.0 13.1 14.5 14.0 13.0 12.0 13.1 14.2 14.1

29、13.3 12.5 13.4 14.3 14.7 14.0 13.5 14.0 14.8 15.0 14.4 14.0 14.5 15.1 14.8 14.6 14.4 14.7 15.0024681012141612345系列1系列2系列3系列4系列5系列6在BS公式中，假定無風險利率、波動率以及紅利收益率都是常數(shù)，但實際上這些都是變化的。 對于這些不確定的參數(shù)值,Avellaneda, Levy等人提出了解決的基本思路，即假設我們知道這些參數(shù)位于某一特定的區(qū)間內，之后考慮最悲觀的情況下，我們的期權至少值多少。這樣，我們不會計算出期權的某一特定價值，而是計算期權的價值區(qū)間。l不確定波動率 假

30、設 ，我們沿用BS模型的無套利組合方法，構造下列組合： 根據(jù)Ito引理和證券收益率正態(tài)分布的假設，有SSffdtSSftfd)21(2222由于我們只知道波動率的范圍，所以我們可以計算出最糟糕情況下的期權價值，其方法為：在給定的波動率范圍內取組合價值的最小值，并使其等于無風險收益，這樣，可以計算出期權的最小值。其公式為：令要實現(xiàn)左邊最小，當 為正時，應取 ，當 為負時，應取期權下限應滿足：也就是說，當 為正時，我們用 代替BS公式中的 ， 可直接求出期權的最小值；當 為負時，可用 代替BS公式中的 求解。dtSSffrdtSSftf)()21(min222222Sf0)(212222rfrSS

31、fSSftf其中，當然，也可以算出上限，即：也就是說，當 為正時，應取 ，當 為負時，應取 ，代入到BS公式中，求出期權的最大值。22Sf0,0,)(0)(212222rfrSSfSSftf22Sf0,0,)( 假設無風險利率位于 ，與上面相同的方法，構造下列組合： 并得到 由上式可知，求出期權的最小、最大值的利率取決于 的符號。如果在最差的情況下， 為正，則利率應取最大值， 負時，利率應取最小值。其原因是，當組合為正時，我們在期權上有正的投資（賣空資產的收入不足于支付期權多頭的價格），此時，利率越高越不利。相應的方程為： 其中，dtSSffrdtSSftf)()21(22220)(212222fSSfrSSftfrrrSSffSSff0,0,)(rrr也就是說，當 為正時，我們用 代替BS公式中的 ， 可直接求出期權的最小值；當 為負時，可用 代替BS公式中的 求解。rrrr 支付連續(xù)紅利率的股票衍生證券所滿足的微分方程。與上面相同的方法，構造下列組合： 并得到 在 內，證券組合的投資者獲得資本利得 ，以及紅利為：則在 內，證券組合的投資者的財富變化為由于組合是瞬態(tài)無風險的，則有：tSSftf)21(2222tSfqSSSftfW)21(2222ttSfqStrWSSff