1、1 5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分 5.2 5.2 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分20002()( )( )()( )limlim()()limhhhf xhf xf xf xhfxhhf xhf xhh 微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然，而又簡單的方法就是，自然，而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商取極限的近似值，即差商.5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.1 5.1.1 差商型求導(dǎo)公式差商型求導(dǎo)公式3000()()()f xhf xfxh 由由Taylor展開展開2000002()()()( ),!hf xhf xhfxfxxh因此，有誤差因此，有誤差0002

2、()()( )()( )( )!f xhf xhR xfxfO hh 5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.1 5.1.1 差商型求導(dǎo)公式差商型求導(dǎo)公式4000()()()f xf xhfxh 由由Taylor展開展開2000002()()()( ),!hf xhf xhfxfxxh因此，有誤差因此，有誤差0002()()( )()( )( )!f xf xhhR xfxfO hh 5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.1 5.1.1 差商型求導(dǎo)公式差商型求導(dǎo)公式50002()()()f xhf xhfxh 由由Taylor展開展開23000010102300002020()()()()(

3、),2!3!()()()()(),2!3!hhf xhf xhfxfxfxxhhhf xhf xhfxfxfxhx因此，有誤差因此，有誤差00022212()()( )()2 ()()( )()126f xhf xhR xfxhhhfffO h5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.1 5.1.1 差商型求導(dǎo)公式差商型求導(dǎo)公式6由誤差表達(dá)式，由誤差表達(dá)式，h h越小，誤差越小，但同時舍入誤差增大，越小，誤差越小，但同時舍入誤差增大，所以，有個所以，有個最佳步長最佳步長我們可以用事后誤差估計(jì)的方法來確定我們可以用事后誤差估計(jì)的方法來確定設(shè)設(shè)D(h),D(h/2)D(h),D(h/2)分別為步長為

4、分別為步長為h,h/2h,h/2的差商公式。則的差商公式。則( )( )2hD hD 時的步長時的步長h/2h/2就是合適的步長就是合適的步長( )( )( )( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )( )2( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )2( )2 ( /2)fxD hfxD h( )( /2)( )( /2)fxD hD hD h7f(x)=exp(xf(x)=exp(x) )hf(1.15)R(x)hf(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.004

5、00.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032例：例：8 插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。( )( )( )( )kknfxLx 誤差誤差(1)( )( )( )( )( )(1)!nnnnfRxxf xLxn (1)( )( )( )( )(1)!

6、knknnkdfRxxdxn 5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.2 5.1.2 插值型求導(dǎo)公式插值型求導(dǎo)公式注意注意：為了便于估計(jì)誤差，限定只能對節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值采用插值為了便于估計(jì)誤差，限定只能對節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值采用插值多項(xiàng)式的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似。多項(xiàng)式的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似。91 1、兩點(diǎn)公式、兩點(diǎn)公式5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.2 5.1.2 插值型求導(dǎo)公式插值型求導(dǎo)公式01011010110101001010110()()( )()()()()()()()()xxf xf xxxL xf xf xxxxxxxf xf xfxxxf xf xfxxx 給定兩點(diǎn)上的函數(shù)值給定兩點(diǎn)上

7、的函數(shù)值 01(),(),f xf x這稱為這稱為兩點(diǎn)公式兩點(diǎn)公式。 10截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差: 00010010100()()()() |2!()|2!()2xxxxfR xxxxxfxxxxhf 左左端端11111011101()()()() |2!()|2!()2xxxxfR xxxxxfxxxxhf 右右端端11若給定三點(diǎn)上的函數(shù)值若給定三點(diǎn)上的函數(shù)值 則由則由 0(),0,1,2,iiiyf xxxih i 0201122012010210122021020112012010210122021xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyxxxx

8、xxxxxxxx 0120202020121200122223 ()4 ()()()()(5.1.8)2()():()()(5.1.9)2()4 ()3 ()()()(5.1.10)2f xf xf xfxL xhyyf xf xfxL xxxhf xf xf xfxL xh 得得這稱為這稱為三點(diǎn)公式三點(diǎn)公式，其中（，其中（5.1.95.1.9）又稱為）又稱為中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式。 2、三點(diǎn)公式三點(diǎn)公式12220122122223()()3()-()6()()3hRxfhRxfhRxf 左左 端端 中中 右右 端端 例例1 1：已知列表：已知列表X 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70Y

9、 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317(2.50),(2.6),(2.7)fff求求的的近近似似值值。13解解: h=0.051(2.50)( 3 1.581144 1.596871.61245)2 0.050.3161f 1(2.60)( 1.596871.62788)2 0.050.3101f 1(2.70)(1.612454 1.627883 1.64317)2 0.050.3044f 140212201011210120122021()()()()( )()()()()()()()()ixxxxxxxxL xyyxxxxxxxxxxxxyxxx

10、x二階導(dǎo)數(shù)公式及誤差二階導(dǎo)數(shù)公式及誤差對其求二階導(dǎo)數(shù)得對其求二階導(dǎo)數(shù)得01222()2 ()()()(),0,1,2(5.1.12)iif xf xf xfxL xih 由由Taylar展開可得誤差估計(jì)式展開可得誤差估計(jì)式 24()(),0,1,2(5.1.13)12iihfxPxfi 155.2 5.2 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分5.2.1 5.2.1 插值型求積公式插值型求積公式 （1 1）插值型求積公式）插值型求積公式 （2 2）Newton-CotesNewton-Cotes型求積公式型求積公式 （3 3）梯形公式、）梯形公式、SimpsonSimpson公式和公式和CotesCotes公式公式

11、5.2.2 5.2.2 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 （1 1）復(fù)化梯形公式）復(fù)化梯形公式 （2 2）復(fù)化）復(fù)化SimpsonSimpson公式公式5.2.3 Romberg5.2.3 Romberg積分法積分法 （1 1）梯形逐步減半算法）梯形逐步減半算法 （2 2）RombergRomberg積分法積分法 16 問題：問題：如何求積分如何求積分,d)( baxxfI數(shù)學(xué)分析：數(shù)學(xué)分析：牛頓牛頓- -萊布尼茨萊布尼茨( (Newton-Leibniz) )公式：公式： ).()(d)(aFbFxxfba N-LN-L公式失效的情形：公式失效的情形： （1 1）被積函數(shù)，諸如）被積函數(shù)，諸如 等等

12、，找不到用等等，找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)；初等函數(shù)表示的原函數(shù)； 2sin, sinxxx （2 2）當(dāng)）當(dāng) 是由測量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表是由測量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表. .這時，牛頓這時，牛頓- -萊布尼茨公式也不能直接運(yùn)用萊布尼茨公式也不能直接運(yùn)用; ; ()fx17 問題問題：點(diǎn)：點(diǎn)的具體位置一般是不知道的，因而難以的具體位置一般是不知道的，因而難以 準(zhǔn)確算出準(zhǔn)確算出 的值，怎么辦？的值，怎么辦？)(f 只要對平均高度只要對平均高度 提供一種算法，相應(yīng)地便可獲得提供一種算法，相應(yīng)地便可獲得)(f一種數(shù)值求積方法一種數(shù)值求積方法. . 由積分中值定理知，在積分區(qū)間由積分中值定

13、理知，在積分區(qū)間 內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn)，成立成立 ,ba)()(d)( fabxxfba 構(gòu)造數(shù)值積分公式的基本思想：構(gòu)造數(shù)值積分公式的基本思想：).()()(afabdxxfba （1）左矩形公式）左矩形公式18（3 3）用區(qū)間中點(diǎn)）用區(qū)間中點(diǎn) 的的“高度高度” ” 近似地取代平近似地取代平均均高度高度 ，則又可導(dǎo)出所謂中矩形公式，則又可導(dǎo)出所謂中矩形公式2abc ()fc)(f).2()()(bafabdxxfba ).()()(bfabdxxfba （2）右矩形公式）右矩形公式（4 4）用兩端點(diǎn)）用兩端點(diǎn)“高度高度” ” 與與 的算術(shù)平均作為平均高的算術(shù)平均作為平均高度度)(af)(bf

14、)(f的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式)()(2)(bfafabdxxfba 是梯形公式是梯形公式. . 19 一般地，可以在區(qū)間一般地，可以在區(qū)間 上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn)上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn) ，,bakx然后用然后用 加權(quán)平均得到平均高度加權(quán)平均得到平均高度 的近似值，這樣的近似值，這樣()kfx)(f nkkkbaxfAxxf0)(d)(權(quán)權(quán) 僅僅與節(jié)點(diǎn)僅僅與節(jié)點(diǎn) 的選取有關(guān)，的選取有關(guān)，kAkx構(gòu)造出的求積公式具有下列形式：構(gòu)造出的求積公式具有下列形式：的具體形式的具體形式. . ()fx 而不依賴于被積函數(shù)而不依賴于被積函數(shù)式中式中 稱為稱為求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)； 稱為稱

15、為求積系數(shù)求積系數(shù), ,亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)亦稱伴隨節(jié)點(diǎn) 的的權(quán)權(quán). kxkAkx將這種思想一般化：將這種思想一般化：20（1 1）插值型求積公式）插值型求積公式 思思想想是是：進(jìn)進(jìn)行行插插值值型型數(shù)數(shù)值值積積分分的的對對于于 dxxfba)(), 1 ,0)(,)1(,.110nixfbxxxaxnbaini 算算出出：個個分分點(diǎn)點(diǎn)插插入入將將x0 x1-xi-1xixi+1-xnf(x0)f(x1)-f(xi-1)f(xi)f(xi+1)-f(xn)2.2.由下列列表函數(shù)求由下列列表函數(shù)求L-L-插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式)()()(0 niiinxlxfxL21 dxxLdxxfnbaba)()(.

16、300()( )()nnbia iiiniif xl x dxA f xI 記記為為稱為稱為插值型求積公式插值型求積公式， 稱為稱為求積求積節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)， nxxx,10稱為稱為求積系數(shù)求積系數(shù)，其和 ), 1 , 0()(nidxxlAibadefi 00()nnbiaiiibaAlx dxdxba 22求積系數(shù)求積系數(shù) 通過插值基函數(shù)通過插值基函數(shù) 積分得出積分得出 kA()klx.d)( bakkxxlA 由插值余項(xiàng)定理即知，其由插值余項(xiàng)定理即知，其余項(xiàng)余項(xiàng) nIIfR 式中式中與變量與變量 有關(guān)，有關(guān)， x01()()()().nxxxxxxx ,d)()!1()()1( banxxnf

17、因此，當(dāng)因此，當(dāng) f(x) f(x) 為次數(shù)不超過為次數(shù)不超過 n n 次的多項(xiàng)式時，插值型求次的多項(xiàng)式時，插值型求積公式精確成立。積公式精確成立。 23（2） Newton-Cotes公式公式 nnjijinbanjijnnjijjijbaiiidtjtininabhdtjijtdxxxxxdxxlAthaxninabhihax00000)(! )( !)1()(, 1 , 0;得得由由 nnjijinnidtjtniniC00)()!( !)1(記記則則 ， niiCabA)( 0()()nnniiiIbaCf x 考慮等距節(jié)點(diǎn)的情形考慮等距節(jié)點(diǎn)的情形 Newton-Cotes公式公式Co

18、tesCotes系數(shù)系數(shù) 24n=1,2,4的的N-C公式公式21)!11(!11)1(21)1()!01(!01)1(,11011)1(11001)1(0 tdtCdttCn有有時時這稱為這稱為梯形公式梯形公式； 幾何意義：用梯形面積幾何意義：用梯形面積代替代替f(x)作為曲邊的曲邊作為曲邊的曲邊梯形面積。梯形面積。 nnjijinnidtjtniniC00)()!( !)1( TbfafabI記記為為 )()(21xy)(xfy )(1xLy 圖圖1 梯形公式梯形公式 ab（3 3）梯形公式、）梯形公式、SimpsonSimpson公式和公式和CotesCotes公式公式2561)1(21

19、64)2(2161)2)(1()!02(! 02)1(,220)2(220)2(12002)2(0 dtttCdtttCdtttCn有有時時SbfbafafabxfCxfCxfCabxfCabIiii記記 )()2(4)(6)()()()()()()(2)2(21)2(10)2(020)2(2這稱為這稱為Simpsion公式公式。 nnjijinnidtjtniniC00)()!( !) 1()(xfy )(2xLy xy圖圖2 Simpson公式公式 ab幾何意義：用拋物線幾何意義：用拋物線 作曲邊的曲邊作曲邊的曲邊梯形面積代替梯形面積代替f(x)作作為曲邊的曲邊梯形面積。為曲邊的曲邊梯形面

20、積。 )(2xLy 26 CfffffabIn記為記為有有時時 4321047321232790,4這稱為這稱為Cotes公式公式。 3()()()2 !()()()2()()( 5 .2 .8 )1 2bTabafExaxbd xfxaxbd xbaf 求積公式的誤差（余項(xiàng)）求積公式的誤差（余項(xiàng)）275(4)( ),( , )(5.2.9)90shEfa b 8(6)( ),( , ),(5.2.10)945ChEfa b 28 例例 5. 1 分別用梯形公式、分別用梯形公式、Simpson公式計(jì)算定積分公式計(jì)算定積分 10 xIe dx 01101.85914;2Iee 解解11.7182

21、8;Ie梯形公式的誤差梯形公式的誤差1.859141.718280.14086.SimpsonSimpson公式及誤差公式及誤差10121041.71886;6Ieee 1.718861.718280.00058.29 nkbankxxkmdefnmxxmxxkmkkkdxxfdxxfIFnkdxxfdxxLIxxnabhnkkhaxbakkkkkk111)()(, 2 , 1)()(,), 1 , 0( ,111合合并并得得上上作作近近似似在在每每一一個個小小區(qū)區(qū)間間作作等等距距分分割割對對區(qū)區(qū)間間5.2.2 5.2.2 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 30當(dāng)取當(dāng)取 m=1 時，稱為時，稱為復(fù)化梯

22、形公式復(fù)化梯形公式，簡記為，簡記為Tn()11111()()2( )( )2()(5.2.11)2nnnkkknkkhTFf xf xbaf af bf xn （1 1）復(fù)化梯形公式）復(fù)化梯形公式 nkxfxfhIITxxkkkkkk, 2 , 1)()(2.,1111 公公式式，積積分分值值積積為為上上使使用用對對區(qū)區(qū)間間31當(dāng)取當(dāng)取 m=2 時，稱為時，稱為復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式，簡記為，簡記為Sn12212201122110()4 ()()3( )( )2()4()(5.2.13)6nniiiinniiiihSf xf xf xbaf af bf xf xn 22222122,2

23、()4 ()()0,1,2,13iiiiibaxxSimpsonhnhf xf xf xin 上上使使用用公公式式： ( ( = =) )（2 2）復(fù)化）復(fù)化SimpsonSimpson公式公式32復(fù)合求積公式的誤差（余項(xiàng)）復(fù)合求積公式的誤差（余項(xiàng)） 2(4)4(5.2.12)12( )(5.2.14)2880nnTnSnbaEITfhbaEISfh 3310 xe dx 解：解：使用復(fù)化梯形公式使用復(fù)化梯形公式使用復(fù)化使用復(fù)化Simpson公式：公式：例例 5. 3 5. 3 分別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化分別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化SimpsonSimpson公式計(jì)算定積分公式計(jì)算定積分 7811

24、1(0)(1)22 881.7205kkTfff 334101 111(0)(1)224(21)6 4881.7183iiSfffifi 34 為便于估計(jì)誤差，實(shí)際計(jì)算時常常采用步長逐次減半的算為便于估計(jì)誤差，實(shí)際計(jì)算時常常采用步長逐次減半的算法，下面介紹其思想。法，下面介紹其思想。 由由 2222)(1212 hfabTIhfabTInn 2221 nnTITI得得5.2.3 Romberg5.2.3 Romberg積分法積分法 （1 1）梯形逐步減半算法）梯形逐步減半算法 221()41nnnITTT 352222231()(5.2.17)411()(5.2.18)41nnnnnnISSS

25、ICCC 類類似似可可得得所以得所以得 221()(5.2.15)41nnnITTT 所以所以 36 根據(jù)式根據(jù)式 (5.2.15) 進(jìn)行進(jìn)行事后誤差估計(jì)事后誤差估計(jì) ， 如此遞推計(jì)算，如此遞推計(jì)算，直到某個直到某個n 滿足滿足 為止為止 ，取取 為所求的近似值，為所求的近似值，這就是這就是梯形公式的步長逐次減半算法梯形公式的步長逐次減半算法。因此，可先用因此，可先用 計(jì)算出計(jì)算出T1，并把步長，并把步長減半算出減半算出T2 ，若，若 則則T2 即為即為所求的近似值，否則再把步長減半，算出所求的近似值，否則再把步長減半，算出T4;)()(21bfafabT ,(3112為精度要求）為精度要求）

26、 TT,3124TT nnTT231nT237為減少計(jì)算量，需建立遞推公式，現(xiàn)對復(fù)合梯形公式推導(dǎo)之。為減少計(jì)算量，需建立遞推公式，現(xiàn)對復(fù)合梯形公式推導(dǎo)之。 21111121 ( )( )4 ( )( )41(21)(5.2.12()22(2)22(21)2226)2nknmnmnnnmbaf aknbaf abaTf af bnbaf af bnbmnabaTf ambaf amnnn 這里這里 對應(yīng)于新的步長，對應(yīng)于新的步長， 對對應(yīng)于新分點(diǎn)。應(yīng)于新分點(diǎn)。 nab2 ), 2 , 1(2)12(nmnabma 11 ( )( )2()2nnkbabaTf af bf aknn 由由38因此可

27、建立梯形公式的步長逐次減半遞推公式：因此可建立梯形公式的步長逐次減半遞推公式： 01122221 ( )( )21(21)222(1,2,)kkkkkibaTf af bbabaTTf aik 39 類似地，可對類似地，可對 Simpson 公式和公式和 Cotes 公公式分別利用（式分別利用（5.2.17）和（）和（5.2.18）進(jìn)行事后）進(jìn)行事后誤差估計(jì)，建立步長逐次減半的算法。誤差估計(jì)，建立步長逐次減半的算法。 *222,.nnnnnIIIIII區(qū)間折半即若則4010sin(0.9460831)xIdxIx 例例計(jì)計(jì) 算算9397933. 09588510. 0219207355. 02

28、1)21(21219207355. 08414709. 0121)1()0(20112210 fTTffT9456909. 0)87()85()83()81(81219445135. 09088516. 09896158. 0419397933. 021)43()41(412123122222 ffffTTffTT解解:419460831. 0109460830. 099460827. 089460815. 079460796. 069460596. 059459850. 049456909. 039445135. 029397933. 019207355. 002kTk計(jì)算結(jié)果見下表計(jì)算結(jié)果見下表4222222221()(5.2.15)411()034133,1(4)(5.2.20)3nnnnnnnnnnnnnITTTITTTTTTTTSSTT 由由得得比比精精度度更更高高?？伎疾觳炜煽芍?，即即有有這說明收斂較快的這說明收斂較快的 Simpson 步長減半序列步長減半序列 可由梯形公式的可由梯形公式的步長減半序列步長減半序列 構(gòu)造生成。構(gòu)造生成。 2kS 2kT5.2.3 Romberg積分法積分法（2）Romberg積分法積分法43類似地，類似地， 22222221()(5.2.17)411(4)0411(16)(5.2.22)15nnnnn