1、備戰(zhàn)2021年九年級(jí)中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)高分沖刺訓(xùn)練幾何綜合：四邊形綜合（五）1如圖，在ABC中，ACB90°，A30°，BC6cm，CD是中線點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以4cm/s速度沿折線CDDB勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)P作PQAC，垂足為點(diǎn)Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且MQPQ點(diǎn)M，C始終位于PQ的異側(cè)，矩形PQMN與ACD的重疊部分面積為S（cm2），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）當(dāng)點(diǎn)N在邊AB上時(shí)，t s（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（3）當(dāng)矩形PQMN與ACD的重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出t的取值范圍2如圖，在RtABC中，ACBC4，ACB90°，正方形BD

2、EF的邊長(zhǎng)為2，將正方形BDEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接AE、BE、CD（1）請(qǐng)判斷線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（3）設(shè)AE的中點(diǎn)為M，連接FM，試求線段FM長(zhǎng)的最大值3如圖所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，G、A、B在同一直線上，點(diǎn)E在AD上，連接DG，BE（1）證明：BEDG；（2）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖所示，判斷BE與DG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）探究：如圖所示，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD2AB，AG2AE時(shí)，判斷BE與DG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否與（2）的結(jié)論相同，并說明

3、理由4如圖1，ABCD為正方形，將正方形的邊CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE，記BCE，連接BE，DE，過點(diǎn)C作CFDE于F，交直線BE于H（1）當(dāng)60°時(shí)，如圖1，則BHC ；（2）當(dāng)45°90°，如圖2，線段BH、EH、CH之間存在一種特定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你通過探究，寫出這個(gè)關(guān)系式： （不需證明）；（3）當(dāng)90°180°，其它條件不變（如圖3），（2）中的關(guān)系式是否還成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并簡(jiǎn)要證明5四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)連結(jié)DE、CF（1）若四邊形ABCD是矩形，AD12，CD10

4、，如圖（1）請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)度；當(dāng)DECF時(shí)，試求出CF長(zhǎng)度（2）如圖（2），若四邊形ABCD是平行四邊形，DE與CF相交于點(diǎn)P探究：當(dāng)B與EPC滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論6我們把對(duì)稱中心重合，四邊分別平行的兩個(gè)正方形之間的部分叫“方形環(huán)”，易知方形環(huán)四周的寬度相等一條直線l與方形環(huán)的邊線有四個(gè)交點(diǎn)M、M、N、N小明在探究線段MM與NN 的數(shù)量關(guān)系時(shí)，從點(diǎn)M、N向?qū)呑鞔咕€段ME、NF，利用三角形全等、相似及銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)解決了問題請(qǐng)你參考小明的思路解答下列問題：（1）當(dāng)直線l與方形環(huán)的對(duì)邊相交時(shí)，如圖1，直線l分別交AD、AD、BC、BC于M、M、N、N，小明發(fā)現(xiàn)MM與N

5、N相等，請(qǐng)你幫他說明理由；（2）當(dāng)直線l與方形環(huán)的鄰邊相交時(shí)，如圖2，l分別交AD、AD、DC、DC于M、M、N、N，l與DC的夾角為，你認(rèn)為MM與NN還相等嗎？若相等，說明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函數(shù)表示）7定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做神奇四邊形順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形（1）判斷：在平行四邊形、矩形、菱形中，一定是神奇四邊形的是 ；命題：如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，則四邊形ABCD是神奇四邊形此命題是 （填“真”或“假”）命題；神奇四邊形的中點(diǎn)四邊形是 ；（2）如圖2，分別以RtACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形AC

6、FG和正方形ABDE，連接BE，CG，GE求證：四邊形BCGE是神奇四邊形；若AC2，AB，求GE的長(zhǎng)；（3）如圖3，四邊形ABCD是神奇四邊形，若AB6，CD，AD、BC分別是方程x2（k+4）x+4k0的兩根，求k的值8如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，ABC60°，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)E恰好在y軸上，點(diǎn)G是BC中點(diǎn)，直線AG交BD于F（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ；（2）如圖1，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，連接FH，請(qǐng)求出FH+DH的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)N是直線AC上的一點(diǎn)，那么在直線AG上是否存在一點(diǎn)M，使得以B、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若

7、存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由9如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在線段OB，線段AB上，且AFOE，連接AE交OF于G，連接DG交AO于H（1）如圖1，若點(diǎn)E為線段BO中點(diǎn)，AE，求BF的長(zhǎng)；（2）如圖2，若AE平分BAC，求證：FGHG；（3）如圖3，點(diǎn)E在線段BO（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，連接HE，當(dāng)線段HE長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，直接寫出cosHDO的值10已知矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)（1）連接BE、CE，BCE的平分線與AD交于點(diǎn)H，HG垂直平分BE如圖1，若AE8，BE10，求EHC的面積；如圖2，若ECD30°，求證：BC+CEHC

8、；（2）如圖3，若ABCD6，ADBC8，連接CE，將CDE沿CE翻折，使點(diǎn)D恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，將AFE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再沿AB方向向下平移至AFB處（點(diǎn)E與點(diǎn)B重合），將AFB繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角（0°180°），在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)直線AF分別交直線AC、BC于點(diǎn)P、Q，是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使得CPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出CQ的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由參考答案1解：（1）如圖1中，在RtABC中，BC6cm，ACB90°，A30°，AB2BC12cm，ACBC6cm，ADDB，CDAB6cm，PNAC，

9、解得t，故答案為（2）如圖21，當(dāng)0t時(shí)，重疊部分是矩形PQMN，CDAD，AACD30°PQPC×4t2t，MQPQ，SS矩形PQMNt×2t2t2如圖22，當(dāng)t時(shí)，重疊部分是五邊形PQMEF，CQPCcos30°2t，ACBCtan60°6AMACMQCQ6t2t63t，MEAM tan30°（63t）63t，ENMNME2t（63t）5t6，NFEN tan60°（5t6），SS矩形PQMNSENF2t2（5t6）（5t6）t2+30t18如圖3，當(dāng)t3時(shí)，重疊部分是五邊形QMEDFAPAD+DPCD+DP4t，PQA

10、Psin30°2tNPMQPQt，ENNPtan30°t，DPAPAD4t6，SS矩形PQMNSENPSDFP2t2tt（4t6）2t2+12t9（3）觀察圖象可知當(dāng)0t時(shí)，滿足條件，如圖23中，當(dāng)DEDF時(shí)，也滿足條件，可得62t4t6解得t2，綜上所述，滿足條件的t的值為0t或t22解：（1）結(jié)論：AECD理由：在RtABC中，ACBC4，ACB90°，ABCEBD45°，ABECBD，四邊形BDEF是正方形，ABC是等腰直角三角形，ABECBD，AECD；（2ACBC4，ACB90°，ABBC4，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)，AFB90&

11、#176;，AF2，如圖1，當(dāng)AE在AB左上方時(shí)，AEAFEF22，AECD，CDAE，如圖2，當(dāng)AE在AB右下方時(shí)，同理，AEAF+EF2+2，CD+，綜上所述，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)，CD的長(zhǎng)為或+；（3）如圖3，延長(zhǎng)EF到G使FGEF，連接AG，BG，則BFG是等腰直角三角形，BGBF2，設(shè)M為AE的中點(diǎn)，連接MF，MF是AGE的中位線，AG2FM，在ABG中，ABBGAGAB+BG，2AG6，F(xiàn)M3，F(xiàn)M的最大值為33解：（1）證明：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90°，ABEDAG（SAS），BEDG；（2）BEDG，BEDG

12、如圖1中，四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90°，BAEDAG，在ABE和DAG中，ABEDAG（SAS），BEDG；ABEADG，延長(zhǎng)BE交AD于T，交DG于HATB+ABE90°，ATB+ADG90°，ATBDTH，DTH+ADG90°，DHB90°，BEDG（3）數(shù)量關(guān)系不成立，DG2BE，位置關(guān)系成立如圖2中，延長(zhǎng)BE交AD于T，交DG于H四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，BADDAG，BAEDAG，AD2AB，AG2AE，ABEADG，ABEADG，DG2BE，ATB+ABE90°

13、;，ATB+ADG90°，ATBDTH，DTH+ADG90°，DHB90°，BEDG4解：（1）作CGBH于G，如圖1所示：四邊形ABCD是正方形，CBCD，BCD90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CECB，BCE60°，CDCE，BCGECGBCE30°，CFDE，ECFDCFDCE，GCH（BCE+DCE）×90°45°；故答案為：45°；（2）BH+EHCH；理由如下：作CGBE于G，如圖2所示：DCEC，DCFECFHCB+BCG+ECG，BCEC，BCGECG，DCFHCB+2BCG，DCF+H

14、CB2HCB+2BCG90°，HCB+BCG45°，HHCG45°，CGH是等腰直角三角形，CH 2GH，BH+EHBH+BH+BG+EG2GHCH，即：BH+EHCH（3）當(dāng)90°180°，其它條件不變，（2）中的關(guān)系式不成立，BHEHCH；理由如下：作CGBH于G，如圖3所示：同（1）得：BHC45°，CGH是等腰直角三角形，CHGH，BGEGBE，BHEHBG+GHEHBG+EGEHEH2GHCH5解：（1）四邊形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，AADC90°AD12，CD10，BC12，AB10點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

15、AEAB5DECF，DPCDPF90°，DFC+DCF90°，DFC+FDP90°，DCFFDPAADC，CFDDEA，在RtAED中，由勾股定理，得ED13，CF答：CF的長(zhǎng)度為；（2）當(dāng)B+EPC180°時(shí)，成立證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BADC，ADBC，B+A180°，B+EPC180°，AEPCFPD，F(xiàn)DPEDA，DFPDEA，BADC，B+EPC180°，EPC+DPC180°，CPDCDF，PCDDCF，CPDCDF，即當(dāng)B+EPC180°時(shí)，成立6解（1）在方形環(huán)中，MEAD，N

16、FBC，ADBC，在MME與NNF中，MMENNF（AAS）MMNN；（2）法一NFNMEM90°，F(xiàn)NNEMM，NFNMEM，MENF，tan（或）當(dāng)45°時(shí)，tan 1，則MMNN；當(dāng)45°時(shí)，MMNN，則tan（或）法二在方形環(huán)中，D90°MEAD，NFCD，MEDC，NFMEMMENNF在RtNNF與RtMME中，sin，cos，即tan（或）當(dāng)45°時(shí)，MMNN；當(dāng)45°時(shí)，MMNN，則tan（或）7解：（1）菱形的對(duì)角線互相垂直，菱形是神奇四邊形；ABAD，CBCD，AC是BD的垂直平分線，四邊形ABCD是神奇四邊形；如圖

17、，已知：四邊形ABCD是神奇四邊形，點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)G，點(diǎn)H分別是AD，DC，BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)G，點(diǎn)H分別是AD，DC，BC，AB的中點(diǎn)，EFACHG，BDEHFG，四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形ABCD是神奇四邊形，ACBD，又EFACHG，BDEHFG，EFEH，四邊形EFGH是矩形，故答案為矩形（2）如圖2，連接CE，BG交于點(diǎn)N，CE交AB于M，四邊形ACFG是正方形，四邊形ABDE是正方形，ABAE，ACAG，CAGBAE90°，GABCAE，GABCAE（SAS），AECABG，AEM+AME90°，ABG+BMN90°，BNM90&

18、#176;，CEBG，四邊形BCGE是神奇四邊形；AC2，AB，BC1，四邊形ACFG是正方形，四邊形ABDE是正方形，AC2，AB，CGAC2，BEAB，GC2CN2+GN2，BE2BN2+NE2，BC2CN2+BN2，GE2GN2+NE2，CG2+BE2BC2+GE2，GE；（3）四邊形ABCD是神奇四邊形，同（2）中的證明方法，可得AD2+BC2AB2+CD2，AB6，CD，AD2+BC241，AD、BC分別是方程x2（k+4）x+4k0的兩根，AD+BCk+4，ADBC4k，AD2+BC241（AD+BC）22ADBC，（k+4）28k41，k15，k25（不合題意舍去），k58解：（

19、1）如圖1中，四邊形ABCD是菱形，ABC60°，ABBCCDAD4，ABCADC60°，CABD，EDCEDA30°，CED90°，ECCD2，ECD60°，EOC90°，CEO30°，OCEC1，OEOC，C（1，0），E（0，），D（3，0），AEEC，BEDE，A（1，2），B（3，2），直線BC的解析式為yx，直線BD的解析式為yx+，AGBC，直線AG的解析式為yx+，由，解得，F(xiàn)（1，）故答案為（1，）（2）如圖11中，過點(diǎn)D作射線DM，使得ODM30°，點(diǎn)點(diǎn)H作HKOM于K，過點(diǎn)F作FJDM于JD（

20、3，0），ODK30°，F(xiàn)（1，），直線DM的解析式為yx，F(xiàn)JDM，直線FJ的解析式為yx+，由，解得，J（，），F(xiàn)J3，在RtDHK中，KDH30°，KHDH，F(xiàn)H+DHFH+HKFJ，F(xiàn)H+DH3，F(xiàn)H+DH的最小值為3，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，0）（3）如圖2中，過點(diǎn)C作CMBF交AG于M，連接BM，CFABC是等邊三角形，AGBC，BGCG，BFGCMG，BGFCGM，BGFCGM（AAS），BFCM，BFCM，四邊形BFCNM是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，四邊形BFNM是平行四邊形，此時(shí)N（1，0），M（3，）根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)N與N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱時(shí)，四邊形BFM

21、N是平行四邊形，此時(shí)N（3，4），M（5，），如圖3中，當(dāng)BF是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，BMAC，直線BM的解析式為yx+5，直線AG的解析式為yx+，由，解得，M（5，0），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，）或（5，）或（5，0）9解：（1）四邊形ABCD是正方形，OAOB，ABOA，點(diǎn)E為線段BO中點(diǎn)，OEBEOBOA，OE2+OA2AE2，且AE，OE2+4OE25，OE1，AFOE1，OBOA2，AB2，BFABAF21；（2）如圖，延長(zhǎng)HG交AB于M，四邊形ABCD是正方形，OABOBAOADODA45°，ACBD，AODOBO，AE平分BAC，BAEEAO22.5&#

22、176;，DEA67.5°DAE，ADDEAB，ABAFDEOE，BFDOBO，BFOBOF67.5°，AEOBOF67.5°，AOFEAO22.5°，EGGO，AGGO，AGGE，又ADDE，DMAE，ADGEDG22.5°，AMD67.5°BFO，F(xiàn)GGM，BAEEAO，AGAG，AGHAGM90°，AGMAGH（ASA），GMGH，GFGH；（3）如圖，連接BH，點(diǎn)E在OB上運(yùn)動(dòng)，BOH90°，BHEH，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，HE的長(zhǎng)度有最大值，如圖，過點(diǎn)F作FNBD，AOBODO，ACBD，ABOB，OEAF，BFOBOB（1）OB，ABD45°，F(xiàn)NBD，F(xiàn)NBNOB，DNBDBN2OBOBOB，DFOB，cosHDO10（1）解：如圖1中，連接BH四邊形ABCD是矩形，AD90