1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第2章 度量空間與賦范線性空間 度量空間在泛函分析中是最基本的概念。事實(shí)上，它是維歐幾里得空間的推廣，它為統(tǒng)一處理分析學(xué)各分支的重要問題提供了一個共同的基礎(chǔ)。它研究的范圍非常廣泛，包括了在工程技術(shù)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)中遇到的許多很有用的函數(shù)空間。因而，度量空間理論已成為從事科學(xué)研究所不可缺少的知識。 2.1 度量空間的基本概念 2.1.1 距離（度量）空間的概念 在微積分中，我們研究了定義在實(shí)數(shù)空間上的函數(shù)，在研究函數(shù)的分析性質(zhì)，如連續(xù)性，可微性及可積性中，我們利用了上現(xiàn)有的距離函數(shù)，即對。度量是上述距離的一般化：用抽象集合代替實(shí)數(shù)集，并在上引入距離函數(shù)，滿足距離函數(shù)所具備

2、的幾條基本性質(zhì)。 【定義2.1】 設(shè)是一個非空集合，：是一個定義在直積上的二元函數(shù)，如果滿足如下性質(zhì)：（1） 非負(fù)性 ；（2） 對稱性 （3） 三角不等式 ；則稱是中兩個元素與的距離（或度量）。此時，稱按成為一個度量空間（或距離空間），記為。 注：中的非空子集，按照中的距離顯然也構(gòu)成一個度量空間，稱為的子空間。當(dāng)不致引起混淆時，可簡記為,并且常稱中的元素為點(diǎn)。 例2.1 離散的距離空間 設(shè)是任意非空集合，對中任意兩點(diǎn)令 顯然，這樣定義的滿足距離的全部條件，我們稱是離散的距離空間。這種距離是最粗的。它只能區(qū)分中任意兩個元素是否相同，不能區(qū)分元素間的遠(yuǎn)近程度。此例說明，在任何非空集合上總可以定義距

3、離，使它成為度量空間。例2.2 維歐幾里得空間表示維向量的全體組成的集合，也表示個實(shí)數(shù)組成的數(shù)組的全體形成的集合。對，定義 （2.1）下面來證滿足度量定義中的條件（1）（3）。由式（2.1）不難驗(yàn)證滿足條件（1），（2）。為證滿足條件（3），需利用時的離散型Minkowski不等式（見1.5節(jié)）。 取，則有因此，是一距離空間。稱為維歐氏空間。注：若在中規(guī)定 （2.1）則也是距離空間（讀者自己驗(yàn)證）例2.3 所有數(shù)列組成的集合，對定義 （2.2） 那么是上的度量。式（2.2）通常稱為Frchet組合。顯然滿足度量條件（1）（2），我們來證也滿足條件（3）。事實(shí)上，對及由于函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因此由

4、得在上市不等式兩邊同乘再求和，便得因此是距離空間。例2.4 連續(xù)函數(shù)空間對定義 （2.3）則是上的一個度量。 顯然滿足度量條件（1）（2）。對另一連續(xù)函數(shù)由所以例2.5 函數(shù)類（參見1.6節(jié)）,對定義 （2.4）則是上的一個度量，是度量空間。由 根據(jù)Lebesgue積分的性質(zhì)有。反之，若， 則。所以，滿足度量定義2.1中條件（1）；條件（2）顯然滿足；對另一函數(shù)，根據(jù)1.6節(jié)Minkowski不等式有 即滿足度量定義條件（3），所以是上的一個度量，是度量空間。 例2.6 是本性有界可測函數(shù)的全體，即上除某個零測度外，在它的補(bǔ)集上是有界的可測函數(shù)全體。對定義 （2.5） 則是上的一個度量，是度量

5、空間。 由式（2.5）顯然可知，滿足度量條件（1）（2）。現(xiàn)證滿足度量條件（3），對及存在且使從而有令得。所以是上的一個度量，是度量空間。2.1.2 距離空間中點(diǎn)列的收斂性非空集合引入距離（度量）后，就可以在其上定義點(diǎn)列的收斂概念。【定義2.2】設(shè)是一個度量空間，稱點(diǎn)列收斂于，是指叫做點(diǎn)列的極限，記作或。度量空間中點(diǎn)列收斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有許多共同之處?！径ɡ?.1】 度量空間中的收斂點(diǎn)列的極限是唯一的，且若收斂于則的任意子列也收斂于。證明：首先證明定理的第一部分。設(shè)都是的極限，則對有令有必然有因此這說明最多有一個極限。其次證明定理的第二部分。設(shè)收斂于，于是，存在自然數(shù)，當(dāng)時，。由于，從而

6、當(dāng)時，也有故收斂于。證畢。下面討論某些具體空間中點(diǎn)列收斂的具體含義。例2.7 空間中點(diǎn)列按度量式（2.1）收斂于的充分必要條件是對每個有，即按坐標(biāo)收斂。 證明：對，由于因此，當(dāng)時，一定有，。 由于所以，對，當(dāng)時。證畢。 同樣我們也可以證明中點(diǎn)列按距離式（2.1）收斂于的充要條件是對于每個，有。 例2.8 空間中點(diǎn)列按式（2.3）度量收斂于的充分必要條件是在上一致收斂于。 證明：由知對當(dāng)時，即對任意當(dāng)時，所以在上一致收斂于。 若在上一致收斂于，則對當(dāng)時，對于恒有從而即。證畢。若按式（2.4）定義度量，則就構(gòu)成的子空間，令由勒貝格控制收斂定理，在中收斂于顯然但不一致收斂于。例2.7，例2.8表明，

7、如果在一個非空集合上定義了兩個度量，那么，由它們導(dǎo)出的收斂概念可以是一致的，也可以是不一致的。但當(dāng)我們引入了適當(dāng)?shù)木嚯x后，都可以統(tǒng)一在距離空間中考慮收斂概念，這就為統(tǒng)一處理各個具體空間提供了方便。 習(xí)題2.11 對，定義是上的距離嗎？若是，給出證明，若不是，為什么？2 對，規(guī)定證明是距離空間。3 把所有收斂數(shù)列的集合記為，對定義證明是距離空間。4 設(shè)是度量空間，在中若。證明：。5 設(shè)及，證明點(diǎn)列收斂于的充分必要條件是依坐標(biāo)收斂于，即對每個自然數(shù)2.2 度量空間中的開、閉集與連續(xù)映射在第1章中,我們對空間中的點(diǎn)集進(jìn)行了詳細(xì)討論,介紹了開集、閉集等一系列概念，為了更深入研究度量空間中集合的內(nèi)在結(jié)構(gòu)

8、，本節(jié)我們將把這些概念推廣到一般度量空間中，其中大多數(shù)定義的敘述和定理的證明與以前的行文相似。2.2.1 度量空間中的開、閉集【定義2.3】 設(shè)是度量空間，是一個正數(shù)，點(diǎn)集稱為以為中心、以為半徑的開球，或的鄰域，記為或；點(diǎn)集稱為以為中心、以為半徑的閉球，記為或。中的點(diǎn)列收斂于，用鄰域的術(shù)語來說，就是：對于的任意鄰域，存在自然數(shù)，使當(dāng)時，。例2.9 設(shè)是離散距離空間，則，。例2.10 設(shè)，是的子空間，則，。設(shè)是的子集，是中的一個定點(diǎn)，則與的關(guān)系只能有如下三種情況：（1）在“附近”全是的點(diǎn)；（2）在“附近”根本沒有的點(diǎn)；（3）在“附近”既有的點(diǎn)，又有不屬于的點(diǎn)。根據(jù)以上情況，我們給出如下定義：【定

9、義2.4】 設(shè)是距離空間，如果存在的鄰域，則稱是的內(nèi)點(diǎn)；如果是的內(nèi)點(diǎn)，則稱是的外點(diǎn)；如果既非的內(nèi)點(diǎn)，有非的外點(diǎn)，即的任何鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，也有不屬于的點(diǎn)，則稱為的界點(diǎn)或邊界點(diǎn)；如果的任意鄰域都含有中的點(diǎn)，即，則稱是的聚點(diǎn)。注：的聚點(diǎn)不一定是的內(nèi)點(diǎn)，還可能是的界點(diǎn)；其次，的內(nèi)點(diǎn)必屬于，但的聚點(diǎn)則可以屬于，也可以不屬于。由此可知的界點(diǎn)不是聚點(diǎn)，便是孤立點(diǎn)。中的點(diǎn)，對來說可分為內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、外點(diǎn)或聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、外點(diǎn)三種。例2.11 若為離散距離空間，則中均為內(nèi)點(diǎn)且為的孤立點(diǎn)，中的點(diǎn)均為的外點(diǎn)。【定義2.5】 設(shè)是距離空間，如果中每一點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，則稱是開集。例2.12 任何開球是開集。證明：設(shè)，則，

10、令，那么，事實(shí)上，若，則，由于所以。 【定理2.2】 設(shè)是度量空間，中開集有如下性質(zhì)： （1）空間及空集是開集； （2）任意多個開集的并是開集； （3）有限多個開集的交是開集。證明： 性質(zhì)（1）、（2）顯而易見，現(xiàn)證性質(zhì)（3）。設(shè)是中的有限個開集，即 對，及一切，有，由于是開集，所以存在，使，取，則對，有，可見，所以是的內(nèi)點(diǎn)，有的任意性知，是開集。證畢。注：任意多個開集的交不一定是開集，例如，并不是的開集。對于度量空間的子集，的聚點(diǎn)全體記為，稱為的導(dǎo)集，集合稱為的閉包。例2.13 設(shè)，則，。 【定義2.6】 設(shè)是距離空間，是的子集，如果的每一個聚點(diǎn)屬于，則稱為閉集。顯然，為閉集的充要條件是?！?/p>

11、定理2.3】 （開集與閉集的對偶性）設(shè)是距離空間，若是的開集，則是的閉集；若是中的閉集，則是開集。證明：設(shè)為開集，是的聚點(diǎn)，則的任一鄰域都有不屬于的點(diǎn)，這樣不可能是的內(nèi)點(diǎn)，從而，即，由于的任意性，知是閉集。反之，設(shè)為閉集，若不是的內(nèi)點(diǎn)，則的任意鄰域至少有一個點(diǎn)屬于的點(diǎn)，而且異于，這樣是的聚點(diǎn)，從而，和假設(shè)矛盾。證畢。正是由于開集和閉集有這樣的對偶關(guān)系，我們常將閉集看成是由開集派生出來的一個概念。由定理2.1與定理2.2得閉集的性質(zhì)：【定理2.4】 設(shè)是距離空間，中的閉集具有如下性質(zhì)：（1）及是閉集；（2）任意多個閉集的交是閉集；（3）有限多個閉集的并是閉集。注：任意多個閉集的并不一定是閉集，例

12、如 ，則是中閉集，但，不是中的閉集。2.2.2 度量空間上的連續(xù)映射 【定義2.7】 設(shè)與是兩個度量空間，是到的一個映射，若對，存在，當(dāng)時，有，則稱在點(diǎn)連續(xù)；若在中每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為上的連續(xù)映射。度量空間之間的連續(xù)映射是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)概念的推廣，特別，當(dāng)映射是值域空間時，映射就是度量空間上的函數(shù)。例2.14 設(shè)是距離空間，是上一定點(diǎn)，對，是到上的連續(xù)映射（函數(shù)）。事實(shí)上，對，由下式即可證明是連續(xù)映射?！径ɡ?.5】 設(shè)，是兩個度量空間，：，則下列命題等價：（1）在點(diǎn)連續(xù)；（2）對，存在，當(dāng)時，有；（3）對于中任意點(diǎn)列，若，則。證明： 顯然； 由于，對存在自然數(shù)，當(dāng)時， ，即，因此，即；

13、反證法，若在點(diǎn)不連續(xù)，則存在，使對任意，存在，且，但，特別取，則有，但，這意味著，但不成立，矛盾。證畢。下面定理是通過開集與閉集來刻畫連續(xù)映射的?！径ɡ?.6】 設(shè)，是兩個度量空間，：是一個映射，則下述命題等價： （1）是連續(xù)映射； （2）對于中任何開集，是中的開集； （3）對于中任何閉集，是中的閉集。 證明：命題設(shè)，則。因是中開集，所以存在，使，由在點(diǎn)連續(xù)，所以對于上述，存在，當(dāng)時，有，即，故。所以是的內(nèi)點(diǎn)，由的任意性，是開集。 命題對，及，取，那么是中開集，而，所以存在，使得，即,這說明在點(diǎn)連續(xù)。由的任意性知，在的每一點(diǎn)都連續(xù)。 命題對于任何閉集，的余集是開集。根據(jù)映射像也原像的性質(zhì)有。命

14、題對于任何開集，是閉集，同樣。證畢。 注：關(guān)于映射的性質(zhì)留作習(xí)題。 下面介紹一個十分有用的特殊映射同胚映射。 【定義2.8】 設(shè)，是兩個距離空間，是上的一一映射，是的逆映射，若及都是連續(xù)映射，則稱是到上的同胚映射；若從到上存在某一同胚映射，則稱與是同胚的。例2.15 是到上的同胚映射，與是同胚的。由于兩個同胚的距離空間點(diǎn)之間一一對應(yīng)，所有鄰域也是一一對應(yīng)的，而且連續(xù)概念只依賴于鄰域的概念，因此，在只討論與連續(xù)性有關(guān)問題時，可以把兩個距離空間看成一個。習(xí)題2.21.證明閉球是閉集。2.設(shè)是距離空間，表示全體內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱為的內(nèi)部，證明是開集。3.設(shè)是距離空間，證明是閉集的充要條件是對于任意，

15、若，則。4.證明從離散距離空間到任意距離空間的映射：是連續(xù)映射。5.設(shè)是一度量空間，證明是上的連續(xù)函數(shù)。6.設(shè)是度量空間，是一個非空閉集，對，記作，證明：對任意，集合是開集。7.設(shè)與是度量空間中的閉集，且，證明存在開集,，使,且。8.設(shè)是度量空間，若，證明對任意，集是無限集。9.設(shè)是度量空間，,證明：（1）若，則；（2）；（3）；（4），并舉例說明等號未必成立。10.設(shè)是度量空間，證明：（1）中每個非空閉集必為可列個開集的交；（2）中每個非空開集必為可列個閉集的并。11.設(shè)，是兩個非空集合。：是一個映射，證明：。2.3 度量空間中的可分性、完備性與，列緊性2.3.1 度量空間中的可分性 有理數(shù)

16、集在實(shí)數(shù)集中的稠密性，實(shí)數(shù)集的完備性及有界數(shù)列必有收斂子列是數(shù)學(xué)分析的理論源泉。本節(jié)將把實(shí)數(shù)空間這幾個重要性質(zhì)推廣到一般的距離空間中?！径x2.9】 設(shè)是一度量空間，與都是的子集，若，則稱在中稠密。由定義2.9及2.2節(jié)有關(guān)定義、定理易證如下定理?！径ɡ?.7】 設(shè)是度量空間， ，則如下說法等價：（1）在中稠密；（2）對，存在，使；（3），有；（4）對，存在點(diǎn)列，使。例2.16 有理數(shù)在實(shí)數(shù)中稠密，有理數(shù)也在無理數(shù)中稠密。注：稠密概念在數(shù)學(xué)分析中學(xué)中是很有用的，當(dāng)考察距離空間是否具有某種性質(zhì)時，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通過極限過程得出上相應(yīng)的結(jié)論。【定義2.10】 稱度量空間是可分的

17、，是指存在中一可列集，使在中稠密。例2.17 歐氏空間是可分的。 證明： 取是有理數(shù)，則是可列集。對及，記，取有理數(shù)滿足 ，令，則 ，由于 所以在中稠密。例2.18 連續(xù)函數(shù)空間是可分的。證明：設(shè)為系數(shù)是有理數(shù)的多項式組成的集合，為可數(shù)集。對任一連續(xù)函數(shù)，由Weierstrass定理對上任一連續(xù)函數(shù)，必存在一列多項式，在上一致收斂于。則對，存在多項式且滿足,取多項式，滿足,于是，從而在中稠密。例2.19 是可分的度量空間。證明：由勒貝格積分的絕對連續(xù)性可證上的有界可測函數(shù)全體中稠密，例2.18中的集合在中稠密，所以是可分的。下面舉一個不可分度量空間的例子。例2.19 有界數(shù)列空間，在上定義度量

18、 ，則在度量下是不可分的。證明：用反證法，若是可分的，則存在可列稠密集。取的一個子集或，與區(qū)間可以通過二進(jìn)制小數(shù)建立如下對應(yīng)：，該對應(yīng)是一一映射，因此是不可數(shù)集。以中的所有點(diǎn)為中心，為半徑的開球滿足。因此。由于可數(shù)，不可數(shù)，所以至少存在中兩個不同點(diǎn)落入某個開球。直接計算，顯然，但，矛盾，故不可數(shù)。2.3.2 度量空間中的完備性我們在學(xué)習(xí)數(shù)列收斂時，已經(jīng)知道數(shù)列收斂的準(zhǔn)則是該數(shù)列是否為Cauchy列，因?yàn)閿?shù)列收斂的充要條件是數(shù)列是Cauchy列，這完全是由實(shí)數(shù)的完備性所致。在度量空間中，這一結(jié)果未必成立。為此，我們引入一個重要的概念度量空間的完備性?！径x2.11】 度量空間中的點(diǎn)列稱為Cauc

19、hy列，是指對任意，存在自然數(shù)，當(dāng)時，有；度量空間稱為完備的，是指中任何Cauchy列都是收斂的。由定義易知中的收斂點(diǎn)列是Cauchy列。中的Cauchy列若有子列收斂，則Cauchy列也收斂。例2.21 歐氏空間是完備的。證明：設(shè)是中任一Cauchy列，則對，存在自然數(shù)，當(dāng)時，有，于是，對每個坐標(biāo)所形成的數(shù)列,這說明是Cauchy列，因此，存在實(shí)數(shù)，滿足，記作，則。這樣有。例2.22 空間是完備的。證明：設(shè)是中任一Cauchy列，則對，存在自然數(shù)，當(dāng)時，有，即對任意，必有，令，有，則一致收斂于。而，所以，且，故空間是完備的。例2.23 空間是完備的。證明：設(shè)是中的Cauchy列，其中，則對，

20、存在自然數(shù)，當(dāng)時，下式成立對每個，也有成立，這樣對每個存在，有。令，則且。事實(shí)上，在中令，得到對一切，成立。又因?yàn)椋蚨嬖趯?shí)數(shù)，使得對所有，成立。這樣就有。這就證明了，由，可知對一切，下式成立所以，因而是完備的。注：不完備距離空間是存在的。例如有理數(shù)域就是不完備的，再如按空間的距離構(gòu)成的度量空間是不完備的。事實(shí)上，是的子空間。在中取一點(diǎn)，如取，令則且，由勒貝格控制收斂定理可以證明收斂于中的函數(shù)，因而是Cauchy列，而，所以是中的Cauchy列，但不可能對等于一個連續(xù)函數(shù)，故不收斂于中某個元，所以作為的子空間是不完備的。從以上例子可以看出，同一集合由于距離定義不同會得到本質(zhì)上不同的結(jié)果。【定

21、理2.8】 度量空間的完備子空間是閉集；一個完備度量空間的閉子空間是完備的。證明：設(shè)是距離空間的完備子空間，設(shè)，則存在，因?yàn)槭鞘諗康?，所以它是中一Cauchy列，又因?yàn)槭峭陚涞?，所以，即是閉的。設(shè)是完備的距離空間，是的閉子空間，設(shè)是中的Cauchy列，則必是中的Cauchy列，因完備，故，所以，而是閉的，故，這就證明了是完備的。類似于空間上的閉區(qū)間套定理 ，我們在距離空間中可得到閉球套定理?！径ɡ?.9】 設(shè)是度量空間，是中一列以為中心，以為半徑的閉球，則是完備的充要條件是若且，則必有惟一點(diǎn)。證明：對，由，知,由于，從而，因此，是中的基本列，由于是完備的，所以必有，使。再在式中令，由距離函數(shù)的

22、連續(xù)性得到因此，從而。如果又有中點(diǎn)，從而，令，即得。所以，即中只有一點(diǎn)。設(shè)是中的基本列，由基本列定義知，對存在，當(dāng)時，有 在中作一列閉球。當(dāng)時，由于得知 所以 另一方面，的半徑，則有惟一點(diǎn) 從而，所以。即是完備的。一般的度量空間，如果不是完備的，應(yīng)用起來往往很困難。例如，方程解的存在問題，在不完備的度量空間中解方程，即使近似解的序列時基本列，也不能保證這個序列有極限，從而也就不能保證方程在該解空間內(nèi)有解，因此研究能否在任意度量空間中通過“添加”一些“點(diǎn)”，使之成為完備化的距離空間是很有意義的。康托將有理數(shù)域完備化成實(shí)數(shù)域的方法為解決此問題提供了重要借鑒。用他的思想方法解決了度量空間的完備化問題

23、?！径x2.12】 設(shè)，是兩個度量空間，如果存在滿影射，使得對一切，都有，則稱是到的等距映射，稱與是等距的。注：等距影射一定是同胚映射。顯然，凡是等距的度量空間，由度量導(dǎo)出的性質(zhì)全是一樣的，因此，當(dāng)只限于討論與度量空間有關(guān)的性質(zhì)時，對彼此等距的度量空間可以不加區(qū)分?！径ɡ?.10】 （度量空間的完備化定理）對于每個度量空間，必存在一個完備的度量空間，使得等距一個在中稠密的子空間，如除去等距不計，是惟一的。由于這個定理證明冗長，且一般泛函分析教材均有證明過程，這里從略。例2.24 有理數(shù)全體按距離所成度量空間是不完備的，它的完備化空間就是全體實(shí)數(shù)按距離所成的距離空間；是上全體多項式函數(shù)，按度量所

24、成度量空間是不完備的，它的完備化空間是；按空間的度量構(gòu)成的度量空間是不完備的，它的完備化空間是。2.3.3 度量空間中的列緊性在實(shí)數(shù)集中，有界數(shù)列一定存在收斂子列，但這個結(jié)論不能推廣到一般的度量空間中。例如，在上的三角函數(shù)系是空間中的一個有界集，但其中任意兩個不同元素距離等于，不可能存在收斂子列。因此，有必要引入下面的概念?！径x2.13】 設(shè)是度量空間，如果中的每一點(diǎn)列都存在一個子列收斂于中某一點(diǎn)，則稱為列緊集；如果中的每一點(diǎn)列都存在一個子列收斂于中某一點(diǎn)，則稱是緊集。由此可見，一個集合是緊集則必是列緊集，但反之不然。例2.25 ，但。因此，是列緊集，但不是緊集。由定義我們可以得出結(jié)論：列緊

25、集的子集也是列緊集；有限個列緊集的并一定是列緊集；列緊的閉集一定是緊集。例2.26 ，是有界集，則是列緊集。證明：，記，由有界知存在，使。對個數(shù)列是有界的，對有子列收斂，仍是有界的，故又存在收斂子序列，是的子集。依次類推，得到自然數(shù)集的子列，使都收斂，因此在中收斂，即為列緊集。根據(jù)定以來直接判斷一個集合是否列緊往往比較困難，為了便于刻畫和判斷一個集合的列緊性，我們引入全有界集概念?！径x2.14】 設(shè)是度量空間，是全有界的，如果對，存在中有限個點(diǎn)滿足?！径ɡ?.11】 全有界集是有界的，且是可分的。證明：設(shè)是度量空間，是全有界的，則對存在，使，因此對一切，有，使，所以（是有限數(shù)）故有界。另一方

26、面，若全有界，對，存在有限集使，令，則是可列集。任取，存在某個，使，且，說明在中稠密，故可分。注：定理2.11逆命題不真?！径ɡ?.12】 如果是度量空間中的列緊集，則是全有界集。證明：若不是全有界集，那么存在，使得中任意有限個點(diǎn)為中心，半徑為的球并不能蓋住。取，球不能蓋住，于是存在且即有，同樣也不能蓋住，存在且，既有，如此繼續(xù)下去，得到中點(diǎn)列滿足?？梢婞c(diǎn)列的任何子列均不能收斂，這與是列緊集矛盾。【定理2.13】 如果是完備的度量空間，則是列緊集的充要條件是為全有界的。證明：必要性由定理2.12即得?，F(xiàn)證充分性：設(shè)是全有界集，取，對存在以中有限個點(diǎn)為中心，1為半徑的球的并蓋住，所以必有某個球中

27、含有的某子列，該子列記為；取，同樣存在以中有限個點(diǎn)為中心，為半徑的球蓋住，所以必有某個球含有子列的子列，記為，如此進(jìn)行下去，可得子列串為，其中后一個是前一個的子列，且。從這一個子列串中重新選擇一個子列，即將子列串排成下面的表，選取對角線元素而得 我們來證明是Cauchy列.事實(shí)上,對任意,取自然數(shù)，使，則對任何，有，所以即是Cauchy列。由完備，可知是收斂列，證得為列緊集。注：在完備的度量空間中，集的列緊性和全有界性是一致的；在一般的度量空間中，列緊性強(qiáng)于全有界性，全有界性強(qiáng)于有界性；在空間中三者是一致的?，F(xiàn)在我們將古典分析中閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的某些性質(zhì)推廣到度量空間的緊集上?！径ɡ?.14】

28、 設(shè)是度量空間中的一個緊集，是定義在上的一個連續(xù)函數(shù)，那么是有界的，且上下確界可達(dá)。證明：先證有界。若不然，則存在，使，由于是緊的，有子列在中收斂，即有，使。由于在點(diǎn)連續(xù)，有，從而，這是不可能的。所以在上是有界的。記，由上確界定義，同樣可以找到中點(diǎn)列，滿足，由緊性，存在子列及，使，由在點(diǎn)連續(xù)，得，顯然，于是。同理可證下確界可達(dá)。關(guān)于判斷重要空間中子集的列緊性有下述著名的Arzela-Asccoli定理?！径ɡ?.15】 集合是列緊的充要條件是下面兩個條件成立： （1）是一致有界的，即存在常數(shù)，使得每個，： （2）是等度連續(xù)的，即對，存在，使對任意，當(dāng)及時，成立。該定理證明較為繁雜，這里從略。習(xí)

29、題2.31.設(shè)，對，問：（1）是否完備； （2）是否可分；（3） 是否全有界； （4）是否列緊。2.證明稠密性具有傳遞性即若在中稠密，在中稠密，則在中也稠密。3.證明列緊集中的Cauchy列必是收斂列。4.舉例說明完備度量空間的連續(xù)像未必是完備的。5.設(shè)是度量空間，證明在中稠密的充要條件是無內(nèi)點(diǎn)。6.記，在上定義度量為，證明: 是可分的且是完備的。7.設(shè)是列緊集且是閉集，證明是緊集。8.設(shè)是一列非空緊集，若滿足，則。9.設(shè)是度量空間，是中緊集，記證明：當(dāng)，那么；如果將換為列緊集，結(jié)論是否成立？10.證明緊集的連續(xù)像是緊集。11.設(shè)是度量空間，是緊集，是閉集，記若，證明。12.試證空間不是列緊的

30、。13.證明空間是不可分的。2.4 Banach壓縮映像原理作為完備度量空間概念的應(yīng)用，我們介紹壓縮映像原理。壓縮映像原理是求解代數(shù)方程、微分方程、積分方程，以及數(shù)值分析中迭代算法收斂性的理論依據(jù)，是數(shù)學(xué)和工程計算中最常用的方法之一。2.4.1 壓縮映像原理在眾多情況下，求解各種方程的問題可以轉(zhuǎn)化為求其某一映射的不動點(diǎn)，現(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程 （2.7）為例來說明這一點(diǎn)。求微分方程（2.7）滿足初始條件的解與求積分方程 （2.8）等價。我們做映射 則方程（2.8）的解就轉(zhuǎn)化為求，使之滿足。也就是求這樣的，它經(jīng)映射作用后仍變?yōu)?。因此，求解方程?.7）就變?yōu)榍笥成涞牟粍狱c(diǎn)。這種求解方程變

31、為求解映射的不動點(diǎn)的做法在數(shù)學(xué)中是常用的。那么如何求解映射的不動點(diǎn)呢？在中求方程解的逐次逼近法給了我們啟示。例2.27 求Kepler方程的解，其中,為已知常數(shù)，。解:做映射，使，求方程的解就轉(zhuǎn)化為求映射的不動點(diǎn)，即求一點(diǎn)，使。任取一實(shí)數(shù)，做如下迭代序列，得 由于 所以 因而，對任何自然數(shù)、，有因，故當(dāng)時，上式后部分極限為0，因此是中的Cauchy列，所以，使。又是連續(xù)映射，對，令，有，故為映射的不動點(diǎn)，即為所求Kepler方程的根。這個根是惟一的，與選取無關(guān)。事實(shí)上，如果方程還有另一根，則有這是不可能的，故。這種迭代原理是解決映射不動點(diǎn)問題最基本的方法。在解決上述問題中，看到實(shí)數(shù)完備性的重要

32、作用。代數(shù)方程、微分方程、積分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一個一般原理，即壓縮映象原理，壓縮映象原理就是某一類影射不動點(diǎn)存在和惟一性問題，不動點(diǎn)可以通過迭代序列求出?！径x2.15】 設(shè)是一個度量空間，是一個映射，稱是的不動點(diǎn)，是指?！径x2.16】 設(shè)是一個度量空間，稱為壓縮映像，是指存在常數(shù)滿足。從定義2.16可見，壓縮映像一定是連續(xù)映射。因?yàn)槿?，由，得?！径ɡ?.16】（Banach壓縮映像定理） 設(shè)是完備度量空間，是壓縮映像，那么存在惟一的不動點(diǎn)。證明：任取，作迭代序列。為證是收斂僅需證明它是Cauchy點(diǎn)列，因?yàn)槭峭陚涞?。由于于是對任何自然?shù)及，有可見，因此是Cau

33、chy點(diǎn)列。從而存在中使。我們來證便是的不動點(diǎn)，事實(shí)上由得，即，故。最后來證惟一性。設(shè)另有一不動點(diǎn)，即有，因所以，即。證畢。注：（1）從定理的證明過程中發(fā)現(xiàn)，迭代序列的初始值可任意選取，最終都能收斂到惟一不動點(diǎn)。（2）該定理提供了近似計算不動點(diǎn)的誤差估計公式，即因?yàn)橥陚涠攘靠臻g的任何子集在原有度量下仍然是完備的，所以定理中的壓縮映像不需要在整個空間上有定義，只要在某個閉集上有定義，且像也在該閉集內(nèi)，定理的結(jié)論依然成立。在實(shí)際應(yīng)用過程中，有時本身未必是壓縮映像，但的若干次復(fù)合是壓縮映像，這時仍然有惟一不動點(diǎn)，這就是如下所述的對壓縮映像原理的改進(jìn)定理?！径ɡ?.17】 設(shè)是完備度量空間，是一個映射

34、。如果存在某個自然數(shù)，使是壓縮映射，那么存在惟一的不動點(diǎn)（這里是的次復(fù)合，即）證明：是壓縮映像，所以存在惟一的不動點(diǎn)，即，由于這說明仍是的不動點(diǎn)，而的不動點(diǎn)惟一，所以，即是的不動點(diǎn)。若另有不動點(diǎn).即，則，那么也是的不動點(diǎn)，根據(jù)不動點(diǎn)的惟一性有證畢。2.4.2 壓縮映像原理的應(yīng)用本小節(jié)通過代數(shù)方程、微分方程、積分方程來說明定理2.16與定理2.17的具體應(yīng)用。例2.28 線性代數(shù)方程均可寫成如下形式 （2.9）其中,。如果矩陣滿足條件則式（2.9）存在惟一解，且此解可由迭代求得。證明：取，定義度量為構(gòu)造映射為，那么方程（2.9）的解等價于映射的不動點(diǎn)。對于，由于 記，由條件，因此是壓縮映像，于是

35、有惟一不動點(diǎn)，所以方程（2.9）有惟一解，且此解可由如下迭代序列近似計算求得。例2.29 考察如下常微分方程的初值問題 （2.10）如果在上連續(xù)，且關(guān)于第二元滿足條件，即這里是常數(shù)，則方程（2.10）在上有惟一解。證明：方程（2.10）的解等價于如下方程 （2.11）的解。取連續(xù)函數(shù)空間，定義其上的映射為則積分方程（2.11）的解等價于的不動點(diǎn)。對任意兩個連續(xù)函數(shù)，由于 令，則，故是壓縮映射，從而有惟一不動點(diǎn)，即積分方程（2.11）有唯一解，從而微分方程（2.10）在上有惟一解。例2.30 設(shè)是定義在上的二元連續(xù)函數(shù)，則對于任何常數(shù)及任何給定的連續(xù)函數(shù)，如下型積分方程 (2.12)存在唯一解。

36、證明：取連續(xù)函數(shù)空間，其上定義映射：為則方程（2.12）的解等價于的不動點(diǎn)。由于在上連續(xù)，于是在有最大值，記為，即對任何兩個連續(xù)函數(shù)，由于 一般地，對自然數(shù)，歸納可得因此 注意到，因此存在自然數(shù)，滿足這說明是壓縮映射，由定理2.17，有惟一不動點(diǎn)，亦即型積分方程（2.12）有惟一解。例2.31（隱函數(shù)存在定理） 設(shè)函數(shù)在帶狀域,中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。如果存在常數(shù)和，滿足,則方程在區(qū)間上必有惟一的連續(xù)函數(shù)作為解，即證明：在完備空間中作映射，使對于任意的函數(shù)，有按定理條件，是連續(xù)的，所以也是連續(xù)的，即，故是到的映射?，F(xiàn)證是壓縮映射，由微分中值定理存在使 又所以令，則,且按中距離的定義，

37、有，所以是壓縮映像，存在使，即，即，所以習(xí)題2.41用壓縮映像原理證明方程只有惟一解，其中。2證明下述線性方程組有惟一解，并寫出求方程近似解的迭代序列。3用壓縮映像原理構(gòu)造迭代序列來求下述微分方程的解。4設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，記證明下述積分方程當(dāng)時有惟一解。5設(shè)是完備度量空間，如果，證明存在惟一不動點(diǎn)。2.5線性空間在許多數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中，我們遇到的空間不僅需極限運(yùn)算，而且要有所謂的加法和數(shù)乘的代數(shù)運(yùn)算，如本章所考察的函數(shù)空間和序列空間實(shí)際上也是一個代數(shù)系統(tǒng)。當(dāng)著眼于空間中的代數(shù)結(jié)構(gòu)時，就必須引入線性空間（或向量空間）的概念。2.5.1 線性空間的定義【定義2.17】 設(shè)是非空集合，是實(shí)數(shù)域或

38、復(fù)數(shù)域，稱為上的線性空間，如果滿足以下條件：對任意兩個元素，存在中惟一個元素與之對應(yīng)，稱為與的和，記為，且滿足：（1）交換律；（2）結(jié)合律；（3）在中存在一個元素，稱為零元，使；（4）對每個，存在，使，稱為的負(fù)元。對任意數(shù)及，存在中惟一元素與之對應(yīng)，記為，稱為與的數(shù)乘，且滿足：（1）結(jié)合律 ：（2）；（3）數(shù)乘對加法分配律；（4）加法對數(shù)乘分配律。如果，稱為實(shí)線性空間；如果（復(fù)數(shù)域），稱為復(fù)線性空間。例2.32 歐式空間是一線性空間。,令與加法為；數(shù)乘為；零元素；負(fù)元素為，易驗(yàn)證是線形空間。例2.33 按函數(shù)的加法與數(shù)乘運(yùn)算組成一線性空間。例2.34 空間是線形空間。設(shè)是實(shí)數(shù)列，如果，則稱數(shù)列

39、是次收斂數(shù)列，次收斂數(shù)列全體記為，稱空間。對中任何兩個元素，和任何實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)），定義現(xiàn)在證明這樣定義的和仍是中的元素。因?yàn)?所以則。容易證明，所以按上述加法與數(shù)乘運(yùn)算成為線性空間。對于線性空間，以下幾個概念是經(jīng)常用的。1. 線性相關(guān)與線性無關(guān)中的元素稱為是線性相關(guān)，如果存在不全為零的數(shù)組使得；反之，若由，必然導(dǎo)出，則稱線性無關(guān)。例2.35 線性空間，那么是線性無關(guān)的，而是線性相關(guān)的。2. 線性組合設(shè)，如果存在，使得則稱是的線性組合，或稱可用線性表示。3. 子空間設(shè)，如果對中線性運(yùn)算是封閉的，即對，有，對，有，則稱是的一個線性子空間，簡稱子空間。易驗(yàn)證子空間本身也是線性空間。及都是的線性子空間

40、，稱它們?yōu)槠椒驳淖涌臻g；而稱其他的子空間為真子空間。設(shè)為的一個非空子集，中任意有限向量的線性組合全體記為，稱為由張成的線性包，容易證明是的線性子空間，并且是中包含的最小線性子空間，即若是中包含的線性子空間，那么必有。4. 線性子空間的維數(shù)與基如果線性空間中可找到個線性無關(guān)的向量，且任意個向量均線性相關(guān)，則稱的維數(shù)為，記為；若對任何自然數(shù)，中都有個線性無關(guān)的向量，則稱是無限維的，記為。維線性空間中個線性無關(guān)的向量稱為空間的一組基。例2.36 空間是維線性空間。向量組構(gòu)成的一組基，稱它為的標(biāo)準(zhǔn)基。例2.37 設(shè)是線性空間，且線性無關(guān)，則是的二維子空間。例2.38 是無窮維線性空間，因中存在無窮多個

41、線性無關(guān)的向量。5. 直和設(shè)是線性空間，是的子空間，如對，可惟一表示成其中，則稱是的直接和，簡稱為直和，記為或。容易證明，如果是的直和，在中任取非零元素，則是線性無關(guān)的。6.函數(shù)空間設(shè)是一集合，是上某些實(shí)（或復(fù)）值函數(shù)所組成的函數(shù)簇，在中按通常方法規(guī)定函數(shù)的加法及中的數(shù)與函數(shù)的乘法如下如果當(dāng)，恒有，則稱為上的一個線性空間，此線性空間稱之為函數(shù)空間。今后，如不特殊說明，對函數(shù)空間總是采取上述的加法及數(shù)乘運(yùn)算。例2.39 是線性子空間，是線性空間。7. 數(shù)列空間設(shè)是數(shù)列的全體，在中定義“加法”與“數(shù)乘”運(yùn)算，即對定義則是上的一個線性空間，此線性空間稱為數(shù)列空間。如不另外說明，對空間及其子空間都采取

42、這種加法和數(shù)乘運(yùn)算。例2.40 ，空間是的子空間，是線性空間。8. 凸集在線性空間中還有一類常用集合凸集。一個集合稱為凸集，如果對中任意兩個元素及有。特別，當(dāng)是的子空間時，一定是凸集，相反凸集未必是子空間。2.5.2線性算子與線性泛函【定義2.18】 設(shè)與是兩個線性空間，映射稱為線性算子，如果對及，有。特別，當(dāng)時，線性算子稱為線性泛函，是實(shí)數(shù)域時，稱為實(shí)線性泛函，是復(fù)數(shù)域時，稱為復(fù)線性泛函。是線性算子，記分別稱為線性算子的零空間和值域空間。容易證明是的子空間，而是的子空間。例2.41 設(shè)是線性空間，且，則是到上的線性算子，當(dāng)時，稱為相似算子，當(dāng)時，稱為零算子，當(dāng)時稱為單位算子。例2.42 連續(xù)

43、函數(shù)空間，其子空間，即上全體連續(xù)可微函數(shù)組成的線性空間，定義算子，則是線性算子。例2.43 連續(xù)函數(shù)空間，定義泛函，則是線性泛函。例2.44 設(shè)與分別是維與維線性空間，取一組基,中取一組基。證明：此時對任何一個線性算子，存在相應(yīng)一個矩陣，使得若，則，其中。證明：對每個是中的元素，存在個數(shù)，使得于是有例2.44 表明，在兩個有限維線性空間之間的線性算子均可在合適的基下通過矩陣表達(dá)。因此，線性代數(shù)所研究的矩陣本質(zhì)上是有限維空間之間的線性算子。本書的主要目的是研究無限維空間上的線性算子?！径x2.19】 兩個線性空間與稱為是同構(gòu)的，是指存在一個線性算子是一一映射。兩個同構(gòu)的線性空間維數(shù)相同，且代數(shù)結(jié)

44、構(gòu)一致。事實(shí)上，任何維線性空間一定與空間同構(gòu)。（證明留作習(xí)題）。習(xí)題2.51設(shè)是線性空間，是非空子集，證明是線性空間且滿足對任一子空間，若，則。2設(shè)是線性空間的兩個子空間，證明及均是子空間。是否是子空間？3設(shè),是兩個線性空間，是線性算子，證明和分別是與的子空間。4證明：對歐式空間，任意線性泛函都惟一存在，這個確定的實(shí)數(shù)，使對每個，都有。5下列函數(shù)集合按照函數(shù)的加法及數(shù)乘運(yùn)算是否構(gòu)成線性空間？（1）上所有次數(shù)的多項式全體；（2）上所有次數(shù)的多項式全體；（3）上滿足的函數(shù)全體；（4）上連續(xù)且周期為的函數(shù)全體；（5）上一切單調(diào)函數(shù)全體。6設(shè)是維實(shí)線性空間，證明與同構(gòu)。2.6賦范線性空間在前幾節(jié)中我們

45、在集合上引進(jìn)了度量的概念，并且在度量的意義下研究了點(diǎn)列的收斂及其映射的性質(zhì)。在泛函分析中，特別重要并非常有用的一類度量空間實(shí)賦范線性空間。在賦范線性空間中的元素可以相加或數(shù)乘（即進(jìn)行線性運(yùn)算），元素之間不僅有距離，而且每個元素有類似于普通向量長度的叫做范數(shù)的量。2.6.1 賦范線性空間的定義及例子【定義2.20】 設(shè)是線性空間，若對于中每個元素，按照一定法則對應(yīng)一個實(shí)數(shù)滿足：（1）且；（2）；（3）。則稱為的范數(shù)，稱為以為范數(shù)的賦范線性空間。對于賦范線性空間，我們可以用公式定義元素與之間的距離，容易證明滿足距離的三個條件，因而是一個度量空間。從而在賦范線性空間中鄰域、開集、收斂性、完備性、可分

46、性、列緊性等概念都有確切的定義。稱中的點(diǎn)列依范數(shù)收斂于，是指，記為或簡記為。完備的賦范線性空間稱為空間。例2.45 歐氏空間，連續(xù)函數(shù)空間,空間,空間在下列范數(shù)下均是賦范線性空間，而且是空間，即這些范數(shù)導(dǎo)出的距離與前幾節(jié)討論的度量空間一致，因而是空間。注：對于同一線性空間可以用不同的方式引進(jìn)范數(shù)，例如在中也可以用來定義范數(shù)，這時，它仍是空間。例2.46 僅有有限項非零的所有實(shí)數(shù)列組成的集合，它是的子空間，也是線性空間，在中定義范數(shù)為則是賦范線性空間，但不是空間。證明：是賦范線性空間易證，僅需證在范數(shù)導(dǎo)出的度量意義下不完備，取由于當(dāng)使，有所以是中的列，但它不收斂于中的點(diǎn)。若不然，存在，使，于是，

47、求得數(shù)列為，這個數(shù)列的每一項均非零，因此，矛盾。按范數(shù)也是一個不完備的賦范線性空間。注：在線性空間中引入距離，使之成為距離空間，稱為線性距離空間，若能導(dǎo)入范數(shù)，使之成為賦范線性空間且由范數(shù)導(dǎo)入的距離和原距離一致時，稱之為可賦范的，若線性距離空間滿足（1）；（2）；則是可賦范的（證明留作習(xí)題）不可賦范的距離空間是存在的，例如數(shù)列空間（2.1節(jié)例2.3），對，如令，則條件不能滿足。事實(shí)上，如果，則，而。2.6.2 賦范線性空間的性質(zhì)性質(zhì)2.1 設(shè)是賦范線性空間，若，則是有界數(shù)列。證明：因，所以對，存在自然數(shù)，當(dāng)時，于是令，則對一切有，即有界。性質(zhì)2.2 設(shè)中點(diǎn)列及數(shù)域中數(shù)列滿足則：（1）加法連續(xù)

48、；（2）數(shù)乘連續(xù) 。證明：（1）由，得（2）因，所以有界，使，于是 所以性質(zhì)2.3 范數(shù)是的連續(xù)函數(shù)。證明：由，對，取，則當(dāng)時，有，所以是的連續(xù)函數(shù)?！径x2.21】 設(shè)是一線性空間，與是上的兩個范數(shù)，如果，則，稱強(qiáng)于；如果，稱與等價。性質(zhì)2.4 強(qiáng)于存在常數(shù)，使。證明：若上述不等式成立，顯然比強(qiáng)，充分性得證。下面證明必要性，用反證法。若不等式不成立，則對任何自然數(shù)，存在，使，令，于是，但不成立，這與比強(qiáng)矛盾。證畢。由性質(zhì)2.4可知，兩個范數(shù)與等價當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使下面不等式成立例2.47 在連續(xù)函數(shù)空間中定義兩種范數(shù)為則比強(qiáng)，但兩個范數(shù)不等價。證明：若，則函數(shù)列在上一致收斂于，由一致收斂函數(shù)性質(zhì)有即反之，取函