1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二重積分換元：dxdy=x,yu,vdudv常用：極坐標變換x=rcosy=rsin, dxdy=rdrd, 0,2橢圓極坐標變換x=atcosy=btcos, dxdy=abtdtd,0,2三重積分換元：dxdydz=x,y,zu,v,wdudvdw常用：柱坐標變換x=rcosy=rsinz=z, dxdydz=rdrddz,0,2球坐標變換x=rsincosy=rsinsinz=rcos, dxdydz=r2sindrdd, 0,0,2橢球坐標x=atsincosy=btsinsinz=ctcos, dxdydz=abcsindtdd第一類曲線積分：標量在曲線上不

2、分方向的積分Lf(r)dl 計算方法：1.化為定積分二維下x=x(t), y=y(t), 則Lf(r)dl=frxt2+yt2dt2.注意對稱性第一類曲面積分：標量在曲面上不分方向的積分計算方法：1.化為二重積分ijkxuyuzuxvyvzv=Ai+Bj+Ck是曲面S:x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)的一個法向量，在S上的面元dS=A2+B2+C2dudv如果將S向xOy面上投影，n是S的單位法向量，則dS=dxdyn.z 即dxdy=cosdS，其中是法向量與z軸的夾角第二類曲線積分：向量在定向曲線上沿切向量的積分計算方法：1.化為定積分：LABFx,y,zdl=LABXx,

3、y,zdx+Yx,y,zdy+Zx,y,zdz2.化為第一類曲線積分：LABFx,y,zdl=LAB(Fx,y,z.t)dl, 其中t是曲線的切線方向, tdl=(xt,yt,zt)dt3.用Stokes公式轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分LABFx,y,zdl=DFdS, 其中曲線的旋轉(zhuǎn)方向必須使得D始終在曲線左側(cè)。若曲線不閉合，選擇計算簡便的路徑使之閉合3.二維情況：Green公式DXdx+Ydy=DVdxdy=D(Yx-Xy)dxdy, 其中V=Xi+Yj特別地，S=Ddxdy=Dxdy-ydx4.對于與路徑無關(guān)的曲線積分可以從1.式中湊積分湊積分公式：darctanyx=xdy-ydxx2+y2d

4、kx2+y2+z2=-kxdx+ydy+zdzx2+y2+z232第二類曲面積分：向量在定向曲面上沿法向量的積分（向量場在曲面上的通量）計算方法：1.化為第一類曲面積分：S+V.dS=sV.ndS=SV.Ai+Bj+Ckdudv, 其中n是曲面沿定向的單位法向量2.化為二重積分S+V.dS=SXx,y,zdydz+Yx,y,zdzdx+Zx,y,zdxdy其中若S+的定向與x軸正方向成銳角則dydz=dydz，成鈍角則dydz=-dydz計算SXx,y,zdydz時，可以使用曲面方程消去x=x(y,z)，然后用平面上的積分方法來求，這樣dydz可以使用記憶的平面的公式化為參數(shù)形式帶wedge的

5、二重積分也可以轉(zhuǎn)化成第二類曲面積分來做3.用Gauss公式轉(zhuǎn)化為三重積分S+V.dS=V.VdV，其中S的定向向外，若曲面不閉合，選取面使之閉合比較：定積分換元 du=uxdx曲線積分換元dl=xt2+yt2dt=tdtdl=tdl=tdt,其中t=(xt,y(t)二重積分換元dxdy=x,yu,vdudv=xuyuxvyv曲面積分換元dS=A2+B2+C2dudv=|n|dudvdS=ndS=ndudv,其中n=A,B,C=ijkxuyuzuxvyvzv三重積分換元dxdydz=x,y,zu,v,wdudvdw附錄：常用坐標系極坐標系x=rcosy=rsin, 0,2面積元dS=dxdy=r

6、drd常用積分限：過原點的圓, x2+y2a2r0,a, 0,2過(0,a)且半徑為a的圓x2+y22ay0, r0,2asinr=R的弧元dl=rd對于圓周x2+y2=2ay上的曲線積分，可以套用極坐標換元 r=2asin, x=2asincosy=2a sinsin,0,，此時需要重新計算弧元。也可以用三角換元x=acosy=a(sin+1),0,2，而且平移變換不會改變弧元dl=ad柱坐標系x=rcosy=rsinz=z, 0,2體積元dV=dxdydz=rdrddzr=R的柱面面積元dS=Rddz球坐標系x=rsincosy=rsinsinz=rcos, 0, 0,2體積元dV=dxd

7、ydz=r2sindrdd常用積分限：過原點的球x2+y2+z2a2 r0,a,0,0,2過0,0,a的球x2+y2+z22az0,2,0,2,r0,2acosr=R的球面面積元 dS=R2sindd=0的圓錐面面積元dS=rsin0drd=0的垂直面面積元dS=rdrd向xOy面上投影，x=rsincosy=rsinsin, dxdy=rsind(rsin)d橢球坐標x=atsincosy=btsinsinz=ctcos 體積元dV=dxdydz=abcsindtdd對于橢球上的問題，更自然的方法是作換元 p=xa,q=yb,s=zc ，這樣積分會變?yōu)閱挝磺騪2+q2+r2=1上的問題常見積分公式sin2xcos2xdx=x8-sin4x3