1、高高 等等 數(shù)數(shù) 學學主講人主講人 宋從芝宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院11.1 11.1 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的極限和延續(xù)性二元函數(shù)的極限和延續(xù)性一、多元函數(shù)的根本概念一、多元函數(shù)的根本概念1. 1. 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義設(shè)有三個變量設(shè)有三個變量 x , y 和和 z , D是一給定的非空點集。是一給定的非空點集。變量變量 z 按按總有獨一確定的值與之對應，總有獨一確定的值與之對應，那么稱那么稱 z 是是記為記為 定義定義1 1, ),(yxfz 假設(shè)當假設(shè)當x , y 在在D中恣意取定一對值中恣意取定一對值(x , y )時時, 照一定的法那么照一

2、定的法那么 x , y 的二元函數(shù)，的二元函數(shù)， 點集點集 D稱為稱為 函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域 . 其中其中 x, y 稱為自變量，稱為自變量， z 稱為因變量稱為因變量二元函數(shù)在點二元函數(shù)在點 ( x0 , y0) 所獲得的函數(shù)值記所獲得的函數(shù)值記為為00,xxyyz 00(,)z xy00 (,).f xy或例例 1,1)sin(2yxyz 設(shè)設(shè)(,1)2z 求求 以及以及 n 元函數(shù)元函數(shù) u = f (x1 , x2 , , xn)，類似地，類似地， 可以定義三元函數(shù)可以定義三元函數(shù) u = f ( x , y , z ) 多于一個自變量的函多于一個自變量的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)數(shù)統(tǒng)稱為

3、多元函數(shù).解解 sin(1)221112(,1)2z 二元函數(shù)的定義域有時是由一條或幾條曲線二元函數(shù)的定義域有時是由一條或幾條曲線所圍成的區(qū)域，用所圍成的區(qū)域，用 D 表示表示.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域圍成區(qū)域的曲線稱為圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊境，不包括邊境的區(qū)域稱為開區(qū)域區(qū)域的邊境，不包括邊境的區(qū)域稱為開區(qū)域. 連連同邊境在內(nèi)的區(qū)域稱閉區(qū)域，同邊境在內(nèi)的區(qū)域稱閉區(qū)域， 假設(shè)一個區(qū)域可以假設(shè)一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為圓心，適當長為半徑圓內(nèi)，被包含在一個以原點為圓心，適當長為半徑圓內(nèi)，那么稱此區(qū)域為有界區(qū)域那么稱此區(qū)域為有界區(qū)域.求以下函數(shù)的定義域求以下函數(shù)的定義域 D， 并畫出

4、并畫出 D 的圖形：的圖形：;3arcsin2arcsin)1(yxz 22221(2)4.1zxyxy 例例 2 2 arcsin arcsin , 23xyz 因因為為要要使使函函數(shù)數(shù)有有意意義義;3arcsin2arcsin)1(yxz 應有應有解解,13y ,12x所以函數(shù)的定義域所以函數(shù)的定義域 D 是以是以 x = 2 , y = 3 為邊境的矩形閉區(qū)域為邊境的矩形閉區(qū)域. ,22 x即即,33y xyO32 3 3 2 2 由于要使函數(shù)由于要使函數(shù)1142222 yxyxz應有應有是有界區(qū)域是有界區(qū)域.所以函數(shù)定義域是以原點為圓心的環(huán)形區(qū)域，所以函數(shù)定義域是以原點為圓心的環(huán)形區(qū)域

5、，,0122 yx ,0422yx即即 1 x2 + y2 4xy21O有意義，有意義，.114)2(2222 yxyxz解解 設(shè)設(shè)D 由由 y = 1 , x = 2 , y = x 圍成圍成.例例 3 3x型區(qū)域型區(qū)域y型區(qū)域型區(qū)域的不等式組來表示平面區(qū)域的不等式組來表示平面區(qū)域 D : 求形如求形如)()(21xyyxy , dyc或或)()(21yxyxx ,bxaD 由由 y = 1 , x = 2 , y = x 圍成圍成.y = xy = 1x = 2 xyO1 2 12 先做出區(qū)域先做出區(qū)域 D 的圖形，的圖形， 直線直線 y = x , y = 1 交于交于y = x, y

6、= 2 的交點為的交點為(2 , 2).解解點點 (1 , 1).再將再將 D 投影到投影到 x 軸上，軸上，得到區(qū)間得到區(qū)間 1 , 2， 那么區(qū)那么區(qū)域域 D 內(nèi)任一點的橫坐標內(nèi)任一點的橫坐標 x ，在在 1 , 2 內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點 x ，作平行于作平行于 y 軸的直線軸的直線，由圖可知，由圖可知， 對于所給的對于所給的 x , D 內(nèi)對應的縱坐標內(nèi)對應的縱坐標 y 滿足：滿足：滿足不等式滿足不等式 ,21x,1xyy = xy = 1x = 2 xyO1 2 12.1xy ,21x那么區(qū)域那么區(qū)域 D 表示成表示成 x 型區(qū)域為型區(qū)域為 x假想象把假想象把 D 表示成表示成 y 型

7、區(qū)域，型區(qū)域，那么將那么將 D 投影到投影到 y 軸上，軸上，所以在所以在 y 軸上得到區(qū)間軸上得到區(qū)間 1 , 2. 在區(qū)間在區(qū)間 1, 2 內(nèi)恣意取內(nèi)恣意取一點一點 y ,作平行于作平行于 x 軸的直線，軸的直線， 由圖可知對于所給的由圖可知對于所給的 y ，D 內(nèi)對應點的橫坐標內(nèi)對應點的橫坐標 x 滿足滿足,2xy故故 D 表示成表示成 y 型區(qū)域為型區(qū)域為 ,21y.2xyy = xy = 1x = 2 xyO1 2 12y在平面直角坐標系中一元函數(shù)在平面直角坐標系中一元函數(shù)y=f(x)普通表示普通表示一條曲線。類似地，在空間直角坐標系中二元函數(shù)一條曲線。類似地，在空間直角坐標系中二元

8、函數(shù)z=f(x,y)普通表示一個空間曲面。普通表示一個空間曲面。2.2.二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義例如：例如：ax+by+cz+d=0平面平面(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 球面球面只需兩個變量的是柱面只需兩個變量的是柱面y=x2 拋物柱面拋物柱面的常數(shù)的常數(shù) A ，那么稱，那么稱 A 為函數(shù)為函數(shù) z = f (x , y) 當當(x , y)(x0 , y0) 時的極限，時的極限，二、二元函數(shù)的極限二、二元函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x , y)在點在點 P0(x0 , y0)的近旁有定義的近旁有定義(點點 P0 可以除外可以除外)。 假設(shè)當點假

9、設(shè)當點 P(x , y)以任何方式無限接以任何方式無限接近于點近于點 P0(x0 , y0)時，時，,lim00Ayxfyyxx ) )( (記為記為定義定義2 2函數(shù)函數(shù) f (x , y)無限無限 接近于一個確定接近于一個確定.)sin(lim 222200yxyxyx 求求 例例 4 4令令 u = x2 + y2 ，222200sin()limxyxyxy 有時可以轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的有時可以轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的極限問題極限問題.二元函數(shù)的極限問題二元函數(shù)的極限問題解解所以所以0sinlimuuu 1 . 由于當由于當x0，y0時時, 有u0。2222sin() lim.xyxyxy 求求 例

10、例 5 52222sin()limxyxyxy 解解所以所以0 . 當當x，y時時,221xy 是無窮小量，22sin()xy 22221= limsin()xyxyxy 是有界函數(shù)。00 lim.11xyxyxy 求求 例例 6 6 ,0,),(2222yxyxxyyxg例例7 70,022 yx.)0,0(),(時極限是否存在時極限是否存在當當yx調(diào)查函數(shù)調(diào)查函數(shù)當當 ( x, y ) 沿沿 y 軸趨向于原點，軸趨向于原點，00lim ( , )xyg x y 解解而當點而當點 (x, y) 沿沿 y 軸趨向于原點軸趨向于原點，有有即當即當y=0而而 x0時，時，有有0lim ( ,0)x

11、g x 0lim0 x 0 , 即當即當x=0而而 y0時，時，00lim ( , )xyg x y 0lim ( ,0)yg x 0lim0y 0 . ,1lim),(lim),(lim222220000kkxkxkxkxxgyxgxxkxyx 即當即當 y = k x ，,0時時而而x但是，當點但是，當點( x , y )沿著直線沿著直線 y = k x ( k 0 )趨向于趨向于點點(0, 0) 時，時， . ),(lim 00不不存存在在故故極極限限yxgyx,12的值也不同的值也不同kk 隨著隨著 k 的取值不同，的取值不同，且且 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f(x , y) 在點在點 P

12、0(x0 , y0)及其近及其近旁旁有定義，有定義， 00lim( , )xxyyf x y1. 1. 二元函數(shù)的延續(xù)定義二元函數(shù)的延續(xù)定義三、二元函數(shù)的延續(xù)性三、二元函數(shù)的延續(xù)性 定義定義3 3那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) z = f(x, y) 在點在點 P0(x0, y0) 處延續(xù)處延續(xù).00(,) ,f xy 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) z = f (x , y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)各點都延續(xù)內(nèi)各點都延續(xù)，那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) z = f (x , y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)延內(nèi)延續(xù)續(xù).222112 lim.1xyxyxy 求求 例例 8 8此函數(shù)為初等函數(shù)，它的定義域為此函數(shù)為初等函數(shù)，它的定義域為D= (x , y)|x2 + y2 1，222112lim1xyxyxy 解解而而(1,1)1 . 所以所以D 有界閉區(qū)域上延續(xù)有界閉區(qū)域上延續(xù)的二元函數(shù)，在該區(qū)域上一定能獲得最大值和最小值的二元函數(shù)，在該區(qū)域上一定能獲得最大值和最小值. 有界閉區(qū)域上延續(xù)的二元函數(shù)必有界閉區(qū)域上延續(xù)的二元函數(shù)必能獲得它