1、 從實(shí)際問題考慮，有必要研究函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。從實(shí)際問題考慮，有必要研究函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 例如，變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)例如，變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù) V = V( t )是位置是位置函數(shù)函數(shù) S( t )對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間 t 的導(dǎo)數(shù)，即的導(dǎo)數(shù)，即 V = S ( t ). . 加速度加速度 a = a( t )又是速度函數(shù)又是速度函數(shù) V( t )對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間 t 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,即即 a = V ( t )= S ( t ). 這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 S( t )對(duì)對(duì) t 的二階導(dǎo)數(shù)，記作的二階導(dǎo)數(shù)，記作: : S ( t ). . 由此可抽象出二階導(dǎo)數(shù)的由此可抽象出二階導(dǎo)數(shù)的及

2、一般高階的概念。及一般高階的概念。 函數(shù)函數(shù) y = f( x )的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) y = f ( x )仍是仍是 x 的函數(shù)，通的函數(shù)，通常把導(dǎo)函數(shù)常把導(dǎo)函數(shù) y = f ( x )的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù) y = f( x )的二階的二階導(dǎo)數(shù)，記作導(dǎo)數(shù)，記作: : f ( x )，y 即即 類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù) . . 一般地，一般地，n - - 1 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做數(shù)叫做 n 階導(dǎo)數(shù)，即階導(dǎo)數(shù)，即 f ( n )( x )= f ( n- -1 )( x ). . 分別記作分

3、別記作二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。 22ddd.dddyyffxxxxx , ,或或 34434ddd.dddnnnyyyfffxxxxxx , , , , , , , , , , , , 或或 函數(shù)函數(shù) y = f( x )具有具有 n 階導(dǎo)數(shù)，也常說成函數(shù)階導(dǎo)數(shù)，也常說成函數(shù) f( x )n 階可導(dǎo)。如果函數(shù)階可導(dǎo)。如果函數(shù) f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 處具有處具有 n 階導(dǎo)數(shù)，則階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)函數(shù) f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于 n 階階的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 從概念上講，高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算就是連續(xù)進(jìn)行一階

4、導(dǎo)數(shù)從概念上講，高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算就是連續(xù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。因此只需根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則逐階求導(dǎo)就可的計(jì)算。因此只需根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則逐階求導(dǎo)就可以了，但從實(shí)際計(jì)算角度看，卻存在兩個(gè)方面的問題：以了，但從實(shí)際計(jì)算角度看，卻存在兩個(gè)方面的問題： 一是對(duì)抽象函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，隨著求導(dǎo)次數(shù)的增一是對(duì)抽象函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，隨著求導(dǎo)次數(shù)的增加，中間變量的出現(xiàn)次數(shù)會(huì)增多，需注意識(shí)別和區(qū)分各加，中間變量的出現(xiàn)次數(shù)會(huì)增多，需注意識(shí)別和區(qū)分各階求導(dǎo)過程中的中間變量。階求導(dǎo)過程中的中間變量。 二是逐階求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)次數(shù)不高二是逐階求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)次數(shù)不高時(shí)是可行的，當(dāng)求導(dǎo)次數(shù)較高或求時(shí)是可行的，當(dāng)求導(dǎo)次數(shù)較高或求任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)

5、，逐階求導(dǎo)實(shí)際是行任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，逐階求導(dǎo)實(shí)際是行不通的，此時(shí)需研究專門的方法。不通的，此時(shí)需研究專門的方法。 從理論上看，從理論上看，逐次應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則就可得逐次應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則就可得到高階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則。然而，對(duì)于和、差的導(dǎo)數(shù)到高階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則。然而，對(duì)于和、差的導(dǎo)數(shù)計(jì)算的線性規(guī)則，這種推導(dǎo)是方便的，而對(duì)乘積求導(dǎo)的計(jì)算的線性規(guī)則，這種推導(dǎo)是方便的，而對(duì)乘積求導(dǎo)的非線性運(yùn)算規(guī)則，其推導(dǎo)過程和結(jié)果就未必簡(jiǎn)單了。非線性運(yùn)算規(guī)則，其推導(dǎo)過程和結(jié)果就未必簡(jiǎn)單了。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u( x ), v( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 都具有都具有 n 階導(dǎo)數(shù)，則有階導(dǎo)數(shù)，則有 u( x ) v

6、( x )( n ) = u( x )( n ) v( x )( n ). . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u( x ), v( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 都具有都具有 n 階導(dǎo)數(shù)，則由階導(dǎo)數(shù)，則由一階導(dǎo)數(shù)乘積的運(yùn)算法則有一階導(dǎo)數(shù)乘積的運(yùn)算法則有 u( x ) v( x ) = u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x )， u( x ) v( x )= u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x )= u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x )= u ( x ) v( x )+ u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x )+ u( x ) v

7、 ( x )= u ( x ) v( x )+ 2u ( x ) v ( x )+ u( x ) v ( x )， u( x ) v( x )= u v + 2u v + u v = u v + 2u v + u v = u v + 2u v + u v = u v + u v + 2 u v + u v + u v + u v = u v + 3 u v + 3 u v + u v . . 可見導(dǎo)數(shù)階數(shù)越高，相應(yīng)乘積的導(dǎo)數(shù)越復(fù)雜，但其可見導(dǎo)數(shù)階數(shù)越高，相應(yīng)乘積的導(dǎo)數(shù)越復(fù)雜，但其間卻有著明顯的規(guī)律性，為歸納其一般規(guī)律，記：間卻有著明顯的規(guī)律性，為歸納其一般規(guī)律，記： u( x )= u( 0

8、)( x )，v( x )= v( 0 )( x )， u ( x )= u( 1 )( x )，v ( x )= v( 1 )( x )，依此類推依此類推。 于是上述計(jì)算結(jié)果可寫成于是上述計(jì)算結(jié)果可寫成： u v = u( 1 ) v( 0 ) + u( 0 ) v( 1 )， u v = u( 2 ) v( 0 ) + 2u( 1 ) v( 1 )+ u( 0 ) v( 2 )， u v = u( 3 ) v( 0 ) + 3u( 2 ) v( 1 )+ 3u( 1 ) v( 2 )+ u( 0 ) v( 3 ). . 由此可見，乘積的由此可見，乘積的 n 階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)及導(dǎo)數(shù)階數(shù)的變階導(dǎo)數(shù)

9、的系數(shù)及導(dǎo)數(shù)階數(shù)的變化規(guī)律類似于二項(xiàng)展開式的系數(shù)及指數(shù)規(guī)律。于是由歸化規(guī)律類似于二項(xiàng)展開式的系數(shù)及指數(shù)規(guī)律。于是由歸納法可求得：納法可求得：這一結(jié)果稱為萊布尼茲公式。這一結(jié)果稱為萊布尼茲公式。 0nnkn kknkuvC uvxxxx 萊布尼茲公式雖然指出了乘積的高階導(dǎo)數(shù)的規(guī)律萊布尼茲公式雖然指出了乘積的高階導(dǎo)數(shù)的規(guī)律性，但一般而言，按萊布尼茲公式求乘積高階導(dǎo)數(shù)是性，但一般而言，按萊布尼茲公式求乘積高階導(dǎo)數(shù)是較繁雜的，不適合于作為一般方法。較繁雜的，不適合于作為一般方法。 然而在一些特別情形下，應(yīng)用萊布尼茲公式卻很然而在一些特別情形下，應(yīng)用萊布尼茲公式卻很便利。例如，乘積中有一因子的高階導(dǎo)數(shù)大

10、多為零，便利。例如，乘積中有一因子的高階導(dǎo)數(shù)大多為零，如冪函數(shù)因子，則用萊布尼茲公式如冪函數(shù)因子，則用萊布尼茲公式計(jì)算較為方便。又如，對(duì)于某些高計(jì)算較為方便。又如，對(duì)于某些高階導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算，利用萊布尼茲公階導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算，利用萊布尼茲公式可直接建立某種遞推關(guān)系，這對(duì)式可直接建立某種遞推關(guān)系，這對(duì)問題的分析和討論都很有用。問題的分析和討論都很有用。例：例：設(shè)設(shè) y = x 2 f( cos x )，f ( x )存在存在，求求：y . 這是半抽象復(fù)合函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)問題。由于已這是半抽象復(fù)合函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)問題。由于已知知 f ( x )存在存在，故只需按導(dǎo)數(shù)規(guī)則逐階求導(dǎo)即可。故只需按導(dǎo)數(shù)規(guī)則逐階求導(dǎo)

11、即可。 y = x 2 f( cos x )= 2 x f( cos x )- - x 2 f ( cos x )sin x， y =( y )= 2x f( cos x )- - x 2 f ( cos x )sin x = 2x f( cos x )- - x 2 f ( cos x )sin x ， = 2 f( cos x )- - x f ( cos x )sin x - - 2x f ( cos x )sin x - - x 2 f ( cos x )sin 2 x + + x 2 f ( cos x )cos x = 2 f( cos x )- - x f ( cos x )(

12、4sin x + x cos x ) + x 2 f ( cos x )sin 2 x . .例：例：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) x = f( y )的反函數(shù)為的反函數(shù)為 y = ( x )，其中其中 f ( y ) f ( y )均存在，且均存在，且 f ( y ) 0 ，求求： 這是個(gè)求反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)問題。由于條件已這是個(gè)求反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)問題。由于條件已給出直接函數(shù)給出直接函數(shù) x = f( y )一、二階導(dǎo)數(shù)一、二階導(dǎo)數(shù) f ( y ), f ( y )的的存在性，自然想到從反函數(shù)與直接函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系存在性，自然想到從反函數(shù)與直接函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系 出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。 由于這一關(guān)系式

13、兩邊對(duì)應(yīng)于不同變量由于這一關(guān)系式兩邊對(duì)應(yīng)于不同變量 x、y 的函數(shù)的函數(shù)形式，形式，進(jìn)行導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí)，需注意區(qū)分中間變量與自變量進(jìn)行導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí)，需注意區(qū)分中間變量與自變量及相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，即求導(dǎo)時(shí)應(yīng)將該關(guān)系使理解為及相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，即求導(dǎo)時(shí)應(yīng)將該關(guān)系使理解為 23 23dd.ddxxxx , , d1dxfy d11dxfyfx . . 將反函數(shù)與直接函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系式將反函數(shù)與直接函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系式的右端看成是以的右端看成是以 y 為中間變量為中間變量 x 為自變量的復(fù)合函數(shù)，為自變量的復(fù)合函數(shù)， 并在關(guān)系式兩邊對(duì)并在關(guān)系式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) d1dxfy d11dxfyfx , ,即即 2

14、2dddd1ddddxxxxfy dd1ddyyxfy 231.fyfyfyfyfy 32323ddddddddfyxxxxfy 3ddddfyyyxfy 32631fyfyfyfyfyfyfy 2 5 3.fyfyfyfy例：例：已知已知 f( x ) = sin x sin 3 x sin 5 x，求求: : f ( 0 ) . . 對(duì)此連乘積形式的函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，直接按乘對(duì)此連乘積形式的函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，直接按乘乘積求導(dǎo)法則乘積求導(dǎo)法則求導(dǎo)顯然比較繁雜，故可考慮將乘積化為求導(dǎo)顯然比較繁雜，故可考慮將乘積化為和差再按和的求導(dǎo)法則計(jì)算。和差再按和的求導(dǎo)法則計(jì)算。 連續(xù)兩次應(yīng)用和差化積公式有連續(xù)

15、兩次應(yīng)用和差化積公式有 f( x ) = sin x sin 3 x sin 5 x 1 sinsin3sin7sin94xxxx, , 1sincos2cos82xxx 由此便容易求得：由此便容易求得：于是求得于是求得: : f ( 0 )= 0 . . 1sinsin3sin7sin94fxxxxx 1cos3cos37cos79cos94xxxx, , 1cos3cos37cos79cos94fxxxxx 1sin9sin349sin781sin94xxxx, , 由于所求的是高階導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處的值，故又可考慮由于所求的是高階導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處的值，故又可考慮利用導(dǎo)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析計(jì)算。利用

16、導(dǎo)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析計(jì)算。 由于由于 f( x )= sin x sin 3 x sin 5 x 為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，故 f ( x )為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，f ( x )又為奇函數(shù)。又為奇函數(shù)。 于是由奇函數(shù)的性質(zhì)有：于是由奇函數(shù)的性質(zhì)有： f ( 0 )= 0 . . 對(duì)任意對(duì)任意 n 階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，由于階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，由于 n 不是確定值，自然不是確定值，自然不可能通過逐求導(dǎo)的方法計(jì)算。此外，對(duì)于固定階導(dǎo)數(shù)不可能通過逐求導(dǎo)的方法計(jì)算。此外，對(duì)于固定階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)其階數(shù)較高時(shí)也不可能逐階計(jì)算。的計(jì)算，當(dāng)其階數(shù)較高時(shí)也不可能逐階計(jì)算。 所謂所謂 n 階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算實(shí)際就是要階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算實(shí)際就

17、是要設(shè)法求出以設(shè)法求出以 n 為參數(shù)的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式。為參數(shù)的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式。求求 n 階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)表達(dá)式并沒有階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)表達(dá)式并沒有一般的方法，最常用的方法是，一般的方法，最常用的方法是，先按導(dǎo)數(shù)計(jì)算法求出若干階導(dǎo)數(shù)，先按導(dǎo)數(shù)計(jì)算法求出若干階導(dǎo)數(shù)，再設(shè)法找出其間的規(guī)律性，并導(dǎo)出再設(shè)法找出其間的規(guī)律性，并導(dǎo)出 n 的參數(shù)關(guān)系式。的參數(shù)關(guān)系式。例：例：設(shè)設(shè) y = cos x ，求求：y( n ) . . 這是基本初等函數(shù)求任意階導(dǎo)數(shù)的問題，其求這是基本初等函數(shù)求任意階導(dǎo)數(shù)的問題，其求導(dǎo)任務(wù)實(shí)際是尋求導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式與導(dǎo)數(shù)階數(shù)導(dǎo)任務(wù)實(shí)際是尋求導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式與導(dǎo)數(shù)階數(shù) n 的關(guān)系。的關(guān)系。為找出其間的規(guī)律

18、性，可先具體計(jì)算若干階導(dǎo)數(shù)，再設(shè)為找出其間的規(guī)律性，可先具體計(jì)算若干階導(dǎo)數(shù)，再設(shè)法確定一般規(guī)律。法確定一般規(guī)律。 y = ( cos x ) = - - sin x ， y = ( cos x ) = ( - - sin x ) = - - cos x， y = ( cos x ) = ( cos x ) =(- - cos x )= sin x ，y ( 4 ) = ( cos x )( 4 ) = ( cos x )=( sin x ) = cos x ，y ( 5 ) = ( cos x )( 5 ) = ( cos x )( 4 )=( cos x ) = - - sin x ， 通過

19、若干階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可看出，通過若干階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可看出，cos x 的高階導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)具有一種循環(huán)性，其循環(huán)規(guī)律涉及兩個(gè)因素，一是總在具有一種循環(huán)性，其循環(huán)規(guī)律涉及兩個(gè)因素，一是總在 sin x 和和 cos x 之間交互轉(zhuǎn)換，二是符號(hào)交互變化。之間交互轉(zhuǎn)換，二是符號(hào)交互變化。 由于涉及兩個(gè)變化因素，使得確定導(dǎo)數(shù)規(guī)律相對(duì)困由于涉及兩個(gè)變化因素，使得確定導(dǎo)數(shù)規(guī)律相對(duì)困難，故考慮改寫各階導(dǎo)數(shù)形式，以減少其間變化因素，難，故考慮改寫各階導(dǎo)數(shù)形式，以減少其間變化因素，并使其和導(dǎo)數(shù)階數(shù)發(fā)生聯(lián)系。并使其和導(dǎo)數(shù)階數(shù)發(fā)生聯(lián)系。 cossincos2yxxx , , coscoscos22yxxx , , cossincos32yxxx , , 44 cossincos32yxxx , , 由此可見，由此可見，cos x 的的 n 階導(dǎo)數(shù)可一般地寫成：階導(dǎo)數(shù)可一般地寫成： 類似地可求得類似地可求得 coscos2nnxx sinsin2nnxx C. P. U. Math. Dept. 楊訪楊訪 三角式的高階導(dǎo)數(shù)往往會(huì)呈現(xiàn)出某種循環(huán)性，這三角式的高階導(dǎo)數(shù)往往會(huì)呈現(xiàn)出某種循環(huán)性，這使得三角式高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算比較繁雜。使得三角式高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算比較繁雜。 由本題結(jié)果可方便地