1、第五節(jié)第五節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定三、曲線的拐點(diǎn)及其求法三、曲線的拐點(diǎn)及其求法問(wèn)題問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方xyo)(xfy 1x2x221xx )2(21xxf2)()(21xfxf1x2xxyo)(xfy 221xx )2(21xxf2)()(21xfxfxyoABMN一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212

2、121內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹的的在在那那末末稱稱恒恒有有兩兩點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)任任意意如如果果對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凸凸的的在在那那末末稱稱恒恒有有內(nèi)內(nèi)任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)baxfxfxfxxfxxba 定義定義xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA凹?。喊蓟。呵€上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的下方。曲線上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的下方。凸?。和够。?曲線上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的上方。曲線上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的上方。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)

3、(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上上的的圖圖形形是是凸凸的的在在則則上上的的圖圖形形是是凹凹的的在在則則內(nèi)內(nèi)若若在在二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定任取兩點(diǎn)任取兩點(diǎn))(,2121xxxx 證明：1）分析： 要證要證2)()()2(2121xfxfxxf 即證即證0)2()()2()(212211 xxfxfxxfxf2)()2)()2()(),2,(21121112112111xxfxxxfxxfx

4、fxxx 2)()2)()2()(),2(12221222122212xxfxxxfxxfxfxxx 兩式相加為：兩式相加為：2)()()2()()2()(1212212211xxffxxfxfxxfxf 即證：即證：)( 0)()(2112 ff事實(shí)上：事實(shí)上：),( )()()(2112 fff而而0)( f同理可證明同理可證明2）例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分

5、分界界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,1 1 定義定義注注1:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線處穿過(guò)曲線.)()( 點(diǎn)點(diǎn)的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)叫叫做做曲曲線線的的拐拐凹凹弧弧與與凸凸弧?。┑牡膱D圖形形上上凸凸弧弧與與凹凹弧?。ㄉ仙线B連續(xù)續(xù)，我我們們把把在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfyIxf .)(,200不不同同于于極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的表表示示來(lái)來(lái)表表示示的的，、拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是用用坐坐標(biāo)標(biāo)（注注xfx三、曲線的拐點(diǎn)及其求法三、曲線的拐點(diǎn)及其求法定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx內(nèi)內(nèi)存存在在二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則點(diǎn)點(diǎn) )(,00 xfx是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的必必要要條條件件是是0)(0

6、xf. .證證2 2 拐點(diǎn)的必要條件拐點(diǎn)的必要條件時(shí)時(shí)，圖圖形形是是凹凹弧弧，當(dāng)當(dāng)即即對(duì)對(duì)分分界界點(diǎn)點(diǎn)的的不不妨妨設(shè)設(shè)它它是是凹凹弧弧與與凸凸弧弧是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)000),(.,)(,(xxbaxxfx . 0)( xf遞遞增增；所所以以)(xf 時(shí)時(shí)，圖圖形形是是凸凸弧弧，當(dāng)當(dāng)0 xx .)(遞遞減減所所以以xf .)(的的極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)遞遞減減的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)，也也就就是是xf 遞遞增增與與是是函函數(shù)數(shù)因因此此點(diǎn)點(diǎn))(0 xfx 由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的條件，由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的條件，;)(,(,)()3(000即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變變號(hào)號(hào)兩兩近近旁旁xfxxfx .)(,(,)(000不是拐點(diǎn)

7、不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx 3 3 拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法方法方法1：);()1(xf 求求0,0)()2(xxf點(diǎn)點(diǎn)找找出出實(shí)實(shí)根根和和二二階階不不可可導(dǎo)導(dǎo)令令 .)()(,(,)(000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線也也可可能能點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在注注意意：若若xfyxfxxf 例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 ,

8、0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間為為.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf .)2 , 0(cossin的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求求曲曲線線 xxy,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 例例3 3解解方法方法2:2:內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線也也可可能能點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy