1、第二十四講第二十四講 能帶填充與固體的導(dǎo)電性能帶填充與固體的導(dǎo)電性 費(fèi)密面和軌道費(fèi)密面和軌道 7.5 7.5 能帶填充與固體的導(dǎo)電性，價(jià)帶、導(dǎo)帶與滿帶能帶填充與固體的導(dǎo)電性，價(jià)帶、導(dǎo)帶與滿帶固體中原子的內(nèi)層電子被束縛于原子核周圍，是局域化電子，固體中原子的內(nèi)層電子被束縛于原子核周圍，是局域化電子，不能流動。因此討論固體導(dǎo)電性時，只需研究價(jià)電子的行為。不能流動。因此討論固體導(dǎo)電性時，只需研究價(jià)電子的行為。固體中價(jià)電子所處的能帶稱為價(jià)帶。固體中價(jià)電子所處的能帶稱為價(jià)帶。 固體能帶理論的一個主要貢獻(xiàn)是給出了對金屬、絕緣體和半導(dǎo)固體能帶理論的一個主要貢獻(xiàn)是給出了對金屬、絕緣體和半導(dǎo)體的一種解釋。體的一

2、種解釋。一滿帶和不滿帶對電流的貢獻(xiàn)一滿帶和不滿帶對電流的貢獻(xiàn)設(shè)設(shè) v vn n(k)(k)為第為第 n n 個能帶中處于波矢為個能帶中處于波矢為 k k 的狀態(tài)的狀態(tài)nknk(r)(r)的電子的的電子的平均速度，則該能帶對電流的貢獻(xiàn)為平均速度，則該能帶對電流的貢獻(xiàn)為 )(kvejnkn - - - (1) - - - (1) 上式中的求和對第一布里淵區(qū)內(nèi)所有的狀態(tài)進(jìn)行。上式中的求和對第一布里淵區(qū)內(nèi)所有的狀態(tài)進(jìn)行。 另外，能量另外，能量 E E 是偶函數(shù)：是偶函數(shù)： E(k) = E(-k) - - - (2) E(k) = E(-k) - - - (2) 而電子平均速度而電子平均速度 )(1)

3、(kEkvk - - - (3) - - - (3) 是奇函數(shù)：是奇函數(shù)： v(-k) = -v(k) - - - (4)2 2. . 有有外外電電場場時時 由由7 7. .4 4 的的公公式式 kp 和和 dtpdF 電電子子波波矢矢 k k 在在外外電電場場作作用用下下的的變變化化為為 )(1edtkd - - - - - - ( (5 5) ) 以以下下說說明明： 對對于于滿滿帶帶， j jn n = = 0 0 也也成成立立。 而而對對于于未未滿滿帶帶，j jn n 0 0，有有宏宏觀觀電電流流。（1 1）滿滿帶帶情情況況一一個個能能帶帶中中所所有有的的狀狀態(tài)態(tài)（所所有有可可能能的的波

4、波矢矢 k k）都都被被電電子子占占據(jù)據(jù)了了。因因此此不不管管波波矢矢 k k 怎怎樣樣隨隨時時間間變變化化，所所有有狀狀態(tài)態(tài)被被占占滿滿的的情情況況不不變變。P158 P158 圖圖 7.7(b) 7.7(b)。在。在t t 時間內(nèi)，范圍為時間內(nèi)，范圍為 tek 的電子從右邊越的電子從右邊越出第一布里淵區(qū)而進(jìn)入第二布里淵區(qū)，同時左邊靠近布里淵區(qū)邊界出第一布里淵區(qū)而進(jìn)入第二布里淵區(qū)，同時左邊靠近布里淵區(qū)邊界k k的范圍已不為電子所占。但由于的范圍已不為電子所占。但由于 E(k + 2 E(k + 2/a) = E(k),/a) = E(k),運(yùn)動到布里淵運(yùn)動到布里淵區(qū)右端區(qū)右端（/a/a）的狀

5、態(tài)等效地回到了布里淵區(qū)左端）的狀態(tài)等效地回到了布里淵區(qū)左端（- -/a/a） 。從能量） 。從能量觀點(diǎn)看，即外電場不改變布里淵區(qū)內(nèi)被占據(jù)狀態(tài)觀點(diǎn)看，即外電場不改變布里淵區(qū)內(nèi)被占據(jù)狀態(tài)（波矢（波矢 k k）的分布。此）的分布。此時電子占有時電子占有 k k 狀態(tài)的幾率仍然等于它占有狀態(tài)的幾率仍然等于它占有 -k -k 狀態(tài)的幾率，晶體中沒狀態(tài)的幾率，晶體中沒有電流。有電流。jn = 0二二 絕緣體、導(dǎo)體和半導(dǎo)體絕緣體、導(dǎo)體和半導(dǎo)體1 1 空穴空穴 若滿帶中有若滿帶中有一個一個狀態(tài)狀態(tài) k k 未被電子占據(jù)，用未被電子占據(jù)，用 J Jk k表示該未滿表示該未滿 帶產(chǎn)生的電流。帶產(chǎn)生的電流。 如果引

6、入一個電子填補(bǔ)這個空的狀態(tài)，該電子的電流如果引入一個電子填補(bǔ)這個空的狀態(tài)，該電子的電流 j jk k = -ev(k) = -ev(k) 此時總電流為零。此時總電流為零。 J Jk k + j + jk k = 0 = 0 J Jk k = -j = -jk k = = ev(k) (6)ev(k) (6)結(jié)論結(jié)論: : 當(dāng)滿帶中有當(dāng)滿帶中有一個一個空的狀態(tài)空的狀態(tài) k k 時，時，整個能帶整個能帶的電流象是的電流象是 由由一個正電荷一個正電荷 e e 所產(chǎn)生的，其運(yùn)動速度等于處在所產(chǎn)生的，其運(yùn)動速度等于處在 k k 狀狀 態(tài)的電子的運(yùn)動速度態(tài)的電子的運(yùn)動速度 v(k)v(k)，這種空的狀態(tài)稱

7、為空穴。，這種空的狀態(tài)稱為空穴。 空穴態(tài)空穴態(tài) k k 隨時間隨時間 t t 的變化即為的變化即為（5 5）式）式 )(1edtkd 由于能帶頂?shù)碾娮尤菀妆患ぐl(fā)到導(dǎo)帶，空穴通常處于能帶頂。由于能帶頂?shù)碾娮尤菀妆患ぐl(fā)到導(dǎo)帶，空穴通常處于能帶頂。 若電子占有該空穴時的有效質(zhì)量為若電子占有該空穴時的有效質(zhì)量為 m m* * 0 0，定義該處空穴的，定義該處空穴的 有效質(zhì)量為有效質(zhì)量為 m mh h, , m mh h = - m = - m* * 0 (7)0 (7) 占有該空穴的電子的加速度占有該空穴的電子的加速度 外Fmdtkvd*1)( = = ememhh1)(1 (8) (8) 公式公式（

8、8 8）就象一個具有正電荷）就象一個具有正電荷 e e、正質(zhì)量、正質(zhì)量 m mh h的粒子在電磁的粒子在電磁 場中運(yùn)動所產(chǎn)生的加速度。場中運(yùn)動所產(chǎn)生的加速度。 波矢為波矢為 k k 電子狀態(tài)空缺形成的空穴的屬性：電子狀態(tài)空缺形成的空穴的屬性： 帶正電荷帶正電荷 e e、正質(zhì)量正質(zhì)量 m mh h（= - m= - m* *） ，速度為該電子速度，速度為該電子速度 v(k)v(k)2.2. 導(dǎo)體導(dǎo)體 有未被填滿的價(jià)帶。有未被填滿的價(jià)帶。3.3. 絕緣體絕緣體 有正好填滿的價(jià)帶，它與空的導(dǎo)帶間存在很寬的禁有正好填滿的價(jià)帶，它與空的導(dǎo)帶間存在很寬的禁 帶。熱激發(fā)無法把電子從價(jià)帶頂激發(fā)到導(dǎo)帶底。帶。熱

9、激發(fā)無法把電子從價(jià)帶頂激發(fā)到導(dǎo)帶底。4.4. 半導(dǎo)體半導(dǎo)體 能帶結(jié)構(gòu)與絕緣體相似，只是禁帶能帶結(jié)構(gòu)與絕緣體相似，只是禁帶 EgEg 較窄較窄（0.2 0.2 3.5eV3.5eV） 。） 。 p 159 - 160 p 159 - 160 圖圖 7.8(a)7.8(a) 熱激發(fā)可把價(jià)帶頂部的電子激發(fā)到空的導(dǎo)帶中，在價(jià)帶中熱激發(fā)可把價(jià)帶頂部的電子激發(fā)到空的導(dǎo)帶中，在價(jià)帶中流下空穴，使價(jià)帶和導(dǎo)帶都成為未填滿能帶，從而有導(dǎo)電本領(lǐng)。流下空穴，使價(jià)帶和導(dǎo)帶都成為未填滿能帶，從而有導(dǎo)電本領(lǐng)。但室溫下導(dǎo)帶中的電子數(shù)和價(jià)帶中的空穴數(shù)但室溫下導(dǎo)帶中的電子數(shù)和價(jià)帶中的空穴數(shù)（統(tǒng)稱為載流子）（統(tǒng)稱為載流子）都遠(yuǎn)少于

10、金屬中的自由電子，故電導(dǎo)率較低。電導(dǎo)率隨溫度指都遠(yuǎn)少于金屬中的自由電子，故電導(dǎo)率較低。電導(dǎo)率隨溫度指數(shù)增加。低溫下，半導(dǎo)體表現(xiàn)為絕緣體。數(shù)增加。低溫下，半導(dǎo)體表現(xiàn)為絕緣體。 硅：硅： Eg = 1.17 eV, Eg = 1.17 eV, 鍺：鍺： Eg = 0.74 eV Eg = 0.74 eV5.5. 半金屬半金屬 p 160 p 160 沒有禁帶沒有禁帶, ,故能帶結(jié)構(gòu)本質(zhì)上是金屬性的。即使在低溫下，也故能帶結(jié)構(gòu)本質(zhì)上是金屬性的。即使在低溫下，也表現(xiàn)出金屬性。表現(xiàn)出金屬性。室溫下，半金屬的載流子密度介于金屬和半導(dǎo)體之間，電導(dǎo)率也介于室溫下，半金屬的載流子密度介于金屬和半導(dǎo)體之間，電導(dǎo)率

11、也介于金屬和半導(dǎo)體之間，也同時存在電子與空穴兩類載流子。金屬和半導(dǎo)體之間，也同時存在電子與空穴兩類載流子。7.6 7.6 費(fèi)密面和粒子的軌道費(fèi)密面和粒子的軌道哈里森提出了關(guān)于用準(zhǔn)自由電子模型構(gòu)造費(fèi)密面的方法。哈里森提出了關(guān)于用準(zhǔn)自由電子模型構(gòu)造費(fèi)密面的方法。討論：討論： 二維正方格子晶體：周期二維正方格子晶體：周期 a a，含，含 N N 個原胞，每個原胞含個原胞，每個原胞含 個價(jià)電子。個價(jià)電子。 在絕對零度時的費(fèi)密面：在絕對零度時的費(fèi)密面： f(E) = f(E) = ffEEEE10一一 自由電子模型自由電子模型 電子在邊長為電子在邊長為 LaLa（L L2 2=N=N）的正方形勢阱中運(yùn)動

12、，用周期性邊界條件，）的正方形勢阱中運(yùn)動，用周期性邊界條件，可得可得E = E = mk222，k kx x = = Lalx2 l lx x = 0, = 0,1,1,2,2, k ky y = = Laly2 l ly y = 0, = 0,1,1,2,2,2.2. 費(fèi)密面的構(gòu)造費(fèi)密面的構(gòu)造(1)(1) 畫出晶體的第、第、第布里淵區(qū)。畫出晶體的第、第、第布里淵區(qū)。P161 P161 圖圖 7.9 (a) 7.9 (a)（2 2）用自由電子模型畫出費(fèi)密圓）用自由電子模型畫出費(fèi)密圓（三維情況是球） ，圓半經(jīng)為（三維情況是球） ，圓半經(jīng)為 k kf f， 圓內(nèi)區(qū)域是電子占有的狀態(tài)。圓內(nèi)區(qū)域是電子

13、占有的狀態(tài)。 圖圖 7.9(a)7.9(a)中的圓對應(yīng)中的圓對應(yīng)=4=4 的情況。的情況。 (3) (3) 把落在各個布氏區(qū)的費(fèi)密圓把落在各個布氏區(qū)的費(fèi)密圓( (球球) )片斷平移到簡約布氏區(qū)中片斷平移到簡約布氏區(qū)中等價(jià)部位。等價(jià)部位。 對照書上對照書上 p161p161 圖圖 7.9(b)7.9(b)和和(c)(c)。注意：注意： （i i）每一個布里淵區(qū)中的電子態(tài)屬于一個能帶。能帶之間有）每一個布里淵區(qū)中的電子態(tài)屬于一個能帶。能帶之間有 能隙能隙（禁帶） ，寬度為（禁帶） ，寬度為 2|V(K 2|V(Kh h)|)|。 （iiii）第二個能帶為空穴型的，第三個能帶為電子型的）第二個能帶為空穴型的，第三個能帶為電子型的 p 162 p 162 第二段文字。第二段文字。作業(yè)：作