1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗1 假設(shè)檢驗是指施加于一個或多個總體的概率假設(shè)檢驗是指施加于一個或多個總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè)分布或參數(shù)的假設(shè). . 所作的假設(shè)可以是正確的所作的假設(shè)可以是正確的, , 也可以是錯誤的也可以是錯誤的. . 為判別所作的假設(shè)能否正確為判別所作的假設(shè)能否正確, , 從總體從總體中抽取樣本中抽取樣本, , 根據(jù)樣本的取值根據(jù)樣本的取值, , 按一定的按一定的原那么進展檢驗原那么進展檢驗, , 然后然后, , 作出接受或回絕作出接受或回絕所作假設(shè)的決議所作假設(shè)的決議. .一、假設(shè)檢驗的根本概念一、假設(shè)檢驗的根

2、本概念 假設(shè)檢驗所以可行假設(shè)檢驗所以可行, ,其實際背景為其實際背景為實踐推斷原理實踐推斷原理, ,即即“小概率原理小概率原理假設(shè)檢驗的內(nèi)容假設(shè)檢驗的內(nèi)容參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗總體均值總體均值, 均值差的檢驗均值差的檢驗總體方差總體方差, 方差比的檢驗方差比的檢驗分布擬合檢驗分布擬合檢驗符號檢驗符號檢驗秩和檢驗秩和檢驗假設(shè)檢驗的實際根據(jù)假設(shè)檢驗的實際根據(jù)總體分布知，總體分布知，檢驗關(guān)于未知檢驗關(guān)于未知參數(shù)的某個假設(shè)參數(shù)的某個假設(shè)總體分布未知時的總體分布未知時的假設(shè)檢驗問題假設(shè)檢驗問題 消費流水線上罐裝可消費流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱樂不斷地封裝，然后裝箱外運外運. 怎樣

3、知道這批罐裝怎樣知道這批罐裝可樂的容量能否合格呢？可樂的容量能否合格呢？ 把每一罐都翻開倒入量把每一罐都翻開倒入量杯杯, 看看容量能否合于規(guī)范？看看容量能否合于規(guī)范？ 這樣做這樣做顯然不行！顯然不行！罐裝可樂的容量按規(guī)范應(yīng)在罐裝可樂的容量按規(guī)范應(yīng)在350毫升和毫升和360毫升之間毫升之間. 每隔一定時間，抽查假設(shè)干罐每隔一定時間，抽查假設(shè)干罐 . 如每隔如每隔1小時，小時，抽查抽查5罐，得罐，得5個容量的值個容量的值X1，X5，根，根據(jù)這些值來判別消費能否正常據(jù)這些值來判別消費能否正常. 如發(fā)現(xiàn)不正常，就應(yīng)停產(chǎn)，找出緣由，如發(fā)現(xiàn)不正常，就應(yīng)停產(chǎn)，找出緣由，排除缺點，然后再消費；如沒有問題，就排

4、除缺點，然后再消費；如沒有問題，就繼續(xù)按規(guī)定時間再抽樣，以此監(jiān)視消費，繼續(xù)按規(guī)定時間再抽樣，以此監(jiān)視消費，保證質(zhì)量保證質(zhì)量.通常的方法是進展抽樣檢查通常的方法是進展抽樣檢查. 不能由不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判別消費不正常而要求停產(chǎn)況下就判別消費不正常而要求停產(chǎn). 也不能總以為正常，有了問題不能及時發(fā)也不能總以為正常，有了問題不能及時發(fā)現(xiàn)，這也要呵斥損失現(xiàn)，這也要呵斥損失.假設(shè)檢驗面對的就是這種矛盾假設(shè)檢驗面對的就是這種矛盾. 在正常消費條件下，由于種種隨機要素的在正常消費條件下，由于種種隨機要素的影響，每罐可樂的容量應(yīng)在影響，每罐可樂的容量應(yīng)在35

5、5毫升上下動搖毫升上下動搖. 這些要素中沒有哪一個占有特殊重要的位置這些要素中沒有哪一個占有特殊重要的位置. 因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的正態(tài)分布是合理的.它的對立假設(shè)是：它的對立假設(shè)是：稱稱H0為原假設(shè)或零假設(shè)，解消假設(shè)；為原假設(shè)或零假設(shè)，解消假設(shè)；稱稱H1為備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)為備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè).在實踐任務(wù)中，往在實踐任務(wù)中，往往把不隨便否認的往把不隨便否認的命題作為原假設(shè)命題作為原假設(shè). 0 H0： = 3550 H1：0 這樣，我們可以以為這樣，我們可以以為X1,X5是取自正是取自正態(tài)總體態(tài)總體 的樣本，的樣本，),(

6、2 N是一個常數(shù)是一個常數(shù). 2 當消費比較穩(wěn)定時，當消費比較穩(wěn)定時，如今要檢驗的假設(shè)是：如今要檢驗的假設(shè)是： 如何判別原假設(shè)如何判別原假設(shè)H0 能否成立呢？能否成立呢？ 較大、較小是一個相對的概念，合理較大、較小是一個相對的概念，合理的界限在何處？應(yīng)由什么原那么來確定？的界限在何處？應(yīng)由什么原那么來確定？由于由于 是正態(tài)分布的期望值，它的估計量是是正態(tài)分布的期望值，它的估計量是樣本均值樣本均值 ，因此可以根據(jù)，因此可以根據(jù) 與與 的差距的差距XX 0 來判別來判別H0 能否成立能否成立.X- |0 較小時，可以以為較小時，可以以為H0是成立的；是成立的；當當X- |0 消費已不正常消費已不正

7、常.當當較大時，應(yīng)以為較大時，應(yīng)以為H0不成立，即不成立，即- |X|0 問題歸結(jié)為對差別作定量的分析，以問題歸結(jié)為對差別作定量的分析，以確定其性質(zhì)確定其性質(zhì).差別能夠是由抽樣的隨機性引起的，稱為差別能夠是由抽樣的隨機性引起的，稱為“抽樣誤差或抽樣誤差或 隨機誤差隨機誤差差別也能夠是由事物的本質(zhì)差別引起的，稱為差別也能夠是由事物的本質(zhì)差別引起的，稱為“系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 問題是，根據(jù)所察看到的差別，如何問題是，根據(jù)所察看到的差別，如何判別它終究是由于偶爾性在起作用，還是判別它終究是由于偶爾性在起作用，還是消費確實不正常？消費確實不正常？小概率事件在一次實驗中根本上不會發(fā)生小概率事件在一次實驗中根

8、本上不會發(fā)生.這里有兩個盒子，各裝有這里有兩個盒子，各裝有100個球個球.一盒中的白球和紅球數(shù)一盒中的白球和紅球數(shù)99個紅球個紅球一個白球一個白球99個個另一盒中的白球和紅球數(shù)另一盒中的白球和紅球數(shù)99個白球個白球一個紅球一個紅球99個個如何給出這個量的界限？如何給出這個量的界限？ 統(tǒng)計假設(shè)判別題統(tǒng)計假設(shè)判別題 現(xiàn)從兩盒中隨機取出一個盒子，問這個現(xiàn)從兩盒中隨機取出一個盒子，問這個盒子里是盒子里是99個白球還是個白球還是99個紅球？個紅球？我們無妨先假設(shè)：這個盒子里有我們無妨先假設(shè)：這個盒子里有99個白球個白球.如今我們從中隨機摸出一個球，發(fā)現(xiàn)是如今我們從中隨機摸出一個球，發(fā)現(xiàn)是此時他如何判別這

9、個假設(shè)能否成立呢？此時他如何判別這個假設(shè)能否成立呢？ 假設(shè)其中真有假設(shè)其中真有99個白球，摸出紅球的概個白球，摸出紅球的概率只需率只需1/100，這是小概率事件，這是小概率事件.小概率事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，不能不小概率事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，不能不使人疑心所作的假設(shè)使人疑心所作的假設(shè).帶概率性質(zhì)的反證法帶概率性質(zhì)的反證法無妨稱為概率反證法無妨稱為概率反證法. 普通的反證法完全絕對地否認原假設(shè)普通的反證法完全絕對地否認原假設(shè).概率反證法以很大的把握否認原假設(shè)概率反證法以很大的把握否認原假設(shè).紅樓夢中的擲骰子紅樓夢中的擲骰子 在提出原假設(shè)在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和回絕后，如何作出

10、接受和回絕H0的結(jié)論呢？的結(jié)論呢？ 在假設(shè)檢驗中，我們稱這個小概率為顯在假設(shè)檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性程度，用著性程度，用 表示表示. 常取常取.05. 0,01. 0, 1 . 0 罐裝可樂的容量按規(guī)范應(yīng)在罐裝可樂的容量按規(guī)范應(yīng)在350毫升和毫升和360毫升之間毫升之間. 一批可樂出廠前應(yīng)進展抽樣檢查，一批可樂出廠前應(yīng)進展抽樣檢查，現(xiàn)抽查了現(xiàn)抽查了n 罐，測得容量為罐，測得容量為X1,X2,Xn，問這，問這一批可樂的容量能否合格？一批可樂的容量能否合格？提出假設(shè)提出假設(shè)選檢驗統(tǒng)計量選檢驗統(tǒng)計量nXU0 N(0,1) |2zUPH0： = 355 H1： 355由于由于 知，知， 它能衡

11、量差別它能衡量差別大小且分布知大小且分布知 .|0 X對給定的顯著性程度對給定的顯著性程度 ，可以在，可以在N(0,1)表表中查到分位點的值中查到分位點的值 ，使，使2 z 故我們可以取回絕域為：故我們可以取回絕域為：也就是說也就是說,“2| zU是一個小概率事件是一個小概率事件.W：2| zU 假設(shè)由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落假設(shè)由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入?yún)^(qū)域入?yún)^(qū)域W，那么回絕，那么回絕H0 ；否那么，不能回絕；否那么，不能回絕H0 . |2zUP只好接受只好接受“顯著性檢驗顯著性檢驗 假設(shè)顯著性程度假設(shè)顯著性程度 獲得很小，那么回獲得很小，那么回絕域也會比較小絕域也會比較小. 其產(chǎn)

12、生的后果是：其產(chǎn)生的后果是：H0難于被回絕難于被回絕. 假設(shè)在假設(shè)在 很小的情況下很小的情況下H0仍被回絕了，仍被回絕了，那么闡明實踐情況很能夠與之有顯著差別那么闡明實踐情況很能夠與之有顯著差別.01. 0 基于這個理由，人們常把基于這個理由，人們常把 時回時回絕絕H0稱為是顯著的，而把在稱為是顯著的，而把在 時回時回絕絕H0稱為是高度顯著的稱為是高度顯著的.05. 0 例1 某工廠消費的一種螺釘，規(guī)范要求長度是32.5毫米. 實踐消費的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布 未知，現(xiàn)從該廠消費的一批產(chǎn)品中抽取6件, 得尺寸數(shù)據(jù)如下:),(2 N2 32.56, 29.66, 31.64, 30.00

13、, 31.87, 31.03問這批產(chǎn)品能否合格問這批產(chǎn)品能否合格?分析：這批產(chǎn)品分析：這批產(chǎn)品(螺釘長度螺釘長度)的全體組成問題的總體的全體組成問題的總體X. 如今要檢驗如今要檢驗E(X)能否為能否為32.5.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)提出原假設(shè)和備擇假設(shè) 5 .32:5 .32:10 HH第一步：第一步：知知 X),(2 N2 未知未知.第二步：第二步：能衡量差能衡量差異大小且異大小且分布知分布知取一檢驗統(tǒng)計量，在取一檢驗統(tǒng)計量，在H0H0成立下成立下求出它的分布求出它的分布)5(65 .32tSXt第三步：第三步：即即“ 是一個小概率事件是一個小概率事件 . )5(|2 tt 小概率事件在小概率

14、事件在一次實驗中基一次實驗中基本上不會發(fā)生本上不會發(fā)生 . 對給定的顯著性程度對給定的顯著性程度 =0.01=0.01，查表確，查表確定臨界值定臨界值0322. 4)5()5(005. 02 tt , ,使使 )5(|2ttP得否認域得否認域 W: |t |4.0322 W: |t |4.0322得否認域得否認域 W: |t |4.0322W: |t |4.0322故不能回絕故不能回絕H0 .H0 .第四步：第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量將樣本值代入算出統(tǒng)計量 t t 的實測值的實測值, ,| t |=2.9972.33故回絕原假設(shè)故回絕原假設(shè)H0 .落入否認域落入否認域解解: :提出假設(shè)提出

15、假設(shè): : 21:21:10 HH) 1 , 0(21NnXU 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量否認域為否認域為 W :W :01. 0zU =2.33 此時能夠犯第一類錯誤，犯錯誤的概率此時能夠犯第一類錯誤，犯錯誤的概率不超越不超越0.01. 例例3 某產(chǎn)品出廠檢驗規(guī)定某產(chǎn)品出廠檢驗規(guī)定: 次品率次品率p不超越不超越4%才干出廠才干出廠. 現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中恣意抽查現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中恣意抽查12件發(fā)現(xiàn)件發(fā)現(xiàn)3件次品件次品, 問該批產(chǎn)品能否出廠？問該批產(chǎn)品能否出廠？假設(shè)抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)假設(shè)抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品件次品, 問能否出廠？問能否出廠？01. 00097. 0)1 () 3(9331212ppCP解解 假設(shè)假設(shè)

16、0.04,p04. 0p 這是小概率事件這是小概率事件 , 普通在一次實驗中普通在一次實驗中是不會發(fā)生的是不會發(fā)生的,現(xiàn)一次實驗竟然發(fā)生現(xiàn)一次實驗竟然發(fā)生, 故認故認為原假設(shè)不成立為原假設(shè)不成立, 即該批產(chǎn)品次品率即該批產(chǎn)品次品率 , 那么該批產(chǎn)品不能出廠那么該批產(chǎn)品不能出廠. 這不是小概率事件這不是小概率事件,沒理由回絕原假設(shè)沒理由回絕原假設(shè),從而接受原假設(shè)從而接受原假設(shè), 即該批產(chǎn)品可以出廠即該批產(chǎn)品可以出廠.3 . 0306. 0)1 () 1 (11111212ppCP假設(shè)不采用假設(shè)檢驗假設(shè)不采用假設(shè)檢驗, 按理不可以出廠按理不可以出廠.注注04. 0083. 0121直接算直接算 某

17、廠消費的螺釘某廠消費的螺釘,按規(guī)范強度為按規(guī)范強度為68/mm2, 而實踐消費的強度而實踐消費的強度X 服服N(,3.62 ).假設(shè)假設(shè)E(X) =68,那么以為這批螺釘符合要求那么以為這批螺釘符合要求,否那么否那么以為不符合要求以為不符合要求. 現(xiàn)從消費的螺釘中抽取容量現(xiàn)從消費的螺釘中抽取容量為為3636的樣本的樣本, ,其均值為其均值為 , ,問原假設(shè)問原假設(shè)能否正確能否正確? ?5 .68x 例例4 H0 : = 68 H1 : 68 解解 假設(shè)假設(shè)假設(shè)原假設(shè)正確假設(shè)原假設(shè)正確, , 那么那么)366 .3,68(2NX故故66.368X 取較大值是小概率事件取較大值是小概率事件.因此因

18、此 68)(XE,即即X偏離偏離6868不應(yīng)該太遠不應(yīng)該太遠, ,偏離較遠是小概率事件偏離較遠是小概率事件,由于由于 68(0,1)3.6/6XN規(guī)定規(guī)定為小概率事件的概率大小為小概率事件的概率大小, ,通常取通常取 = 0.05, 0.01, = 0.05, 0.01,683.6/6XPc例如例如, ,取取 = 0.05, = 0.05,那么那么96. 1025. 02zzc因此因此, ,可以確定一個常數(shù)可以確定一個常數(shù)c ,c ,使得使得681.963.6/6X 由由為檢驗的接受域為檢驗的接受域 (實踐上沒理由回絕實踐上沒理由回絕),現(xiàn)現(xiàn)5 .68x落入接受域落入接受域, ,那么接受原假設(shè)

19、那么接受原假設(shè)824.6618.69XX或而區(qū)間而區(qū)間( ,66.824 ) 與與 ( 69.18 , + )為檢驗的回絕域為檢驗的回絕域稱稱 的取值區(qū)間的取值區(qū)間X( 66.824 , 69.18 )( 66.824 , 69.18 )H0:H0: = 68 = 68概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗2置信區(qū)間與假設(shè)檢驗之間的關(guān)系置信區(qū)間與假設(shè)檢驗之間的關(guān)系樣本容量的選取樣本容量的選取 提出提出假設(shè)假設(shè) 根據(jù)統(tǒng)計調(diào)查的目的根據(jù)統(tǒng)計調(diào)查的目的, 提出提出原假設(shè)原假設(shè)H0 和備選假設(shè)和備選假設(shè)H1作出作出決策決策抽取抽取樣本樣本檢驗檢驗假設(shè)假設(shè) 對差別進

20、展定量的分析，對差別進展定量的分析，確定其性質(zhì)確定其性質(zhì)(是隨機誤差是隨機誤差還是系統(tǒng)誤差還是系統(tǒng)誤差. 為給出兩為給出兩者界限，找一檢驗統(tǒng)計量者界限，找一檢驗統(tǒng)計量T，在在H0成立下其分布知成立下其分布知.回絕還是不能回絕還是不能回絕回絕H0顯著性顯著性程度程度P(T W)= -犯第一犯第一類錯誤的概率，類錯誤的概率，W為回絕域為回絕域假假設(shè)設(shè)檢檢驗驗步步驟驟 在大樣本的條件下，假設(shè)能求得檢驗統(tǒng)計在大樣本的條件下，假設(shè)能求得檢驗統(tǒng)計量的極限分布，根據(jù)它去決議臨界值量的極限分布，根據(jù)它去決議臨界值C.F 檢驗檢驗 用用 F分布分布普通說來，按照檢驗所用的統(tǒng)計量的分布普通說來，按照檢驗所用的統(tǒng)計

21、量的分布, 分為分為ZU 檢驗檢驗 用正態(tài)分布用正態(tài)分布t 檢驗檢驗 用用 t 分布分布2 檢驗檢驗2 用用分布分布的檢驗的檢驗）均值）均值，（一）單個總體（一）單個總體 2N一、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗一、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗檢檢驗驗）的的檢檢驗驗（已已知知，關(guān)關(guān)于于Z 2. 1nXZ/0 選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量00 ：原原假假設(shè)設(shè)H zz 拒絕域：拒絕域：00 ：原假設(shè)原假設(shè)H00 ：原原假假設(shè)設(shè)H zz 拒絕域：拒絕域：2/| zz 拒拒絕絕域域：) 1 , 0( NnX 檢驗）檢驗）的檢驗（的檢驗（未知，關(guān)于未知，關(guān)于t 2. 2nSXt/0 選取檢驗統(tǒng)計量選取檢驗統(tǒng)計量00 ：原原假假

22、設(shè)設(shè)H)1( ntt 拒拒絕絕域域：00 ：原假設(shè)原假設(shè)H00 ：原原假假設(shè)設(shè)H）（拒絕域：拒絕域：1 ntt ）（拒拒絕絕域域：1|2/ ntt 分布分布的的服從自由度為服從自由度為tn1 ) 1(ntnSX 例例1 1 某廠消費小型馬達某廠消費小型馬達, ,闡明書上寫著闡明書上寫著: : 這這種小型馬達在正常負載下平均耗費電流不會種小型馬達在正常負載下平均耗費電流不會超越超越0.8 0.8 安培安培. . 解解 根據(jù)題意待檢假設(shè)可設(shè)為根據(jù)題意待檢假設(shè)可設(shè)為 現(xiàn)隨機抽取現(xiàn)隨機抽取1616臺馬達實驗臺馬達實驗, ,求得平均耗求得平均耗費電流為費電流為0.920.92安培安培, ,耗費電流的規(guī)范

23、差為耗費電流的規(guī)范差為0.320.32安培安培. . 假設(shè)馬達所耗費的電流服從正態(tài)分布假設(shè)馬達所耗費的電流服從正態(tài)分布, , 取顯著性程度為取顯著性程度為 = 0.05, = 0.05,問根據(jù)這個樣本問根據(jù)這個樣本, , 能否否認廠方的斷言能否否認廠方的斷言? ? H0 : H0 : 0.8 0.8 ； H1 : H1 : 0.8 0.8 未知未知, , 應(yīng)選檢驗統(tǒng)計量應(yīng)選檢驗統(tǒng)計量: :(15)/ 16XTTS查表得回絕域為查表得回絕域為t t0.05(15) = 1.753, t t0.05(15) = 1.753, 5 . 116/32. 08 . 092. 0/8 . 0 nsxt而而

24、753. 1 故接受原假設(shè)故接受原假設(shè), , 即不能否認廠方斷言即不能否認廠方斷言. .解二解二 H0 : H0 : 0.8 0.8 ； H1 : H1 : 0.8 0.8 選用統(tǒng)計量選用統(tǒng)計量: : (15)/ 16XTTS故接受原假設(shè)故接受原假設(shè), , 即否認廠方斷言即否認廠方斷言. .查表得回絕域為查表得回絕域為t -t0.05(15) = -1.753, t 0.00040. 此時可采用效果一樣的單邊假設(shè)檢驗 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. （二）兩個總體的情況（二）兩個總體的情況，設(shè)設(shè)),(),(222211 NYNXYX和分別是這兩個樣本的分別是這

25、兩個樣本的且且X與與Y獨立獨立,X1,X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,均值均值,Y1,Y2,2nY是是樣本樣本2221SS 和分別是這兩個樣本的樣本方差分別是這兩個樣本的樣本方差,，：原假設(shè)原假設(shè)22210 H22222121/ SS取取檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量)1, 1(21 nnF)1, 1(2122212221 nnFSS 22210 ：原原假假設(shè)設(shè)H）（拒拒絕絕域域：1, 121 nnFF ），（或或），（拒拒絕絕域域：1111212/1212/ nnFFnnFF 22210 ：原原假假設(shè)設(shè)H）（拒絕域：拒絕域：1, 1211 nnFF 例例4 為比較兩臺自

26、動機床的精度，分別取為比較兩臺自動機床的精度，分別取容量為容量為10和和8的兩個樣本，丈量某個目的的的兩個樣本，丈量某個目的的尺寸尺寸(假定服從正態(tài)分布假定服從正態(tài)分布)，得到以下結(jié)果：，得到以下結(jié)果：在在 =0.1時，時， 問這兩臺機床能否有同樣問這兩臺機床能否有同樣的精度的精度? 車床甲：車床甲：1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25, 1.36, 1.38,1.40,1.42車床乙：車床乙：1.11, 1.12, 1.18, 1.22, 1.33, 1.35, 1.36, 1.382221122210: HH解解: :設(shè)兩臺自動機床的方差分別為設(shè)兩臺自動機床

27、的方差分別為在在 =0.1=0.1下檢驗假設(shè)下檢驗假設(shè): : ,2221 )7 , 9(/22212221FSSF 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量其中其中 為兩樣本的樣本方差為兩樣本的樣本方差2221,SS)7 , 9(21 FF回絕域為回絕域為 W:W:或或)7 , 9(2 FF 由樣本值可計算得由樣本值可計算得F F的實測值為的實測值為: :68. 3)7 , 9()7 , 9(05. 02 FF 查表得查表得)7 , 9()7 , 9(95. 021FF 304. 029. 3/1)9 , 7(/105. 0F由于由于 0.3041.513.68， 故接受故接受H0 .)7 , 9(21 FF回絕域為

28、回絕域為 W:W:或或)7 , 9(2 FF F=1.51接受域置信區(qū)間1假設(shè)檢驗區(qū)間估計統(tǒng)計量 樞軸量對偶關(guān)系同一函數(shù)二、置信區(qū)間與假設(shè)檢驗之間的關(guān)系二、置信區(qū)間與假設(shè)檢驗之間的關(guān)系假設(shè)檢驗和區(qū)間估計假設(shè)檢驗和區(qū)間估計, 1 1.假設(shè)假設(shè) 是是 的的100( )的置信區(qū)間，的置信區(qū)間， 0100 HH ：的的雙雙邊邊檢檢驗驗：對對顯顯著著性性水水平平為為，）時，則接受）時，則接受，（當當00 .00 ）時，則拒絕）時，則拒絕，（當當 10）（即即P0100. 2 HH ：的的雙雙邊邊檢檢驗驗：對對顯顯著著性性水水平平為為. ），若它的接受域為（若它的接受域為（ 任意，任意，由由0 1）（得得

29、P, 1 所以所以 是是 的的100( )的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 單側(cè)置信區(qū)間與單邊假設(shè)檢驗關(guān)系類似單側(cè)置信區(qū)間與單邊假設(shè)檢驗關(guān)系類似. 假設(shè)檢驗與置信區(qū)間對照假設(shè)檢驗與置信區(qū)間對照),(22nzxnzx20znx接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布 0 0 2 知) 1 , 0 (0NnXU 2 知) 1 , 0 (0NnXU原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù)接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù) 0 0 2未知) 1(0nTnSXT 2未知) 1(0nTnSXT)2nstx20tnsx,(2nstx接受域置信區(qū)

30、間) 1() 1(,) 1() 1(2122222nsnnsn22202221) 1(Sn檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù) 2 02 2= 02 2(未知) 1() 1(22022nSn(未知) 1() 1(22022nSn三、樣本容量的選取三、樣本容量的選取驗法，驗法，的某檢驗問題的一個檢的某檢驗問題的一個檢是參數(shù)是參數(shù)若若定義定義 C）（接受（接受）（0HP 函數(shù)，函數(shù)，的施性特征函數(shù)或的施性特征函數(shù)或稱為檢驗法稱為檢驗法OCC.曲線曲線其圖型稱為其圖型稱為OC函函數(shù)數(shù)檢檢驗驗法法的的OCZ. 1函函數(shù)數(shù)檢檢驗驗法法的的OCt . 2 樣樣本

31、本容容量量的的確確定定方方法法單單側(cè)側(cè)檢檢驗驗和和雙雙側(cè)側(cè)檢檢驗驗概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計分布擬合檢驗分布擬合檢驗檢驗的檢驗的 p 值值 例如，從例如，從1500到到1931年的年的432年間，每年年間，每年迸發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量，椐統(tǒng)迸發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量，椐統(tǒng)計，這計，這432年間共迸發(fā)了年間共迸發(fā)了299次戰(zhàn)爭，詳細數(shù)據(jù)次戰(zhàn)爭，詳細數(shù)據(jù)如下如下:戰(zhàn)爭次數(shù)戰(zhàn)爭次數(shù)X01234 22314248154 發(fā)生發(fā)生 X次戰(zhàn)爭的年數(shù)次戰(zhàn)爭的年數(shù) 總體服從何種實際分布并不知道，要求總體服從何種實際分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設(shè)我們直接對總體分布提出一

32、個假設(shè) .一、分布擬合檢驗一、分布擬合檢驗 根據(jù)泊松分布產(chǎn)生的普通條件，每年迸根據(jù)泊松分布產(chǎn)生的普通條件，每年迸發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)，可以用一個泊松隨機變量來發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)，可以用一個泊松隨機變量來近似描畫近似描畫 . 即我們可以假設(shè)每年迸發(fā)戰(zhàn)爭次即我們可以假設(shè)每年迸發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)數(shù)X近似泊松分布近似泊松分布. 上面的數(shù)據(jù)能否證明上面的數(shù)據(jù)能否證明X 具有泊松分布具有泊松分布的假設(shè)是正確的？的假設(shè)是正確的？問題：問題： 又如，某鐘表廠對消費的鐘進展準確又如，某鐘表廠對消費的鐘進展準確性檢查，抽取性檢查，抽取100個鐘作實驗，撥準后隔個鐘作實驗，撥準后隔24小時以后進展檢查，將每個鐘的誤差快小時以后進展檢查，

33、將每個鐘的誤差快或慢按秒記錄下來或慢按秒記錄下來.問該廠消費的鐘的誤差能否服從正態(tài)分布？問該廠消費的鐘的誤差能否服從正態(tài)分布？ 再如，某工廠制造一批再如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的骰子，聲稱它是均勻的. 為檢驗骰子能否均勻，要把骰子實地投為檢驗骰子能否均勻，要把骰子實地投擲假設(shè)干次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)的頻率與擲假設(shè)干次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)的頻率與1/6的差的差距距. 也就是說，在投擲中，也就是說，在投擲中，出現(xiàn)出現(xiàn)1點，點，2點，點，6點的點的概率都應(yīng)是概率都應(yīng)是1/6. 得到的數(shù)據(jù)能否闡明得到的數(shù)據(jù)能否闡明“骰子均勻的假骰子均勻的假設(shè)是可信的？設(shè)是可信的？問題是：問題是：K.皮爾遜皮爾遜人們把它

34、視為近代統(tǒng)計學的開端人們把它視為近代統(tǒng)計學的開端. 處理這類問題的工具是英國統(tǒng)計學家處理這類問題的工具是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜在皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中引進年發(fā)表的一篇文章中引進的所謂的所謂 檢驗法檢驗法.2 檢驗法是在總體檢驗法是在總體X 的分布未知時，的分布未知時，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關(guān)于總體分根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗方法布的假設(shè)的一種檢驗方法. 2 H0：總體：總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x) 在在F(x)不含未知參數(shù)時，可根據(jù)樣本的不含未知參數(shù)時，可根據(jù)樣本的閱歷分布與所假設(shè)的實際分布之間的吻合程閱歷分布與所假設(shè)的實際分布之間的吻合程度來

35、決議能否接受原假設(shè)度來決議能否接受原假設(shè). 我們先提出原假設(shè)我們先提出原假設(shè):運用運用 對總體分布進展檢驗時，對總體分布進展檢驗時，2檢驗法檢驗法 在檢驗假設(shè)在檢驗假設(shè)H0時，假設(shè)在時，假設(shè)在H0下分布類型下分布類型知，但含參數(shù)未知，這時需求先用極大似然知，但含參數(shù)未知，這時需求先用極大似然估計法估計參數(shù)，然后作檢驗估計法估計參數(shù)，然后作檢驗. 分布律、密度函數(shù)分布律、密度函數(shù)3.根據(jù)所假設(shè)的實際分布根據(jù)所假設(shè)的實際分布,當假設(shè)當假設(shè)H0為真時，為真時，可以算出總體可以算出總體X的值落入每個的值落入每個Ai的概率的概率pi = P(Ai)1. 將總體將總體X的取值范圍分成的取值范圍分成k個互不

36、重迭的小個互不重迭的小區(qū)間區(qū)間,記作記作A1, A2, , Ak .2.把落入第把落入第i個小區(qū)間個小區(qū)間Ai的樣本察看值的個數(shù)的樣本察看值的個數(shù)記作記作fi ， f i /n 為為n次實驗中次實驗中Ai 發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率. 而而 f 1+ f 2+ + f k 等于樣本容量等于樣本容量 n. 在在F(x)不含未知參數(shù)時，不含未知參數(shù)時， 的根本步驟如下的根本步驟如下:2檢驗法檢驗法 kiiiinpnpf122)( iipnf 標志著閱歷分布與實際分布之間的差別的大小標志著閱歷分布與實際分布之間的差別的大小.統(tǒng)計量統(tǒng)計量 的分布是什么的分布是什么?2 在實際分布在實際分布知的條件下知的條件

37、下,npi是常量是常量實測頻率實測頻率實際概率實際概率為為調(diào)調(diào)節(jié)節(jié)系系數(shù)數(shù)）不不應(yīng)應(yīng)太太大大（ikiiiihpnfh 12)( 皮爾遜取皮爾遜取 引進如下檢驗引進如下檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量:iipnh/ 皮爾遜證明了如下定理皮爾遜證明了如下定理:近似服從自在度為近似服從自在度為k-1的的 分布分布.2 2 假設(shè)實際分布假設(shè)實際分布F(x)中有中有 r 個未知參數(shù)，個未知參數(shù)，需用相應(yīng)的估計量來替代，那么當需用相應(yīng)的估計量來替代，那么當 時，統(tǒng)計量時，統(tǒng)計量 的分布漸近自在度為的分布漸近自在度為k-r-1的的 分布分布.n2 kiiiinpnpf122)( 假設(shè)假設(shè)n充分大充分大 ，那么當，那么當F(

38、x)不不含參數(shù)，含參數(shù)，H0為真時，統(tǒng)計量為真時，統(tǒng)計量50 n是是k個近似正態(tài)的變量的平方和個近似正態(tài)的變量的平方和.kiiiinpnpf122)( 這些變量之間存在著一個制約關(guān)系：這些變量之間存在著一個制約關(guān)系： kiiiiinpnpfp10)(故統(tǒng)計量故統(tǒng)計量 漸近漸近(k-1)個自在度的個自在度的 分布分布.2 2 在實際分布在實際分布F(x)完全給定的情況下，每個完全給定的情況下，每個pi 都是確定的常數(shù)都是確定的常數(shù). 由棣莫佛拉普拉斯中心由棣莫佛拉普拉斯中心極限定理，當極限定理，當n充分大時，充分大時， fi 漸近正態(tài)，漸近正態(tài)，因此因此 在在F(x)尚未完全給定的情況下尚未完全

39、給定的情況下 每個未知參數(shù)用相應(yīng)的估計量替代，就相每個未知參數(shù)用相應(yīng)的估計量替代，就相當于添加一個制約條件，因此，自在度也隨之當于添加一個制約條件，因此，自在度也隨之減少一個減少一個. 假設(shè)有假設(shè)有 r 個未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計量個未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計量來替代，自在度就減少來替代，自在度就減少r個個.此時統(tǒng)計量此時統(tǒng)計量 漸近漸近(k-r-1)個自在度的個自在度的 分布分布.2 2 假設(shè)根據(jù)所給的樣本值假設(shè)根據(jù)所給的樣本值 X1,X2, ,Xn算得算得統(tǒng)計量統(tǒng)計量 的實測值落入回絕域，那么回絕原的實測值落入回絕域，那么回絕原假設(shè)，否那么就以為差別不顯著而接受原假設(shè)假設(shè)，否那么就以為差別不顯著

40、而接受原假設(shè).2 得回絕域得回絕域:)1(22 k )1(22 rk (不需估計參數(shù)不需估計參數(shù))(估計估計r 個參數(shù)個參數(shù)) )(22P查查 分布表可得臨界值分布表可得臨界值2 2 ，使得，使得 根據(jù)這個定理，對給定的顯著性程度根據(jù)這個定理，對給定的顯著性程度 ， 擬擬合合檢檢驗驗法法2 皮爾遜定理是在皮爾遜定理是在n無限增大時推導(dǎo)出來無限增大時推導(dǎo)出來的，因此在運用時要留意的，因此在運用時要留意n要足夠大，以及要足夠大，以及npi 不太小這兩個條件不太小這兩個條件. 根據(jù)計算實際，要求根據(jù)計算實際，要求n不小于不小于50，以，以及一切及一切npi 都不小于都不小于 5. 否那么應(yīng)適當合并區(qū)

41、間，使否那么應(yīng)適當合并區(qū)間，使npi滿足滿足這個要求這個要求 . 下面檢驗每年迸發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布能否下面檢驗每年迸發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布能否服從泊松分布服從泊松分布.提出假設(shè)，提出假設(shè)，H0: X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布 按參數(shù)為按參數(shù)為0.69的泊松分布，計算事件的泊松分布，計算事件X=i 的的概率概率pi ，=0.69X 將有關(guān)計算結(jié)果列表如下將有關(guān)計算結(jié)果列表如下:pi的估計是的估計是，i=0,1,2,3,4!69. 069. 0iepii根據(jù)察看結(jié)果，得參數(shù)根據(jù)察看結(jié)果，得參數(shù) 的極大似然估計為的極大似然估計為 因因H0所假設(shè)的實際分布中有一個未知所假設(shè)的實際分布中有一個未知參

42、數(shù)，故自在度為參數(shù)，故自在度為 4-1-1 = 2.iiinpnpf2)(0.1830.376 0.251 1.623x 0 1 2 3 4fi 223 142 48 15 4 0.58 0.31 0.18 0.01 0.02n 216.7 149.5 51.6 12.0 2.16 戰(zhàn)爭次數(shù)戰(zhàn)爭次數(shù)ip ip 14.162.43將將n 5的組予以合并，即將發(fā)生的組予以合并，即將發(fā)生3次及次及4次次戰(zhàn)爭的組歸并為一組戰(zhàn)爭的組歸并為一組.ip 故以為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)故以為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)X服從參數(shù)服從參數(shù)為為0.69的泊松分布的泊松分布.按按 =0.05，自在度為，自在度為4-1-1=2查查

43、分布表得分布表得2 =5.991)2(205. 0 2 =2.435.991，由于統(tǒng)計量由于統(tǒng)計量2 的實測值的實測值未落入否認域未落入否認域. 奧地利生物學家孟德爾進展了長奧地利生物學家孟德爾進展了長達八年之久的豌豆雜交實驗達八年之久的豌豆雜交實驗, 并根據(jù)并根據(jù)實驗結(jié)果實驗結(jié)果,運用他的數(shù)理知識運用他的數(shù)理知識, 發(fā)現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)了遺傳的根本規(guī)律遺傳的根本規(guī)律. 下面以遺傳學上的一項偉大發(fā)現(xiàn)為例，闡下面以遺傳學上的一項偉大發(fā)現(xiàn)為例，闡明統(tǒng)計方法在研討自然界和人類社會的規(guī)律性明統(tǒng)計方法在研討自然界和人類社會的規(guī)律性時，是起著積極的、自動的作用時，是起著積極的、自動的作用.孟德爾孟德爾子二代子二代子

44、一代子一代黃色純系黃色純系綠色純系綠色純系他的一組察看結(jié)果為：他的一組察看結(jié)果為：黃黃70，綠，綠27近似為近似為2.59:1，與實際值相近，與實際值相近. 根據(jù)他的實際，子二代中根據(jù)他的實際，子二代中, 黃、綠之比黃、綠之比 近似為近似為3:1， 由于隨機性，察看結(jié)果與由于隨機性，察看結(jié)果與3:1總有些差總有些差距，因此有必要去調(diào)查某一大小的差別能否距，因此有必要去調(diào)查某一大小的差別能否已構(gòu)成否認已構(gòu)成否認3:1實際的充分根據(jù)，這就是如實際的充分根據(jù)，這就是如下的檢驗問題下的檢驗問題.這里這里 n=70+27=97, k=2,檢驗孟德爾的檢驗孟德爾的3:1實際實際:提出假設(shè)提出假設(shè) H0: p1=3/4, p2=1/4實際頻數(shù)為：實際頻數(shù)為： np1=72.75, np2=24.25實測頻數(shù)為實測頻數(shù)為70，27.2 由于統(tǒng)計量由于統(tǒng)計量的實測值的實測值2122)(iiiinpnpf 統(tǒng)計量統(tǒng)計量) 1 (2 自在度為自在度為k-1=12 =0.41581.96要檢驗假設(shè)要檢驗假設(shè)H0: 0; H1: 0取檢驗統(tǒng)計量為取檢驗統(tǒng)計量為nXU 0