1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十章 自校正控制（一）10.1 概述自校正控制系統(tǒng)是用電子數(shù)字計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)的。它的一個(gè)主要特點(diǎn)是具有對(duì)象數(shù)學(xué)模型的在線辯識(shí)環(huán)節(jié)。在每個(gè)控制周期，計(jì)算機(jī)首先對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行辯識(shí)，然后根據(jù)辯識(shí)得到的模型參數(shù)和事先指定的性能指標(biāo)，在線綜合出控制作用。因此自校正控制系統(tǒng)是一種把參數(shù)的在線辯識(shí)與控制器的在線設(shè)計(jì)有機(jī)結(jié)合在一起的控制系統(tǒng)。通常這類控制系統(tǒng)在設(shè)計(jì)辯識(shí)算法和控制算法時(shí)考慮了隨機(jī)干擾的影響，因此屬于隨機(jī)自適應(yīng)控制系統(tǒng)?？刂破鲄?shù)計(jì)算控 制 器參數(shù)估計(jì)器被控對(duì)象圖10.1 自校正控制系統(tǒng)框圖自校正控制系統(tǒng)的框圖如圖10.1所示。圖中為輸出，為控制量，為參考輸入(給定值)，

2、為隨機(jī)干擾。圖中的“被控對(duì)象”為考慮了采樣器和零階保持器在內(nèi)的離散化了的離散時(shí)間系統(tǒng)。圖中其余虛線框內(nèi)各部分實(shí)際上均為計(jì)算機(jī)的程序。由圖可見，自校正控制系統(tǒng)是在常規(guī)反饋控制（稱為內(nèi)環(huán)）的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)由“參數(shù)估計(jì)器”和“控制器參數(shù)計(jì)算”兩框所組成的外環(huán)而構(gòu)成的。正是這一外環(huán)的存在，使系統(tǒng)具有了自適應(yīng)能力。“參數(shù)估計(jì)器”根據(jù)輸入、輸出得到對(duì)象模型未知參數(shù)的估計(jì)值,“控制器參數(shù)計(jì)算”根據(jù)值計(jì)算控制器參數(shù)。“控制器”再用新的控制參數(shù)計(jì)算控制量。系統(tǒng)開始運(yùn)行時(shí)，由于參數(shù)估計(jì)值與其真值的差別可能很大，控制效果可能很差。但隨著過程的進(jìn)行，參數(shù)估計(jì)值會(huì)越來越精確，控制效果也會(huì)越來越好。當(dāng)對(duì)象特性發(fā)生變化時(shí)

3、，會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變。從而使控制器參數(shù)也發(fā)生相應(yīng)的變化，自動(dòng)適應(yīng)變化了的對(duì)象。自校正控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)通常采用了確定性等價(jià)原理，即認(rèn)為對(duì)象的所有未知參數(shù)用它們的相應(yīng)的估計(jì)值代替后，其控制規(guī)律（即計(jì)算的函數(shù)式）的形式恰好與對(duì)象參數(shù)已知時(shí)的隨機(jī)最優(yōu)控制規(guī)律的形式相同。因此在設(shè)計(jì)控制器的時(shí)候，先假設(shè)被控對(duì)象的所有參數(shù)是已知的，并且根據(jù)給定的性能指標(biāo)綜合出控制律，然后將控制律中的未知參數(shù)用它們的估計(jì)值來代替。顯然，這里沒有考慮參數(shù)估計(jì)精度的影響，因此一般來講，這時(shí)的自校正控制律不一定是漸近最優(yōu)的。自校正控制系統(tǒng)可分為顯式（間接）自校正控制系統(tǒng)和隱式（直接）自校正控制系統(tǒng)兩類。圖10.1所示為顯式自校正控制系

4、統(tǒng)。若“參數(shù)辨識(shí)器”直接估計(jì)控制器參數(shù)，則可省去“控制器參數(shù)計(jì)算”這一框，這時(shí)就成了隱式自校正控制系統(tǒng)。顯然，顯式算法的計(jì)算量比隱式算法大。自校正控制系統(tǒng)中的參數(shù)辯識(shí)方法有多種，控制器的設(shè)計(jì)方法也有多種，不同的辯識(shí)器與控制器一一結(jié)合，可以構(gòu)成多種多樣的自校正控制算法。第一個(gè)把最小二乘辨識(shí)與控制結(jié)合起來的是Kalman（1958）。1970年P(guān)eterka重新研究了這個(gè)問題。1973年Astrom和Wittenmark發(fā)展了Peterka的工作，證明了自校正調(diào)節(jié)器在一定條件下收斂到某種意義最優(yōu)的控制器，為自校正調(diào)節(jié)器奠定了理論基礎(chǔ)。從此，自校正控制系統(tǒng)成為自適應(yīng)控制中蓬勃發(fā)展的一個(gè)分枝。本章僅就

5、幾種常用的自校正控制系統(tǒng)加以介紹。10.2單步輸出預(yù)測自校正控制單步輸出預(yù)測(簡稱單步預(yù)測)自校正控制是自校正控制中最基本、最簡單的一種。整個(gè)算法的關(guān)鍵是預(yù)測。本節(jié)首先介紹最小方差控制的基本概念，然后推導(dǎo)被控對(duì)象的預(yù)測模型，在此基礎(chǔ)上得到預(yù)測控制律，然后討論對(duì)象參數(shù)不確定時(shí)的自校正算法。10.2.1 最小方差控制20世紀(jì)60年代中期，Astrom在IBM的北歐實(shí)驗(yàn)室開展了造紙機(jī)過程控制的研究。最小方差控制的提出就是源于對(duì)造紙機(jī)控制問題的研究。紙的質(zhì)量是用每平方米的重量來表示的，設(shè)紙的每平方米重量為，則造紙機(jī)的設(shè)定值應(yīng)在，使得造出來的紙產(chǎn)生低于檢驗(yàn)限的概率小于某一正數(shù)。如果的方差大，那么，為了滿

6、足“紙產(chǎn)生低于檢驗(yàn)限的概率小于某一正數(shù)”的要求，設(shè)定值就應(yīng)該定在遠(yuǎn)離檢驗(yàn)限的地方（見圖10.2）。這時(shí)，所用的原材料（紙漿）多，能耗也大。如果的方差很小，那么我們可以把的設(shè)定值定在接近檢驗(yàn)限的地方，這時(shí)所用的紙漿少，能耗低，且能獲得高的經(jīng)濟(jì)效益。檢驗(yàn)限y0 y0低方差時(shí)的設(shè)定值高方差時(shí)的設(shè)定值密度函數(shù)圖10.2 方差與設(shè)定值的關(guān)系因此，減小的方差可以降低每平方米紙的重量，以此為目標(biāo)，也即提高了系統(tǒng)控制的品質(zhì)。自然地，提出了以輸出方差最小為性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)最小方差控制系統(tǒng)的要求。由于是線性系統(tǒng)，為了討論問題方便，我們將以為設(shè)定值的恒值控制問題，轉(zhuǎn)化為以0為設(shè)定值的恒值控制問題，即轉(zhuǎn)化為調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)

7、問題。假設(shè)是下列系統(tǒng)的輸出：要設(shè)計(jì)系統(tǒng)的最小方差控制器。由過程模型可知，與， 相關(guān)，且與無關(guān)（或獨(dú)立）。于是，上式可改寫為：因此，方差為上述不等式中的等號(hào)只有在時(shí)成立。由此，可得最小方差控制律即推廣一下，對(duì)于系統(tǒng)這時(shí)可用上述方法來解，使?jié)M足如果考慮一般的隨機(jī)線性系統(tǒng)問題就要復(fù)雜一些。10.2.2 單步預(yù)測控制的基本思想設(shè)對(duì)象用線性差分模型描述： (10.1)式中為延時(shí)，為干擾。由于系統(tǒng)輸出響應(yīng)存在步滯后，即時(shí)刻施加的控制量只能在時(shí)刻才開始對(duì)輸出產(chǎn)生影響。因此，我們?cè)O(shè)想，如果能在時(shí)刻根據(jù)已獲得的以前系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)預(yù)測時(shí)刻的輸出，則可適當(dāng)施加控制，使盡可能接近給定值。這一點(diǎn)再進(jìn)一步解釋如下。根據(jù)

8、上述思想，由時(shí)刻及其以前的輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)的預(yù)測律(預(yù)測器)可以表示為： (10.2)其中表示在時(shí)刻對(duì)時(shí)刻輸出的預(yù)測，它是的函數(shù)。若用表示預(yù)測誤差，則： (10.3)該式即為對(duì)象的預(yù)測模型。由于在時(shí)刻采樣后，已知，為過去的輸入輸出數(shù)據(jù)已知，這樣，式(10.2)中只有未知。從而根據(jù)控制的要求，可以令由此，可以解出時(shí)刻的控制量。是的函數(shù)，該函數(shù)式即為控制律。在的控制作用下，時(shí)刻的輸出與給定值之差即為預(yù)測誤差由此可見，控制效果的好壞關(guān)鍵在于預(yù)測是否精確，即式(10.2)的模型是否精確。10.2.3 被控對(duì)象的預(yù)測模型下面我們根據(jù)給定的多項(xiàng)式來求預(yù)測模型的一般形式。代表了關(guān)于噪聲的先驗(yàn)知識(shí)，稱為濾波多項(xiàng)

9、式，又叫觀測多項(xiàng)式，預(yù)測模型的品質(zhì)依賴于的選取。又設(shè) (10.4)為的階商（）， (10.5)為的余式（），則得恒等式 (10.6a)或 (10.6b)這類恒等式在自校正控制中非常重要，常稱Diophantine方程。將分解為兩個(gè)部分的目的是：把分解成與 獨(dú)立和與 不獨(dú)立的兩個(gè)部分。獨(dú)立部分 不獨(dú)立的部分 多項(xiàng)式和可以通過長除法得到，也可以通過解恒等式(10.6b)，即令等式量邊的同次冪的系數(shù)相等，然后解線性方程組而求得。例10.1 設(shè)，m=2，求,。解：，(1). 用長除法(2).解Diophantine方程比較方程兩邊的同次冪的系數(shù)，有解此方程組，得在引入了多項(xiàng)式、以后，就可以導(dǎo)出對(duì)象的預(yù)

10、測模型：用乘式(10.1)兩邊，得將用式(10.6b)的Diophantine方程代入，得于是有：令 則上式化為： (10.7)上式中，和分別為和經(jīng)過線性系統(tǒng)濾波后的值，稱為濾波數(shù)據(jù)。式(10.7)稱為對(duì)象的m步超前預(yù)測模型，預(yù)測律為 (10.8)預(yù)測誤差為： (10.9)前面曾提到，的選擇將決定預(yù)測模型的品質(zhì)。下面我們將看到，若對(duì)象用CAMRA模型描述，即： (10.10)為零均值白噪聲，方差為。則當(dāng)取時(shí)，便得到最小方差預(yù)測，即預(yù)測誤差的方差最小。下面分析為什么這時(shí)預(yù)測誤差的方差最小。由式(10.7)的預(yù)測模型，有 (10.11)其中，。設(shè)時(shí)刻對(duì)時(shí)刻輸出的預(yù)測為，則預(yù)測誤差的方差為：式中，由

11、時(shí)刻以前（包括時(shí)刻）的輸入輸出數(shù)據(jù)組成，而由時(shí)刻到時(shí)刻的白噪聲組成，這兩部分是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。且具有零均值，即，因此于是由于由時(shí)刻以前(包括時(shí)刻)的輸入，輸出數(shù)據(jù)組成，而上式中的第二項(xiàng)決定于未來時(shí)刻的白噪聲干擾，與無關(guān)，因此當(dāng)時(shí)，最小，即預(yù)測誤差的方差最小。從而最優(yōu)預(yù)測律也就是最小方差預(yù)測律，最小方差預(yù)測模型為： (10.12)預(yù)測誤差為： (10.13)為未來m-1階白噪聲的移動(dòng)平均。預(yù)測誤差的方差為： (10.14)從式(10.14)可以看出，由于其由未來的白噪聲組成，不可控制，因而這時(shí)的預(yù)測為最小方差預(yù)測。當(dāng)噪聲不能寫成時(shí)，的預(yù)測律(10.12)不是最優(yōu)的，但還是比較好的。例10.2 已知?jiǎng)?/p>

12、態(tài)系統(tǒng)模型為求最小方差預(yù)測模型及預(yù)測誤差方差。為零均值白噪聲，。解：，先求和 最小方差預(yù)測模型為預(yù)測誤差方差事實(shí)上，對(duì)于噪聲項(xiàng)為白噪聲（即）的對(duì)象模型，可以直接經(jīng)過簡單的推導(dǎo)，得到最小方差預(yù)測模型。以本題為例：合并兩式，可消去，即得例10.3 已知?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)模型為求及時(shí)的預(yù)測模型及預(yù)測誤差方差。為零均值白噪聲，。解：，(1). 時(shí)，為最小方差預(yù)測。先求和 預(yù)測模型為或預(yù)測誤差方差(2). 時(shí)，。先求和 預(yù)測模型為預(yù)測誤差方差比較及時(shí)的預(yù)測誤差方差可見，當(dāng)取預(yù)測誤差方差更大。其原因在于預(yù)測模型的誤差項(xiàng)中，含有與相關(guān)的項(xiàng)，即中含有的信息。對(duì)的影響本來是可以預(yù)測的，但由于選為1，就未能對(duì)這一影響作出預(yù)

13、測。10.2.4 單步預(yù)測控制律根據(jù)控制系統(tǒng)的要求，我們令預(yù)測值等于給定值即可解得控制律。對(duì)于一般步預(yù)測模型(10.8)，令，得：或于是控制律為 (10.15)此時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出誤差即等于預(yù)測誤差如果被控對(duì)象可以表達(dá)為式(10.10)的CARMA模型，取，則可令式(10.12)的最小方差預(yù)測等于得最小方差控制律： (10.16)這時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)輸出誤差等于最小方差預(yù)測的預(yù)測誤差：為階未來時(shí)刻的白噪聲的移動(dòng)平均。輸出誤差方差等于最小方差預(yù)測的預(yù)測誤差方差：由于預(yù)測誤差由未來的白噪聲組成，故與無關(guān)，是不可控制的，因而這時(shí)輸出誤差的方差最小。在(10.16)中，若，則轉(zhuǎn)化為給定值為零的調(diào)節(jié)問題，得最

14、小方差調(diào)節(jié)器 (10.17)例10.4 設(shè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型為求最小方差控制律。為零均值白噪聲，。解：，由式(10.6)，。于是有比較方程兩邊的同次冪的系數(shù)，有最小方差控制律為或事實(shí)上，由于該例對(duì)象沒有純延遲，我們可以直接從對(duì)象模型得到最小方差控制律，由對(duì)象模型。將被控對(duì)象模型改寫為：由于為未來的白噪聲，與無關(guān)，不可控制，故當(dāng)時(shí)，輸出誤差方差為最小，于是控制律為例10.5 當(dāng)例10.4中時(shí)，觀察不同純時(shí)延和下，最小方差控制器的效果。（1）時(shí)由式(10.6)，。于是有比較方程兩邊的同次冪的系數(shù)，有最小方差控制律為或輸出控制誤差輸出誤差的最小方差為（2）時(shí)，由式(10.6)，。于是有由此解得最小方差控制

15、律為或輸出控制誤差輸出誤差的最小方差為該例表明，隨著系統(tǒng)純時(shí)延的增大，輸出誤差的最小方差將大幅度增大。這是因?yàn)榈脑龃髮?dǎo)致了中不可控的項(xiàng)數(shù)增多的原因?？刂破鲗?duì)象+下面我們來看最小方差系統(tǒng)的閉環(huán)特性和局限性。最小方差控制系統(tǒng)的閉環(huán)框圖如圖10.3所示。圖10.3 最小方差控制系統(tǒng)閉環(huán)框圖從干擾到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)即。從輸入到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)即。由上述傳遞函數(shù)可以看出，最小方差閉環(huán)控制系統(tǒng)的最優(yōu)性能：其輸出誤差為階白噪聲的移動(dòng)平均，且方差最??；輸出在步后就立刻跟上參考輸入(給定值)。但最小方差控制也有它的不足：(1). 不適用于非最小相位系統(tǒng)如果有單位圓外的零點(diǎn)，則被控對(duì)象稱為非最小相位系統(tǒng)。由于

16、最小方差控制器傳遞函數(shù)分母含有因子，因此對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，控制器不穩(wěn)定。另一方面，在閉環(huán)傳遞函數(shù)推導(dǎo)中，控制器的不穩(wěn)定極點(diǎn)和對(duì)象的非最小相位零點(diǎn)進(jìn)行了對(duì)消。實(shí)現(xiàn)這種極零點(diǎn)相消，要求控制律必須按系統(tǒng)的精確模型導(dǎo)出。然而絕對(duì)精確的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上是得不到的；即使能得到精確的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)的參數(shù)也不可能總保持不變。所以控制器與對(duì)象之間精確地實(shí)現(xiàn)極零點(diǎn)相消是不可能的。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，這種不完全的極零點(diǎn)相消是可行的；但對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)理論上是穩(wěn)定的，但由于控制器的不穩(wěn)定極點(diǎn)和對(duì)象的非最小相位零點(diǎn)對(duì)消不完全，因此中那指數(shù)增長的不穩(wěn)定分量仍舊會(huì)傳遞到輸出，造成輸出或整個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2). 由

17、于最小方差控制器對(duì)控制量未加任何約束，所以，的變化幅度會(huì)很大，這在有些實(shí)際系統(tǒng)中是不允許的。10.2.5 單步預(yù)測自校正控制算法當(dāng)模型參數(shù)已知時(shí)，我們可以直接使用前述方法來設(shè)計(jì)控制律（或最小方差控制器），即設(shè)定一個(gè)多項(xiàng)式，可以通過解Diophantine方程，求得多項(xiàng)式，和，然后由式(10.15)得到控制律，計(jì)算控制量。當(dāng)對(duì)象用CARMA模型描述時(shí)，選擇，則由式(10.16)得到最小方差控制律。當(dāng)對(duì)象模型參數(shù)不確定(未知或者時(shí)變)時(shí)，我們可以用遞推辨識(shí)的方法來估計(jì)這些參數(shù)，然后根據(jù)確定性等價(jià)原理，獲得的自校正控制算法。自校正算法的基本思想是：用遞推(實(shí)時(shí))最小二乘法在線估計(jì)預(yù)測模型(10.7)

18、中和的系數(shù)，得到和，然后用和代替(10.15)中的和，則得到自校正控制器 (10.18)如果給定值，則得自校正調(diào)節(jié)器 (10.19)下面討論上述問題中的參數(shù)估計(jì)。預(yù)測模型(10.7) 可以改寫為 (10.20)式中 (10.21)為殘差，即預(yù)測模型的預(yù)測誤差。式(10.20)為一個(gè)最小二乘估計(jì)（簡稱LSE模型），可以用最小二乘估計(jì)算法直接估計(jì)控制器參數(shù)，因而這是一種隱式算法。采用這種自校正算法必須事先確定預(yù)測模型的結(jié)構(gòu)，即時(shí)滯，階和。若已知對(duì)象的線性差分模型的結(jié)構(gòu)，即已知，和，則和也可以確定： (10.22)濾波多項(xiàng)式也要事先選定，通常選使成為一低通濾波器。對(duì)于多數(shù)實(shí)際應(yīng)用，為一階多項(xiàng)式就夠了

19、，即式中為采樣周期，為過程階躍響應(yīng)達(dá)到63.2%的時(shí)間。由于自校正控制器運(yùn)行在系統(tǒng)閉環(huán)的條件下，還必須考慮閉環(huán)可辨識(shí)問題。根據(jù)可辨識(shí)條件有，而這里，所以在時(shí)條件成立；，而這里，所以在時(shí)條件成立。故時(shí)閉環(huán)可辨識(shí)條件滿足。時(shí)則必須先固定某個(gè)參數(shù)。對(duì)于自校正調(diào)節(jié)器：可以看出，上式右邊的分子分母同乘以一常數(shù)，不變。因而，和的估計(jì)值可以不唯一，參數(shù)估計(jì)值位于線性流線上，可能會(huì)過大或過小，產(chǎn)生數(shù)值問題。解決的辦法可以是先固定一個(gè)參數(shù)，讓其不參加辨識(shí)。如令，則控制器的收斂速度與成正比。若太小，則增大?？梢宰C明，選擇為何值并不十分重要。整個(gè)自校正控制算法的計(jì)算過程如下：(1). 獲取個(gè)時(shí)刻的輸入、輸出數(shù)據(jù)，分

20、別填入，數(shù)據(jù)區(qū)、，并將，的濾波數(shù)據(jù)，分別填入，數(shù)據(jù)區(qū)、。這些輸入、輸出數(shù)據(jù)的獲取，一般是采用常規(guī)控制手段（如二位式控制、PID控制等）控制步后得到的。獲取這些數(shù)據(jù)的目的是為了在第一步參數(shù)估計(jì)遞推時(shí)能構(gòu)造數(shù)據(jù)向量，也是為了在第一步實(shí)施自校正控制時(shí)能夠計(jì)算出控制量。，的濾波值由即求出。初值取為0。(2). 置參數(shù)向量初值，矩陣初值。(3). ，數(shù)據(jù)區(qū)的數(shù)據(jù)右移一位，即原來時(shí)刻的數(shù)據(jù)變成時(shí)刻的數(shù)據(jù)，時(shí)刻的數(shù)據(jù)變成時(shí)刻的數(shù)據(jù)。(4). 采樣，得，并填入數(shù)據(jù)區(qū)。(5). 計(jì)算濾波值，并填入?yún)^(qū)。(6). 按式(10.21)構(gòu)造數(shù)據(jù)向量。(7). 依據(jù)遞推最小二乘法公式，計(jì)算和(8). 由式(10.18)計(jì)算控制量：